1
Wykład VIII: Ciągi i szeregi
Definicja ciągu liczbowego
Granica ciągu liczbowego
Szeregi liczbowe
Kryteria zbieżności szeregów
Przykłady
2
Ciągi liczbowe
Jeżeli każdej liczbie naturalnej n przyporządkujemy jedną
liczbę rzeczywistą a
n
, to określimy
nieskończony ciąg
liczbowy
. Ciąg nieskończony zapisujemy w postaci:
K
L
,
,
,
,
2
1
n
a
a
a
{ }
N
n
n
a
∈
lub
Liczby a
1
,a
2
,… nazywamy wyrazami ciągu, symbol a
n
nazywamy wyrazem ogólnym tego ciągu.
Ciąg {a
n
}
posiada granicę
g
, tzn. lim a
n
=g, gdy n→∞,
jeżeli dla każdej liczby dodatniej ε istnieje taka liczba
naturalna n
0
dla której zachodzi:
ε
<
−
∀
>
g
a
n
n
n
0
3
Ciąg {a
n
} może posiadać granicę nieskończoną, tzn.
lim a
n
=∞, gdy dla każdej liczby M>0 istnieje taka liczba
naturalna n
0
dla której zachodzi:
M
0
>
∀
>
n
n
n
a
Ciąg {a
n
} posiada granicę minus nieskończoną, tzn.
lim a
n
=-∞, gdy dla każdej liczby M>0 istnieje taka liczba
naturalna n
0
dla której zachodzi:
M
0
−
<
∀
>
n
n
n
a
Uwaga:
Nie każdy ciąg posiada granicę. Ciąg nieskończony, który
posiada granicę skończoną nazywamy ciągiem zbieżnym.
Wszystkie inne ciągi nazywamy ciągami rozbieżnymi, w
szczególności ciągi, których granica wynosi + ∞ lub - ∞.
4
Przykład 1.
Wyznaczyć pierwsze wyrazy ciągu
oraz obliczyć jego granicę.
8
2
3
5
3
2
2
2
+
−
+
−
=
n
n
n
n
a
n
Rozwiązanie:
444
,
0
9
4
8
2
3
5
3
2
1
≅
=
+
−
+
−
=
a
438
,
0
16
7
8
2
2
4
3
5
2
3
4
2
2
=
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
a
483
,
0
29
14
8
3
2
9
3
5
3
3
9
2
3
≅
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
a
3
2
8
2
3
5
3
2
lim
8
2
3
5
3
2
lim
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
−
+
−
=
+
−
+
−
=
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n
n
n
n
Dzielimy licznik i mianownik
przez n do najwyższej potęgi
występującej w mianowniku
5
Przykład 2.
Wyznaczyć pierwsze wyrazy ciągu
oraz obliczyć jego granicę.
n
n
n
a
n
2
5
4
2
−
+
=
Rozwiązanie:
1
2
5
4
1
=
−
+
=
a
099
,
1
4
099
,
5
4
10
16
2
=
−
≅
−
+
=
a
(
)
+
+
+
+
⋅
−
+
=
−
+
=
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n
n
n
n
2
5
4
2
5
4
1
2
5
4
lim
2
5
4
lim
lim
2
2
2
2
141
,
1
6
141
,
7
6
15
36
3
=
−
≅
−
+
=
a
25
,
1
4
5
2
2
5
2
5
4
5
lim
2
5
4
4
5
4
lim
2
2
2
2
2
2
=
=
+
=
+
+
=
+
+
−
+
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
W celu pozbycia się
pierwiastka
mnożymy przez
specjalną jedynkę
6
Własności ciągów liczbowych
Nieskończony ciąg liczbowy {a
n
}
n∈N
jest ciągiem rosnącym
jeżeli spełnia on warunek:
0
1
>
−
∀
+
∈
n
n
N
n
a
a
Nieskończony ciąg liczbowy {a
n
}
n∈N
jest ciągiem
malejącym jeżeli spełnia on warunek:
Nieskończony ciąg liczbowy {a
n
}
n∈N
nazywamy ciągiem
geometrycznym jeżeli wyrazy tego ciągu spełniają
warunek:
)
(
1
const
q
q
a
a
n
n
N
n
=
=
∀
+
∈
gdzie q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
0
1
<
−
∀
+
∈
n
n
N
n
a
a
7
Nieskończony ciąg liczbowy {a
n
} nazywamy ciągiem
arytmetycznym jeżeli wyrazy tego ciągu spełniają warunek:
)
(
1
const
r
r
a
a
n
n
N
n
=
=
−
∀
+
∈
gdzie r nazywamy różnicą w ciągu arytmetycznym.
