Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
Przykład opracowania danych pomiarowych pomiaru
wartości przyśpieszenia ziemskiego metodą wahadła
prostego
opracował: Jan Kurzyk
Przykład opracowania danych pomiarowych pomiaru
wartości
przyśpieszenia
ziemskiego
metodą
wahadła
prostego
Na rysunku C.1 przedstawiono dane pomiarowe zebrane w trakcie wykonywania ćwiczenia nr 1:
„Wyznaczanie wartości przyśpieszenie ziemskiego metodą wahadła prostego”. W celu wykonania pomiaru pośredniego wartości przyśpieszenia ziemskiego mierzymy okres tzw. małych drgań wahadła oraz jego długość . Jeśli podczas pomiarów będziemy wprawiać wahadło w drgania o wystarczająco małej amplitudzie (patrz analiza problemu w opisie ćwiczenia 1), to wartość przyśpieszenia ziemskiego z dobrym przybliżeniem wyliczymy ze wzoru
= 4
.
Ćwiczenie 1. Dane pomiarowe
Czas 10. wahnięć
Długość nici
Średnica kulki
L.p.
= 10 [s]
L.p.
ℎ [cm]
L.p.
[mm]
1.
21,8
1.
118,2
1.
19,00
2.
22,0
2.
118,2
2.
19,00
3.
21,6
3.
118,0
3.
19,00
4.
21,9
4.
4.
5.
22,1
5.
5.
6.
21,9
6.
6.
7.
21,9
7.
7.
8.
21,8
8.
8.
9.
22,0
9.
9.
10. 21,7
10.
10.
[s]
ℎ[cm]
[mm]
0,05
0,2
0,005
Rys. C.1 Przykładowe dane pomiarowe zebrane w trakcie wykonywania ćwiczenia nr 1:
„Wyznaczanie wartości przyśpieszenie ziemskiego metodą wahadła prostego.
Uzasadnienie szacunków Δ , Δℎ, Δ .
a) Liczba pomiarów czasu 10. wahnięć wahadła upoważnia nas do policzenia niepewności metodą A. Ten wkład do niepewności uwzględnia rozrzut statystyczny wyników pomiarów.
Pozostaje nam oszacowanie wkładu do niepewności uwzględniającego dokładność przyrządu pomiarowego. Przyrządem pomiarowym był stoper o dokładności 0,1 s. Zasada działania tego stopera (zakładając, że przyrząd jest sprawny technicznie) pozwala nam przyjąć, że odczytany ze stopera czas nie różni się od rzeczywistego o więcej niż 0,1 s. Stąd przyjęta przez nas połowa szerokości przedziału granicznego Δ = 0,05 s.
UWAGA: Należy zwrócić uwagę, że pisząc w poprzednim zdaniu o czasie rzeczywistym, mamy na myśli czas pomiędzy momentem włączenia i wyłączenia stopera, co nie koniecznie musi 2
oznaczać faktyczny czas 10. wahnięć, gdyż względy subiektywnej oceny doboru momentów startu i zakończenia pomiaru, a także czas reakcji obserwatora sprawiają, że często mierzony czas nie odpowiada czasowi wymaganej liczby wahnięć (nie chodzi tu o zwykłe pomyłki typu zmierzenia czasu 9. zamiast 10. wahnięć).
b) Długość nici zmierzona była trzykrotnie, przy czym jeden z wyników różnił się o 0,2 cm od pozostałych. Liczba pomiarów jest za mała, żeby rozrzut statystyczny wyników oszacować metodą A. Gdyby zaobserwowany w serii 3. pomiarów rozrzut był duży, należałoby zwiększyć liczbę pomiarów, aby móc zastosować metodę A. W naszej sytuacji możemy ograniczyć się do metody B. Przedział graniczny powinien obejmować wszystkie pomiary (aktualne i ewentualnie przyszłe), więc musi mieć szerokość co najmniej 0,2 cm (nasza różnica między skrajnymi wartościami). Bezpiecznie jest jednak założyć, że przedział graniczny jest szerszy od przypadku zaobserwowanego przez nas. W przedstawionej tabeli przyjęto arbitralnie, że przedział graniczny jest dwukrotnie szerszy od naszego przypadku, dlatego przyjęto, że połowa przedziału granicznego jest równa Δℎ = 0,2 cm.
c) Z tych samych powodów co w przypadku pomiaru długości nici, niepewność pomiaru średnicy kulki musimy oszacować metodą B. Wszystkie wyniki pomiarów średnicy kulki były identyczne, a zatem za połowę szerokości przedziału granicznego możemy przyjąć połowę najmniejszej działki przyrządu, w tym przypadku śruby mikrometrycznej o najmniejszej działce równej 0,01 mm. Stąd Δ = 0,005 mm.
