ANALIZA MATEMATYCZNA. ĆWICZENIA

Teoria Liczb Rzeczywistych

ALEXANDER DENISJUK

1. Metoda Indukcji Matematycznej

Zadanie 1.1. 1 + 2 + · · · + n =

n

(n+1)

2

.

Zadanie 1.2. 1

2

+ 2

2

+ · · · + n

2

=

n

(n+1)(2n+1)

6

.

Zadanie 1.3. 1

3

+ 2

3

+ · · · + n

3

= (1 + 2 + · · · + n)

2

.

Zadanie 1.4. Nierówność Bernoulliego: (1 + x

1

)(1 + x

2

) . . . (1 + x

n

) >

1 + x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

, gdzie

(1) x

i

są liczbami rzeczywistymi, x

i

∈ [0, +∞),

(2) x

i

są liczbami rzeczywistymi, x

i

∈ (−1, 0].

2. Liczby niewymierne

Zadanie 2.1. Udowodnij niewymierność liczb:

√

3,

√

6,

3

√

2.

3. Kresy zbiorów

Zadanie 3.1. Niech A będzie zbiorem liczb wymiernych postaci m/n,
gdzie m i n są liczbami całkowitymi oraz 0 < m < n. Czy A ma element
największy? najmniejszy? Oblicz sup A, inf A.

Brak najmniejszego

i największego elementów, sup A = 1, inf A = 0

Zadanie 3.2. −A = { −x | x ∈ A } Udowodnij, że

(1) inf(−A) = − sup A,
(2) sup(−A) = − inf A.

Zadanie 3.3. A + B = { x + y | x ∈ A, y ∈ B } Udowodnij, że

(1) inf(A + B) = inf A + inf B,
(2) sup(A + B) = sup A + sup B.

Zadanie 3.4. A · B = { xy | x ∈ A, y ∈ B }. Niech ∀x ∈ A ⇒ x > 0,
∀y ∈ B ⇒ y > 0. Udowodnij, że

(1) inf(A · B) = inf A · inf B,
(2) sup(A · B) = sup A · sup B.

4. Wartość bezwzględna

Zadanie 4.1. Udowodnij, że

(1) |x − y| >





|x| − |y|





,

(2) |x + x

1

+ · · · + x

n

| > |x| − (|x

1

| + · · · + |x

n

|).

1

2

ALEXANDER DENISJUK

Nierówności:

Zadanie 4.2. |x + 1| < 0, 01.

(−1,01; −0,99)

Zadanie 4.3. |x − 2| > 10.

(−∞; −8] ∪ [12; +∞)

Zadanie 4.4. |x| > |x + 1|.

(−∞, −

1
2

)

Zadanie 4.5. |2x − 1| < |x − 1|.

(0,

2
3

)

Zadanie 4.6. |x + 2| + |x − 2| 6 12.

[−6, 6]

Zadanie 4.7. |x + 2| − |x| > 1.

(−

1
2

,

+∞)

Zadanie 4.8.





|x + 1| − |x − 1|





< 1.

(−

1
2

,

1
2

)

Zadanie 4.9. |x(1 − x)| < 0,05.



5−

√

30

10

,

5−

√

20

10



∪



5+

√

20

10

,

5+

√

30

10



Zadanie 4.10. Udowodnij:

x + |x|

2

!

2

+

x − |x|

2

!

2

= x

2

.

5. Obliczenia przybliżone

Zadanie 5.1. Który z dwóch pomiarów jest dokładniejszy: 10 cm ±
0,5 mm czy 500 km ± 200 m?

drugi

Zadanie 5.2. Ile poprawnych cyfr zawiera zapis x = 2,3752, jeżeli
względny bląd wynosi 1 %?

dwie

Zadanie 5.3. Oszacować względny i bęzwzględny błędy pomiaru x =
12,125, jeżeli zawiera on 3 poprawne cyfry.

0,41%

Zadanie 5.4. Boki prostokąta równe są

x = 2,50 cm ± 0,01 cm, y = 4,00 cm ± 0,02 cm.

W jakim przedziale zawarte jest pole powierzchni tego prostokąta? Jaki
jest błąd względny i bezwzględny, jeżeli za przybliżenie przyjąć iloczy
średnich wartości boków?

9,9102 cm

2

6

S 6

10,0902 cm

2

, ∆ 6 0,0902 cm

2

,

δ 6

0,91%

Zadanie 5.5. Promień koła równy jest r = 7,2 m ± 0,1 m. Z jaką
dokładnością można obliczyć pole tego koła, jeżeli przyjąć π = 3,14?

δ 6

3,05%

Zadanie 5.6. Boki prostopadłościana równe są

x = 24,7 m ± 0,2 m, y = 6,5 m ± 0,1 m, z = 1,2 m ± 0,1 m.

W jakim przedziale zawarta jest objętość tego prostopadłościana? Jaki
jest błąd względny i bezwzględny, jeżeli za przybliżenie długości boków
przyjąć średnie wartości?

172,480 m

3

6

V 6

213,642 m

3

, V = 192,660 ± 20,982 m

3

,

δ ≈

12%

ANALIZA MATEMATYCZNA. ĆWICZENIA

Teoria Liczb Rzeczywistych

3

Zadanie 5.7. Jaki powinien być względny błąd pomiaru boka kwadra-
tu x (2 m < x < 3 m), żeby można było obliczyć pole tego kwadratu
z dokładnością 0,001 m

2

?

∆ 6 0,17 mm

Zadanie 5.8. Jakie powinny być bezwzględne błędy pomiaru boków
prostokątu x i y, żeby można było obliczyć pole tego prostokątu z do-
kładnością 0,01 m

2

, jeżeli wiadomo, że boki są nie większe od 10 m?

∆ 6 0,0005 m

Zadanie 5.9. Udowodnij, że

δ(xy) 6 δ(x) + δ(y) + δ(x)δ(y),

gdzie δ jest błędem względnym.

Literatura

[1] Demidowicz B. P.: Zbiór zadań z analizy matematycznej; Naukowa Książka;

Lublin. 1992.