Statystyczna analiza wyników pomiarów.

I. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest zapoznanie studenta ze statystyczną analizą wyników pomiarów, w szczególności: sposobami znajdowania i eliminacji wyników pomiarów obarczonych ”błędami grubymi”, wyznaczania i analizy składowych przypadkowej i systematycznej błędów pomiarów.

II. OPIS ĆWICZENIA

Ćwiczenie realizowane jest na przykładzie pomiarów wymiarów liniowych trójkąta, boków a, b, c oraz odpowiednich wysokości h_a, h_b, h_c. W trakcie ćwiczenia każdy student otrzymuje swój własny trójkąt oznaczony numerem n (n=1,2,...,N) oraz suwmiarkę o rozdzielczości 0.01 mm. Studenci mierzą swoje trójkąty, a następnie wymieniają je między sobą i mierzą trójkąty swoich kolegów. W rezultacie każdy student wypełnia tabelę, wzór poniżej, z pomiarami wszystkich trójkątów, które następnie wprowadza do komputera. Odpowiedni program komputerowy sporządza zbiorczy plik z pomiarami wszystkich studentów a inny program umożliwia każdemu studentowi wyselekcjonowanie wyników pomiarów jego trójkąta dokonanych przez wszystkich studentów w grupie. Program ten oblicza również pola trójkątów, wartości średnie i odchylenia standardowe boków, wysokości oraz pól.

Uwagi do wykonania ćwiczenia:

- Jeśli błąd systematyczny suwmiarki jest większy niż jej rozdzielczość, to wszystkie pomiary danego trójkąta powinny być wykonywane tą samą suwmiarką - należy więc wymieniać trójkąty wraz z suwmiarkami.

- Wynik pomiaru powinien zawierać wszystkie cyfry prezentowane na wyświetlaczu. Nie pomijać końcowych zer. Np. wynik 87.00 mm nie powinien być zapisany w formie: 87 mm.

Tabela pomiarów studenta

Nr Trójkąta	a [mm]	b [mm]	c [mm]	ha [mm]	hb [mm]	hc [mm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

III. PROGRAM ĆWICZENIA

1. Pomiary wymiarów liniowych trójkątów, a, b, c, h_a, h_b, h_c.

a) zapoznać się z obsługą suwmiarki i przeprowadzić kilka pomiarów próbnych.

b) zmierzyć wymiary a, b, c, h_a, h_b, h_c, swojego trójkąta a wyniki zapisać w tabeli w wierszu odpowiadającym numerowi trójkąta, na kartce lub bezpośrednio do komputera (program student.exe).

c) wymieniać z kolegami trójkąty (ewentualnie również suwmiarki - patrz uwagi), zmierzyć ich wymiary a wyniki wpisać w odpowiednie wiersze tabeli.

2. Rejestracja i przetwarzanie danych pomiarowych.

Do zebrania wszystkich wyników pomiarów, sporządzenia tabeli zbiorczej, dokonania ekstrakcji wyników poszczególnych trójkątów i wykonania obliczeń służą programy napisane w języku TURBO PASCAL w środowisku DOS: student.exe, assemble.exe oraz extract.exe.

- program student.exe pozwala na wprowadzenie danych do komputera i zapisuje je w pliku o nazwie student.sn, gdzie n jest dwucyfrowym numerem trójkąta.

- program assemble.exe sporządza tabelę zbiorczą z danych wszystkich studentów,

- program extract.exe dokonuje ekstrakcji danych poszczególnych trójkątów, oblicza ich powierzchnie i parametry statystyczne; umożliwia też ich wydruk.

Instrukcje obsługi wymienionych programów znajdują się w pliku readme_p.txt.

