L

ABORATORIUM FIZYCZNE

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

Przykład opracowania danych pomiarowych pomiaru

wartości przyśpieszenia ziemskiego metodą wahadła

prostego

opracował: Jan Kurzyk

2

Przykład opracowania danych pomiarowych pomiaru
wartości

przyśpieszenia

ziemskiego

metodą

wahadła

prostego

Na rysunku C.1 przedstawiono dane pomiarowe zebrane w trakcie wykonywania ćwiczenia nr 1:

„Wyznaczanie wartości przyśpieszenie ziemskiego metodą wahadła prostego”. W celu wykonania
pomiaru pośredniego wartości przyśpieszenia ziemskiego mierzymy okres tzw. małych drgań
wahadła oraz jego długość . Jeśli podczas pomiarów będziemy wprawiać wahadło w drgania o
wystarczająco małej amplitudzie (patrz analiza problemu w opisie ćwiczenia 1), to wartość
przyśpieszenia ziemskiego z dobrym przybliżeniem wyliczymy ze wzoru

= 4

.

Ćwiczenie 1. Dane pomiarowe

Czas 10. wahnięć

Długość nici

Średnica kulki

L.p.

= 10 [s]

L.p.

ℎ [cm]

L.p.

[mm]

1.

21,8

1.

118,2

1.

19,00

2.

22,0

2.

118,2

2.

19,00

3.

21,6

3.

118,0

3.

19,00

4.

21,9

4.

4.

5.

22,1

5.

5.

6.

21,9

6.

6.

7.

21,9

7.

7.

8.

21,8

8.

8.

9.

22,0

9.

9.

10. 21,7

10.

10.

[s]

ℎ[cm]

[mm]

0,05

0,2

0,005

Rys. C.1 Przykładowe dane pomiarowe zebrane w trakcie wykonywania ćwiczenia nr 1:
„Wyznaczanie wartości przyśpieszenie ziemskiego metodą wahadła prostego.

Uzasadnienie szacunków

Δ , Δℎ, Δ .

a)

Liczba pomiarów czasu 10. wahnięć wahadła upoważnia nas do policzenia niepewności
metodą A. Ten wkład do niepewności uwzględnia rozrzut statystyczny wyników pomiarów.
Pozostaje nam oszacowanie wkładu do niepewności uwzględniającego dokładność przyrządu
pomiarowego. Przyrządem pomiarowym był stoper o dokładności 0,1 s. Zasada działania tego
stopera (zakładając, że przyrząd jest sprawny technicznie) pozwala nam przyjąć, że odczytany
ze stopera czas nie różni się od rzeczywistego o więcej niż

0,1 s. Stąd przyjęta przez nas

połowa szerokości przedziału granicznego

Δ = 0,05 s.

UWAGA:

Należy zwrócić uwagę, że pisząc w poprzednim zdaniu o czasie rzeczywistym, mamy

na myśli czas pomiędzy momentem włączenia i wyłączenia stopera, co nie koniecznie musi

3

oznaczać faktyczny czas 10. wahnięć, gdyż względy subiektywnej oceny doboru momentów
startu i zakończenia pomiaru, a także czas reakcji obserwatora sprawiają, że często mierzony
czas nie odpowiada czasowi wymaganej liczby wahnięć (nie chodzi tu o zwykłe pomyłki typu
zmierzenia czasu 9. zamiast 10. wahnięć).

b)

Długość nici zmierzona była trzykrotnie, przy czym jeden z wyników różnił się o 0,2 cm od
pozostałych. Liczba pomiarów jest za mała, żeby rozrzut statystyczny wyników oszacować
metodą A. Gdyby zaobserwowany w serii 3. pomiarów rozrzut był duży, należałoby zwiększyć
liczbę pomiarów, aby móc zastosować metodę A. W naszej sytuacji możemy ograniczyć się do
metody B. Przedział graniczny powinien obejmować wszystkie pomiary (aktualne i
ewentualnie przyszłe), więc musi mieć szerokość co najmniej 0,2 cm (nasza różnica między
skrajnymi wartościami). Bezpiecznie jest jednak założyć, że przedział graniczny jest szerszy od
przypadku zaobserwowanego przez nas. W przedstawionej tabeli przyjęto arbitralnie, że
przedział graniczny jest dwukrotnie szerszy od naszego przypadku, dlatego przyjęto, że
połowa przedziału granicznego jest równa

Δℎ = 0,2 cm.

c)

Z tych samych powodów co w przypadku pomiaru długości nici, niepewność pomiaru średnicy
kulki musimy oszacować metodą B. Wszystkie wyniki pomiarów średnicy kulki były
identyczne, a zatem za połowę szerokości przedziału granicznego możemy przyjąć połowę
najmniejszej działki przyrządu, w tym przypadku śruby mikrometrycznej o najmniejszej
działce równej 0,01 mm. Stąd

Δ = 0,005 mm.

