Analiza mat I semstr wykłady

PODSTAWY ANALIZY

materiały pomocnicze do wykładu

2012/2013

Jest to konspekt wykładu z analizy matematycznej dla 1. semestru

studiów na Wydziale Inżynierii Lądowej.

Został on przygotowany w dwóch celach:

1. żeby słuchacze nie musieli wszystkiego przepisywać z tablicy, a mogli

więcej uwagi poświęcić wyjaśnieniom, komentarzom, przykładom oma-
wianym przez wykładowcę i to ewentualnie notować;

2. żeby podstawowe definicje, twierdzenia, schematy dowodów były

dostępne w prawidłowej postaci – z praktyki wiadomo, że w pośpiechu
robione notatki zawierają dużo błędów.

Konspekt zawiera tylko część informacji podawanej na wykładzie.

Lektura konspektu nie może zastąpić uczestnictwa w wykładach.

Mamy nadzieję, że korzystanie z konspektu pomoże w zrozumieniu i

nauczeniu się podstaw analizy matematycznej.

życzymy czytelnikom powodzenia, a chwilami może i satysfakcji.

Rozszerzenie materiału ujętego w tym konspekcie, z kompletnymi dowodami twierdzeń,

licznymi przykładami, uzupełnieniami, komentarzami, zawarte jest w skrypcie autorstwa
K. Litewskiej i J. Muszyńskiego pt. Matematyka, tom 1.

Dużą ilość przykładowych zadań i zadań do samodzielnego rozwiązania można znaleźć

w skrypcie autorstwa T. Kowalskiego, J. Muszyńskiego i W. Sadkowskiego pt. Zbiór zadań
z matematyki, tom 1.

Obydwa skrypty wydane są przez Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej (Seria

Wydziału Inżynierii Lądowej).

Wstęp

1.1

Zbiory

Pojęcia zbioru, elementu, należenia elementu do zbioru są pojęciami pierwotnymi.

Rozważając zbiory zawsze ustalamy konkretny zbiór, który je wszystkie zawiera i

nazywamy go przestrzenią — na ogół oznaczamy go przez X . Takie ograniczenie
jest konieczne, bo nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów i w związku z tym nie można
przyjmować, że wszystko jest zawarte w jakimś uniwersalnym zbiorze.

Zbiór określamy podając jego wszystkie elementy (możliwe dla zbiorów skończonych)

lub określając własność, której spełnienie wyróżnia zbiór interesujących nas elementów
spośród wszystkich elementów przestrzeni, np.

A = {a

, a

} ,

A = {x ∈ R : x > 2}

Definicja 1.1 (Zawieranie zbiorów)

A ⊂ B ⇔ ( ∀a ∈ A ) a ∈ B

Definicja 1.2 (Suma, przekrój, różnica zbiorów)

A ∪ B

{x ∈ X : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

A ∩ B

{x ∈ X : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

A \ B

{x ∈ X : (x ∈ A) ∧ (x /

∈ B)}

Różnicę X \ A , czyli zbiór punktów przestrzeni X , które nie należą do zbioru A , nazywa
się uzupełnieniem zbioru A .

Definicja 1.3 (Suma i przekrój dowolnej rodziny zbiorów)

[

α∈A

{x ∈ X : (∃ α ∈ A) x ∈ X

}

α∈A

{x ∈ X : (∀α ∈ A) x ∈ X

}

Przykład 1.1

∞

[

k=3

1 −

, 1

∞

k=1

1 −

, 1 +

= {1}

Definicja 1.4 (Iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów)

× X

× . . . × X

= { (x

, x

, . . . , x

) : x

∈ X

, x

∈ X

, . . . x

∈ X

}

1.2

Zbiory liczb

Oznaczenia:

N – zbiór liczb naturalnych;

Z – zbiór liczb całkowitych;

Q – zbiór liczb wymiernych;

R – zbiór liczb rzeczywistych;

C – zbiór liczb zespolonych.

Twierdzenie 1.1 Jeśli a , b ∈ R i a < b , to istnieją liczby q ∈ Q oraz r ∈ R \ Q takie,
że a < q < b oraz a < r < b .

1.3

Kresy zbioru liczbowego

Definicja 1.5 (Zbiory ograniczone) Zbiór A ⊂ R nazywa się:

1. ograniczonym z góry, jeśli (∃v ∈ R) (∀a ∈ A) a ¬ v

— każdą taką liczbę v

nazywa się ograniczeniem górnym zbioru A ;

2. ograniczonym z dołu, jeśli (∃u ∈ R) (∀a ∈ A) a v

— każdą taką liczbę v

nazywa się ograniczeniem dolnym zbioru A ;

3. ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i ograniczony z dołu.

Zbiór A ⊂ R jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, jeśli istnieje przedział [u , v] taki, że
A ⊂ [u , v] .

Definicja 1.6 (Kres górny i dolny)

Niech zbiór A będzie ograniczony z góry.

sup A = g ⇔

(

1. (∀z ∈ A) z ¬ g
2. (∀ε > 0)(∃z

∈ A) z

> g − ε

Niech zbiór A będzie ograniczony z dołu.

inf A = h ⇔

(

1. (∀z ∈ A) z h
2. (∀ε > 0)(∃z

∈ A) z

< h + ε

Kres górny zbioru (sup A) jest jego najmniejszym ograniczeniem górnym, a kres dolny
(inf A) jego największym ograniczeniem dolnym.

Przykład 1.2 Znaleźć kresy górne i dolne podanych zbiorów.

• A = (0, 1) ∩ Q

• B =

2n+1

, n ∈ N

• C =





(−1)

0. 3 . . . 3

}

, n ∈ N





• D = x ; x

− 6x

+ 11x − 6 < 0

Przykład 1.3 Znaleźć

inf

x +

: x ∈ R

Jeśli zbiór A nie jest ograniczony z góry lub z dołu, to piszemy odpowiednio sup A = ∞
lub inf A = −∞ .

Definicja 1.7 (Maksimum i minimum zbioru liczbowego)

• Jeśli sup A ∈ A , to mówimy, że zbiór ma maksimum i oznaczamy max A = sup A .

• Jeśli inf A ∈ A , to mówimy, że zbiór ma minimum i oznaczamy min A = inf A .

Przykład 1.4

1. sup [0 , 1) = 1 ,

min [0 , 1) = 0

2. sup

n+1

: n ∈ N

= 1 ;

min

n+1

: n ∈ N

1
2

3. sup Q = ∞ ;

inf Q = −∞

Kresami górnym i dolnym funkcji nazywamy odpowiednio kresy górny i dolny zbioru

jej wartości. Niech f : D

→ R .

sup f = sup{f (x) ; x ∈ D

} ,

inf f = inf{f (x) ; x ∈ D

}

Analogicznie określamy maksimum i minimum funkcji.

Ciągi liczbowe

Definicja 2.1 (Ciągi liczbowe) Ciągiem

liczbowym

nazywamy

funkcję,

która

odwzorowuje zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb (rzeczywistych, zespolonych), czyli
f : N → R lub f : N → C .

Tradycyjnie elementy ciągu oznacza się a

= f (n) , a ciąg {a

}

∞
n=1

lub {a

} .

Przykład 2.1 Podać pięć pierwszych wyrazów ciągu określonego wzorem:

1. a

n+10

n+1

2. b

√

3. c

√

2 , c

n+1

√

2 + c

Definicja 2.2 (Ciąg ograniczony) Ciąg liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym,
jeżeli zbiór jego wartości {a

} ; n ∈ N jest zbiorem ograniczonym w R.

Definicja 2.3 (Granica ciągu liczbowego)

lim

n→∞

= g ⇔ (∀ε > 0)(∃n

∈ N )(∀n > n

) |a

− g| < ε

Geometrycznie zbieżność ciągu do granicy g oznacza , że w dowolnym otwartym przedziale
wokół g znajdują się prawie wszystkie (wszystkie poza skończoną liczbą) elementy ciągu
{a

Przykład 2.2 Na podstawie definicji granicy ciągu uzasadnić, że:

1. lim

n→∞

n+1

= 2

2. lim

n→∞

log

3 = 0

Definicja 2.4 Sumą ciągów {a

} i {b

} nazywamy ciąg {a

+ b

} . Podobnie określamy

iloczyn ciągu przez liczbę {s · a

} , iloczyn dwóch ciągów {a

} , oraz iloraz {

} - w tym

ostatnim przypadku wyrazy {b

} muszą być różne od zera.

Twierdzenie 2.1 (Własności ciągów zbieżnych) Niech lim

n→∞

= a ,

lim

n→∞

= b .

Wtedy istnieją granice lim

n→∞

± b

) oraz lim

n→∞

· b

) i zachodzą wzory

lim

n→∞

± b

) = a ± b , lim

n→∞

· b

) = a · b

Jeśli ponadto b 6= 0 , to istnieje granica lim

n→∞

lim

n→∞

(po lewej stronie uwzględniamy tylko ułamki, dla których b

6= 0 ).

Przykład 2.3 Na podstawie definicji granicy ciągu oraz powyższych własności uzasadnić,
że nie istnieje lim

n→∞

sin n

Lemat 2.1 Niech (∀n) a

0 . Jeśli granica ciągu {a

}

∞

n=1

istnieje, to lim

n→∞

0 .

Twierdzenie 2.2 (O zachowaniu nierówności przy przejściu do granicy)
Jeśli (∀n ∈ N ) a

¬ b

lim

n→∞

= a ,

lim

n→∞

= b , to a ¬ b .

Uwaga 2.1 Silna nierówność między wyrazami ciągu a

< b

nie implikuje silnej

nierówności między granicami, a jedynie słabą a ¬ b.

Lemat 2.2 Niech (∀n ∈ N ) 0 ¬ a

¬ b

oraz lim

n→∞

= 0 .

Wtedy lim

n→∞

= 0 .

Dowód:

Z założeń wynika, że

(∀ε > 0)(∃n

)(∀n > n

) |b

| < ε

Ponieważ |a

| ¬ |b

| , więc

(∀ε > 0)(∃n

)(∀n > n

) |a

| < ε

a to oznacza, że lim

n→∞

= 0 .

♥

Twierdzenie 2.3 (O trzech ciągach) Niech (∀n ∈ N ) a

¬ b

¬ c

oraz lim

n→∞

= lim

n→∞

= a .

Wtedy lim

n→∞

= a .

Dowód:

Z założeń i twierdzenia 2.1 mamy

(∀n ∈ N ) 0 ¬ b

− a

¬ c

− a

oraz

lim

n→∞

− a

) = 0

Z lematu 2.2 wynika, że lim

n→∞

− a

) = 0 , czyli lim

n→∞

= lim

n→∞

= a .

♥

Twierdzenie 2.4 Dane są dwa ciągi ograniczone {a

} i {b

}, przy czym lim

n→∞

= 0 .

Wtedy istnieje lim

n→∞

i lim

n→∞

= 0.

Przykład 2.4

lim

n→∞

sin n!

n + 1

= 0 ,

lim

n→∞

arctg n

√

= 0

Przykład 2.5 lim

n→∞

√

n = 1 .

Dowód:

Oznaczmy b

√

n − 1 .

n = (1 + b

)

= 1 +

2
n

+ . . . +

n
n

Ponieważ b

0 więc n  1 +

. Stąd

0 ¬ b

2
n

0 ¬ b

Z twierdzenia o trzech ciągach lim

n→∞

= 0 , czyli lim

n→∞

√

n = 1 .

♥

Przykład 2.6 (∀a > 0) lim

n→∞

√

a = 1 .

Dowód:

Dla a  1 równość wynika z poprzedniego przykładu i twierdzenia o trzech

ciągach, ponieważ nierówności

1 ¬

√

a ¬

√

są prawdziwe dla n a .

Dla 0 < a < 1 mamy

1
a

> 1 , a więc z pierwszej części dowodu lim

n→∞

1
a

= 1 , skąd

lim

n→∞

√

a = 1 .

♥

Twierdzenie 2.5 Niech {a

} będzie ciągiem takim, że lim

n→∞

n+1

= q.

Jeżeli q < 1, to lim

n→∞

= 0

Dowód:

Weźmy r =

1+q

Z definicji granicy wynika, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźniku większym od pewnego
n

spełniają nierówność |a

n+1

| < r |a

|. Stąd dla dowolnej liczby naturalnej k

0 ¬ |a

| ¬ r

Przy k zbieżnym do nieskończoności otrzymujemy tezę.

♥

Przykład 2.7 Korzystając z powyższych twierdzeń uzasadnić, że:

1. lim

n→∞

√

+ 4

= 4

2. lim

n→∞

√

− 4

= 8

3. lim

n→∞

· · · +

= 0

4. lim

n→∞

= 0

5. ∀a > 1, ∀k ∈ N :

lim

n→∞

= 0

Lemat 2.3 Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Dowód:

Niech ciąg będzie niemalejący, tzn.

(∀n ∈ N ) a

¬ a

n+1

Zbiór wyrazów ciągu{a

} jest ograniczony, a więc istnieje a = sup{a

: n ∈ N } .

Na mocy definicji supremum mamy

(∀n ∈ N ) a

¬ a oraz (∀ε > 0)(∃a

) a − ε < a

Dzięki monotoniczności (∀n > n

) a

 a

, a więc

(∀ε > 0)(∃n

)(∀n > n

) a − ε < a

¬ a < a + ε

a to oznacza, że lim

n→∞

= a .

Dla ciągu nierosnącego dowód jest analogiczny.

♥

Przykład 2.8 Wykazać zbieżność i obliczyć granicę ciągu zadanego rekurencyjnie

√

2 , a

n+1

√

2 + a

, n ∈ N

Przykład 2.9 (Liczba e ) Ciąg o wyrazach a

1 +

jest zbieżny. Granicę tego

ciągu nazywa się stałą Eulera i oznacza e . Jest ona podstawą logarytmów naturalnych. W
przybliżeniu e = 2 , 71828 . . .

Dowód zbieżności:

1. Ciąg

1 +

∞

n=1

jest ograniczony.

1 +

= 1 +

+ . . . +

= 2 +

1 −

+ . . . +

1 −

. . .

1 −

n−1

Stąd

¬ 2 +

+ . . . +

¬ 2 +

+ . . . +

n−1

= 3 −

i mamy (∀n) 2 ¬ a

< 3 .

2. Ciąg

1 +

∞

n=1

jest monotoniczny. Skorzystamy z nierówności Bernoulliego:

(1 + x)

> 1 + mx , gdzie m > 1, m ∈ N oraz x > −1, x 6= 0. Przyjmujemy:

m = n + 1 , x = −

(n+1)

i otrzymujemy:

n+1

1 +

n+1

1 +

n + 1

1 −

(n + 1)

n+1

n + 1

1 −

n + 1

(n + 1)

= 1

Zatem ciąg jest rosnący.

Ciąg jest ograniczony i monotoniczny, więc zbieżny.

♥

Uwaga 2.2 Ciąg

1 +

∞

n=1

jest rosnący, więc

(∀n ∈ N )

1 +

< e

Uwaga 2.3 Analogicznie można wykazać, że ciąg

1 +

n+1

∞

n=1

jest malejący i

(∀n ∈ N )

1 +

n+1

> e

Przykład 2.10

1. Wykazać, że (∀n ∈ N )

n+1

< ln

1 +

2. Wykazać, że (∀n ∈ N , n  3) n

n+1

> (1 + n)

Definicja 2.5 (Ciągi rozbieżne do +∞ i do −∞)

1. Mówimy, że ciąg {a

} jest rozbieżny do +∞ i zapisujemy lim

n→∞

= +∞ jeśli

(∀ u ∈ R) (∃ n

∈ N ) (∀ n > n

) a

> u

2. Mówimy, że ciąg {a

} jest rozbieżny do −∞ i zapisujemy lim

n→∞

= −∞ jeśli

(∀ u ∈ R) (∃ n

∈ N ) (∀ n > n

) a

< u

Przykład 2.11

1. Ciągi {n} , {n

} , {

√

n} , {log n} są rozbieżne do +∞ ;

2. Ciągi {−n} , {−n

} , {log

} są rozbieżne do −∞ ;

3. Ciągi {(−1)

} , {(−2)

} nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do +∞ lub −∞ . Są to

ciągi rozbieżne. Pierwszy jest ograniczony, drugi nie.

