Liczby zespolone
w
1. Wiedz ¾
ac, ·
ze z = 3 i; w = 2+4i liczb ¾
e
+Re
z2 w
+jw + zj przedstaw
z + 1
w postaci kartezjańskiej.
2. Dla jakich rzeczywistych liczb x i y zachodzi równość x
4 + (y
1) i = 2 + j3 4iji?
1 + i
3. Rozwi ¾
a·
z równanie (1
i) z = (3
i) z + 2 + 3i ; z 2 C.
4. Przedstaw w postaci kartezjańskiej nast ¾
epuj ¾
ace liczby zespolone:
p
2003
16i (1 + i)5
(1 + i)3
3
i
2
i
a) 1 +
3i
;
d)
p
;
g)
;
3
3 + i
(2
3i)3
2 + i
3 + i
p !20
1 +
3i
1 p
1
24
p
p
p
p
26
b)
;
e)
1 +
3 + i
;
h)
6 +
2 +
6
2 i
;
1
i
2
2
4
12
(1 + i)100
p
p
p
p
17
c)
p
;
f)
;
i)
2 +
2 +
2
2 i
:
3i
1
(1
i)96
i (1 + i)98
p
5. Oblicz 3 z, je·
zeli
p 4
p
2
a) 1
i 3
z = ( i)10
b)
3 + i
z = i17 (1 + i)12 :
6. Wyznacz wszystkie liczby zespolone z, dla których: p
1
i
3 + i
a) z2 = 5
12i;
b) z6 = p
;
c) (z + i)3 =
p :
3 + i
1 +
3i
7. Jednym z pierwiastków ósmego stopnia z liczby zespolonej z jest w = 1
i.
p
Wyznacz z oraz 8 z.
1
i 3
2 + i5
2
8. Znajdź Re (z) oraz Im (z), je·
zeli: a) z =
, b) z =
.
1 + i
1 + i19
9. Wyznacz miejsca zerowe wielomianu W : C ! C określonego wzorem: (a) W (z) = (2 + i) z2
(5
i) z + 2
2i;
(b) W (z) = z2 + (2i
7) z + 13
i;
(c) W (z) = iz2 + iz + i + 1;
194
(d) W (z) = (4iz
7i3) 3z2
13z +
;
12
(e) W (z) = (z2
3 + 4i) (z3 + z2 + z + 1) ;
1
(f) W (z) = (z4 + 5z2 + 4) (z2 + z + 1) ; (g) W (z) = z3
z2
(3 + 2i) (z2
z) + (5 + i) (z
1) ;
(h) W (z) = (z3 + iz2 + 2z + 2i) (z2 + 4z + 29) ; 10
(i) W (z) =
3iz +
(z2
5iz
6) ;
1 + i
p
3i
(j) W (z) = (z2 + 16) z2
2 (1 + i) z +
;
2
(k) W (z) = (z
4)2
2i;
(l) W (z) = iz5
64z2:
10. Zbadaj, dla jakich m 2 R cz¾
eści urojone pierwiastków równania (m + 5) z2
2mz + m + 1 = 0;
z 2 C
s ¾
a liczbami ró·
znymi od zera.
11. Zbadaj, dla jakich wartości k 2 C pierwiastki równania z2
2 (3 + i) z + k = 0;
z 2 C
s ¾
a liczbami równymi.
12. Naszkicuj na p÷
aszczyźnie zespolonej zbiory:
1
(a) A =
z 2 C n f0g : 1
< 2 ;
z
(b) B = fz 2 C : Im z = i4g ;
(c) C = fz 2 C : Im z = ig ;
(d) D = fz 2 C : jzj = Re zg ; (e) E = z 2 C : 2 Re z
Im z
1 Re z ;
2
(f) F = fz 2 C : jz
2j < 1; jzj < 2g ;
(g) G = fz 2 C : jz + ij
1; jz
ij
3g ;
(h) H = z 2 C : arg (z
1
2i) =
;
4
(i) I = fz 2 C : Im (z (1
i) + 3
i) < 2g ;
1
1
(j) J =
z 2 C n f0g : Re
;
z
2
(k) K = z 2 C : jz + 1j
1;
arg z
5
;
2
4
1
(l) L =
z 2 C n f0g : 0
Re
1 ;
z
4
4i
(m) M =
z 2 C n f0g : Im
1 :
z
2
13. Wyznacz zbiór Z = fz 2 C : z2
2iz + 3 = 0; jz
2 + ij > 2g.
14. Wyznacz pierwiastki równania z3 + 2z2 + z + 2 = 0 nale·
z ¾
ace do zbioru
A = fz 2 C : jzj = Re (z)g. Naszkicuj zbiór A.
15. Naszkicuj zbiór A = fz 2 C : Re (z 1) = 2 Re (z
4)g oraz wyznacz zbiory:
B = z 2 C : z2
2iz
2 (2z
14 + 6i) = 0 ; A \ B:
16. Naszkicuj zbiór A = fz 2 C n f4g : 1 < jzj 5g oraz wyznacz zbiory
B = fz 2 C : jzj + z = 8 + 4i; g ; A \ B; A n B: 17. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone sprz ¾
e·
zone do swojego: a) kwadratu,
b) sześcianu.
p
p
Odp. a) 0; 1;
1
3 i;
1 + 3i, b) 0;
1; 1;
i; i.
2
2
2
2
18. Wykazać, ·
ze
p !n
p !n
1 + i 3
1
i 3
2; je·
zeli n = 3 (k
1) dla pewnego k 2 N;
+
=
2
2
1; je·
zeli n = 3k
2
dla pewnego k 2 N.
3