1.

Analiza pomiaru okresu drgań wahadła.

W celu wyznaczenia okresu drgań wahadła wykonano 10 pomiarów czasu trwania dziesięciu

wahnięć wahadła. Za wartość zmierzoną przyjmujemy średnią arytmetyczną wyników pomiarów,
która wynosi

̅ = 10 = 21,870 s,

Ponieważ

= 10

⁄ dostajemy

= ̅ 10

⁄ = 2,1870 s.

Wykonanie serii

10 pomiarów czasu daje podstawę do wyliczenia niepewności standardowej

metodą A. Wyliczona w ten sposób niepewność standardowa (odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej) pomiaru czasu wynosi

≈ 0,0473 s,

czyli niepewność standardowa pomiaru okresu jest równa

=

/10 ≈ 0,00473 s.

Zgodnie z analizą dokonaną w poprzednim punkcie, połowa szerokości przedziału granicznego
związanego z wkładem do niepewności pochodzącym od przyrządu pomiarowego wynosi

Δ =

0,05 s. Dodatkowo musimy założyć prostokątny rozkład gęstości prawdopodobieństwa (patrz. Uwaga
w punkcie 5.2.2). Wobec tego niepewność standardowa wyznaczona metodą B wynosi

"

=

0,05 s

√3

≈ 0,02887 s.

Stąd

"

=

"

10 ≈ 0,002887 s.

4

Sumując (zgodnie z regułą sumowania niepewności standardowych) niepewność obliczoną metodą A,
związaną ze stochastycznym rozrzutem wartości mierzonych oraz niepewność obliczoną metoda B
wynikającą z rozdzielczości stopera, dostajemy

$

= %

+

"

= 0,00554 s.

Po zaokrągleniu niepewności (do dwóch cyfr znaczących) i średniego okresu (do tego samego miejsca
rozwinięcia dziesiętnego co niepewność) ostatecznie dostajemy

= 2,1870 55 s.

2.

Analiza pomiaru długości wahadła

Długość wahadła złożonego z kulki zawieszonej na lekkiej (w porównaniu z kulką) nici jest

zdefiniowana jako odległość od punktu zawieszenia wahadła do środka ciężkości kulki. Pomiar tej
odległości w naszych warunkach wymagałby określenia „na oko” położenia środka kulki. Aby uniknąć
tego problemu wykonujemy pomiar pośredni długości wahadła. Mierzymy długość

ℎ nici i średnicę

kulki, a długość wahadła wyliczamy ze wzoru

= ℎ + 2

⁄ .

2.1

Analiza pomiaru długości nici

Pomiar długości nici wymaga staranności i pewnej wprawy. Taśmy mierniczej nie da się przyłożyć

bezpośrednio do nici co powoduje, że niepewność związana z odczytem jest większa niż najmniejsza
działka taśmy mierniczej (1 mm). Dla starannie wykonanego pomiaru długości nici można przyjąć, że
szerokość przedziału granicznego jest nie większa niż

3 ÷ 5 mm, czyli połowa tego przedziału jest

równa

Δℎ = 1,5 ÷ 2,5 mm. Zgodnie z analizą dokonaną pod rysunkiem C.1 przyjęliśmy Δℎ =

0,2 cm = 2,0 mm. Ponieważ nie mamy żadnych informacji o możliwym rozkładzie gęstości
prawdopodobieństwa wyników pomiarów załóżmy dla bezpieczeństwa rozkład prostokątny, czyli

ℎ = Δℎ √3

⁄

≈ 0,155 cm. Średnia wartość wyników pomiaru długość nici wynosi

ℎ = 118,133 cm.

Ostatecznie wynik pomiaru długości nici możemy zapisać w postaci

ℎ = 118,13 16 cm.

2.2

Analiza pomiaru średnicy kulki

Pomiar średnicy kulki wykonano śrubą mikrometryczną. Śruba mikrometryczna pozwala na

pomiar z dokładnością rzędu

0,01 mm. Dokładność tego pomiaru jest o dwa rzędy wielkości lepsza

od dokładności pomiaru długości nici. Wobec tego niepewność pomiaru średnicy kulki praktycznie
nie będzie miała wpływu na niepewność pomiaru długości wahadła i można ją z góry pominąć, ale
dokonajmy analizy tego pomiaru, żebyśmy mogli poprawnie zapisać wynik tego pomiaru.