1. Analiza pomiaru okresu drgań wahadła.
W celu wyznaczenia okresu drgań wahadła wykonano 10 pomiarów czasu trwania dziesięciu wahnięć wahadła. Za wartość zmierzoną przyjmujemy średnią arytmetyczną wyników pomiarów, która wynosi
̅ = 10 = 21,870 s,
Ponieważ = ⁄10 dostajemy
= ̅⁄10 = 2,1870 s.
Wykonanie serii 10 pomiarów czasu daje podstawę do wyliczenia niepewności standardowej metodą A. Wyliczona w ten sposób niepewność standardowa (odchylenie standardowe średniej arytmetycznej) pomiaru czasu wynosi
≈ 0,0473 s,
czyli niepewność standardowa pomiaru okresu jest równa
=
/10 ≈ 0,00473 s.
Zgodnie z analizą dokonaną w poprzednim punkcie, połowa szerokości przedziału granicznego związanego z wkładem do niepewności pochodzącym od przyrządu pomiarowego wynosi Δ =
0,05 s. Dodatkowo musimy założyć prostokątny rozkład gęstości prawdopodobieństwa (patrz. Uwaga w punkcie 5.2.2). Wobec tego niepewność standardowa wyznaczona metodą B wynosi 0,05 s
"
=
≈ 0,02887 s.
√3
Stąd
"
= "10 ≈ 0,002887 s.
3
Sumując (zgodnie z regułą sumowania niepewności standardowych) niepewność obliczoną metodą A, związaną ze stochastycznym rozrzutem wartości mierzonych oraz niepewność obliczoną metoda B
wynikającą z rozdzielczości stopera, dostajemy
$
= %
+ "
= 0,00554 s.
Po zaokrągleniu niepewności (do dwóch cyfr znaczących) i średniego okresu (do tego samego miejsca rozwinięcia dziesiętnego co niepewność) ostatecznie dostajemy
= 2,1870 55 s.
2. Analiza pomiaru długości wahadła
Długość wahadła złożonego z kulki zawieszonej na lekkiej (w porównaniu z kulką) nici jest zdefiniowana jako odległość od punktu zawieszenia wahadła do środka ciężkości kulki. Pomiar tej odległości w naszych warunkach wymagałby określenia „na oko” położenia środka kulki. Aby uniknąć tego problemu wykonujemy pomiar pośredni długości wahadła. Mierzymy długość ℎ nici i średnicę kulki, a długość wahadła wyliczamy ze wzoru
= ℎ + ⁄2.
2.1 Analiza pomiaru długości nici
Pomiar długości nici wymaga staranności i pewnej wprawy. Taśmy mierniczej nie da się przyłożyć bezpośrednio do nici co powoduje, że niepewność związana z odczytem jest większa niż najmniejsza działka taśmy mierniczej (1 mm). Dla starannie wykonanego pomiaru długości nici można przyjąć, że szerokość przedziału granicznego jest nie większa niż 3 ÷ 5 mm, czyli połowa tego przedziału jest równa Δℎ = 1,5 ÷ 2,5 mm. Zgodnie z analizą dokonaną pod rysunkiem C.1 przyjęliśmy Δℎ =
0,2 cm = 2,0 mm. Ponieważ nie mamy żadnych informacji o możliwym rozkładzie gęstości prawdopodobieństwa wyników pomiarów załóżmy dla bezpieczeństwa rozkład prostokątny, czyli ℎ = Δℎ⁄√3 ≈ 0,155 cm. Średnia wartość wyników pomiaru długość nici wynosi
ℎ = 118,133 cm.
Ostatecznie wynik pomiaru długości nici możemy zapisać w postaci
ℎ = 118,13 16 cm.
2.2 Analiza pomiaru średnicy kulki
Pomiar średnicy kulki wykonano śrubą mikrometryczną. Śruba mikrometryczna pozwala na pomiar z dokładnością rzędu 0,01 mm. Dokładność tego pomiaru jest o dwa rzędy wielkości lepsza od dokładności pomiaru długości nici. Wobec tego niepewność pomiaru średnicy kulki praktycznie nie będzie miała wpływu na niepewność pomiaru długości wahadła i można ją z góry pominąć, ale dokonajmy analizy tego pomiaru, żebyśmy mogli poprawnie zapisać wynik tego pomiaru.