Opuszczając niektóre wyrazy ciągu możemy utworzyć nowy ciąg.

Definicja 2.6 (Ciąg częściowy lub podciąg) Niech

}

∞

n=1

będzie

dowolnym

ciągiem liczbowym, a {n

}

∞
k=1

rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Ciąg {a

}

∞
k=1

nazywamy ciągiem częściowym ciągu {a

} .

Przykład 2.12

1. Ciąg

∞

k=1

jest ciągiem częściowym ciągu

∞

n=1

2. Ciąg liczb pierwszych jest podciągiem ciągu liczb naturalnych.

Lemat 2.4 (Podciągi ciągu zbieżnego) Jesli ciąg jest zbieżny, to każdy jego podciąg
jest zbieżny do tej samej granicy.

Ciąg, który nie jest zbieżny może (ale nie musi) mieć podciągi zbieżne.

Lemat 2.5 Jeśli każdy podciąg danego ciągu ma podciąg zbieżny do tej samej liczby g, to
wyjściowy ciąg jest zbieżny do g.

2.1

Własności liczby e

Lemat 2.6 Prawdziwa jest równość

e = lim

n→∞

k=0

(1)

a ponadto dla każdego n

0 < e −

k=0

n! · n

(2)

Dowód :

Zastosujmy wzór na wyraz ciągu x

1 +

dla n > k i odrzućmy wszystkie

składniki, które występują po wyrażeniu zawierającym

. Dostaniemy prawdziwą dla

wszystkich n > k nierówność

2 +

1 −

+ . . .

1 −

. . .

1 −

k−1

Przechodząc z n do nieskończoności, przy ustalonym k , dostajemy nierówność

e  2 +

+ . . . +

Oznaczmy prawą stronę tej nierówności przez y

. Mamy więc nierówności

< y

¬ e

prawdziwe dla każdego k – w istocie prawa nierówność jest też ostra ze względu na silną
monotoniczność ciągu y

. Z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy równość (1).

Teraz udowodnimy oszacowanie (2). Dla dowolnych n, m ∈ N mamy

n+m

− y

(n + 1)!

1 +

n + 2

(n + 2)(n + 3)

+ . . . +

(n + 2) · . . . · (n + m)

(n + 1)!

1 +

n + 2

(n + 2)

+ . . . +

(n + 2)

m−1

(n + 1)!

1 −

n+2

(n + 1)!

n + 2

n + 1

Przechodząc z m do +∞ dostaniemy

e − y

(n + 1)!

n + 2

n + 1

n + 2

(n + 1)

n!n

n+2

(n+1)

♥

Równość (1) z lematu 2.6 będziemy po wprowadzeniu pojęcia szeregu liczbowego i

sumy szeregu liczbowego zapisywali w następujący sposób

e =

∞

n=0

Oszacowanie (2) pozwala obliczać liczbę e z dowolną ustaloną dokładnością, jak również

udowodnić następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.6 Liczba e jest niewymierna.

Dowód:

Przypuśćmy, że liczba e jest wymierna i e =

p
q

, gdzie p , q ∈ N .

Zastosujmy oszacowanie (2) dla n = q .

0 <

−

2 +

+ . . . +

q!q

Możemy napisać

= 2 +

+ . . . +

q!q

gdzie 0 < θ < 1 .
Mnożąc obydwie strony tej równości przez q!q dostaniemy

θ = pq! − qq!

2 +

+ . . . +

Po lewej stronie jest liczba z przedziału (0, 1), a po prawej liczba całkowita – sprzeczność.
Liczba e musi więc być niewymierna.

♥

Uwaga. Można też wykazać, że liczba e jest niealgebraiczna (przestępna), to znaczy, że
nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Ciągowi, który posłużył do określenia e, można nadać ogólniejszą postać.

Lemat 2.7 Jeśli lim |x

| = +∞ to

lim

n→∞

1 +

= e

DOWÓD: Niech [a] oznacza część całkowitą liczby a.
Rozważamy trzy przypadki:

1. lim x

= +∞

Bierzemy pod uwagę tylko x

1. Korzystając z nierówności [x

] ¬ x

< [x

] + 1

można napisać serię nierówności:

1 +

] + 1

< 1 +

¬ 1 +

]

1 +

] + 1

]

1 +

]

]+1

1 +

]+1

1 +

]+1

1 +

]

1 +

]

2. lim x

= −∞

Najpierw wykażemy, że

lim

n→∞

1 +

−n

= e

1 +

−n

n − 1

1 +

n − 1

n−1

1 +

n − 1

→ e

Bierzemy pod uwagę tylko x

< −2. Korzystając z nierówności [x

] ¬ x

< [x

] + 1

można napisać serię nierówności:

1 +

] + 1

< 1 +

¬ 1 +

]

1 +

]

]+1

1 +

] + 1

]

1 +

]

1 +

]

1 +

]+1

1 +

]+1

−1

(Trzeba brać pod uwagę, że wykładniki są ujemne, a podstawy potęg z przedziału
(0, 1). )

3. lim |x

| = +∞, ale żaden z poprzednich przypadków.

Ciąg x

zawiera podciąg rozbieżny do +∞ i podciąg rozbieżny do −∞. Można go

wtedy rozbić na dwa takie podciągi i zastosować do nich poprzednie punkty. Jeśli
ciąg jest rozbity na dwa podciągi, z których każdy jest zbieżny do tej samej granicy,
to sam ciąg też jest zbieżny do tej granicy.

♥

Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej

3.1

Pojęcie funkcji

Niech X , Y będą dwoma dowolnymi niepustymi zbiorami.

Definicja 3.1 (Funkcji)
Funkcją ( odwzorowaniem ) f określoną na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y
nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego
elementu zbioru Y i oznaczamy f : X 7→ Y . Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji
(oznaczamy D

= X ), a zbiór Y przeciwdziedziną.

Definicja 3.2 ( Obrazu funkcji)
Zbiór wszystkich wartości jakie przyjmuje funkcja f , nazywamy obrazem funkcji f i
oznaczamy f (X) .

Definicja 3.3 ( Wykresu funkcji )
Wykresem funkcji f : X 7→ Y nazywamy zbiór

{(x, y) ⊂ X × Y ) : y = f (x)}

Definicja 3.4 ( Funkcji tożsamościowej )
Funkcję id

: X 7→ X taką, że (∀x ∈ X) id

(x) = x nazywamy

funkcją tożsamościową.

Definicja 3.5 ( Zwężenia funkcji )
Zwężeniem ( obcięciem ) funkcji f :

X 7→ Y

do zbioru A ⊂ X nazywamy

odwzorowanie f

: A 7→ Y o wartościach określonych wzorem

(∀x ∈ A) f

(x) = f (x)

Przykład 3.1 A = h0, 2πi , X = Y = R, f (x) = sin x .

Definicja 3.6 (Odwzorowania ”na”)
Funkcję f nazywamy odwzorowaniem ”na”, jeżeli f (X) = Y .

Przykład 3.2

X = R, Y = h−1, 1i, f (x) = sin x .

Definicja 3.7 ( Odwzorowanie różnowartościowe)
Funkcję f nazywamy różnowartościową w zbiorze X , jeżeli dla każdej pary różnych
elementów x

, x

∈ X , f (x

) 6= f (x

) .

Przykład 3.3 X = h−

i, Y = R, f (x) = sin x .

Definicja 3.8 (Funkcji wzajemnie jednoznacznej)
Funkcję f nazywamy wzajemnie jednoznaczną, jeżeli jest różnowartościowa i ”na”.

Przykład 3.4

X = h−

i, Y = h−1, 1i, f (x) = sin x .

Definicja 3.9 (Funkcji złożonej)
Niech będą dane dwie funkcje f : X 7→ Y i g : Y 7→ Z .
Funkcję h : X 7→ Z taką, że (∀ x ∈ X) h(x) = g(f (x)) nazywamy funkcją złożoną i
oznaczamy h = g ◦ f .

Przykład 3.5 X = Y = Z = R , f (x) = sin x , g(y) = 2

, to h(x) = 2

sin x

Definicja 3.10 ( Funkcji odwrotnej)
Niech funkcja, f : X 7→ Y będzie odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym.
Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f

−1

: Y 7→ X określoną następująco:

−1

(y)) = x ⇔ f (x) = y

Przykład 3.6 Funkcję odwrotną do funkcji f (x) = sin x, X = h−

i, Y = h−1, 1i

oznaczamy f

−1

(x) = arc sin x . Dziedziną jest X = h−1, 1i ,a zbiorem wartości

Y = h−

i .

3.2

Granica funkcji

Definicja 3.11 (Punktu wewnętrznego zbioru)
Punkt x

∈ R jest punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy

(∃ δ ∈ R

) : (x

− δ, x

+ δ) ⊂ A

Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczmy int A i nazywamy wnętrzem tego zbioru.

Definicja 3.12 (Punktu skupienia zbioru)
Punkt x

nazywamy punktem skupienia zbioru A , jeśli

(∃ {x

} ⊂ A, x

6= x

) :

lim

n→∞

= x

Uwaga 3.1 Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.

Definicja 3.13 (Domknięcia zbioru)
Domknięciem zbioru

A nazywamy zbiór wszystkich granic ciągów złożonych z jego

elementów. Oznaczamy ten zbiór A .

∈ A ⇔ (∃ {x

} ⊂ A) :

lim

n→∞

= x

Uwaga 3.2 Zauważmy, że A ⊂ A , ponieważ każdy element x ∈ A możemy traktować
jako granicę ciągu stałego x

= x

Niech dane będą: zbiór A ⊂ R , funkcja f : A → R i x

-punkt skupienia zbioru A .

Definicja 3.14 (Granicy funkcji w sensie Heinego)
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x

, jeżeli

(∀{x

} ⊂ A, x

6= x

)

[ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = g]

Definicja 3.15 (Granicy funkcji w sensie Cauchy’ego )
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x

, jeżeli

(∀ε > 0) (∃ δ(ε, x

) > 0) (∀x ∈ A) [0 < |x − x

| < δ ⇒ |f (x) − g| < ε]

Uwaga 3.3 Liczba g ∈ R jest granicą funkcji w sensie Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy,
gdy jest granicą w sensie Heinego. Granicę oznaczamy symbolem lim

x→x

f (x) = g .

Przykład 3.7 Udowodnić, że lim

x→0

cos x = 1 .

Dowód:

Mamy pokazać, że

(∀ε > 0) (∃ δ(ε, 0) > 0) (∀x ∈ R) [0 < |x| < δ ⇒ | cos x − 1| < ε]

Korzystamy z własności: (∀x ∈ R) |cosx−cos0| = |−2sin

sin

| = 2| sin

sin

| ¬ 2|

x
2

| .

Biorąc δ = ε otrzymujemy |x| < δ ⇒ | cos x − 1| < ε.

♥

Twierdzenie 3.1 ( O zachowaniu nierówności w granicy)
Jeżeli funkcje f, g : A → R mają w punkcie x

granice oraz ( ∀x ∈ A )

f (x)  g(x), to

lim

x→x

f (x) lim

x→x

g(x)

Dowód:

Wprowadzimy oznaczenia: g

= lim

x→x

f (x) , g

= lim

x→x

g(x) .

Niech {x

} ⊂ A , x

6= x

będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do x

-punktu skupienia

zbioru A. Na podstawie definicji granicy w sensie Heinego mamy:

lim

x→x

f (x) = g

lim

x→x

g(x) = g

Stosujemy twierdzenie o zachowaniu nierówności przy przejściu do granicy dla ciągów i
otrzymujemy g

 g

♥

Definicja 3.16 ( Granicy lewostronnej)

lim

x→x

−
0

f (x) = g ⇔ (∀ {x

} ⊂ A , x

< x

)

[ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x) = g]

Definicja 3.17 ( Granicy prawostronnej)

lim

x→x

+
0

f (x) = g ⇔ (∀ {x

} ⊂ A , x

> x

)

[ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x) = g]

Uwaga 3.4 Podane definicje granic: lewostronnej i prawostronnej są równoważne
następującym:

lim

x→x

−
0

f (x) = g ⇔ (∀ε > 0) (∃ δ

(ε, x

) > 0) (∀x ∈ A) [ x

− δ

< x < x

⇒ |f (x) − g| < ε ]

lim

x→x

+
0

f (x) = g ⇔ (∀ε > 0) (∃ δ

(ε, x

) > 0) (∀x ∈ A) [ x

< x < x

+ δ

⇔ |f (x) − g| < ε ]

Przykład 3.8

1. Znaleźć granice lewostronne i prawostronne funkcji w punkcie x

• f (x) =

−3x+2

x−1

, x

= 1

• g(x) =

|x|

, x

= 0

2. Udowodnić, że lim

x→0

−

1
x

= 0

Twierdzenie 3.2 Funkcja f ma w punkcie x

granicę wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją

granice jednostronne oraz

lim

x→x

−
0

f (x) = lim

x→x

+
0

f (x)

Granicą funkcji w punkcie x

jest wspólna wartość obu granic jednostronnych.

Dowód:

”⇒” Wynika natychmiast z definicji granicy lim

x→x

f (x) = g

” ⇐ ”Niech (∀ε > 0) (∃ δ

(ε, x

) > 0) (∀x ∈ A) [ x

− δ

< x < x

⇒ |f (x) − g| < ε ] oraz

(∀ε > 0) (∃ δ

(ε, x

) > 0) (∀x ∈ A) [ x

< x < x

+ δ

⇔ |f (x) − g| < ε ], wówczas

(∀ε > 0) (∃ δ = min(δ

, δ

)) (∀x ∈ A) [0 < |x − x

| < δ ⇔ |f (x) − g| < ε ]

Przykład 3.9 Udowodnić, że lim

x→o

sin x

= 1

Dowód:

Dla 0 < x <

mamy sin x ¬ x ¬ tg x , a po przekształceniach nierówności te są

równoważne nierównościom cos x ¬

sin x

¬ 1 .

Korzystając z definicji (w sensie Heine’go) granicy funkcji oraz twierdzenia o trzech
ciągach otrzymujemy:

lim

x→0

sin x

= 1

Podobnie udawadniamy, że

lim

x→0

−

sin x

= 1 . W tym przypadku należy skorzystać z

nierówności tgx ¬ x ¬ sin x prawdziwej dla x ∈ −

, 0

♥

Definicja 3.18 (Granica niewłaściwa w sensie Heine’go)

lim

x→x

f (x) = +∞ ⇔ (∀ {x

} ⊂ A , x

6= x

) [ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = ∞]

Definicja 3.19 ( Granica niewłaściwa w sensie Cauchy’ego)

lim

x→x

f (x) = +∞ ⇔ (∀E ∈ R) (∃δ(x

, E) > 0) (∀x ∈ A) [ 0 < |x − x

| < δ ⇒ f (x) > E]

Analogicznie określa się granice niewłaściwe:

lim

x→x

f (x) = −∞ ,

lim

x→x

−
0

f (x) = +∞

lim

x→x

+
0

f (x) = +∞ ,

lim

x→x

−
0

f (x) = −∞ ,

lim

x→x

+
0

f (x) = −∞

Przykład 3.10 Udowodnić, że

lim

x→0

1
x

= +∞ .

Dowód:

Niech E > 1 będzie dowolną liczbą. Wówczas 2

1
x

> E wtedy i tylko wtedy, gdy

1
x

> log

E, czyli x <

log

. Stąd dla δ =

log

mamy 0 < x < δ ⇒ 2

1
x

> E .