Zgodnie z analizą dokonaną pod rysunkiem C.1 przyjmujemy

Δ = 0,005 mm. Przyjmując

trójkątny rozkład gęstości prawdopodobieństwa dostajemy niepewność standardową pomiaru

średnicy kulki

= Δ √6

⁄

≈ 0,00204 mm. Zapis pomiaru średnicy kulki w notacji skróconej

wygląda następująco (zwróćmy uwagę na 4 zera zapisane po przecinku – są one tu obowiązkowe)

5

Jeśli we wzorach, za pomocą których wyliczamy wartość wielkości mierzonej pośrednio znajdują
się stałe fizyczne lub matematyczne, to musimy użyć przybliżeń tych stałych zawierających co
najmniej o dwie cyfry znaczące więcej niż inne liczby występujące w tym wzorze.

= 19,0000 20 mm.

Możemy teraz wyliczyć długość wahadła (pamiętajmy o wpisaniu długości nici i średnicy kulki w tych
samym jednostkach)

̅ = ℎ + ̅ 2

⁄ = 119,0833 cm.

Złożoną niepewność standardową tego pomiaru wyliczymy ze wzoru

= %+ ℎ , + +1 2

⁄

, ≈ 0,115 cm.

Jak już zauważyliśmy niepewność tego pomiaru jest praktycznie równa niepewności pomiaru długości
nici.

Ostatecznie długość wahadła wynosi

= 119,08 12 cm.

3.

Analiza pomiaru wartości przyśpieszenia ziemskiego

Wartość przyśpieszenia ziemskiego otrzymana w wyniku naszego pomiaru pośredniego wynosi

̅ = 4

̅

≈ 4 ∙ 3,141593

0,11908 .

2,1870 s ≈ 9,8291 m/s .

Zwróćmy uwagę na przybliżenie liczby zastosowane w powyższych obliczeniach.
W naszym wzorze liczby wynikające z pomiarów znamy z dokładnością do 4 i 5 cyfr znaczących.
Dlatego popularne przybliżenie liczby

≈ 3,14 byłoby za mało dokładne. Powinniśmy użyć

przybliżenia liczby z dokładnością do minimum 7 cyfr znaczących.

Zgodnie z prawem propagacji niepewności, niepewność standardowa pomiaru pośredniego będzie
dana wzorem (patrz rozdz. 6, w szczególności przykłady 2 i 5)

= ̅ ∙ /0 ̅ 1 + 0−2 ∙

1 ,

czyli

= 9,8291

m

s

/3 0,12

119,084 + 3

2 ∙ 0,0055

2,1870 4 ≈ 0,0507

m

s .

Ostatecznie dostajemy

= 9,829 51

m

s .

Wynik ten wyznacza nam tzw. przedział objęcia o granicach

9,829

5

6

7

− 0,051

5

6

7

= 9,778

5

6

7

i

9,829

5

6

7

+ 0,051

5

6

7

= 9,880

5

6

7

, czyli

9,778, 9,880

5

6

7

. Tablicowa wartość przyśpieszenia ziemskiego

dla Krakowa wynosi

89:.

= 9,81054 m/s . Wartość ta mieści się w wyznaczonym przez nas

6

przedziale, więc w sensie teorii pomiarów nasz wynik pomiaru możemy uznać za zgodny z wynikiem
tablicowym z prawdopodobieństwem ok. 0,7.

Obliczenia najwygodniej jest przeprowadzać przy użyciu jakiegoś programu kalkulacyjnego.

Rysunek C.2 przedstawia widok arkusza obliczeniowego w programie MS Excel utworzonego dla
omówionego w tym rozdziale przykładu.

Ćwiczenie 1. Arkusz obliczeniowy

Okres drgań

wahadła

Długość nici

Średnica kulki

Długość wahadła

Przyspieszenie

ziemskie

Średnia

wartość okresu

Średnia długość

nici

Średnia długość

nitki

[cm]

=

m

s >

T

śr.

[s]

h

śr.

[cm]

d

śr.

[mm]

119,0833

9,8291

2,18700

118,133

19,0000

niepewność

liczonametodą

A

(jeśli liczba

pom.>4)

niepewność

liczona metodą A

(jeśli liczba

pom.>4)

niepewność

liczona metodą A

(jeśli liczba

pom.>4)

niepewność

złożona

cm

niepewność

złożona

m

s

?

s

?