Liczba Eulera e jest granicą ciągu nieskończonego
Liczba Eulera
n
n
n
a
+
=
1
1
...
71828
,
2
1
1
lim
lim
≅
+
=
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
a
e
8
Szeregi liczbowe
,
1
1
a
S =
Sumy
,
2
1
2
a
a
S
+
=
,
3
2
1
3
a
a
a
S
+
+
=
∑
=
=
+
+
=
n
i
n
n
n
a
a
a
S
1
1
L
Szeregiem liczbowym nieskończonym
nazywamy sumę
nieskończoną wyrazów ciągu liczbowego {a
n
}, tzn.
,
1
∑
∞
=
n
n
a
nazywamy sumami cząstkowymi szeregu.
………………………
………………………
∑
∑
∞
=
=
∞
→
∞
→
=
=
=
1
1
lim
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
S
S
Szereg liczbowy jest zbieżny jeśli istnieje
skończona granica
9
Kryteria zbieżności szeregów liczbowych
Warunek ten nie jest jednak wystarczający!
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu liczbowego
jest zbieżność wyrazu a
n
do zera, tzn.
.
0
lim
=
∞
→
n
n
a
,
1
∑
∞
=
n
n
a
Poznamy najczęściej stosowane kryteria zbieżności
szeregów liczbowych.
Kryterium d’Alemberta
A1.
Szereg liczbowy
o wyrazach dodatnich,
tzn. a
n
>
0 dla każdego n, jest zbieżny jeśli
,
1
∑
∞
=
n
n
a
.
1
lim
1
<
+
∞
→
n
n
n
a
a
A2.
Szereg liczbowy
o wyrazach dodatnich,
tzn. a
n
>
0 dla każdego n, jest rozbieżny jeśli
,
1
∑
∞
=
n
n
a
.
1
lim
1
>
+
∞
→
n
n
n
a
a
10
Kryterium Cauchy’ego
,
1
∑
∞
=
n
n
a
.
1
lim
<
∞
→
n
n
n
a
C1.
Szereg liczbowy
o wyrazach dodatnich,
tzn. a
n
>
0 dla każdego n, jest zbieżny jeśli
,
1
∑
∞
=
n
n
a
C2.
Szereg liczbowy
o wyrazach dodatnich,
tzn. a
n
>
0 dla każdego n, jest rozbieżny jeśli
.
1
lim
>
∞
→
n
n
n
a
Uwaga: Jeśli
wówczas kryterium d’Alemberta
nie daje odpowiedzi czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.
Jeśli
wówczas kryterium Cauchy’ego nie daje
odpowiedzi czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.
1
lim
1
=
+
∞
→
n
n
n
a
a
,
1
lim
=
∞
→
n
n
n
a
11
Kryterium porównawcze
∑
∞
=
1
n
n
a
Dla dwóch szeregów
i
, którego wyrazy
spełniają warunek 0<a
n
<b
n
, zachodzi
∑
∞
=
1
n
n
b
∑
∞
=
1
n
n
b
∑
∞
=
1
n
n
a
P1.
jeśli szereg
jest zbieżny to szereg
jest
także zbieżny.
∑
∞
=
1
n
n
a
∑
∞
=
1
n
n
b
P2.
jeśli szereg
jest rozbieżny to szereg
jest także rozbieżny.
12
Ważne szeregi
L
+
+
+
+
=
−
∞
=
−
∑
1
2
1
1
n
n
n
aq
aq
aq
a
aq
1. Szereg
potęgowy
:
Szereg potęgowy jest zbieżny, gdy |q|<1, wówczas
q
a
aq
S
n
n
−
=
=
∑
∞
=
−
1
1
1
L
L
+
+
+
+
+
=
∑
∞
=
n
n
n
1
3
1
2
1
1
1
1
2. Szereg
harmoniczny
:
jest rozbieżny do +∞.