Zgodnie z analizą dokonaną pod rysunkiem C.1 przyjmujemy Δ = 0,005 mm. Przyjmując trójkątny rozkład gęstości prawdopodobieństwa dostajemy niepewność standardową pomiaru średnicy kulki
= Δ ⁄√6 ≈ 0,00204 mm. Zapis pomiaru średnicy kulki w notacji skróconej wygląda następująco (zwróćmy uwagę na 4 zera zapisane po przecinku – są one tu obowiązkowe) 4
Możemy teraz wyliczyć długość wahadła (pamiętajmy o wpisaniu długości nici i średnicy kulki w tych samym jednostkach)
̅ = ℎ + ̅⁄2 = 119,0833 cm.
Złożoną niepewność standardową tego pomiaru wyliczymy ze wzoru
= %+ ℎ , + +1⁄2
, ≈ 0,115 cm.
Jak już zauważyliśmy niepewność tego pomiaru jest praktycznie równa niepewności pomiaru długości nici.
Ostatecznie długość wahadła wynosi
= 119,08 12 cm.
3. Analiza pomiaru wartości przyśpieszenia ziemskiego
Wartość przyśpieszenia ziemskiego otrzymana w wyniku naszego pomiaru pośredniego wynosi
̅
0,11908 .
̅ = 4
≈ 4 ∙ 3,141593 2,1870 s ≈ 9,8291 m/s .
Zwróćmy uwagę na przybliżenie liczby zastosowane w powyższych obliczeniach.
W naszym wzorze liczby wynikające z pomiarów znamy z dokładnością do 4 i 5 cyfr znaczących.
Dlatego popularne przybliżenie liczby
≈ 3,14 byłoby za mało dokładne. Powinniśmy użyć
przybliżenia liczby z dokładnością do minimum 7 cyfr znaczących.
Jeśli we wzorach, za pomocą których wyliczamy wartość wielkości mierzonej pośrednio znajdują się stałe fizyczne lub matematyczne, to musimy użyć przybliżeń tych stałych zawierających co najmniej o dwie cyfry znaczące więcej niż inne liczby występujące w tym wzorze.
Zgodnie z prawem propagacji niepewności, niepewność standardowa pomiaru pośredniego będzie dana wzorem (patrz rozdz. 6, w szczególności przykłady 2 i 5)
= ̅ ∙ /0 ̅ 1 + 0−2 ∙
1 ,
czyli
m
0,12
2 ∙ 0,0055
m
= 9,8291 s /3119,084 + 3 2,1870 4 ≈ 0,0507s .
Ostatecznie dostajemy
m
= 9,829 51 s .
Wynik ten wyznacza nam tzw. przedział objęcia o granicach 9,829 5
67 − 0,051 5
67 = 9,778 5
67 i
9,829 567 + 0,051 567 = 9,880 567, czyli 9,778,9,880 567. Tablicowa wartość przyśpieszenia ziemskiego dla Krakowa wynosi 89:. = 9,81054 m/s . Wartość ta mieści się w wyznaczonym przez nas 5
przedziale, więc w sensie teorii pomiarów nasz wynik pomiaru możemy uznać za zgodny z wynikiem tablicowym z prawdopodobieństwem ok. 0,7.
Obliczenia najwygodniej jest przeprowadzać przy użyciu jakiegoś programu kalkulacyjnego.
Rysunek C.2 przedstawia widok arkusza obliczeniowego w programie MS Excel utworzonego dla omówionego w tym rozdziale przykładu.
Ćwiczenie 1. Arkusz obliczeniowy
Okres drgań
Przyspieszenie
Długość nici
Średnica kulki
Długość wahadła
wahadła
ziemskie
Średnia
Średnia długość
Średnia długość
m
[cm]
=
wartość okresu
nici
nitki
s >
Tśr. [s]
hśr. [cm]
dśr. [mm]
119,0833
9,8291
2,18700
118,133
19,0000
niepewność
niepewność
niepewność
liczonametodą
niepewność
niepewność
liczona metodą A
liczona metodą A
A
złożona
złożona
(jeśli liczba
(jeśli liczba
m
(jeśli liczba
cm
pom.>4)
pom.>4)
s
pom.>4)
?
s
? ℎ cm
?
mm
0,11547
0,0507
niepewność
niepewność
0,004726
0,0000
0,00000
względna proc.
względna proc.
niepewność
niepewność
niepewność
liczona metodą B
liczona metodą B
liczona metodą B
· 100 %
∙ 100 %
B
s
B ℎ cm
B
mm
0,10%
0,52%
0,002887
0,1155
0,00204
niepewność
niepewność
niepewność
złożona
złożona
złożona
Wartość tablicowa
g Tab dla Krakowa
s
ℎ cm
mm
0,00554
0,1155
0,00204
m
niepewność
niepewność
niepewność
9,8105 s
względna proc.
względna proc.
względna proc.
