Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.
Jeżeli f ( n) = a dla n = 1, 2, ..., to ciąg zapisujemy symbolem {a n
n}, przy
czym liczbę an nazywamy n-tym wyrazem tego ciągu.
Jeżeli wartości te są liczbami rzeczywistymi, to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.
1
Metody określenia ciągów liczbowych
1. podanie kilku wyrazów ciągu
2. podanie wzoru na n-ty wyraz
3. wzór rekurencyjny.
2
Ciąg liczbowy {an} jest rosnący (niemalejący) wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ a
a
∀ a
a
n ≤
n <
n 1
+
∈
(
n 1
+ ).
n N
∈
n N
Ciąg liczbowy {an} jest malejący (nierosnący) wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ a
a
∀ a
a
n ≥
n >
n+1
∈
(
n 1
+ ).
n N
∈
n N
3
Ciąg liczbowy jest ograniczony z dołu, gdy zbiór jego wartości jest ograniczony z dołu, tzn. ∃ ∀ a ≥ M
n
M ∈
.
R n∈ N
Ciąg liczbowy jest ograniczony z góry, gdy zbiór jego wartości jest ograniczony z góry, tzn. ∃ ∀ a ≤ M
n
M ∈
.
R n∈ N
Ciąg jest ograniczony, gdy jest ograniczony z dołu i z góry, ∃ ∀ a ≤ M
n
M ∈
.
R n∈ N
4
lim
=
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą ciągu {a a
n} i piszemy
g
n
(lub
n→∞
a
p
rzy
∀ ∃ ∀ an − g <
n → g
n → ∞ ), gdy
ε
ε >
.
0 δ n >δ
− ε < an − g < ε
g − ε < an < g + ε
lim
=
Ciąg {a
g ∈
a
n} nazywamy zbieżnym, gdy istnieje
R takie, że
g
n
.
n→∞
czyli:
Ciąg mający granicę nazywamy zbieżnym, ciąg niemający granicy nazywamy rozbieżnym.
5
Jeżeli istnieją granice:
lim a = a
lim b =
n
i
b
n
,
n→∞
n→∞
to istnieją również granice:
1. lim( a ± c) = lim( a ) ± c = a ± c n
n
dla stałej c ∈ R ;
n→∞
n→∞
2. lim( c ⋅ a ) = c ⋅ a
n
dla stałej c ∈ R ;
n→∞
3. lim ( a ± b ) = a ± b n
n
;
n→∞
4. lim ( a ⋅ b ) = a ⋅ b n
n
;
n→∞
a
a
lim n = (
b ≠ 0)
5. n→∞ b
b
.
n
6
Twierdzenie (o trzech ciągach)
lim
= lim =
lim
=
Jeżeli
a
c
g
∃ ∀
≤ ≤
b
n
n
oraz
a
b
c
n
.
n→∞
n→∞
n
n
n
k∈
, to
g
N n≥ k
n→∞
Przykład
Obliczy
n
ć granicę ciągu
n
n
a = 2 + 3
n
.
n
Korzystając z tego, że lim a = 1, gdy a > 1, oraz z nierówności n→∞
n
n
n
n
n
n
n
n
3 < 2 + 3 < 3 + 3 , prawdziwej dla każdego n, otrzymujemy n
n
n
n
n
3 < 2 + 3 < 3 2 .
Ponieważ granicą ciągów {3}, { n n
3 2 } jest liczba 3, więc ciąg {an} ma
również granicę 3.
7
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym różnica między dowolnym wyrazem ciągu (oprócz wyrazu pierwszego), a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała. Różnicę tę nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Niech {an} będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy d. Prawdziwe są zdania:
∀ a = a + ( n − )
1 d
n
1
n∈
,
N
1
∀ a
a
a
n =
( n +
)
−
n +
∈
,
n N \ }
1
{
2
1
1
∀
1
S = a 1 + a 2 + ... + a = ( a 1 + a ) ⋅ n n
n
n
.
n∈ N
2
Symbol Sn oznacza n-tą sumę częściową ciągu.
8
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, w którym stosunek dowolnego wyrazu (oprócz pierwszego) do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały. Wartość tego stosunku nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Niech {an} będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Wtedy n 1
∀ a
a q
n =
⋅ − g
, dzie a
≠ 0
1
1
∈
,
n N
2
∀ a
a
a
n =
n − ⋅
g
, dzie a
+
≠ 0
1
1
1
∈
n
,
n N \ }
1
{
1− n
∀ Sn = a + a +
q
... + an = a ⋅
g
, dzie q
≠ 1∧ q ≠ 0
1
2
1
∈
.
n N
1− q
Symbol Sn oznacza n-tą sumę częściową ciągu geometrycznego. Ciąg
{ Sn} ma wyrazy S1=a1, S2=a1+a2, ..., Sn=a1+...+an, ... i nazywamy go ciągiem sum częściowych.
9
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego Jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny, to jego granicę nazywamy sumą nieskończonego ciągu geometrycznego i oznaczamy symbolem S,
=
czyli S
lim Sn .
n→∞
Twierdzenie
Jeżeli |q|<1, to ciąg { Sn} jest zbieżny oraz a
S =
1
1 − q .
10
Ciąg {Sn} sum częściowych ciągu {an} nazywamy szeregiem.
Szereg liczbowy {Sn} nazywamy zbieżnym, gdy ciąg {S n} jego sum częściowych S = a 1 + a + ...
2
+ a
n
n jest zbieżny.
n
∞
S = lim S
a
a
n = lim ∑
k = ∑
W tym przypadku granicę
n→∞
n→∞
k nazywamy sumą
k =1
k =1
szeregu.
Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.
11
Oprocentowanie proste i składane
Oprocentowanie proste polega na tym, że po każdym zakończonym okresie oszczędzania odsetki są wypłacane. Kolejne odsetki obliczane są znowu tylko od kwoty kapitału początkowego.
Jeżeli przyjmiemy oznaczenia: K0 – kapitał początkowy, r – stopa procentowa, n – liczba okresów oszczędzania, to kapitał w następnym okresie będzie równy:
K = K + K r = K 1
( + r)
1
0
0
0
12
Kapitał w okresach następnych (przy założeniu, że odsetki z wcześniejszych okresów nie zostały wydane, a jedynie przelane na rachunek bieżący, nieoprocentowany) będzie wynosił:
K = K + K r + K r = K 1
( + 2 r)
2
0
0
0
0
,
......................................................., Kn = K 1
( + nr) , g
dzi
e n ∈ N ∪ }
0
{
0
.
Oznacza to, że kapitał rośnie z roku na rok w tempie arytmetycznym o różnicy d = K0r.
Przykład
Oblicz wartość posiadanych pieniędzy, jeżeli założyłeś roczną, odnawialną lokatę 1000 zł, roczna stopa procentowa wynosi 5 %, czas oszczędzania wynosi 3 lata, a odsetki po każdym roku przelewane są na nieoprocentowany rachunek bieżący.
K = K 1
( + 3 r) = 1000 ⋅ 1
( + 3⋅ ,
0 0 )
5 = 1150
3
0
.
13
Oprocentowanie składane polega na tym, że po każdym zakończonym okresie oszczędzania odsetki dopisywane są do kapitału, więc odsetki w następnym okresie obliczane są od większej kwoty:
K = K + K r = K 1
( + r)
1
0
0
0
2
K = K 1
( + r) = K 1
( + r) ⋅ 1
( + r) = K 1
( + r)
2
1
0
0
,
......................................................., W takim sposobie oprocentowania kwoty K0, K1, ..., Kn tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q = 1 + r, czyli: n
K = K 1
( + r)
n
0
Przykład
Oblicz wartość posiadanych pieniędzy, jeżeli założyłeś roczną, odnawialną lokatę 1000 zł, roczna stopa procentowa wynosi 5 %, czas oszczędzania wynosi 3 lata, a odsetki po każdym roku dopisywane są do kwoty kapitału zdeponowanego na lokacie.
K = K 1
( + r)3 = 1000 ⋅ 1
( + ,
0 0 )
5 3 = 1157,62
3
0
.
14
Stopa procentowa podawana jest generalnie jako roczna nominalna stopa procentowa, dlatego aby obliczyć stopę procentową dla danego okresu należy podzielić roczną nominalną stopę procentową przez liczbę okresów kapitalizacji w ciągu roku
r n⋅ m
K
= K 1
(
)
n⋅
0
+
m
m
.
Przykład
Oblicz ile otrzymasz pieniędzy po roku oszczędzania, jeżeli założyłeś lokatę 10000 zł, o oprocentowaniu rocznym 8%, kapitalizowaną kwartalnie.
,
0 08
K ⋅ = 10000 1
( +
)1⋅4 = 10000 ⋅ ,
1 0824321 = 10824 3
, 2
1 4
4
15
W przypadku granicznym, gdy liczba okresów kapitalizacji zmierza do nieskończoności ( m → ∞ ), otrzymujemy model kapitalizacji ciągłej.
Po t latach wartość lokaty K0 będzie wynosić: r t
⋅
m
r
r
1
t⋅ m
r t
K = lim K 1
(
)
lim 1
0
+
= K
0 ⋅
+
= K 0 ⋅ e ⋅
t
m→∞
m
m
,
r
gdzie e jest podstawą logarytmu naturalnego, korzystając ze wzoru n
1
lim 1 +
= e
n →∞
n
.
16
Udzielony kredyt w wysokości L należy spłacić płatnościami P1, P2, ..., Pn na końcu okresów (lat, kwartałów, miesięcy). Wartości obecne obu strumieni muszą być sobie równe. Jeżeli stopa procentowa kredytu za jeden okres wynosi r, to
P
P
P
1
2
n
L =
+
+ ...+
2
n
1 + r
1
( + r)
1
( + r) ,
= n
P
L
∑
k
czyli
k
k =1 1
( + r) .
Aby ustalić plan spłaty kredytu należy zdecydować czy stałe mają być raty kapitałowe, czy kwoty płatności.
17
Spłata kredytu w równych kwotach płatności Spłata kredytu w równych kwotach płatności następuje wtedy, gdy suma raty kapitałowej za dany okres i odsetek za ten sam okres jest taka sama w każdym okresie, tzn.
P = Kk +Rk, dla każdego k = 1, 2, ..., n, gdzie n oznacza liczbę okresów płatności, Kk – spłatę kapitału, Rk – odsetki.
Jeżeli kwota kredytu równa jest L, to spłatę kredytu gwarantuje równość
= n
P
L
∑
k
k =1 1
( + r) .
Składniki powyższej sumy tworzą ciąg geometryczny o wyrazie P
1
a
q =
1 =
pierwszym
1+ r oraz ilorazie
1+ r .
18
Zgodnie ze wzorem na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego n
1
1−
P
1+ r
L =
⋅
1+ r
− 1
1
,
1+ r
a po przekształceniach
(1+ r) n −1
L = P ⋅
n
r ⋅ 1
( + r) .
Mając daną kwotę kredytu, stopę procentową oraz liczbę płatności, można ustalić wysokość płatności
r ⋅ (1+ r) n
P = L ⋅ 1(+ r) n −1 .
19