♥

Definicja 3.20 ( Granicy w nieskończoności)
Liczba g jest granicą funkcji f w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

(∀ε > 0) (∃M (ε) > 0) (∀x ∈ R)[ x > M ⇒ |f (x) − g| < ε]

Granicę tę zapisujemy

lim

x→+∞

f (x) = g .

Analogicznie definiujemy granice:

lim

x→−∞

f (x) = g ,

lim

x→+∞

f (x) = −∞ ,

lim

x→−∞

f (x) = +∞ .

Przykład 3.11 Udowodnić, że

lim

x→+∞

= 0 .

Dowód:

Wystarczy brać pod uwagę x > 0 . Dla dowolnego ustalonego ε > 0 nierówność

< ε jest równoważna nierówności x >

√

. Przyjmując M =

√

otrzymamy dla

x > M nierówność

− 0 |< ε , a to oznacza, że 0 jest granicą funkcji f (x) =

przy x → +∞ .

♥

Przykład 3.12 Wykazać, że

lim

x→+∞

(1 +

1
x

)

= e .

Przykład 3.13 Wykazać, że

lim

x→−∞

(1 +

1
x

)

= e .

Przykład 3.14 Wykazać, że lim

x→0

(1 + x)

1
x

= e .

Przykład 3.15 Udowodnić, że nie istnieje granica lim

x→0

sin

1
x

Dowód:

Korzystamy z definicji Heinego. Weźmy dwa ciągi x

nπ

, x

+2nπ

zbieżne do 0 przy n → ∞ . Wówczas lim

n→∞

f (x

) = lim

n→∞

sin nπ = 0 ,

lim

n→∞

f (x

) =

lim

n→∞

sin(

+ 2nπ) = 1 . Granica ta nie istnieje, gdyż dwa ciągi

{f (x

)} , {f (x

)} posiadają różne granice.

♥

Twierdzenie 3.3 ( O granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji)
Jeżeli f : A 7→ R ,

g : A 7→ R , i x

jest punktem skupienia zbioru A oraz istnieją

granice lim

x→x

f (x) ,

lim

x→x

g(x), to:

1. Istnieje granica sumy tych funkcji w punkcie x

i równa się sumie granic:

lim

x→x

(f (x) + g(x)) = lim

x→x

f (x) + lim

x→x

g(x)

Analogiczną własność ma różnica funkcji.

2. Dla dowolnej liczby rzeczywistej λ istnieje lim

x→x

(λf (x)) i

lim

x→x

(λf (x)) = λ lim

x→x

f (x)

3. Istnieje granica iloczynu tych funkcji i równa się iloczynowi granic

lim

x→x

(f (x)g(x)) = lim

x→x

f (x) lim

x→x

g(x)

4. Przy dodatkowym założeniu , że (∀x ∈ A , g(x) 6= 0) oraz

lim

x→x

g(x) 6= 0 istnieje

granica ilorazu tych funkcji i równa się ilorazowi granic

lim

x→x

f (x)

g(x)

lim

x→x

f (x)

lim

x→x

g(x)

Uwaga 3.5 Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych funkcji
w punkcie x

oraz w −∞ lub +∞

Przykład 3.16 Znaleźć granice

• lim

x→0

cos x +

• lim

x→0

sin 5x
sin 7x

• lim

x→64

√

x−4

8−

√

3.3

Ciągłość funkcji

Rozpatrujemy funkcję f : A 7→ R , gdzie A ⊂ R i x

∈ A jest punktem skupienia

zbioru A.

Definicja 3.21 ( Ciągłości funkcji w punkcie)
Funkcja f jest ciągła w punkcie x

∈ A , jeżeli istnieje granica lim

x→x

f (x) oraz

lim

x→x

f (x) = f (x

)

Uwaga 3.6 Ciągłość funkcji w x

∈ A oznacza:

(∀ {x

} ⊂ A)

lim

n→∞

= x

⇒ lim

x→x

f (x) = f (x

)

i jest równoważna warunkowi:

(∀ε > 0) (∃ δ(ε, x

) > 0) (∀x ∈ A)[ |x − x

| < δ =⇒ |f (x) − f (x

| < ε ]

Definicja 3.22 ( Ciągłości funkcji na zbiorze)
Funkcja f określona na zbiorze A ⊂ R nazywa się ciągła na tym zbiorze, jeżeli jest ciągła
w każdym jego punkcie.

Uwaga 3.7 Ciągłość funkcji f : < a, b >7→ R na przedziale domkniętym < a, b >
oznacza w szczególności , że

lim

x→a

f (x) = f (a) i

lim

x→b

−

f (x) = f (b) .

Przykład 3.17
Wykazać , że funkcja f (x) = sin x jest ciągła na R.

Dowód:

Niech x

będzie dowolnym punktem i x

∈ R . Ze wzoru na różnicę sinusów

sin x − sin x

= 2 sin

x − x

cos

x + x

oraz własności | sin

x−x

| ¬ |

x−x

| i | cos

x+x

| ¬ 1 otrzymujemy oszacowanie

| sin x − sin x

| ¬ |x − x

Wtedy dla dowolnej liczby ε > 0 wystarczy wziąć δ = ε , aby otrzymać implikację

|x − x

| < δ ⇒ | sin x − sin x

| < ε

która udawadnia ciągłość funkcji w punkcie x

. Z dowolności tego punktu wynika ciągłość

funkcji na całej osi liczbowej.

♥

Twierdzenie 3.4 ( O ciągłości sumy, iloczynu i ilorazu funcji)
Jeżeli f : A 7→ R , g : A 7→ R są funkcjami ciągłymi na A, to również funkcje:

f + g ,

λ · f (λ ∈ R) ,

f · g

|f | ,

oraz

(przy dodatkowym założeniu, że (∀x ∈ A , g(x) 6= 0))

są ciągłe na A.

Dowód:

Ciągłość funkcji |f | wynika z ciągłości funkcji f oraz nierówności:

||f (x)| − |f (x

)|| < |f (x) − f (x

Dowód pozostałych punktów tezy wynika z Twierdzenia 3.3.

Przykład 3.18 Pokazać , że f (x) = x sin x jest funkcją ciągłą na R.

Przykład 3.19 Zbadać ciągłość funkcji f (x) =

(

sin x

|x|

dla x ∈ R \ {0}

1 dla x = 0

Twierdzenie 3.5 ( O ciągłości funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja f : A 7→ B jest ciągła w puncie x

∈ A , a funkcja g : B 7→ C jest ciągła

w punkcie y

= f (x

) ∈ B , to funkcja złożona h = g ◦ f, jest ciągła w puncie x

Dowód:

Weźmy dowolny ciąg {x

} ⊂ A , różny od ciągu stałego i zbieżny do x

. Z ciągłości funkcji

f wynika, że lim

n→∞

f (x

) = f (x

) .

Ciągłość funkcji g daje lim

n→∞

g (f (x

)) = g (f (x

)) . Udowodniliśmy więc, że

(∀ {x

} ⊂ A , x

6= x

)

lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

g (f (x

)) = g (f (x

))

co oznacza ciągłość funkcji g ◦ f w punkcie x

♥

Przykład 3.20 Funkcja h(x) = exp(sin x) jest ciągła na R.

Definicja 3.23 ( Punktów nieciągłości)
Punkt x

nazywa się punktem nieciągłości I. rodzaju funkcji f, jeśli istnieją granice

właściwe

lim

x→x

−
0

f (x) ,

lim

x→x

+
0

f (x) , ale przynajmniej jedna z nich jest różna od f (x

) .

Punkt nieciągłości I rodzaju nazywa się punktem nieciągłości usuwalnej, jeżeli granice
właściwe jednostronne są równe, ale różne od f (x

) .

Punktami nieciągłości II. rodzaju nazywają się pozostałe punkty nieciągłości.
W punktach tych nie istnieje przynajmniej jedna z granic

lim

x→x

−
0

f (x),

lim

x→x

+
0

f (x) lub

przynajmniej jedna jest niewłaściwa.

Przykład 3.21 Funkcja Heaviside’a f (x) =











0 dla x < 0

1
2

dla x = 0

1 dla x > 0

stosowana w mechanice i teorii sprężystości ma punkt nieciągłości I. rodzaju w punkcie
x

= 0 .

Przykład 3.22 Funkcja f (x) =

(

1
x

dla x ∈ R \ {0}

0 dla x = 0

ma punkt nieciągłości x

= 0 II. rodzaju.

Twierdzenie 3.6 ( O ciągłości funkcji odwrotnej)
O ile istnieje funkcja odwrotna do funkcji ciągłej określonej na < a, b >, to jest ona funkcją
ciągłą.

Przykład 3.23 Funkcja f (x) = arc sin x , x ∈ h−1, 1i jest ciągła.

3.4

Własności funkcji ciągłych

Twierdzenie 3.7 (Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f : A 7→ R jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym
A = ha, bi , to jest funkcją ograniczoną na A i istnieją punkty x

, x

∈ A takie, że

f (x

) = inf

x∈A

f (x) ,

f (x

) = sup

x∈A

f (x)

Twierdzenie 3.8 ( O lokalnym zachowaniu znaku)
Jeżeli f : A 7→ R jest ciągła w punkcie x

∈ A i f (x

) > 0 , to

(∃δ > 0) (∀x ∈ A) [|x − x

| < δ ⇒ f (x) > 0]

(Jeżeli f (x

) < 0 , to (∃δ > 0) (∀x ∈ A) [|x − x

| < δ ⇒ f (x) < 0])

Twierdzenie 3.9 (Darboux)
Jeżeli f :< a, b >7→ R jest ciągła na przedziale < a, b >, f (a) 6= f (b) , a liczba r jest
zawarta między liczbami f (a), f (b), to istnieje c ∈ (a, b) takie, że f (c) = r.

Wniosek 3.1 Jeżeli f :< a, b >7→ R jest ciągła na przedziale < a, b > oraz
f (a)f (b) < 0, to istnieje c ∈ (a, b) takie, że f (c) = 0.

Przykład 3.24 Pokazać, że równanie 2 sin x = x ma w przedziale < 0, π >, pierwiastek
rzeczywisty różny od zera .

Przykład 3.25 Znaleźć rozwiązanie równania

na przedziale (-1,0) z

dokładnością do

1
8

Przykład 3.26 Wykazać, że przez dowolny punkt wewnętrzny wielokąta wypukłego można
przeprowadzić sieczną w ten sposób, aby punkt ten był jej środkiem.

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

4.1

Pochodna

Definicja 4.1 ( Pochodnej)
Funkcja f : A 7→ R ma pochodną w punkcie wewnętrznym x

∈ intA , jeżeli istnieje

granica ilorazu różnicowego

lim

x→x

f (x) − f (x

)

x − x

Granicę tę oznaczamy f

) lub

df (x

)

i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x

Twierdzenie 4.1
Jeżeli funkcja f : A 7→ R ma w punkcie x

∈ intA pochodną f

), to jest ciągła w tym

punkcie.

Dowód:

Obierzmy punkt x ∈ A . Możemy zapisać:

f (x) =

f (x) − f (x

)

x − x

· (x − x

) + f (x

)

Po przejściu do granicy otrzymujemy:

lim

x→x

f (x) = lim

x→

f (x) − f (x

)

x − x

· lim

x→x

(x − x

) + f (x

) = f

) · 0 + f (x

) = f (x

)

Zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x

♥

Definicja 4.2 (Pochodnej na zbiorze)
Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie wewnętrznym x ∈ A , to funkcję x 7→ f

(x)

nazywamy pochodną funkcji f na zbiorze A i oznaczamy ją symbolem f

lub

Przykład 4.1 Znaleźć pochodną funkcji f (x) = sin x na zbiorze R.

Rozwiązanie:

Niech x

będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Oznaczmy ∆x = x − x

lim

∆x→0

sin(x

+ ∆x) − sin x

∆x

= lim

∆x→0

2 sin

∆x

cos(x

∆x

)

∆x

= lim

∆x→0

sin

∆x

cos(x

∆x

) = cos x

Z dowolności x

wynika, że (∀x ∈ R) (sin x)

= cos x .

Przykład 4.2 Wykazać, że (cos x)

= − sin x.

Interpretacja geometryczna pochodnej

Niech α oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x

, f (x

)) i

dodatnim kierunkiem osi Ox. Wtedy

) = tg α

Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

, f (x

)) ma postać:

y = f (x

) + f

) (x − x

)

Przykład 4.3 Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = cos x w punkcie

, 0

Przykład 4.4 Wyprowadzić wzór na miarę kąta ostrego pod jakim przecinają się wykresy
dwóch funkcji.
Znaleźć miarę kąta pod jakimi przecinają się wykresy f (x) = x

, g(x) = x

Definicja 4.3 ( Pochodnej jednostronnej)
Niech x

∈ A i istnieje takie δ > 0 , że (x

− δ, x

i ⊂ A . Pochodną lewostronną funkcji

f w punkcie x

nazywamy granicę lewostronną właściwą:

−

) = lim

x→x

−
0

f (x) − f (x

)

x − x

Analogicznie definiujemy pochodną prawostronną:

) = lim

x→x

+
0

f (x) − f (x

)

x − x

Uwaga 4.1 Funkcja f ma w punkcje x

pochodną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją

pochodne lewostronna i prawostronna w tym punkcie i są równe.

Przykład 4.5 Zbadać istnienie pochodnej funkcji f (x) = |x| w punkcie x

= 0 .

Rozwiązanie:

Obliczamy pochodne jednostronne:

−

(0) = lim

x→0

−

|x| − |0|

= lim

x→0−

−x

= −1

) = lim

x→0+

|x| − |0|

= lim

x→0+

= 1

Skoro f

−

) 6= f

−

) , to nie istnieje pochodna funkcji f (x) = |x| w x

= 0.

Przykład 4.6

1. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f (x) = | sin x| w punkcie x

= 0 .

2. Znaleźć pochodną f (x) = x|x| w punkcie x

= 0

Przykład 4.7 Pokazać, że dla x > 0 mamy (ln x)

1
x

Dowód:

Ustalmy dowolne x

> 0 i oznaczmy ∆x = x − x

lim

∆x→0

ln(x

+ ∆x) − ln x

∆x

= lim

∆x→0

ln(1 +

∆x

)

∆x

ln e =

Przy obliczaniu powyższej granicy wykorzystano ciągłość funkcji f (x) = ln x na

przedziale (0, ∞) oraz własność lim

z→0

(1 + z)

1
z

= e, ( bierzemy z =

∆x

). Z dowolności

> 0 otrzymujemy wzór:

(∀x ∈ R

)

(ln x)

Definicja 4.4 ( Pochodnej na przedziale domkniętym)
Jeżeli funkcja f : ha, bi 7→ R ma pochodną w każdym punkcie przedziału otwartego (a, b)
oraz istnieją pochodne f

) oraz f

−

) , to mówimy, że funkcja f ma pochodną na całym

przedziale ha, bi .

Definicja 4.5 ( Klas funkcji)

Zbiór wszystkich funkcji mających pochodną na całym

zbiorze A oznaczamy przez D

(A) . Zbiór wszystkich funkcji mających ciągłe pochodne na

zbiorze A oznaczamy C

(A) .

Twierdzenie 4.2 ( O pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu dwóch funkcji)

Jeżeli funkcje f : A 7→ R , g : A 7→ R mają pochodne w punkcie x

∈ A , to pochodną w

punkcie x

mają też funkcje: f + g , f − g , f · g ,

oraz

( o ile g(x

) 6= 0 ).Ponadto

• (f + g)

) = f

) + g

) .

• (f − g)

) = f

) − g

) .

• (f · g)

) = f

)g(x

) + f (x)g

) .

• (

)

) =

)g(x

)−f (x

)

(g(x

))

Przykład 4.8 Wyprowadzić wzory na pochodne funkcji f (x) = tg(x) i g(x) = ctg(x).