ℎ cm

?

mm

0,11547

0,0507

0,004726

0,0000

0,00000

niepewność

względna proc.

niepewność

względna proc.

niepewność

liczona metodą B

niepewność

liczona metodą B

niepewność

liczona metodą B

· 100 %

∙ 100 %

B

s

B

ℎ cm

B

mm

0,10%

0,52%

0,002887

0,1155

0,00204

niepewność

złożona

niepewność

złożona

niepewność

złożona

Wartość tablicowa

g

Tab

dla Krakowa

s

ℎ cm

mm

0,00554

0,1155

0,00204

9,8105

m

s

niepewność

względna proc.

niepewność

względna proc.

niepewność

względna proc.

· 100 %

ℎ

ℎ · 100 %

· 100 %

0,25%

0,10%

0,011%

= 2,1870 55 s

ℎ = 118,13 12 cm

= 19,0000 20 mm

= 119,08 12 cm

= 9,829 51

m

s

Rys. C.2 Widok arkusza kalkulacyjnego utworzonego w programie MS Excel na potrzeby analizy
danych przedstawionych na Rysunku C.1.

Gdyby wartość tablicowa nie mieściła się w wyznaczonym przez nas przedziale należałoby

sprawdzić, czy mieści się w przedziale wyliczonym na podstawie niepewności rozszerzonej.
Negatywny wynik tego drugiego porównania sugerowałby, że podczas pomiaru lub obliczeń
popełniono jakieś błędy. W takim przypadku należy spróbować znaleźć błędy, które do tego
doprowadziły. W szczególności możemy sprawdzić dwie hipotezy:

7

a)

błąd pomiaru wynika z błędnego pomiaru długości wahadła.

b)

błąd pomiaru wynika z błędnego pomiaru okresu wahadła.

W pierwszym przypadku liczymy błąd

, jaki musiałby być popełniony podczas pomiaru długości

wahadła, jeśli okres zmierzony był dokładnie:

Δ = ̅ −

8CDE.

= ̅ −

89:F

4

.

W drugim przypadku liczymy błąd

, jaki musiałby być popełniony podczas pomiaru okresu wahadła

jeśli długość

̅ zmierzona była dokładnie:

= −

8CDE.

= − 2 /

̅

89:F.

.

4.

Przykład analizy wyników prowadzących do wartości

G niezgodnej z

wartością tablicową

Ćwiczenie 1. Dane pomiarowe

Czas 10. wahnięć

Długość nici

Średnica kulki

L.p.

= 10 [s]

L.p.

ℎ [cm]

L.p.

[mm]

1.

22,1

1.

118,2

1.

19,00

2.

21,8

2.

118,2

2.

19,00

3.

22,0

3.

118,0

3.

19,00

4.

21,8

4.

4.

5.

21,6

5.

5.

6.

21,9

6.

6.

7.

22,4

7.

7.

8.

22,2

8.

8.

9.

22,1

9.

9.

10. 21,9

10.

10.

[s]

ℎ[cm]

[mm]

0,05

0,1

0,005

Otrzymano następujące, końcowe wyniki pomiarów:

= 2,1980 78 s,

ℎ = 117,950 41 cm,

= 19,0000 20 mm,

= 118,900 41 cm.

Stąd dostajemy

= 9,638 69

m

s .

8

A zatem przedział objęcia jest równy

9,570; 9,707

m

s .

Wartość tablicowa nie mieści się w tym przedziale. Przedział objęcia oparty na niepewności
rozszerzonej

I

= J ∙

ze współczynnikiem rozszerzenia

J = 2 jest równy

9,501; 9,776

m

s

i nadal nie zawiera wartości tablicowej, chociaż jest przedziałem obejmującym ok. 95% rozkładu
prawdopodobieństwa wyników pomiaru wartości . Sprawdźmy zatem dwie hipotezy wymienione w
punkcie 3.

Według hipotezy a) popełniono błąd w pomiarze długości wahadła. Błąd ten musiałby wynosić:

Δ = −1,16 cm.

Jest mało prawdopodobne abyśmy pomylili się w pomiarze długości wahadła aż o 12 mm, chociaż
należałoby powtórzyć pomiar długości, aby zweryfikować tę hipotezę.

Według hipotezy b) popełniono błąd w pomiarze okresu wahadła. Błąd ten musiałby wynosić:

Δ = 0,011 s.

Oznacza to, że podczas pomiaru czasu trwania 10. wahnięć popełnialiśmy systematycznie błąd

Δ = 0,11 s.

Hipoteza b) wydaje się dość wiarygodna (patrz uwaga w punkcie a pod rysunkiem C.1). Należałoby
zatem przyjrzeć się naszemu sposobowi pomiaru, zauważyć nieprawidłowości w naszych pomiarach i
powtórzyć pomiary okresu wahadła z większą starannością. Można by również zwiększyć liczbę
wahnięć z 10. do np. 30.