METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW

Analiza matematyczna I: obliczanie granic i pochodnych

OBLICZANIE GRANIC

limit

(wyrażenie, punkt, kierunek)

punkt

– równanie określające punkt, w którym obliczana jest granica np. x = x

0

. Zamiast

skończonych wartości x

0

można padać nazwę infinity (nieskończoność).

kierunek

– dodatkowy parametr umożliwiający liczyć granice jednostronne. Przyjmuje

wartości right lub left.

OBLICZANIE POCHODNYCH

diff

(wyrażenie, symbol)

symbol

– określa zmienną ze względu na którą liczona jest pochodna. Dla pochodnych

wyższych rzędów drugim parametrem komendy jest sekwencja odpowiednich
symboli.

D

[n](funkcja)

n

– numer argumentu funkcji, ze względu na który liczona jest pochodna lub, dla pochodnych

wyższych rzędów, sekwencja odpowiednich liczb całkowitych.

funkcja

– nazwa funkcji lub procedury zdefiniowanej przez użytkownika zawierającej

różniczkowane wyrażenie, albo nazwa wbudowanej funkcji matematycznej
Maple’a

.

Zadania

1. Obliczyć następujące granice:

a)

tg( )

tg( )

tg( )

π

π

π

2

2

2

lim 2

, lim 2

, lim 2

x

x

x

x

x

x

−

+

→

→

→

Odp: nieokreślona, , 0

∞

b)

π

4

cos( ) sin( )

lim

cos(2 )

t

t

t

t

→

−

Odp.

2

2

c)

1

lim 1

n

n

n

→∞





+









Odp. e

2. Za pomocą komendy diff i operatora D obliczyć następujące pochodne:

a)

(

)

( ) ,

( )

5 arctg sin(2 )

f x

f x

x

′

=

Odp.

2

10 cos(2 )

1 sin (2 )

x

x

+

b)

2

( ) ,

( )

ln( )

f

x

f x

x

x

′′

=

w punkcie

0.5

x =

Odp. 1.6137

c)

3

2

2

2

( , )

,

( , )

e

x y

f x y

x

f x y

x y

y

∂

=

+

∂ ∂

w punkcie

1,

2

x

y

=

= − Odp.

3

4

3. Wyznaczyć ekstrema funkcji

2

( )

3

e

x

f x

x

x

=

+

−

. Określić ich charakter (minimum,

maksimum).