MATEMATYKA - WFiIS, Informatyka stosowana, I rok, grupa 3

Zestaw 6 - Pochodna funkcji jednej zmiennej

Zadanie 1. Obliczy¢ pierwsz¡ pochodn¡ funkcji:

a) y = x

5

− 6x

2

+ 1

b) y = 2x

2

+ 3x + 5 +

1

x

c) y =

4

x

2

d) y = 5

3

√

x

7

e) y =

3

3x−2

f) y =

8x

3

x

2

+x−1

g) y =

x

2

−2x+3

x

2

+2x−3

h) y =

1
x

+ 4

4

i) y = (4x

2

− 5x + 13)

5

j) y =

√

x

2

− 4

k) y =

1

√

2x+3

l) y = cos

5

x

m) y = 2x + sin 2x

n) y = cos x −

1
3

cos

3

x

o) y = sin

2

q

1

x

p) y = 3ctgx + ctg

3

x

r) y = (4 sin x − 8 sin

3

x) cos x

s) y = arctg3x

t) y = x · arctgx −

1
2

ln (1 + x

2

)

u) y = arcsin

x

√

1+x

2

v) y = 5e

1
2

x

w) y = 3e

2 sin

3

x

x) y = 5

x

+ 2

x

y) y = 3

x

x

3

z) y = 5 ln(10x)

ab) y = ln

q

1+x
1−x

bc) y = ln | ln |x||

cd) y = ln tg

π

4

+

x
2

dla

x ∈ 0,

π

2

de) y = x

6x

dla

x > 0

//P OM OC :

a

b

= e

ln(a

b

)

= e

b ln a

//

ef) y = (tgx)

sin x

fg) y = 1 +

1
x

x

gh) y = x

2

cos x

hi) y =

x+7

4x+2

ij) y = 3x

3

+ 2e

sin 2x

jk) y = x

2

tgx

kl) y =

2x+1

x−1

lm) y = 2x + 4 cos

2 x

3

mn) y = x

3

sin x

no) y =

x+5

3x+1

op) 2x

2

+ 2 sin

3 x

2

pr) y = 2x

3

sin x

rs) y = 7e

2 ln

2

x

st) y =

e

x

x

2

+1

tu) y = 4x

2

cos x

uv) y = 5e

3 sin

2

x

vw) y =

ln x

x+1

wx) y = x

5

cos x

xy) y =

e

x

+1

x

2

+5

yz) y = 12 ln |2 sin

3

x|

Zadanie 2. a) Obliczy¢ w jakim punkcie styczna do linii y = x

3

− 3x

2

− 9x + 2

jest równolegªa

do osi OX.

b) Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x

3

w punkcie o odci¦tej 2.

Zadanie 3. Obliczy¢ drug¡ pochodn¡ funkcji:

a) y = x

3

+ 3

√

x + 1

b) y = sin

2

x

c) y = arccos x

d) y = xe

sin x

e) y = ln(1 + x

2

)

Zadanie 4. Zbada¢ monotoniczno±¢ i znale¹¢ ekstrema:

a) y = x

3

− 2x

2

b) y = x +

9
x

− 1

c) y = e

x2

x−3

d) y = x − ln(1 + x)

1

e) y =

x

3

x−1

f) y =

x

ln x

g) y = 3 − 2

3

√

x

2

h) y = cos 2x − 2 cos x (tu tylko ekstrema, pomocna b¦dzie druga pochodna)

i) y =

3+3x

2

5x

j) 4x +

16

x

k) y = x +

1
x

l) y = 2x

2

− 16x

m) y = 3x

2

− 24x

n) y = 6x

2

− 4x + 1

o) y = 3x

2

− 3x + 5

p) y =

3x

2

+3

−4x

r) y =

5x

2

+5

3x

s) y =

1+x

2

6x

t) y = xe

1
x

u) y = (x + 1)e

1

x+1

v) y = (2 − x)e

−

1
x

w) y = xe

1

x−2

x) y = x +

1

x−1

y) y =

3
2

x

2

e

1−

2
3

x

z) y = x

2

e

−2x

+ 1

ab) y = xe

−x

bc) y =

e

2x2

x

cd) y =

e

−x

x+1

de) y =

e

2x+1

x−1

ef) y =

e

1−x

2x

fg) y = (x + 2)e

1
x

gh) y =

e

x

x+1

hi) y =

1

1+x

e

1−x

ij) y = 2x +

18

x

+ 15

jk) y = 3x +

12

x

+ 7

Zadanie 5. Znale¹¢ przedziaªy wypukªo±ci/wkl¦sªo±ci i punkty przegi¦cia funkcji:

a) y = x

3

− 6x

2

− 36x + 30

b) y = x

2

+

1
x

c) y = x · arctgx

d) y = 4x

2

+

1

x

2

e) y = 3x

2

+

1

x

f) y = 2x

3

+ 6x

2

− x + 5

g) y =

2x−3

x+1

Zadanie 6. Korzystaj¡c z reguªy de l'Hospitala obliczy¢ granice:

a) lim

x→0

e

x2

−1

cos x−1

b) lim

x→0

a

x

−b

x

x

√

1−x

2

c) lim

x→+∞

(π−2arctgx) ln x

d) lim

x→1

1−x

ln x

e) lim

x→0

ln x

ln(sin x)

f) lim

x→0

e

x

−e

−x

sin x

g) lim

x→0

x−sin x

x

3

h) lim

x→0

e

2x

+ x

1
x

i) lim

x→0

sin x−x cos x

x

3

j) lim

x→1

x

1

1−x

k) lim

x→0

a

x

+b

x

2

1
x

l) lim

x→1

(1 − x)tg

π

2

x

m) lim

x→0

x·arctgx

x

3

n) lim

x→∞

2

x

x

2

+1

o) lim

x→0

ln x

2x+5

p) lim

x→∞

x

3

sin

1
x

x

2

+2

r) lim

x→1

(

1

x−1

−

1

ln x

)

s) lim

x→∞

ln x

x

t) lim

x→0

(1 − e

2x

)ctgx

u) lim

x→0

(

1

x

−

1

sin x

)

Zadanie 7. Zbada¢ przebieg zmienno±ci funkcji:

a) y =

x

2

(x−1)

2

b) y = xe

−x

c) y =

ln x

x



Powodzenia.

El»bieta Sowa

2



Odpowiedzi

Czasem w zadaniu 1 odpowied¹ mo»e by¢ nieco innej postaci z uwagi na pewne przeksztaªce-

nia trygonometyczne. Np. sin(2x) = 2 sin x cos x, cos(2x) = cos

2

x − sin

2

x

, cos

2

x =

1+cos(2x)

2

,

sin

2

x + cos

2

x = 1

.

Zadanie 1.

a) y

0

= 5x

4

− 12x

b) y

0

= 4x + 3 −

1

x

2

c) y

0

= −

8

x

3

d) y

0

=

35

3

3

√

x

4

e) y

0

= −

9

(3x−2)

2

f) y

0

=

8x

2

(x

2

+2x−3)

(x

2

+x−1)

2

g) y

0

=

4x(x−3)

(x

2

+2x−3)

2

h) y

0

= −

4

x

2

1
x

+ 4

3

i) y

0

= 5(4x

2

− 5x + 13)

4

(8x − 5)

j) y

0

=

x

√

x

2

−4

k) y

0

=

−1

√

(2x+3)

3

l) y

0

=

5

x

2

sin

5

x

m) y

0

= 4 cos

2

x

n) y

0

= − sin

3

x

o) y

0

= −

sin(

2

√

x

)

2x

√

x

p) y

0

=

−3

sin

4

x

r) y

0

= 4 cos 2x + 8 sin

2

x(1 − 4 cos

2

x)

s) y

0

=

3

1+9x

2

t) y

0

= arctgx

u) y

0

=

1

1+x

2

v) y

0

=

5
2

e

1
2

x

w) y

0

= 18 sin

2

x cos xe

2 sin

3

x

x) y

0

= 5

x

ln 5 + 2

x

ln 2

y) y

0

= 3

x

x

2

(3 + x ln 3)

z) y

0

=

5
x

ab) y

0

=

1

1−x

2

bc) y

0

=

1

x ln |x|

cd) y

0

=

1

cos x

de) y

0

= 6(ln x + 1)x

6x

ef) y

0

= (tgx)

sin x

(cos x ln(tgx) +

1

cos x

)

fg) y

0

= 1 +

1

x

x



ln 1 +

1

x

−

1

1+x



gh) y

0

= 2x cos x − x

2

sin x

hi) y

0

=

−20

(4x+2)

2

ij) y

0

= 9x

2

+ 4e

sin 2x

cos 2x

jk) y

0

= 2xtgx +

x

2

cos

2

x

kl) y

0

=

−3

(x−1)

2

lm) y

0

= 2 −

8
3

sin

x
3

cos

x

3

mn) y

0

= 3x

2

sin x + x

3

cos x

no) y

0

=

−14

(3x+1)

2

op) y

0

= 4x + 3 sin

2 x

2

cos

x
2

pr) y

0

= 6x

2

sin x + 2x

3

cos x

rs) y

0

= 28e

2 ln

2

x ln x

x

st) y

0

=

e

x

(x

2

−2x+1)

(x

2

+1)

2

tu) y

0

= 8x cos x − 4x

2

sin x

uv) y

0

= 30 sin x cos xe

3 sin

2

x

vw) y

0

=

1+

1
x

−ln x

(1+x)