Twierdzenie 4.3 (O pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x

, funkcja g ma pochodną w punkcie f (x

) ,

to funkcja złożona (g ◦ f ) ma pochodną w x

oraz

(g ◦ f )

) = g

(f (x

)) · f

)

Twierdzenie 4.4 ( O pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech funkcja f

• będzie ciągła i wzajemnie jednoznaczna na zbiorze A

• ma pochodną f

) 6= 0

Wtedy funkcja odwrotna

−1

ma pochodną w punkcie y

= f (x

) i

−1

) =

)

Uwaga 4.2

Jeżeli funkcja y = f (x) jest określona na A ⊂ R i ma funkcję odwrotną

w A oraz w każdym punkcie x ∈ A istnieje pochodna funkcji f i f

(x) 6= 0 , to funkcja

odwrotna x = f

−1

(y) ma w każdym punkcie swojej dziedziny pochodną (f

−1

)

(y)

−1

)

(y) =

(x)

x=f

−1

(y)

Przykład 4.9 Udowodnić, że dla x ∈ R (e

)

= e

Dowód:

Funkcja f

−1

(x) = e

, x ∈ R jest funkcją odwrotną do funkcji f (t) = ln t, t ∈ R

Korzystając z Twierdzenia 4.4 o pochodnej funkcji odwrotnej i Przykładu 4.7 otrzymujemy

−1

)

(x) =

(t)

t=e

= e

Przykład 4.10 Pokazać, że

• (log

x ln a

x ∈ R

, a ∈ R

\ {1} .

• (a

)

= a

ln a ,

x ∈ R ,

a ∈ R

\ {1} .

Przykład 4.11 Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = arc sin x, x ∈ h−1, 1i .

Rozwiązanie:

Niech y = sin x, x ∈ h−

i .

Funkcją odwrotną do tej funkcji jest f

−1

(y) = g(y) = arc sin y, y ∈ h−1, 1i .

Z twierdzenia 4.4 wynika, że

(y) =

(x)

x=f

−1

(y)

(sin x)

y=sin x

cos x

y=sin x

, x 6=

i x =6= −

Ale dla x ∈< −

>, cos x =

√

1 − sin x

1 − y

Stąd g

(y) =

√

1−y

, dla y ∈ (−1, 1) .

Ostatecznie (arc sin x)

√

1−x

, dla x ∈ (−1, 1) .

Przykład 4.12 Wyprowadzić wzory na pochodne funkcji: y = arc cos x, y = arctg x.

Definicja 4.6 (Pochodnych rzędu n )
Drugą pochodną funkcji f : A 7→ R w punkcie x

definiujemy jako pochodną pierwszej

pochodnej i oznaczamy

) =

)

Pochodną n-tego rzędu w punkcie x

definiujemy indukcyjnie

(n)

) =

(n−1)

)

Przykład 4.13 Obliczyć drugą pochodną funkcji f (x) = cos

3 x

Definicja 4.7 ( Klas funkcji dowolnego rzędu)
Zbiór wszystkich funkcji mających n - tą pochodną na zbiorze A oznaczamy D

(A) , a

zbiór wszystkich funkcji mających ciągłą n - tą pochodną na A, przez C

(A) .

Przez C

∞

(A) oznaczamy zbiór funkcji posiadających na A pochodne dowolnego rzędu.

Wniosek 4.1

1. f ∈ D

∞

(A) ⇐⇒ {(∀n ∈ N ∪ {0}), f ∈ C

(A)}

(Przyjmujemy, że C

(A) = C(A))

2. f ∈ D

(A) =⇒ {f ∈ C

(n−1)

(A)} =⇒ {(∀k ¬ n − 1) , f ∈ C

(A)}

3. Jeśli f ∈ C

(A), to f ∈ D

(A)

4. Z tego,że f ∈ D

(A) nie wynika, że f ∈ C

(A)

4.2

Różniczka funkcji

Rozpatrujemy funkcję f → A , A ⊂ R.
Niech punkt x

będzie punktem wewnętrznym zbioru A. Określamy przyrost:

∆x = x − x

taki, że x = x

+ ∆x również należy do A.

Definicja 4.8 (Różniczki funkcji)
Niech funkcja f ma pochodną w punkcie wewnętrznym x

∈ A .

Różniczką funkcji f w punkcie x

nazywamy funkcję df zmiennej ∆x = x−x

określoną

wzorem

df (∆x) = f

) · ∆x

Twierdzenie 4.5
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x

, to

lim

∆x→0

(f (x

+ ∆x) − f (x

)) − df (∆x)

∆x

= 0

Uwaga 4.3 Dla dostatecznie małych przyrostów ∆x do obliczeń przybliżonych stosujemy
wzór

f (x

+ ∆x) ≈ f (x

) + df (∆x)

Przykład 4.14 Korzystając z różniczki funkcji obliczyć wartości przybliżone wyrażeń:

√

1.2

√

15.96

c) arctg 0.98

4.3

Twierdzenia o granicach nieoznaczonych

Wyrażenia nieoznaczone typu

0
0

∞
∞

Twierdzenie 4.6 (Reguła de l’Hospitala dla nieoznaczoności

0
0

)

Niech funkcje f, g,

będą określone w zbiorze (x

−δ, x

) ∪ (x

, x

+ δ) oraz spełniają

warunki:

• lim

x→x

f (x) = lim

x→x

g(x) = 0

• istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim

x→x

(x)

Wtedy istnieje lim

x→x

f (x)

g(x)

i lim

x→x

f (x)

g(x)

= lim

x→x

(x)

Twierdzenie 4.7 (Reguła de l’Hospitala dla nieoznaczoności

∞
∞

)

Niech funkcje f, g,

będą określone w zbiorze (x

−δ, x

) ∪ (x

, x

+ δ) oraz spełniają

warunki:

• lim

x→x

f (x) = lim

x→x

g(x) = ∞

• istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim

x→x

(x)

Wtedy istnieje lim

x→x

f (x)

g(x)

i lim

x→x

f (x)

g(x)

= lim

x→x

(x)

Uwaga 4.4 Powyższe dwa twierdzenia są prawdziwe także dla granic jednostronnych w
punkcie x

oraz dla granic w −∞ i +∞.

Przykład 4.15 Znaleźć granice:

a) lim

x→0

ln(1 + x)

b) lim

x→0

x − sin x

c) lim

x→∞

Przykład 4.16 Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de l’Hospitala?

a) lim

x→∞

x + cos2x

x − cosx

b) lim

x→0

sin

1
x

sinx

Inne typy nieoznaczoność: 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

, ∞

, 1

∞

Jeżeli jeden z wyrazów iloczynu f (x) g(x) dąży do zera a drugi do nieskończoności, to
mówimy o nieoznaczoności (0 · ∞) . Jeśli w wyrażeniu f (x) − g(x) obydwie funkcje dążą
do +∞ lub −∞ , to nieoznaczoność jest typu ( ∞ − ∞ ). W wyrażeniach postaci f (x)

g(x)

występują nieoznaczoności typu 0

, ∞

, 1

∞

Uwaga 4.5 Przy badaniu granic wyrażeń postaci f (x)

g(x)

, f (x) > 0 należy skorzystać

z tożsamości

f (x)

g(x)

= e

g(x) ln f (x)

Przykład 4.17 Znaleźć granice:

lim

x→0

x ln x

2. lim

x→0

−

sin x

lim

x→0

lim

x→0

(ctg x)

5. lim

x→∞

arctgx

4.4

Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

Twierdzenie 4.8 (Twierdzenie Rolle’a)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi i różniczkowalna wewnątrz (a, b) oraz
f (a) = f (b) , to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f

Dowód:

Jeżeli f jest funkcją stałą na ha, bi , to f

(x) = 0 w każdym punkcie x ∈ (a, b).

Jeżeli f nie jest funkcją stałą, to z jej ciągłości na odcinku domkniętym i ograniczonym
wynika (Twierdzenie Weierstrassa 3.7), że f osiąga w tym przedziale wartość największą
M i najmniejszą m.
Ponieważ f (a) = f (b) , więc jedna z liczb m, M jest różna od f (a) = f (b) .
Istnieje więc c ∈ (a, b) takie, że f (c) jest wartością największą lub najmniejszą funkcji f
w ha, bi .
Na przykład, niech w punkcie c ∈ (a, b) funkcja osiąga kres górny.
Wtedy (∀x ∈ ha, bi)

f (x) ¬ f (c) , więc prawdziwe są implikacje:

x > c ⇒

f (x) − f (c)

x − c

¬ 0

x < c ⇒

f (x) − f (c)

x − c

Z twierdzenia 3.8 o zachowaniu znaku w granicy wynika, że:

lim

x→c

f (x) − f (c)

x − c

= f

lim

x→c

−

f (x) − f (c)

x − c

= f

−

Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie c , więc f

−

jedynie gdy f

♥

Przykład 4.18 Zbadać czy można zastosować twierdzenie Rolle’a do funkcji:

• f (x) = x

2
3

, x ∈< −1, 1 >

• g(x) = cos x , x ∈

−

• h(x) = |x − 1|

, x ∈< 0, 2 >

Twierdzenie 4.9 (Twierdzenie Lagrange’a)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi i różniczkowalna wewnątrz (a, b) , to
istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f (b) − f (a) = f

Dowód:

Rozważamy funkcję pomocniczą F (x) = (b − a) · f (x) − (f (b) − f (a)) · x.
Funkcja F spełnia założenia twierdzenia Rolle’a.
Zatem istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że

♥

Uwaga 4.6 Jeżeli funkcja f spełnia założenia twierdzenia Lagrange’a, to istnieje taki
punkt (c, f (c)) na wykresie tej funkcji, w którym styczna jest równoległa do siecznej, to
znaczy prostej przechodzącej przez punkty (a, f (a)) i (b, f (b)).

Przykład 4.19 Znaleźć punkty na wykresie podanych funkcji, w których styczna jest
równoległa do siecznej.

a) f (x) = x

, x ∈< −1, 2 >

b) g(x) =

1 + x

, x ∈< 0, 3 >

c) h(x) = arc cos x , x ∈< −1, 1 >

Twierdzenie 4.10 (Twierdzenie o wartości średniej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi i różniczkowalna wewnątrz (a, b) , to dla
dowolnych punktów x

, x ∈ ha, bi takich, że x

6= x istnieje liczba θ ∈ (0, 1) taka, że

f (x) = f (x

) + f

+ θ(x − x

)) · (x − x

)

Dowód:

Stosując twierdzenie Lagrange’a 4.9 dla przedziału < x

, x > , gdy x

< x lub < x, x

> ,

gdy x < x

otrzymujemy tezę twierdzenia z θ =

c−x

x−x

Przykład 4.20 Korzystając z powyższego twierdzenia uzasadnić podane nierówności:

1. (∀x > 0)

1+x

< ln(1 + x) < x

2. (∀x ∈ R)

1 + x

3. (∀x, y ∈< −1, 1 >)

| arc sin x − arc sin y| |x − y|

Wniosek 4.2
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi i różniczkowalna wewnątrz (a, b) oraz
(∀x ∈ (a, b)) f

(x) = 0 , to f jest funkcją stałą na < a, b >.

Przykład 4.21 Udowodnić, że:

1. (∀x ∈ (0, 1 >)

arc cos x = arc sin

√

1 − x

= arctg

√

1−x

2. (∀x > 0)

arc cos

√

1+x

= arcctg

1
x

Definicja 4.9 Funkcję f określoną na przedziale (a, b) nazywamy na tym przedziale

• rosnącą, jeśli (∀x

, x

∈ (a, b)) [x

> x

=⇒ f (x

) > f (x

)]

• niemalejąca, jeśli (∀x

, x

∈ (a, b)) [x

> x

=⇒ f (x

)  f (x

)]

• malejąca, jeśli (∀x

, x

∈ (a, b)) [x

> x

=⇒ f (x

) < f (x

)]

• nierosnącą, jeśli (∀x

, x

∈ (a, b)) [x

> x

=⇒ f (x

) ¬ f (x

)]

Wniosek 4.3

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi , ma pochodną wewnątrz

(a, b) oraz

• f

(x) > 0 na (a, b) , to funkcja f jest na przedziale ha, bi rosnąca.

• f

(x) 0 na (a, b) , to funkcja jest na przedziale ha, bi niemalejąca.

• f

(x) < 0 na (a, b) , to funkcja f jest na przedziale ha, bi malejąca.

• f

(x) ¬ 0 na (a, b) , to funkcja f jest na przedziale ha, bi nierosnąca.

Dowód:

(dla f

(x) > 0 )

Niech x

, x

będą dowolnymi punktami z przedziału ha, bi takimi, że x

< x

. Z

twierdzenia Lagrange’a 4.9 dla przedziału hx

, x

i wynika, że istnieje takie c ∈ (x

, x

że f (x

) − f (x

) = f

(c)(x

− x

) . Skoro f

− x

) > 0, to f (x

) − f (x

) > 0,

więc funkcja f jest rosnąca.

Dowody

dla pozostałych przypadków są podobne.

Przykład 4.22 Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji f (x) = x

Twierdzenie 4.11 ( Twierdzenie Taylora)
Jeżeli funkcja f jest klasy C

(ha, bi)

n+1

((a, b)) , to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że

f (b) = f (a) +

(a)

(b − a) +

(a)

(b − a)

(n)

(a)

(b − a)

(n+1)

(c)

(n+1)!

(b − a)

n+1

Wniosek 4.4
Jeżeli funkcja f jest klasy C

(ha, bi)

n+1

((a, b)) , to dla dowolnych dwóch punktów

, x ∈< a, b > , istnieje liczba rzeczywista θ ∈ (0, 1) , że

f (x) = f (x

) +

k=1

(k)

)

(x − x

)

(n+1)

+ θ(x − x

)

(n + 1)!

(x − x

)

n+1

Uwaga 4.7
Powyższy wzór nazywamy wzorem Taylora, przy czym ostatni składnik w tym wzorze
nosi nazwę n-tej reszty w postaci Lagrange’a.
W szczególnym przypadku, gdy x

= 0 , wzór nazywamy wzorem Maclaurina:

f (x) = f (0) +

k=1

(k)

(0)

(n+1)

(θx)

(n + 1)!

n+1

θ ∈ (0, 1)

Przykład 4.23 Wykazać, że:

a) (∀x ∈ R) (∃θ ∈ (0, 1))

= 1 +

k=1

+ e

θx

n+1

(n + 1)!

b) (∀x ∈ R

) (∃θ ∈ (0, 1))

ln(1 + x) =

k=1

(−1)

k−1

+ (−1)

n+1

(n + 1) (1 + θx)

n+1

4.5

Ekstrema funkcji

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x

Definicja 4.10

• Funkcja f ma w punkcie x

minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie tego

punktu (x

− δ, x

+ δ), δ > 0 , że dla każdego x ∈ (x

− δ, x

+ δ)

f (x

) ¬ f (x)

(3)

• Funkcja f ma w punkcie x

maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie

punktu (x

− δ, x

+ δ), δ > 0 , że dla każdego x ∈ (x

− δ, x

+ δ)

f (x

)  f (x)

(4)

Minima i maksima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.
Jeżeli nierówności (3), (4) są ostre (dla x 6= x

), to ekstema lokalne nazywamy

właściwymi.

Twierdzenie 4.12 (Lemat Fermata)
Niech funkcja f :< a, b >→ R osiąga w punkcie c ∈ (a, b) ekstremum lokalne oraz istnieje
pochodna f

Dowód:

Niech f (c) będzie maksimum lokalnym funkcji f . Wtedy istnieje taki przedział
(c − δ, c + δ) , δ > 0 , że dla każdego x ∈ (c − δ, c + δ) ,

f (c)  f (x).