∑
∞
=
α
1
1
n
n
3. Szereg
harmoniczny rzędu α
α
α
α
(α>0)
:
- jest zbieżny dla α>1
- jest rozbieżny dla α≤1.
13
Szeregi o wyrazach dowolnych
Szereg liczbowy o wyrazach naprzemian dodatnich
i ujemnych nazywamy
szeregiem przemiennym
.
Szereg taki możemy zapisać w postaci:
gdzie
a
n
są nieujemne dla każdego n.
,
)
1
(
1
1
∑
∞
=
+
−
n
n
n
a
,
)
1
(
1
1
∑
∞
=
+
−
n
n
n
a
Jeśli w szeregu liczbowym przemiennym
wyrazy a
n
od pewnego miejsca k tworzą ciąg malejący, tzn.
a
k
≥a
k
+1
≥
…≥a
n
≥
… oraz a
n
→
0, wówczas szereg przemienny
jest zbieżny.
Szereg
anharmoniczny
:
jest zbieżny (wynika to z kryterium Leibniza).
( )
( )
L
L
+
−
+
+
+
−
=
−
+
∞
=
+
∑
n
n
n
n
n
1
1
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
Kryterium Leibniza
14
Kryterium bezwzględnej zbieżności
∑
∞
=
1
n
n
a
Szereg liczbowy
jest zbieżny bezwzględnie jeśli szereg
jest zbieżny. Szereg jest zbieżny jeśli jest zbieżny
bezwzględnie.
∑
∞
=
1
n
n
a
Przykład 3.
Zbadać zbieżność szeregów:
i
∑
∞
=
1
!
2
n
n
n
( )
∑
∞
=
−
1
2
1
n
n
n
n
n
∑
∞
=
1
!
2
n
n
n
Ad)
!
2
n
a
n
n
=
(
)
(
)
1
!
2
2
!
1
2
1
1
+
⋅
=
+
=
⇒
+
+
n
n
n
a
n
n
n
(
)
1
0
2
!
1
!
2
2
lim
lim
1
<
=
⋅
+
⋅
=
∞
→
+
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
Szereg zbieżny!
Wykorzystamy kryterium d’Alemberta
15
( )
∑
∞
=
−
1
2
1
n
n
n
n
n
Ad)
n
n
n
n
a
2
=
1
0
2
lim
2
lim
lim
<
=
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
a
n
n
n
n
n
n
n
n
Szereg jest zbieżny!
Zbadamy bezwzględną zbieżność szeregu,
wykorzystując kryterium Cauchy’ego:
16
Zadania do rozwiązania:
(
)
∑
∞
=
+
1
!
1
2
2
n
n
n
n
∑
∞
=
+
+
1
4
5
3
2
n
n
n
n
∑
∞
=
1
2
5
3
n
n
n
n
(
)
∑
∞
=
+
1
!
1
4
3
!
n
n
n
n
n
∑
∞
=
1
10
10
n
n
n
1. Wyznaczyć pierwsze wyrazy ciągów i obliczyć granice:
2. Zbadać zbieżność szeregów:
2
6
3
2
+
−
=
n
n
a
n
n
n
n
n
b
n
2
5
3
4
2
2
2
−
+
+
=
n
n
n
n
c
n
5
2
3
3
2
+
+
−
=
7
5
2
5
2
2
3
−
+
−
+
=
n
n
n
n
d
n
(
)
∑
∞
=
+
+
1
1
3
2
1
n
n
n
n
n
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ciagi i szeregi zespolone
24 ciagi i szeregi funkcyjne 6 3 szeregi fouriera
ciagi i szeregi
22 ciagi i szeregi funkcyjne 6 1 ogolne wlasnosci ciagow i szeregow funkcyjnych
zagadnienia, punkt 12, XII Ciągi i szeregi funkcyjne - zbieżność punktowa i jednostajna
W 1 Funkcje ciągi szeregi
ciagi i szeregi
14 Rozdział 13 Ciągi i szeregi funkcji
ciagi i szeregi, geometryczne, algebraiczne, inne
ciagi i szeregi
23 ciagi i szeregi funkcyjne 6 2 szeregi potegowe
Koła dokoła, ciągle ciągi i szeregi całą dobę człowiek tyra, od tira, kurwa do tira
ciagi szeregi, Ściągi dla studentów, Matematyka
ciagi i szeregi zespolone
więcej podobnych podstron