2

wx) y

0

= 5x

4

cos x − x

5

sin x

xy) y

0

=

e

x

(x

2

−2x+5)−2x

(x

2

+5)

2

yz) y

0

= 36ctgx

Zadanie 2.

a)

P

1

= (−1, 7),

P

2

= (3, −25)

b)

y = 12x − 16

Zadanie 3.

a) y” = 6x −

3
4

1

√

x

3

b) y” = 2 cos 2x

c) y” =

−x

(1−x

2

)

3

2

3

d) y” = e

sin x

[2 cos x − x sin x + x cos

2

x]

e) y” =

2(1−x

2

)

(1+x

2

)

2

Zadanie 4.

a) dla x ∈ (−∞, 0) lub x ∈ (

4
3

, +∞)

funkcja ro±nie, dla x ∈ (0,

4
3

)

maleje, x = 0 maksimum

lokalne, x =

4
3

minimum lokalne

b) dla x ∈ (−∞, −3) lub x ∈ (3, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−3, 0) lub x ∈ (0, 3) maleje, w

x = 0

funkcja nie jest oke±lona, x = −3 maksimum lokalne, x = 3 minimum lokalne

c) dla x ∈ (−∞, 0) lub x ∈ (6, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (0, 3) oraz x ∈ (3, 6) maleje,

x = 0

maksimum lokalne, x = 6 minimum lokalne, x = 3 nie nale»y do dziedziny funkcji

d) dziedzina to (−1, +∞), dla x ∈ (0, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−1, 0) maleje, x = 0

minimum lokalne

e) dla x ∈ (−∞, 1) lub x ∈ (1,

3
2

)

funkcja maleje, dla x = 1 funkcja nie jest okre±lona, dla

x ∈ (

3
2

, +∞)

ro±nie, x =

3
2

minimum lokalne

f) funkcja okre±lona dla R

+

, dla x ∈ (e, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (0, e) maleje, x = e

minimum lokalne

g) dla x ∈ (0, +∞) funkcja maleje, dla x ∈ (−∞, 0) ro±nie, x = 0 maksimum lokalne

h) x = ±

π

3

+ 2kπ

, gdzie k ∈ Z to punkty minimum lokalnego, x = kπ gdzie k ∈ Z to punkty

maksimum lokalnego

i) dla x ∈ (−∞, −1) lub x ∈ (1, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−1, 0) lub x ∈ (0, 1) maleje, w

x = 0

funkcja nie jest oke±lona, x = −1 maksimum lokalne, x = 1 minimum lokalne

j) dla x ∈ (−∞, −2) lub x ∈ (2, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−2, 0) lub x ∈ (0, 2) maleje, w

x = 0

funkcja nie jest oke±lona, x = −2 maksimum lokalne, x = 2 minimum lokalne

k) dla x ∈ (−∞, −1) lub x ∈ (1, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−1, 0) lub x ∈ (0, 1) maleje, w

x = 0

funkcja nie jest oke±lona, x = −1 maksimum lokalne, x = 1 minimum lokalne

l) dla x ∈ (4, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−∞, 4) maleje, x = 4 minimum lokalne

m) dla x ∈ (4, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−∞, 4) maleje, x = 4 minimum lokalne

n) dla x ∈ (

1
3

, +∞)

funkcja ro±nie, dla x ∈ (−∞,

1
3

)

maleje, x =

1
3

minimum lokalne

o) dla x ∈ (

1
2

, +∞)

funkcja ro±nie, dla x ∈ (−∞,

1
2

)

maleje, x =

1
2

minimum lokalne

p) dla x ∈ (−1, 0) lub x ∈ (0, 1) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−∞, −1) lub x ∈ (1, +∞) maleje, w

x = 0

funkcja nie jest oke±lona, x = 1 maksimum lokalne, x = −1 minimum lokalne

r) dla x ∈ (−∞, −1) lub x ∈ (1, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−1, 0) lub x ∈ (0, 1) maleje, w

x = 0

funkcja nie jest oke±lona, x = −1 maksimum lokalne, x = 1 minimum lokalne

4

s) dla x ∈ (−∞, −1) lub x ∈ (1, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−1, 0) lub x ∈ (0, 1) maleje, w

x = 0

funkcja nie jest oke±lona, x = −1 maksimum lokalne, x = 1 minimum lokalne

t) dla x ∈ (−∞, 0) lub x ∈ (1, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (0, 1) maleje, w x = 0 funkcja nie

jest oke±lona, x = 1 minimum lokalne

u) dla x ∈ (−∞, −1) lub x ∈ (0, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−1, 0) maleje, w x = −1

funkcja nie jest oke±lona, x = 0 minimum lokalne

v) dla x ∈ (−2, 0) lub x ∈ (0, 1) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−∞, −2) lub x ∈ (1, +∞) maleje, w