W punkcie c funkcja ma pochodną, więc

−

(c)

Dla x > c mamy

f (x)−f (c)

x−c

¬ 0 . Stąd lim

x→c

f (x)−f (c)

x−c

= f

Analogicznie, dla x < c otrzymujemy pochodną lewostronną f

−

To jest możliwe jedynie, gdy f

Dowód dla minimum lokalnego jest podobny.

Uwaga 4.8
Punkty w których zeruje się pierwsza pochodna nazywamy punktami stacjonarnymi.
Zbiór punktów w których funkcja może osiągać ekstrema składa się z punktów
stacjonarnych i tych, w których pierwsza pochodna nie istnieje.

Twierdzenie 4.13 ( I warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale (a, b), ma pochodną w (a, x

) ∪ (x

, b) i istnieje

pewne otoczenie punktu x

, w którym f

(x) ¬ 0 dla x < x

i f

(x) 0 dla x > x

, to

funkcja f osiąga w x

minimum lokalne.

Jeżeli f

(x) 0 dla x < x

, a f

(x) ¬ 0 dla x > x

, to funkcja f osiąga w x

maximum lokalne.

Dowód:

wynika z Definicji ekstremum 4.10 i Wniosku 4.3.

Przykład 4.24 Zbadać istnienie extremów lokalnych funkcji:

f (x) = | ln x| ,

g(x) = e

−|x|

Twierdzenie 4.14 ( II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)

Jeżeli f ∈ C

(ha, bi), x

∈ (a, b) i f

) = 0 oraz f

) 6= 0 , to funkcja f osiąga w

punkcje x

• minimum lokalne właściwe, gdy f

) > 0 ,

• maksimum lokalne właściwe, gdy f

) < 0 .

Dowód:

Niech f

) > 0 . Na mocy Twierdzenia3.8 o lokalnym zachowaniu znaku istnieje δ > 0 ,

takie, że dla x ∈ (x

− δ, x

+ δ) f

(x) > 0 .

Na mocy Twierdzenia Taylora 4.11 dla n = 1 , mamy

f (x) = f (x

) +

)

(x − x

) +

(c)

(x − x

)

, gdzie c ∈ (x

− δ, x

+ δ).

(5)

Wykorzystując warunek f

) = 0 , otrzymujemy f (x) − f (x

) =

(c)

(x − x

)

Z założenia f

) > 0 dla x ∈ (x

− δ, x

+ δ), x 6= x

Oznacza to, że w punkcie x

funkcja f osiąga minimum lokalne właściwe.

Dowód

dla maksimum jest analogiczny.

Przykład 4.25 Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji:

f (x) = (sinh x)

g(x) = − cosh x

4.6

Wklęsłość i wypukłość funkcji. Punkty przegięcia

Definicja 4.11 ( Zbioru wypukłego )
Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.
Zbiór D ⊂ X nazywamy wypukłym, jeżeli dla każdych x

, x

∈ D i α ∈ h0, 1i

αx

+ (1 − α)x

∈ D

Przykład 4.26 Niech X = R

, x

∈ R

Odcinek łączący punkty x

, x

∈ R

zdefiniowany w następująco:

, x

i = {x ∈ R

: x = αx

+ (1 − α)x

, α ∈ h0, 1i}

jest zbiorem wupukłym.

Uwaga 4.9 Zbiór D ⊂ R

jest wypukły, jeżeli z każdymi dwoma punktami x

, x

∈ D

do zbioru tego należy również odcinek łączący te punkty.

Przykład 4.27 Przedział otwarty (a, b) ⊂ R jest zbiorem wypukłym.

Definicja 4.12 ( Wypukłości funkcji )
Niech f będzie funkcją rzeczywistą f : (a, b) 7→ R . Funkcję tę nazywamy wypukłą

(a, b) , jeżeli dla każdych dwóch punktów x

, x

∈ (a, b) i każdego λ ∈ h0, 1i , spełniona

jest nierówność

f (λx

+ (1 − λ)x

) ¬ λf (x

) + (1 − λ)f (x

(6)

Jeżeli spełniona jest nierówność przeciwna () , to funkcję nazywamy wklęsłą w (a, b) .

Przykład 4.28
Pokazać, że funkcja f (x) = |x| jest wypukła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dowód:

Weźmy dwa dowolne punkty x

, x

∈ R i dowolne λ ∈ h0, 1i . Wówczas

f (λx

+ (1 − λ)x

) = |λx

+ (1 − λ)x

| ¬ |λx

| + |(1 − λ)x

| = |λ||x

| + |1 − λ||x

| =

λ|x

| + (1 − λ)|x

| = λf (x

) + (1 − λ)f (x

) .

♥

Definicja 4.13 ( ścisłej wypukłości funkcji )
Funkcję f : (a, b) 7→ R nazywamy ściśle wypukłą w (a, b) , jeżeli dla każdych dwóch
punktów x

, x

∈ (a, b), (x

6= x

) i każdego λ ∈ (0, 1) spełniona jest nierówność

f (λx

+ (1 − λ)x

) < λf (x

) + (1 − λ)f (x

(7)

Jeżeli spełniona jest nierówność przeciwna (>) , to funkcję nazywamy ściśle wklęsłą w
(a, b) .

Przykład 4.29

Wykazać, że funkcja f (x) = x

jest ściśle wypukła w zbiorze liczb

rzeczywistych.

Dowód:

Niech x

, x

będą dwoma różnymi punktami należącymi do R, a λ dowolną liczbą z

przedziału (0, 1) . Wówczas f (λx

+ (1 − λ)x

) = [λx

+ (1 − λ)x

]

[λ(x

− x

) + x

]

= λ

− x

)

+ 2λ(x

− x

+ x

λ(x

− x

)

+ 2λ(x

− x

+ x

= λx

+ (1 − λ)x

= λf (x

) + (1 − λ)f (x

) .

W dowodzie wykorzystano nierówność λ

< λ , prawdziwą dla λ ∈ (0, 1) i założenie, że

6= x

♥

Definicja 4.14 (Epigrafu funkcji)
Epigrafem funkcji

f : (a, b) 7→ R , nazywamy zbiór

epi f = {(x, y) ∈ R

: f (x) ¬ y}

Twierdzenie 4.15
Funkcja f : (a, b) 7→ R jest wypukła w (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy epi f jest zbiorem
wypukłym.

Przykład 4.30 Pokazać, że epigraf funkcji f (x) = |x| jest zbiorem wypukłym.

Dowód:

Niech (x, y

), (x

, y

) ∈ epi f (tzn: |x

| ¬ y

i |x

| ¬ y

Dla x = αx

+ (1 − α)x

i α ∈ h0, 1i mamy |αx

+ (1 − α)x

| ¬ |α||x

| + |1 − α||x

| =

α|x

| + (1 − α)|x

| ¬ αy

+ (1 − α)y

Oznacza to, że (αx

+ (1 − α) x

, α y

+ (1 − α) y

) ∈ epi f .

♥

Definicja 4.15 (Punktu przegięcia wykresu funkcji)
Punkt x

∈ (a, b) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f ∈ D

((a, b)) ,

jeżeli istnieje liczba (δ > 0) taka, że dla x ∈ (x

− δ, x

) funkcja jest ściśle wypukła

( ściśle wklęsła), a dla x ∈ (x

, x

+ δ) ściśle wklęsła ( ściśle wypukła ).

Twierdzenie 4.16 (Warunek wystarczający ścisłej wypukłości ( ściśłej wklęsłości ))

Jeżeli f ∈ D

((a, b)) i f

(x) > 0 (f

(x) < 0) , dla każdego x ∈ (a, b) , to funkcja f jest

ściśle wypukła ( ściśle wklęsła ).

Twierdzenie 4.17 ( Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Niech punkt (x

, f (x

)) będzie punktem przegięcia wykresu funkcji

f ∈ C

((a, b)) . Wtedy f

) = 0 .

Dowód:

Niech f ”(x

) 6= 0 . Z ciągłości drugiej pochodnej funkcji f w punkcie x

i Twierdzenia3.8

wynika, że istnieje takie δ > 0 , że dla x ∈ (x

− δ, x

+ δ), f ”(x) > 0 lub f ”(x) < 0 .

Przeczy to założeniu, że punkt x

jest punktem przegięcia wykresu funkcji.

♥

Uwaga 4.10 ( Warunki dostateczne istnienia punktu przegięcia)

• I warunek

Niech f ∈ C

((a, b)) , f

) = 0 oraz f

zmienia znak przy przejściu przez punkt

• II warunek

Niech f ∈ C

((a, b)) , f

) = 0 oraz f

000

) 6= 0 .

Przykład 4.31 Wyznaczyć przedziały ścisłej wklęsłości i ścisłej wypukłości oraz punkty
przegięcia funkcji :

a) f (x) = x

b) f (x) = sinh x ,

c) f (x) = xe

−x

d) f (x) = e

−x

4.7

Asymptoty wykresu funkcji

Definicja 4.16 (Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji)
Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji
y = f (x) , jeżeli

lim

x→a

−

f (x) = ∞ albo

lim

x→a

−

f (x) = −∞

Definicja 4.17 (Asymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji)
Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji
y = f (x) , jeżeli

lim

x→a

f (x) = ∞ albo

lim

x→a

f (x) = −∞

Jeżeli prosta x = a jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną,

to mówimy, że jest asymptotą pionową obustronną.

Uwaga 4.11 (O lokalizacji asymptot pionowych funkcji)
Funkcja elementarna może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach swej
dziedziny.

Przykład 4.32
Zbadać, czy podane proste są asymptotami pionowymi wskazanych funkcji:

a) f (x) =

sin

, x = 0

b) g(x) = e

1
x

, x = 0

c) h(x) =

+ x − 2

x − 2

, x = 2

Definicja 4.18 (Asymptota ukośna wykresu funkcji)
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji y = f (x) w +∞ wtedy i
tylko wtedy, gdy

lim

x→+∞

(f (x) − ax − b) = 0

Podobnie definiuje się asymptotę ukośną w −∞. Jeżeli a = 0 , to asymptotę y = b
nazywamy poziomą.

Twierdzenie 4.18
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

a = lim

x→+∞

f (x)

i b = lim

x→+∞

(f (x) − a x)

Przykład 4.33 Znaleźć asymptoty wykresu funkcji:

f (x) =

1−x

f (x) =

|x|

f (x) =

|x+1|

, f (x) = x

−x

, f (x) = xe

1
x

4.8

Badanie funkcji

• Ustalenie naturalnej dziedziny funkcji, jeżeli dziedzina wcześniej nie została podana.

• Wskazanie podstawowych własności funkcji:

parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość.

• Obliczenie granice funkcji na ”krańcach” dziedziny.

• Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.

• Badanie pierwszej pochodnej funkcji:

1. wyznaczenie dziedziny pochodnej i jej obliczenie

2. wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema

3. ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji

4. znalezienie ekstremów

• Badanie drugiej pochodnej, określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości wykresu

funkcji oraz wyznaczenie punków przegięcia

• Sporządzenie tabelki

• Sporządzenie wykresu funkcji

Przykład 4.34 Zbadać przebieg zmienności funkcji:

f (x) = x

−x

g(x) = x + 2arcctgx

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Niech A będzie pewnym przedziałem w R . Rozpatrujemy funkcje f : A → R .

Definicja 5.1 (funkcja pierwotna)
F ∈ D

(A) jest funkcją pierwotną funkcji f jeśli (∀x ∈ A) F

(x) = f (x)

Wniosek 5.1 Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to ( ∀C ∈ R)

G = F + C też

jest funkcją pierwotną funkcji f

Wniosek 5.2 Dwie różne funkcje pierwotne F

i G tej samej funkcji f

różnią się w

całym przedziale o stałą.
Dowód:

(∀x ∈ A) f (x) = F

(x) = G

(x) ⇐⇒ (∃C ∈ R) (∀x ∈ A) (F (x) − G(x) = C)

Definicja 5.2 (całka nieoznaczona)
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji
f i oznaczamy

f (x) dx

Wniosek 5.3 Całkowanie nie jest działaniem jednoznacznym.
Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f to będziemy oznaczać

f (x) dx = F (x) + C

gdzie C jest dowolną stałą.

Przykład 5.1

f : < −1, 1 >→ R

;

f (x) =

(

1 ; x  0

−1 ; x < 0

nie ma funkcji pierwotnej na przedziale < −1; 1 >.

W dalszej części wykładów wykażemy, że każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną.

Wniosek 5.4 Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną na A to

(∀x ∈ A)

f (x) dx = f (x)

Wniosek 5.5

f ∈ C

(A) =⇒

(x) dx = f (x) + C

Podstawowe wzory całkowania otrzymujemy z tablic pochodnych.
Na przykład:

dx =

α+1

α + 1

+ C

α 6= −1

dx = ln |x| + C

cos x dx = sin x + C

1 + x

= arctgx + C

Twierdzenie 5.1
Niech funkcje f i g mają funkcje pierwotne na przedziale A . Wtedy:

a ) ∃

(f (x) + g(x)) dx

∧

(f (x) + g(x)) dx =

f (x) dx +

g(x) dx

b ) (∀k ∈ R) ∃

k f (x) dx

∧

k f (x) dx = k

f (x) dx

Dowód :
ad a) Niech F i G będą funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji f i g .
Wtedy

(F (x) + G(x)) = f (x) + g(x) , więc (F + G) jest funkcją pierwotną funkcji

f + g .
ad b) analogicznie

kf (x) dx =

f (x) dx )

Przykład 5.2

(sin x + cos x + 1) dx =

sin x dx +

cos x dx +

dx = − cos x + sin x + x + C

(x + 1)

dx =

dx +

dx =

ln |x| −

3 x

−

6 x

+ C

5.1

Całkowanie przez podstawienie

Przykład 5.3 Znaleźć całkę:

Podstawiając nową zmienną u = ln x możemy zadanie rozwiązać w następujący sposób:

du =

=⇒

dx =

du =

+ C =

+ C

Twierdzenie 5.2 (pierwsze o całkowaniu przez podstawienie)
Niech u : A → T

; u ∈ D

(A)

oraz ∃

f (u) du na T . Wtedy

∃

f (u(x)) u

(x) dx

oraz

f (u(x)) u

(x) dx =

f (u) du dla u = u(x).

Dowód:
Oznaczmy

F (u)

f (u) du . Wtedy F (u(x))

jest funkcją pierwotną funkcji

f (u(x)) u

(x).

Rzeczywiście z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy

F (u) =

dF (u)

= f (u(x)) u

(x)

Przykład 5.4

tgx dx = −

cos x

(cos x)

dx = − ln | cos x| + C

(x)

u(x)

dx = ln |u(x)| + C

Twierdzenie 5.3 (drugie o całkowaniu przez podstawienie)
Niech f : A → R będzie funkcją całkowalną na A oraz (φ : T → A) odwzorowaniem
wzajemnie jednoznacznym. Niech ∃

f (φ(t)) φ

(t) dt .