ℎ
· 100 %
ℎ · 100 %
· 100 %
0,25%
0,10%
0,011%
m
= 2,1870 55 s
ℎ = 118,13 12 cm
= 19,0000 20 mm
= 119,08 12 cm
= 9,829 51 s
Rys. C.2 Widok arkusza kalkulacyjnego utworzonego w programie MS Excel na potrzeby analizy danych przedstawionych na Rysunku C.1.
Gdyby wartość tablicowa nie mieściła się w wyznaczonym przez nas przedziale należałoby sprawdzić, czy mieści się w przedziale wyliczonym na podstawie niepewności rozszerzonej.
Negatywny wynik tego drugiego porównania sugerowałby, że podczas pomiaru lub obliczeń popełniono jakieś błędy. W takim przypadku należy spróbować znaleźć błędy, które do tego doprowadziły. W szczególności możemy sprawdzić dwie hipotezy:
6
a) błąd pomiaru wynika z błędnego pomiaru długości wahadła.
b) błąd pomiaru wynika z błędnego pomiaru okresu wahadła.
W pierwszym przypadku liczymy błąd
, jaki musiałby być popełniony podczas pomiaru długości
wahadła, jeśli okres zmierzony był dokładnie:
Δ = ̅ − 8CDE. = ̅ − 89:F
4
.
W drugim przypadku liczymy błąd
, jaki musiałby być popełniony podczas pomiaru okresu wahadła
jeśli długość ̅ zmierzona była dokładnie:
̅
= − 8CDE. = − 2 /
.
89:F.
4. Przykład analizy wyników prowadzących do wartości G niezgodnej z wartością tablicową
Ćwiczenie 1. Dane pomiarowe
Czas 10. wahnięć
Długość nici
Średnica kulki
L.p.
= 10 [s]
L.p.
ℎ [cm]
L.p.
[mm]
1.
22,1
1.
118,2
1.
19,00
2.
21,8
2.
118,2
2.
19,00
3.
22,0
3.
118,0
3.
19,00
4.
21,8
4.
4.
5.
21,6
5.
5.
6.
21,9
6.
6.
7.
22,4
7.
7.
8.
22,2
8.
8.
9.
22,1
9.
9.
10. 21,9
10.
10.
[s]
ℎ[cm]
[mm]
0,05
0,1
0,005
Otrzymano następujące, końcowe wyniki pomiarów:
= 2,1980 78 s,
ℎ = 117,950 41 cm,
= 19,0000 20 mm,
= 118,900 41 cm.
Stąd dostajemy
m
= 9,638 69 s .
7
A zatem przedział objęcia jest równy
m
9,570; 9,707 s .
Wartość tablicowa nie mieści się w tym przedziale. Przedział objęcia oparty na niepewności rozszerzonej I
= J ∙
ze współczynnikiem rozszerzenia J = 2 jest równy
m
9,501; 9,776 s
i nadal nie zawiera wartości tablicowej, chociaż jest przedziałem obejmującym ok. 95% rozkładu prawdopodobieństwa wyników pomiaru wartości . Sprawdźmy zatem dwie hipotezy wymienione w punkcie 3.
Według hipotezy a) popełniono błąd w pomiarze długości wahadła. Błąd ten musiałby wynosić: Δ = −1,16 cm.
Jest mało prawdopodobne abyśmy pomylili się w pomiarze długości wahadła aż o 12 mm, chociaż należałoby powtórzyć pomiar długości, aby zweryfikować tę hipotezę.
Według hipotezy b) popełniono błąd w pomiarze okresu wahadła. Błąd ten musiałby wynosić: Δ = 0,011 s.
Oznacza to, że podczas pomiaru czasu trwania 10. wahnięć popełnialiśmy systematycznie błąd Δ = 0,11 s.
Hipoteza b) wydaje się dość wiarygodna (patrz uwaga w punkcie a pod rysunkiem C.1). Należałoby zatem przyjrzeć się naszemu sposobowi pomiaru, zauważyć nieprawidłowości w naszych pomiarach i powtórzyć pomiary okresu wahadła z większą starannością. Można by również zwiększyć liczbę wahnięć z 10. do np. 30.
8