x = 0

funkcja nie jest oke±lona, x = 1 maksimum lokalne, x = −2 minimum lokalne

w) dla x ∈ (−∞, 1) lub x ∈ (4, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (1, 2) lub x ∈ (2, 4) maleje, w

x = 2

funkcja nie jest oke±lona, x = 1 maksimum lokalne, x = 4 minimum lokalne

x) dla x ∈ (−∞, 0) lub x ∈ (2, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (0, 1) lub x ∈ (1, 2) maleje, w

x = 1

funkcja nie jest oke±lona, x = 0 maksimum lokalne, x = 2 minimum lokalne

y) dla x ∈ (0, 3) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−∞, 0) lub x ∈ (3, +∞) maleje, x = 3 maksimum

lokalne, x = 0 minimum lokalne

z) dla x ∈ (0, 1) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−∞, 0) lub x ∈ (1, +∞) maleje, x = 1 maksimum

lokalne, x = 0 minimum lokalne

ab) dla x ∈ (−∞, 1) funkcja ro±nie, dla x ∈ (1, +∞) maleje, x = 1 maksimum lokalne

bc) dla x ∈ (−∞, −

1
2

)

lub x ∈ (

1
2

, +∞)

funkcja ro±nie, dla x ∈ (−

1
2

, 0)

lub x ∈ (0,

1
2

)

maleje,

w x = 0 funkcja nie jest oke±lona, x = −

1
2

maksimum lokalne, x =

1
2

minimum lokalne

cd) dla x ∈ (−∞, −2) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−2, −1) lub x ∈ (−1, +∞) maleje, w x = −1

funkcja nie jest oke±lona, x = −2 maksimum lokalne

de) dla x ∈ (

3
2

, +∞)

funkcja ro±nie, dla x ∈ (−∞, 1) lub x ∈ (1,

3
2

)

maleje, w x = 1 funkcja

nie jest oke±lona, x =

3
2

minimum lokalne

ef) dla x ∈ (−∞, −1) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−1, 0) lub x ∈ (0, +∞) maleje, w x = 0 funkcja

nie jest oke±lona, x = −1 maksimum lokalne

fg) dla x ∈ (−∞, −1) lub x ∈ (2, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−1, 0) lub x ∈ (0, 2) maleje,

w x = 0 funkcja nie jest oke±lona, x = −1 maksimum lokalne, x = 2 minimum lokalne

gh) dla x ∈ (0, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−∞, −1) lub x ∈ (−1, 0) maleje, w x = −1

funkcja nie jest oke±lona, x = 0 minimum lokalne

hi) dla x ∈ (−∞, −2) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−2, −1) lub x ∈ (−1, +∞) maleje, w x = −1

funkcja nie jest oke±lona, x = −2 maksimum lokalne

ij) dla x ∈ (−∞, −3) lub x ∈ (3, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−3, 0) lub x ∈ (0, 3) maleje, w

x = 0

funkcja nie jest oke±lona, x = −3 maksimum lokalne, x = 3 minimum lokalne

5

jk) dla x ∈ (−∞, −2) lub x ∈ (2, +∞) funkcja ro±nie, dla x ∈ (−2, 0) lub x ∈ (0, 2) maleje,

w x = 0 funkcja nie jest oke±lona, x = −2 maksimum lokalne, x = 2 minimum lokalne

Zadanie 5.

a) dla x ∈ (−∞, 2) funkcja wkl¦sªa, dla x ∈ (2, +∞) wypukªa, x = 2 punkt przegi¦cia

b) dla x ∈ (−1, 0) funkcja wkl¦sªa, dla x ∈ (−∞, −1) lubx ∈ (0, +∞) wypukªa, x = −1

punkt przegi¦cia, x = 0 nie nale»y do dziedziny funkcji

c) funkcja wypukªa na R, brak punktu przegi¦cia

d) funkcja wypukªa na R, brak punktu przegi¦cia

e) dla x ∈ (−∞, 0) funkcja wkl¦sªa, dla x ∈ (0, +∞) wypukªa, x = 0 nie nale»y do dziedziny

f) dla x ∈ (−∞, −1) funkcja wkl¦sªa, dla x ∈ (−1, +∞) wypukªa, x = −1 punkt przegi¦cia

g) dla x ∈ (−1, +∞) funkcja wkl¦sªa, dla x ∈ (−∞, −1) wypukªa, x = −1 nie nale»y do

dziedziny

Zadanie 6.

a) -2

b) ln a − ln b

c) 0

d) -1

e) 1

f) 2

g)

1
6

h) e

3

i)

1
3

j)

1
e

k)

√

ab

l)

2

π

m) z prawej + ∞, z lewej − ∞

n) +∞

o) +∞

p) 1

r) −

1
2

s) 0

t) -2

u) 0



6