3. Analiza wyników pomiarów

Każdy student przeprowadza indywidualną analizę wyników pomiarów swojego trójkąta. Poniżej podano podstawowe punkty takiej analizy.

a) Zbadać, czy są pomiary obciążone błędem grubym i przeprowadzić eliminację lub korektę tych wyników.

b) Przeprowadzić analizę miar błędów przypadkowych (odchyleń standardowych) pomiarów boków i wysokości. Porównać między sobą estymatory odchyleń standardowych: w grupie pomiarów boków, w grupie pomiarów wysokości oraz relacje między estymatorami odchyleń standardowych boków i wysokości.

c) Przeprowadzić analizę błędów systematycznych wyznaczania powierzchni trójkąta, P, obliczanej za pomocą różnych wzorów. W szczególności sprawdzić, czy błędy systematyczne wyznaczenia powierzchni ze wzorów (bok_*wysokość)/2, P_a, P_b, P_c, różnią się w istotnym stopniu od błędu systematycznego wyznaczenia powierzchni za pomocą wzoru Herona.

IV. ZADANIA

1. Celem sprawdzenia błędu woltomierza cyfrowego dokonano trzydziestu pomiarów SEM ogniwa wzorcowego na zakresie U_z = 2 V (= 1.9999 V) i otrzymano wyniki:

1.0187 1.0188 1.0186 1.0187 1.0187 1.0187 1.0187 1.0187 1.0187 1.0185 1.0189 1.0187 1.0188 1.0186 1.0188 1.0187 1.0188 1.0187 1.0187 1.0187 1.0187 1.0188 1.0187 1.0188

1.0187 1.0188 1.0185 1.0181 1.0186 1.0187

a) zbadać, czy są wyniki pomiarów obciążone błędami grubymi i ewentualnie dokonać ich eliminacji.

b) wyznaczyć średnią
podanych wyników pomiarów,

c) wyznaczyć oceny odchyleń standardowych: pojedynczego pomiaru, s, oraz średniej
,

d) oszacować błąd systematyczny woltomierza jeśli wartość poprawna wzorca SEM wynosi U_p = (1.018620  0.000002) V.

2. Za pomocą suwmiarki elektronicznej o błędzie granicznym 0.03 mm i rozróżnialności 0.01 mm zmierzono wymiary liniowe trójkąta i otrzymano wyniki, boki: a = 90.00 mm, b = 63.80 mm, c = 81.00 mm, wysokości: h_a = 55.67 mm, h_b = 78.50 mm, h_c = 61.80 mm. Który ze wzorów P_a, P_b, P_c czy P_H pozwala na wyznaczenie powierzchni P trójkąta z najmniejszym błędem granicznym.

3. Obliczono średnią arytmetyczną
z n pomiarów rezystancji, R₁,R₂,...,R_n. Okazało się następnie, że k-ty wynik, R_k, 1 k  n, jest obarczony błędem grubym. Wyprowadzić wzór obliczający nową skorygowaną wartość średnią
(bez ponownego sumowania wyników) dla przypadków gdy:

• usunięto k-ty wynik z serii.

• skorygowano błędny, k-ty wynik R_k, zastępując go wynikiem R_k^' po stwierdzeniu, że omyłkowo wpisano inną cyfrę na pierwszym miejscu znaczącym.

4^*. Trójkąt ABC ma zaokrąglone wierzchołki o promieniu krzywizny równym r każdy, przy czym promień r jest bardzo mały w porównaniu z bokami, r << a,b,c. Obliczyć składową systematyczną błędu pomiaru trójkąta przy użyciu różnych wzorów P_a, P_b, P_c oraz P_H spowodowaną zaokrągleniami w zależności od wartości r. Założyć, że trójkąt jest w przybliżeniu równoboczny: a  b  c.

Dodatek. Używane wzory i oznaczenia

a) Powierzchnia trójkąta - (bok_*wysokość)/2

,
,
,

b) Powierzchnia trójkąta - wzór Herona

,

gdzie p =(a + b+ c)/2.

V. LITERATURA

[1] A. Marcyniuk i inni, Podstawy Metrologii Elektrycznej, WNT 1984, s. 33-50.

[2] A. Chwaleba, M. Poniński, A Siedlicki, Metrologia Elektryczna, WNT 1984, s. 23-34.

---