Wtedy

f (x) dx =

f (φ(t)) φ

(t) dt

dla t = φ

−1

(x)

Dowód:
Wystarczy sprawdzić , że pochodne względem x funkcji pierwotnych F (x) =

f (x) dx

i G(t) =

f (φ(t))φ

(t) dt

są sobie równe. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji

złożonej i pochodnej funkcji odwrotnej otrzymujemy:

G(φ

−1

(x)) =

G(t)

−1

(x) = f (φ(t)) φ

(t)

= f (φ(φ

−1

(x))) = f (x)

Przykład 5.5 Znaleźć całkę:

1 − x

Funkcja podcałkowa jest określona na przedziale < −1; 1 > . Podstawmy x = sin t , gdzie
t ∈< −

;

> . Wtedy dx = cos t dt i t = arc sin x

1 − x

dx =

| cos t| cos t dt =

cos

t dt =

1 + cos 2t

dt =

t +

sin t cos t

+ C =

arcsinx +

√

1 − x

+ C

Przykład 5.6 Podstawiając x = t

obliczymy całkę

√

x + 1

dx = 3

t + 1

dt = 3

(t−1) dt + 3

t + 1

dt =

2
3

+ −3

√

x + 3 ln |

√

x+1| +C

5.2

Całkowanie przez części

Twierdzenie 5.4 Niech u, v ∈ C

(A) .Wtedy

u(x) v

(x) dx = u(x) v(x) −

v(x) u

(x) dx

Dowód wynika z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji

(uv)

= u

v + uv

Przykład 5.7

ln x dx =

(x)

ln x dx = x ln x −

dx = x ln x − x + C

arctg x dx = x arctgx −

1 + x

dx = xarctgx −

ln(1 + x

)

+ C

Uwaga: Nie wszystkie całki funkcji ciągłych (a więc całkowalnych) dają się przedstawić
przez funkcje elementarne.
Na przykład :

dx =

ln y

;

cos x

dx ;

−x

dx ;

sin x

Funkcje wielu zmiennych

6.1

Definicja funkcji wielu zmiennych

Niech A ⊂ R

, x = (x

, x

, . . . , x

) , y = (y

, y

, · · · y

) , d(x, y) =

k=1

− x

)

Definicja 6.1 (Otoczenia punktu)
Otoczeniem o promieniu r punktu P

∈ R

nazywamy zbiór:

O(P

, r)

def

= {P : d(P

, P ) < r}

Uwaga 6.1 Jeżeli promień otoczenia nie będzie istotny w rozważaniach, to zbiór O(P

, r)

będziemy oznaczali O(P

Definicja 6.2 (Zbioru otwartego) Zbiór A ⊂ R

nazywamy otwartym w przestrzeni

jeżeli spełnia warunek:

(∀P ∈ A) (∃ O(P )) : O(P ) ⊂ A

Definicja 6.3
Odwzorowanie f : A → R nazywamy funkcją rzeczywista n zmiennych, a zbiór A-
dziedziną tej funkcji.
Zbiór f (A) = {f (x) : x ∈ A} nazywamy zbiorem wartości funkcji f.

Definicja 6.4 (Wykres i poziomica funkcji)
Wykresem funkcji f : A → R jest zbiór punktów w przestrzeni R

n+1

o współrzędnych

, x

, . . . x

, f (x

, x

, . . . , x

)) , (x

, x

, . . . , x

) ∈ A.

W szczególności, wykresem funkcji dwóch zmiennych jest zbiór
W =

(x, y, z) ∈ R

: (x, y) ∈ A, z = f (x, y)

tworzący na ogół pewną powierzchnię w R

Poziomicą wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h ∈ R nazywamy zbiór:

{P ∈ A : f (P ) = h}

Definicja 6.5 (Zbieżności ciągu w przestrzeni R

)

Ciąg {P

} ∈ R

, P

, . . . ,

zbiega do punktu P

∈ R

, . . . ,

wtedy i tylko wtedy, gdy lim

k→∞

d(P

, P

) = 0.

Uwaga 6.2 Ciąg {P

} ∈ R

, P

, . . . ,

zbiega do punktu

∈ R

, P

, . . . ,

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego

i = 1, 2, . . . , n

lim

k→∞

Definicja 6.6 (Punktu wewnętrznego zbioru) Punkt P

∈ R

jest punktem

wewnętrznym zbioru A

wtedy i tylko wtedy, gdy

(∃r > 0) : O(P

, r) ⊂ A

Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczamy int A i nazywamy wnętrzem tego
zbioru.

Definicja 6.7 (Punktu skupienia zbioru) Punkt

nazywamy

punktem

skupienia zbioru A , jeśli

(∃ {P

} ⊂ A, P

6= P

) :

lim

n→∞

= P

Uwaga 6.3 Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.

Definicja 6.8 (Domknięcia zbioru) Domknięciem

zbioru

nazywamy zbiór

wszystkich granic ciągów złożonych z jego elementów. Oznaczamy ten zbiór

A .

∈ A ⇔ (∃ {P

} ⊂ A) :

lim

n→∞

= P

Uwaga 6.4 Zauważmy, że A ⊂ A , ponieważ każdy element P ∈ A możemy traktować
jako granicę ciągu stałego P

= P .

6.2

Granica funkcji

Niech dane będą: zbiór A ⊂ R

, funkcja f : A → R i P

-punkt skupienia zbioru A .

Definicja 6.9 (Granicy funkcji w sensie Heinego)
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie P

, jeżeli

(∀ {P

} ⊂ A, P

6= P

) ,

lim

k→∞

= P

⇒ lim

k→∞

f (P

) = g

Definicja 6.10 (Granicy funkcji w sensie Cauchy’ego )
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie P

, jeżeli

(∀ε > 0) (∃ δ(ε, P

) > 0) (∀P ∈ A) [0 < d(P, P

) < δ ⇒ |f (P ) − g| < ε]

Uwaga 6.5 Liczba g ∈ R jest granicą funkcji w sensie Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy,
gdy jest granicą w sensie Heinego. Granicę oznaczamy symbolem

lim

P →P

f (x) = g .

Przykład 6.1 Wykazać, że

lim

(x,y)→(0,0)

= 0

Przykład 6.2 Wykazać, że nie istnieje granica

lim

(x,y)→(0,0)

x+y

6.3

Ciągłość funkcji

Rozpatrujemy funkcję f : A 7→ R , gdzie A ⊂ R

oraz P

-punkt skupienia zbioru A.

Definicja 6.11 ( Ciągłości funkcji w punkcie)
Funkcja f jest ciągła w punkcie

, jeżeli istnieje granica

lim

P →P

f (P ) oraz

lim

x→x

f (P ) = f (P

)

Ustalmy n=2 i rozpatrzmy funkcję z = f (x, y).
Jeżeli ustalimy x

(takie, że (x

, y) ∈ A ), to otrzymamy funkcję jednej zmiennej

g(y) = f (x

, y) , podobnie dla ustalonego y

mamy f (x, y

) = h(x).

Twierdzenie 6.1
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie (x

, y

) , to funkcje g(y) = f (x

, y) i h(x) = f (x, y

)

są ciągłe.

Uwaga 6.6 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Przykład 6.3 Funkcja

f (x, y) =

(

(x, y) 6= (0, 0)

(x, y) = (0, 0)

nie jest ciągła w punkcie P

= (0, 0) , ponieważ dla dwóch ciągów

zbieżnych do P

otrzymujemy różne granice ciągów wartości funkcji.

Natomiast funkcje stałe: f (0, y) =

0+y

≡ 0 , f (x, 0) =

x·0

0+y

≡ 0 są ciągłe w (0, 0).

Twierdzenie 6.2 (O ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeżeli
funkcje f i g są ciągłe w punkcie P

, to w tym punkcie ciągłe są także funkcje:

• f + g, f − g

• g · f

•

, o ile g(P

) 6= 0

Definicja 6.12 (Funkcji ciągłej na zbiorze)
Funkcja jest ciągła na zbiorze A A ⊂ R

, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego

zbioru.

Uwaga 6.7 Dla funkcji ciągłych określonych na zbiorze domkniętym i ograniczonym w
R

prawdziwe jest twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów (3.7) oraz twierdzenie o

lokalnym zachowaniu znaku (3.8).

6.4

Pochodne cząstkowe

Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych: A ⊂ R

f : A → R , (x

, y

) ∈ intA.

Definicja 6.13 (Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych)
Pochodną cząstkową względem zmiennej x w punkcie (x

, y

) określamy wzorem:

∂f

∂x

, y

)

def

= lim

x→x

f (x, y

) − f (x

, y

)

x − x

Podobnie określamy pochodną cząstkową względem zmiennej y w punkcie (x

, y

)

∂f

∂y

, y

)

def

= lim

y→y

f (x

, y) − f (x

, y

)

y − y

Uwaga 6.8 Pochodne te oznaczamy również: f

, y

) , f

, y

Analogicznie określa się pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji n zmiennych w

punkcie P

, . . .

∈ intA.

Definicja 6.14 (Pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych)
Pochodną cząstkową względem zmiennej x

w punkcie P

funkcji n zmiennych

nazywamy granicę:

∂f

∂x

)

def

lim

→

, . . . ,

k−1

, x

k+1

. . .

− f

, . . .

−

Przykład 6.4 Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:

a) f (x, y) = x

sin y

b) f (x, y) = e

x
y

c) f (x, y, z) = x

y + 3xz − yz

+ 12x + 3

Uwaga 6.9 Dla funkcji wielu zmiennych z istnienia pochodnych cząstkowych nie wynika
ciągłość funkcji.

Przykład 6.5 Funkcja f (x, y) =

(

(x, y) 6= (0, 0)

(x, y) = (0, 0)

nie jest ciągła w punkcie

(0, 0) (przykład 6.2), a jej pochodne cząstkowe istnieją:

∂f

∂x

(0, 0) = lim

x→0

f (x, 0) − f (0, 0)

= lim

x→0

0 − 0

= 0

∂f

∂y

(0, 0) = lim

y→0

f (0, y) − f (0, 0)

= lim

y→0

0 − 0

= 0

6.5

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Definicja 6.15 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych)

Niech funkcja f : A → R , A ⊂ R

ma pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu

punktu (x

, y

) . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (x

, y

)

określamy wzorami:

∂

∂x

, y

)

def

∂

∂x

∂f

∂x

, y

) ,

∂

∂x ∂y

, y

)

def

∂

∂x

∂f

∂y

, y

)

∂

∂y

, y

)

def

∂

∂y

∂f

∂y

, y

) ,

∂

∂y ∂x

, y

)

def

∂

∂y

∂f

∂x

, y

)

Uwaga 6.10 Pochodne drugiego rzędu

∂

∂x ∂y

∂

∂y ∂x

nazywamy pochodnymi mieszanymi.

Analogicznie określamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji n zmiennych.

Definicja 6.16 Niech funkcja f : A → R , A ⊂ R

ma pochodne cząstkowe w pewnym

otoczeniu punktu P

∈ intA . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w

punkcie P

, . . . ,

określamy wzorami:

∂

∂x

)

def

∂

∂x

∂f

∂x

)

(k, l = 1, 2, . . . n)

Twierdzenie 6.3 (Schwarza o pochodnych mieszanych)

Jeżeli pochodne cząstkowe

∂

∂x ∂y

∂

∂y ∂x

są ciągłe w punkcie (x

, y

) , to są równe, tj.

∂

∂x ∂y

, y

) =

∂

∂y ∂x

, y

)

Uwaga 6.11 Prawdziwe są także analogiczne równości dla pochodnych mieszanych
drugiego rzędu funkcji n zmiennych, gdzie n > 2.

Przykład 6.6 Znaleźć pochodne drugiego rzędu i sprawdzić równość dla odpowiednich
pochodnych mieszanych.

a) f (x, y) = e

x
y

b) f (x, y, z) = ln

y + zy

Definicja 6.17 (Pochodne cząstkowe wyższych rzędów)
Niech funkcja n zmiennych ma pochodne cząstkowe rzędu m  1 przynajmniej na
otoczeniu punktu P

∈ intA . Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P

pochodnych cząstkowych rzędu m funkcji f nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu
m+1 funkcji f w punkcie P

Przykład 6.7 Znaleźć pochodne cząstkowe trzeciego rzędu następujących funkcji:

a) f (x, y, z) = x

y + zy

b) f (x, y, z) = ln (x + 2y − 3z)

c) f (x, y) =

sin x

sin y

Definicja 6.18 (Funkcje klasy C

)

Jeżeli funkcja f : A → R , A ⊂ R

ma w zbiorze otwartym A ciągłe pochodne cząstkowe

do rzędu m włącznie, to mówimy, że funkcja f jest klasy C

na tym zbiorze i zapisujemy:

f ∈ C

(A).

6.6

Pochodne cząstkowe funkcji złożonej

Niech

dana

będzie

funkcja

zmiennych

f (x

, x

, . . . , x

gdzie

, x

, . . . , x

)

∈ D,

⊂ R

, oraz n funkcji

, t

, . . . , t

, t

, . . . , t

) ∈ ∆, ∆ ⊂ R

, przy czym ϕ(∆) ⊂ D .

Wówczas funkcja złożona z = f (ϕ

, t

, . . . , t

), . . . , ϕ

, t

, . . . , t

)) jest funkcją m

zmiennych.

Twierdzenie 6.4 (O pochodnych cząstkowych funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja z = f (x

, x

, . . . , x

) jest klasy C

na zbiorze D oraz funkcje

, t

, . . . , t

) mają pochodne cząstkowe na ∆, to funkcja złożona z = f (ϕ

, ϕ

, . . . , ϕ

)

ma pochodne cząstkowe na ∆. Wówczas:

∂z

∂t

i=1

∂f

∂x

∂ϕ

∂t

, k = 1, 2 . . . , m

Przykład 6.8 Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych z = f (x, y) , f ∈ C

(D), gdzie

x = φ(u, v) , y = ψ(u, v) , (u, v) ∈ ∆ , ∆ ⊂ R

, oraz φ, ψ ∈ C

(∆).

Wówczas wzory na pochodne cząstkowe

∂z

∂u

∂z
∂v

przyjmują postać:

∂z

∂u

∂f

∂x

∂φ

∂u

∂f

∂y

∂ψ

∂u

∂z

∂v

∂f

∂x

∂φ

∂v

∂f

∂y

∂ψ

∂v

Rozważmy jeszcze dwa szczególne przypadki:

1. z = f (x, y), x = x(t), y = y(t). Funkcja złożona z = f (x(t), y(t)) jest funkcją tylko

jednej zmiennej. Mamy zatem:

∂f

∂x

∂f

∂y

2. z = f (x, y), y = y(x)

∂f

∂x

∂f

∂y

Przykład 6.9 Funkcja z = z(x, y) spełnia warunek

∂

∂x

∂

∂y

≡ 0. Pokazać, że funkcja

f (u, v) = z(u

− v

, 2uv) spełnia równanie

∂

∂u

∂

∂v

≡ 0.

Przykład 6.10 Sprawdzić, że funkcja z (x, t) = f (x + at) + g(x − at) , gdzie f i g są
dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej, spełnia równanie drgań struny

∂

∂t

= a

∂

∂x

6.7

Pochodna kierunkowa funkcji trzech zmiennych

Niech dana będzie funkcja f : A → R , A ⊂ R

, punkt P

, y

, z

) ∈ int A oraz wersor

→

v = (cos α, cos β, cos γ).

Zakładamy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Definicja 6.19 (Pochodnej kierunkowej funkcji)

Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P

w kierunku

→

v określamy wzorem:

∂f

∂

→

, y

, z

) = lim

t→0

f (x

+ t cos α, y

+ t cos β, z

+ t cos γ) − f (x

, y

, z

)

Uwaga 6.12 Rozpatrując funkcję f na prostej o wersorze kierunkowym

→

v otrzymujemy

funkcję jednej zmiennej:

ϕ(t) = f (x

+ t cos α, y

+ t cos β, z

+ t cos γ)

Z określenia pochodnej kierunkowej mamy:

∂f

∂

→

, y

, z

) = ϕ

(0)

Z reguł obliczania pochodnych funkcji złożonej wynika:

∂f

∂

→

) =

∂f

∂x

) · cos α +

∂f

∂y

) · cos β +

∂f

∂z

) · cos γ

Uwaga 6.13 Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej.
Np. dla funkcji f dwóch zmiennych i wersorów

→

v = (1, 0) ,

→

u = (0, 1) mamy

∂f

∂

→

∂f

∂x

oraz

∂f

∂

→

∂f

∂y

Pochodna kierunkowa określa prędkość zmiany wartości funkcji f w kierunku

→

Analogicznie określamy pochodną kierunkową funkcji n zmiennych w punkcie P

w kierunku wersora

→

v = (l

, l

, . . . , l

) i otrzymujemy wzór:

∂f

∂

→

) =

∂f

∂x

) · l

∂f

∂x

) · l

+ . . .

∂f

∂x

) · l

Definicja 6.20 (Gradient funkcji)
Gradientem funkcji f w punkcie P

nazywamy wektor określony wzorem:

grad f (P

)

def

∂f

∂x

∂f

∂x

), . . . ,

∂f

∂x

)

Uwaga 6.14
Jeśli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe w punkcie P

→

v jest dowolnym wersorem,

to:

∂f

∂

→

) = grad f (P

)◦

→

Interpretacja geometryczna gradientu

• Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji z tego

punktu.

• Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez

ten punkt.

6.8

Różniczka funkcji

Rozpatrujemy funkcję n zmiennych f : A → R określoną na zbiorze A ⊂ R

oraz punkty

, P ∈ intA , P

= (

, . . . ,

) , P = (

, . . . ,

)

Definicja 6.21 (Funkcja różniczkowalna w punkcie)
Niech istnieją pochodne cząstkowe

∂f

∂x

) , i = 1, . . . , n. Funkcja f jest różniczkowalna

w punkcie P

∈ intA wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

lim

P →P

f (P ) − f (P

) −

∂f

∂x

−

∂f

∂x

− . . . −

∂f

∂x

|P P

= 0

Przykład 6.11 Zbadać różniczkowalność funkcji we wskazanych punktach:

• f (x, y) = x

+ y

, P

= (1, −2)

• f (x, y) =

√

xy , P

= (0, 0)

Twierdzenie 6.5 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji)
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

Uwaga 6.15 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Funkcja f (x, y) =

√

xy jest ciągła

w P

= (0, 0), ale nie jest różniczkowalna w tym punkcie.

Twierdzenie 6.6 (Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji)

Jeżeli pochodne cząstkowe

∂f

∂x

, i = 1, . . . , n

są ciągłe w punkcie P

, to funkcja f jest

różniczkowalna w tym punkcie.

Definicja 6.22 (Różniczki funkcji)
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie P

. Różniczką funkcji f w punkcie P

nazywamy funkcję df (P

) zmiennych ∆x

określoną wzorem:

df (P

)(∆x

, ∆x

, . . . , ∆x

)

def

∂f

∂x

) ∆x

∂f

∂x

) ∆x

+ . . . +

∂f

∂x

) ∆x

Przykład 6.12 Obliczyć różniczkę funkcji f (x, y) =

+ y

w punkcie P

= (−3, 4).

Zastosowanie różniczki do obliczania przybliżonych wartości funkcji.
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie

, . . . ,

, to

f (

+∆x

, . . . ,

+∆x

) ≈ f (

, . . . ,

) + df (P

)(∆x

, ∆x

, . . . , ∆x

)

Przykład 6.13 Obliczyć wartości przybliżone podanych wyrażeń:

(1.03)

+ (1.97)

2. (1.04)

3.01

arctg

1.001

arcsin

0.49

6.9

Podstawowe

twierdzenia

funkcjach

różniczkowalnych

wielu

zmiennych

Ograniczymy się do przypadku funkcji dwóch zmiennych klasy C

(A) , A ⊂ R

. Całe

rozumowanie można powtórzyć dla funkcji dowolnej liczby zmiennych.

Definicja 6.23 (Różniczka drugiego rzędu)
Różniczką drugiego rzędu funkcji f ∈ C

(A) w punkcie P

, y

) nazywamy funkcję

f (P

) zmiennych ∆x, ∆y określoną wzorem:

f (P

)(∆x, ∆y) =

∂

∂x

, y

)(∆x)

+ 2

∂

∂x∂y

, y

) ∆x ∆y +

∂

∂y

, y

) (∆y)

Twierdzenie 6.7 (Lagrange’a o przyrostach)
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na pewnym otoczeniu
O(P

), P

= (x

, y

), to dla dowolnego punktu P (x, y) ∈ O(P

) istnieje taka liczba

Θ ∈ (0, 1), że

f (x, y) = f (x

, y

) + df (x

+ Θ(x − x

), y

+ Θ(y − y

))(∆x, ∆y)

Dowód:

Oznaczymy ∆x = (x − x

), ∆y = (y − y

) i wprowadzimy funkcję pomocniczą

Φ(t) = f (x

+ t ∆x, y

+ t ∆y).

Mamy: Φ(0) = f (x

, y

), Φ(1) = f (x

+ ∆x, y

+ ∆y). Funkcja Φ jest klasy C

< 0, 1 > i

z twierdzenia Lagrange’a dla funkcji jednej zmiennej 4.9 otrzymujemy:

∃Θ ∈ (0, 1) : Φ(1) = Φ(0) + Φ

(Θ)

(8)

Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej obliczamy
Φ

(t) =

∂f
∂x

+ t ∆x, y

+ t ∆y) ∆x +

∂f
∂y

+ t ∆x, y

+ t ∆y) ∆y

Stąd Φ

(Θ) = df (x

+ Θ∆x, y

+ Θ∆y)(∆x, ∆y) i stosując wzór (8) otrzymujemy tezę:

f (x, y) = f (x

, y

) + df (x

+ Θ(x − x

), y

+ Θ(y − y

))(∆x, ∆y)

♥

Wniosek 6.1

• Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f są tożsamościowo równe zeru na zbiorze A, to

funkcja f jest stała na A.

• Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f są ciągłe na A, to funkcja jest ciągła na A.

Twierdzenie 6.8 (Taylora)
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie na pewnym
otoczeniu O(P

), P

= (x

, y

), to dla dowolnego punktu P (x, y) ∈ O(P

) istnieje taka

liczba Θ ∈ (0, 1), że

f (x, y) = f (x

, y

) + df (x

, y

)(∆x, ∆y) +

f (x

+ Θ∆x, y

+ Θ∆y)(∆x, ∆y)

Dowód:

Oznaczymy ∆x = x − x

, ∆y = y − y

i wprowadzimy funkcję pomocniczą

Φ(t) = f (x

+ t ∆x, y

+ t ∆y).

Mamy: Φ(0) = f (x

, y

), Φ(1) = f (x

+ ∆x, y

+ ∆y). Funkcja Φ jest klasy C

< 0, 1 > i

z twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej 4.11 otrzymujemy:

∃Θ ∈ (0, 1) : Φ(1) = Φ(0) + Φ

(0) +

Φ”(Θ)

(9)

Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej obliczamy

(t) =

∂f

∂x

+ t∆x, y

+ t∆y) ∆x +

∂f

∂y

+ t∆x, y

+ t∆y)∆y

Φ”(t) =

∂

∂x

+t∆x, y

+t∆y)∆x

∂

∂x∂y

+t∆x, y

+t∆y)∆x ∆y+

∂

∂y

+t∆x, y

+t∆y)∆y

Stąd

(0) = df (x

, y

)(∆x, ∆y)

Φ”(Θ) =

∂

∂x

+ Θ ∆x, y

+ Θ ∆y) ∆x

+ 2

∂

∂x∂y

+ Θ ∆x, y

+ Θ ∆y) ∆x ∆y +

∂

∂y

+ Θ ∆x, y

+ Θ ∆y) ∆y

= d

f (x

+ Θ∆x, y

+ Θ∆y)(∆x, ∆y)

Stosując wzór (9) otrzymujemy tezę:

f (x, y) = f (x

, y

) + df (x

, y

)(∆x, ∆y) +

f (x

+ Θ∆x, y

+ Θ∆y)(∆x, ∆y)

♥

6.10

Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Rozpatrujemy funkcję n zmiennych f : A → R , A ⊂ R

oraz punkt P

∈ intA.

Definicja 6.24 (Maksimum lokalne)
Funkcja f ma w punkcie P

maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu O(P

)

takie, że dla dowolnego punktu P ∈ O(P

) zachodzi nierówność:

f (P ) − f (P

) ¬ 0

Definicja 6.25 (Minimum lokalne)
Funkcja f ma w punkcie P

maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu O(P

)

takie, że dla dowolnego punktu P ∈ O(P

) zachodzi nierówność:

f (P ) − f (P

) 0

Uwaga 6.16 Jeżeli zamiast nierówności słabych występujących w definicji spełnione są
nierówności silne, to ekstrema nazywamy właściwymi.

Przykład 6.14 Korzystając z definicji sprawdzić, czy funkcja ma ekstremum lokalne w
punkcie (0,0):

1. f (x, y) = 2 − (x

+ y

)

2. f (x, y) = x

− y

Twierdzenie 6.9 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1. ma ekstremum lokalne w punkcie P

2. istnieją pochodne cząstkowe

∂f

∂x

) ( i = 1, . . . , n),

to (∀i = 1, . . . , n)

∂f

∂x

) = 0

Przykład 6.15 Sprawdzić, że funkcje: f (x, y) = x

− y

, f (x, y) = x

+ y

spełniają w

punkcie (0,0) warunek konieczny, ale nie mają w tym punkcie ekstremum.

Wniosek 6.2 (O lokalizacji ekstremów lokalnych)
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu są równe zero albo w punktach, w których choć jedna z nich
nie istnieje.

Uwaga 6.17 Niech funkcja f : A → R , A ⊂ R

jest klasy C

na A. Wtedy wyznacznik

określony następująco:

W (x, y) = det





∂

∂x

(x, y)

∂

∂x∂y

(x, y)

∂

∂y∂x

(x, y)

∂

∂y

(x, y)





jest funkcją ciągłą. Z twierdzenia o lokalnym zachowaniu znaku wynika, że jeżeli dla
pewnego punktu P

, y

) ∈ intA wyznacznik W (x

, y

) > 0 , to istnieje takie otoczenie

O(P

), że

(∀P (x, y) ∈ O(P

))

W (x, y) > 0

Twierdzenie 6.10 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych)

Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu
P

, y

) oraz niech

∂f
∂x

, y

) = 0,

∂f
∂y

, y

) = 0,

2. W (x

, y

) = det





∂

∂x

, y

)

∂

∂x∂y

, y

)

∂

∂y∂x

, y

)

∂

∂y

, y

)





> 0

Wtedy w punkcie P

, y

) funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe i jest to:

minimum, gdy

∂

∂x

, y

) > 0 , albo maksimum, gdy

∂

∂x

, y

) < 0 .

Dowód:

Spełnione są założenia twierdzenia Taylora 6.8 zatem

f (x, y) = f (x

, y

) + df (x

, y

)(∆x, ∆y) +

f (x

+ Θ∆x, y

+ Θ∆y)(∆x, ∆y)

Uwaględniając warunek konieczny otrzymujemy wzór na przyrost wartości funkcji w postaci

f (x, y) − f (x

, y

) =

f (x

+ Θ∆x, y

+ Θ∆y)(∆x, ∆y) =

∂

∂x

+ Θ ∆x, y

+ Θ ∆y) ∆x

+ 2

∂

∂x∂y

+ Θ ∆x, y

+ Θ ∆y) ∆x ∆y +

∂

∂y

+ Θ ∆x, y

+ Θ ∆y) ∆y

To oznacza, że przyrost funkcji jest formą kwadratową zmiennych ∆x i ∆y o macierzy:





∂

∂x

+ Θ ∆x, y

+ Θ ∆y)

∂

∂x∂y

+ Θ ∆x, y

+ Θ ∆y)

∂

∂y∂x

+ Θ ∆x, y

+ Θ ∆y)

∂

∂y

+ Θ ∆x, y

+ Θ ∆y)





(10)

Z twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku funkcji ciągłej (f ”

), założenia 2. i uwagi

6.17 wynika, że forma kwadratowa o macierzy (10) jest istotnie określona :

przyrost wartości funkcji f jest dodatni, jeśli

∂

∂x

, y

) > 0 (forma kwadratowa dodatnio

określona)

i ujemny, gdy

∂

∂x

, y

) < 0 (wtedy forma kwadratowa jest ujemnie określona).

♥

Przykład 6.16 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem:

f (x, y) = x

+ 3xy

− 6xy + 3

Analogiczne twierdzenie można udowodnić dla funkcji n zmiennych.

Twierdzenie 6.11 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji n zmiennych)

Jeżeli:

1. f ∈ C

(A) i P

∈ intA

∂f

∂x

) = 0 , i = 1, 2, . . . n

3. Forma kwadratowa:

F (∆x

, ∆x

, . . . , ∆x

) =

i=1

j=1

∂

∂x

) ∆x

∆x

jest istotnie dodatnio (ujemnie) określona, to funkcja ma w punkcie P

minimum

(maksimum) lokalne.

Przykład 6.17 (Aproksymacja wielomianowa lub metoda najmniejszych kwadratów)

Dane jest (n+1) watości pomiarów {y

}

n
i=0

dokonanych w (n+1) punktach {x

}

n
i=0

Zagadnienie aproksymacji wielomianowej na zbiorze X = {x

, x

, . . . , x

} polega na

wyznaczeniu wielomianu optymalnego F

(x) = a

+ · · · + a

tak, aby odległości y

od F

) były minimalne. To oznacza, że współczynniki a

dobieramy tak, aby funkcja

H(a

, a

, . . . , a

) =

j=0

− F

))

(zwana odchyleniem średniokwadratowym) osiągała minimum.
Korzystając z warunku koniecznego ekstremum funkcji wielu zmiennych otrzymujemy układ
równań

∂H

∂a

= −2

j=0





−

j=0

j
i





k
i

= 0 , k = 0, . . . , m

Ten układ równań sprowadza się do oznaczonego układu M

M a = M

y, gdzie

M =









. . .

. ..

. . .









, y = (y

, . . . , y

), a = (a

, . . . , a

)

Równania rożniczkowe zwyczajne

7.1

Pojęcia wstępne

Definicja 7.1 (Równanie różniczkowe, rząd równania)
Niech dana będzie funkcja (n + 2). zmiennych F : A → R ,

A ⊂ R

n+2

Równanie postaci:

F (x, y, y

, y”, . . . , y

(n)

) = 0

nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.

Definicja 7.2 (Rozwiązanie równania różniczkowego)
Funkcję g ∈ D

(n)

(a, b) nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego , jeżeli

(∀x ∈ (a, b))

F (x, g

(x), g”(x), . . . , g

(n)

(x)) = 0

Rozwiązanie

równania

różniczkowego

nazywamy

również

całką

równania

różniczkowego.
Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową.

Przykład 7.1 Sprawdzić, czy podane funkcje są całkami wskazanych równań na zadanych
przedziałach:

a) y

(x) = e

−x

, y

(x) = xe

−x

y” + 2y

+ y = 0 ,

x ∈ R

b) y(x) =

1 + x

+ 2xy

= 0 ,

x ∈ R

c) y

(x) = cos x, y

(x) = sin x ,

y” + y = 0 ,

x ∈ R

d) y(x) =

1 − ln x

− y

= 0 ,

x ∈ (1, e)

7.2

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Rozważamy równania pierwszego rzędu w postaci normalnej, (to znaczy rozwiązane
względem pochodnej)

= f (x, y) (∗)

Uwaga 7.1 Będziemy się posługiwali również tzw. formą różniczkową równania:

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

Przykład 7.2 Sprawdzić, że rozwiązaniem równania:

(3 + x

+ y) dx + (x + y + 1) dy = 0

jest funkcja określona dla wszystkich x ∈ R zależnością:

+ xy + y + 3x = 1

Definicja 7.3 (Zagadnienie początkowe)
Równanie różniczkowe y

= f (x, y) (∗) oraz warunek

y(x

) = y

(∗∗)

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego. Warunek
(**) nazywamy warunkiem początkowym.

Przykład 7.3 Rozpatrzmy przykłady zagadnień początkowych:

(

= e

−x

y(0) = 2

(

= 3y

2
3

y(0) = 0

(

= f (y)

y(0) = −1

, gdzie f (y) =

(

y ln y dla y > 0
0 dla y = 0

Rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego dla równania pierwszego rzędu (*) polega na
znalezieniu rozwiązania tego równania w pewnym przedziale I ⊂ R, które spełnia warunek
początkowy (**).

Istnieją równania różniczkowe, które nie mają rozwiązań (np: (y

)

+ 1 = 0).

Jeżeli równanie posiada rozwiązanie, to nie zawsze istnieje takie, które spełnia z góry

zadany warunek początkowy (c). Ponadto może się zdarzyć, że istnieją różne rozwiązania
jednego równania różniczkowego, spełniające ten sam warunek początkowy (b).

Twierdzenie 7.1 (Istnienie i jednoznaczość rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego)

Jeżeli funkcja f : D → R i jej pochodna

δf
δy

są ciągłe na pewnym obszarze D ⊂ R

oraz

, y

) ∈ D, to zagadnienie Cauchy’ego

(

= f (x, y)

y(x

) = y

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Uwaga 7.2 Inaczej mówiąc, dla dowolnego punktu (x

, y

) ∈ D istnieje dokladnie jedna

krzywa całkowa przechodząca przez ten punkt.

Przykład 7.4 Korzystając z podanego wyżej twierdzenia uzasadnić, że wskazane
zagadnienia początkowe mają jednoznaczne rozwiązania:

(

+ y

= 0

y(1) = 1

(

dy =

√

y − x dx

y(1) = 2

(

− y ctgx = sin x

) =

7.3

Metody

rozwiązywania

niektórych

równań

różniczkowych

pierwszego rzędu

1. Równanie o zmiennych rozdzielonych

Definicja 7.4 (Równanie o zmiennych rozdzielonych)
Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci:

= g(x)h(y)

nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych.

Twierdzenie 7.2 (Rozwiązanie równania o zmiennych rozdzielonych)
Jeżeli funkcje g, h są ciągłe, przy czym h(y) 6= 0 dla każdego y, to rozwiązanie
równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych określone jest zależnością:

h(y)

g(x) dx

Dowód:
W formie różniczkowej równanie o zmiennych rozdzielonych przyjmuje postać

h(y)

= g(x)dx

Rozwiązanie równania y = y(x)ma spełniać zależność:

(x)dx

h(y(x))

= g(x)dx

Po scałkowaniu i zastosowaniu twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie
otrzymujemy tezę.

♥

Przykład 7.5 Rozwiązać równania o zmiennych rozdzielonych:

√

x ln x

b) (1 + x + y + xy) y

= 1

2. Równania różniczkowe jednorodne

Definicja 7.5 (Równanie jednorodne) Równanie różniczkowe, które można
zapisać w postaci:

= f

(J )

nazywamy równaniem jednorodnym.

Twierdzenie 7.3 (Zamiana zmiennych w równaniu jednorodnym)
Równanie jednorodne (J) sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych
przez podstawienie:

y = u · x

Dowód:
Szukamy funkcji u = u(x) takiej, aby funkcja y(x) = u(x) · x była rozwiązaniem
równania (J). Wtedy y

(x) = u

(x) · x + u(x) i po podstawieniu do równania (J)

otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych:

x · u

= f (u) − u

♥

Przykład 7.6

a) y

b) x y

= y (ln y − ln x)

3. Równania różniczkowe liniowe

Definicja 7.6 Równanie różniczkowe liniowe jest to równanie postaci:

+ p(x)y = q(x)

(L)

gdzie p i q są funkcjami ciągłymi na wspólnym przedziale (a, b).
W przypadku q(x) ≡ 0 równanie nosi nazwę równania różniczkowego liniowego
jednorodnego i ma postać:

+ p(x)y = 0

(LJ )

Przykład 7.7 Wykazać, że przez każdy punkt obszaru

D = {(x, y) ∈ R

: a < x < b, y ∈ R}

przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (L).

Przykład 7.8 Uzasadnić, że rozwiązanie równania (LJ) dane jest wzorem:

y(x) = C exp

−

p(x)dx

gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą.

Rozpatrzmy równanie (L), gdzie funkcja q nie jest tożsamościowo równa zeru. Takie
równanie liniowe nazwiemy równaniem liniowym niejednorodnym. Rozwiązanie
równania różniczkowego niejednorodnego (L) poszukujemy metodą uzmienniania
stałej.
Metoda ta polega na zastąpieniu stałej C w rozwiązaniu równania (LJ):
y(x) = C exp (−

p(x)dx) taką funkcją C = C(x), aby funkcja

y(x) = C(x) exp (−

p(x)dx) była rozwiązaniem równania (L).

Przykład 7.9 Znaleźć rozwiązania podanych zagadnień początkowych:

a) xy

+ y = xe

y(1) = 2

b) y

= 2y + e

− x ,

y(0) =

4. Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego jest to równanie postaci:

+ p(x)y = q(x) y

(B)

gdzie r ∈ R \ {0, 1}.

Przykład 7.10 Wykazać, że równanie (B) sprowadza się do równania
liniowego niejednorodnego przez zamianę zmiennych: z = y

1−r

Znaleźć całki ogólne równań:

a) y

+ y = y

b) dy =

− y

7.4

Równanie różniczkowe liniowe rzędu n

Równanie różniczkowe liniowe rzędu n jest to równanie postaci:

(n)

+ a

n−1

(x) y

(n−1)

+ a

n−2

(x) y

(n−2)

+ . . . + a

(x) y = q(x)

)

gdzie funkcje a

są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale (a, b).

Definicja 7.7 Niech y

∈ R i = 0, 1, . . . , n − 1 .

Równanie różniczkowe (L

) oraz warunki:

y(x

) = y

, y

) = y

, . . . , y

(n−1)

) = y

n−1

(W L

)

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego. Warunki
(W L

) nazywamy warunkami początkowymi.

Twierdzenie 7.4 (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań)
Jeżeli funkcje a

, a

, . . . , a

n−1

, q są ciągłe na przedziale (a, b) oraz

∈ (a, b) , y

∈ R, to zagadnienie początkowe (L

) (W L

) ma dokładnie jedno

rozwiązanie. Rozwiązanie to określone jest na przedziale (a, b).

Przykład 7.11 Uzasadnić, że jedynym rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego:

(n)

− 1 = 0 , y

(k)

(0) = c

k = 0, 1, . . . , n − 1

jest wielomian y(x) =

n−1

(n−1)!

n−2

(n−2)!

+ . . . + c

x + c

7.5

Równania różniczkowe liniowe jednorodne

Definicja 7.8

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym nazywamy równanie (L

) jeśli

funkcja q(x) ≡ 0. Równanie to oznaczymy (LJ

(n)

+ a

n−1

(x) y

(n−1)

+ a

n−2

(x) y

(n−2)

+ . . . + a

(x) y = 0

(LJ

)

Twierdzenie 7.5
Rozwiązania równania (LJ

) tworzą przestrzeń liniową.

Dowód:
Niech funkcje φ

, φ

spełniają równanie (LJ

).Wystarczy pokazać, że dla dowolnych

stałych α, β ∈ R funkcja α φ

(x) + β φ

(x) również spełnia równanie (LJ

(α φ

(x) + β φ

(x))

(n)

+ a

n−1

(x)(α φ

(x) + β φ

(x))

(n−1)

+ . . . + a

(x)(α φ

(x) + β φ

(x)) =

α (φ

(x))

(n)

+ a

n−1

(x) φ

(x))

(n−1)

+ . . . + a

(x) φ

(x))+

+β (φ

(x))

(n)

+ a

n−1

(x) φ

(x)

(n−1)

+ . . . + a

(x) φ

(x)) = 0

Wykazaliśmy, że kombinacja liniowa dowolnych dwóch rozwiązań równania (LJ

) jest

również rozwiązaniem tego równania.

♥

Uwaga 7.3 Zbiór funkcji określonych na wspólnej dziedzinie jest przestrzenią liniową.
Funkcje będące rozwiązaniami równania (LJ

) tworzą podprzestrzeń.

Przypomnijmy definicję liniowej niezależności i zależności elementów przestrzeni liniowej
(wektorów):

Definicja 7.9 (Liniowa zależność i niezależność funkcji)
Funkcje g

, g

, . . . , g

są liniowo niezależne, jeżeli z tożsamości

(x) + α

(x) + . . . + α

(x) ≡ 0 na przedziale (a, b)

wynikają równości:

= α

= . . . = α

= 0

Jeżeli istnieją liczby rzeczywiste α

, α

, . . . , α

, α

+ α

+ . . . , α

> 0 takie, że α

(x) +

(x) + . . . , α

(x) ≡ 0 to funkcje g

, g

, . . . , g

nazywamy liniowo zależnymi.

Definicja 7.10 (Wrońskian układu funkcji)
Wrońskianem układu funkcji (y

, y

, . . . , y

) nazywamy wyznacznik:

W (y

(x), y

(x), . . . , y

(x)) =

(x)

. . .

(x)

. . .

(x)

. ..

(n−1)

(x)

(n−1)

(x)

. . .

(n−1)

(x)

Twierdzenie 7.6 (Liniowa niezależność rozwiązań)
Rozwiązania równania liniowego jednorodnego (LJ

) są na przedziale (a, b) liniowo

niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x ∈ (a, b) spełniają warunek

W (y

(x), y

(x), . . . , y

(x)) 6= 0

dowód:

1. ” ⇒ ” Zaprzeczmy tezie: ∃x

∈ (a, b) : W (y

), y

), . . . , y

)) = 0. Wtedy

uklad równań liniowych:











) + α

) + . . . + α

) = 0

) + α

) + . . . + α

) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(n−1)

) + α

(n−1)

) + . . . + α

(n−1)

) = 0

ma niezerowe rozwiązanie α

, α

, . . . , α

. To oznacza, że funkcja y(x) = α

(x) +

(x) + . . . + α

(x) spełnia równanie (LJ

) oraz zerowe warunki początkowe.

mocy

twierdzenia

3.1

jedynym

takim

rozwiązaniem

jest

rozwiązanie

tożsamościowo równe zero: y(x) ≡ 0.
Zatem istnieją liczby rzeczywiste α

+ α

+ . . . + α

> 0

takie, że α

(x) + α

(x) + . . . + α

(x) ≡ 0 , więc funkcje y

, y

, . . . , y

są

liniowo zależne.

2. ” ⇐ ” Niech dla każdego x ∈ (a, b)

W (y

(x), y

(x), . . . , y

(x)) 6= 0

Rozpatrzmy funkcję y(x) ≡ 0 taką, że y(x) = α

(x) + α

(x) + . . . + α

(x).

Wtedy dla każdego x ∈ (a, b)











(x) + α

(x) + . . . + α

(x) = 0

(x) + α

(x) + . . . + α

(x) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(n−1)

(x) + α

(n−1)

(x) + . . . + α

(n−1)

(x) = 0

Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu równań liniowych o wyznaczniku
W (y

(x), y

(x), . . . , y

(x)) 6= 0 jest rozwiązanie zerowe. Zatem

(x) + α

(x) + . . . + α

(x) ≡ 0 ⇒ α

= α

= . . . = α

= 0

co oznacza liniową niezależność rozwiązań y

, y

, . . . , y

♥

Definicja 7.11 (Fundamentalny układ rozwiązań)
Ciąg

, y

, . . . , y

)

liniowo niezależnych rozwiązań równania (LJ

) nazywamy jego

fundamentalnym układem rozwiązań.

Twierdzenie 7.7 (Postać rozwiązania równania liniowego jednorodnego)
Niech (y

, y

, . . . , y

) będzie fundamentalnym układem rozwiązań równania (LJ

). Wtedy

dla każdego rozwiązania φ tego równania istnieją jednoznacznie określone stałe rzeczywiste
C

, C

, . . . , C

takie, że

φ(x) = C

(x) + C

(x) + . . . + C

(x)

Dowód:
Niech rozwiązanie φ będzie tym jedynym rozwiązaniem równania (LJ

) , które spełnia

warunek początkowy:

φ(x

) = φ

, φ

) = φ

, . . . , φ

(n−1)

) = φ

n−1

Wtedy stałe C

, C

, . . . , C

są jedynym rozwiązaniem układu oznaczonego:











) + C

) + . . . + C

) = φ

) + C

) + . . . + C

) = φ

(n−1)

) + C

(n−1)

) + . . . + C

(n−1)

) = φ

n−1

♥

Wniosek 7.1 Przestrzeń

liniowa

rozwiązań

równania

jednorodnego

(LJ

)

jest

przestrzenią n wymiarową.

7.6

Równania

różniczkowe

liniowe

jednorodne

stałych

współczynnikach

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym o stałych współczynnikach nazywamy
równanie (LJ

), w którym funkcje a

są stałymi:

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ a

n−2

(n−2)

+ . . . + a

y = 0

(LS

)

Uwaga 7.4 Każde rozwiązanie równania różniczkowego liniowego jednorodnego o stałych
współczynnikach jest określone na R.

7.7

Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego jednorodnego o
stałych współczynnikach

Naszym zadaniem jest wyznaczenie fundamentalnego układu rozwiązań równania:

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ a

n−2

(n−2)

+ . . . + a

y = 0

(LS

)

Przypuśćmy, że rozwiązanie ma postać: y(x) = e

λ x

. Po podstawieniu do równania (LS

)

otrzymujemy:

Wniosek 7.2 Funkcja y(x) = e

λ x

jest rozwiązaniem równania (LS

) , jeśli liczba λ

jest pierwiastkiem wielomianu

+ a

n−1

+ a

n−2

+ . . . + a

= 0

Definicja 7.12 (Wielomian charakterystyczny, równanie charakterystyczne)
Równanie

+ a

n−1

+ a

n−2

+ . . . + a

= 0

nazywamy równaniem charakterystycznym równania (LS

). Natomiast wielomian

W (λ) = λ

+ a

n−1

+ a

n−2

+ . . . + a

nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.

Uwaga 7.5 Wielomian charakterystyczny równania (LS

) jest wielomianem n-tego

stopnia o współczynnikach rzeczywistych. W zbiorze liczb zespolonych ma dokładnie n
pierwiastków ( uwzględniając ich krotność). Ponadto jeśli liczba λ jest jego pierwiastkiem
zespolonym, to również ¯

λ jest jego pierwiastkiem.

Przykład 7.12 Wyznaczyć wielomiany charakterystyczne oraz ich pierwiastki dla
równań:

a) y

(4)

− y” = 0

b) y

(4)

+ y” = 0

Przykład 7.13 Podać

równania

różniczkowe

liniowe

jednorodne

stałych

współczynnikach, jeżeli ich równania charakterystyczne mają postać:

a) λ

− λ + 1 = 0

b) λ

+ 1 = 0

c) λ

(λ − 3) (λ + 4) = 0

Przykład 7.14
Wyznaczyć równania różniczkowe jednorodne o stałych współczynnikach możliwie
najniższego rzędu, jeżeli podane są pierwiastki wielomianów charakterystycznych:

a) λ

= 2 , λ

= −3 , λ

= 0

b) λ

= i , λ

= −2i

Twierdzenie 7.8 (Fundamentalny układ rozwiązań równania (LS

))

Niech λ będzie pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (LS

). Wówczas:

1. Jeżeli λ jest k-krotnym pierwiastkiem rzeczywistym, to każda z funkcji:

λx

, xe

λx

, . . . , x

k−1

λx

jest rozwiązaniem równania (LS

);

2. Jeżeli λ = α + iβ i ¯

λ = α − iβ, β > 0, są k-krotnymi pierwiastkami zespolonymi,

to każda z 2k funkcji

αx

cos βx, e

αx

sin βx, xe

αx

cos βx, xe

αx

sin βx, . . . , x

k−1

αx

cos βx, x

k−1

αx

sin βx

jest rozwiązaniem równania (LS

). Ponadto funkcje zestawione w ten sposób dla

wszystkich pierwiastków wielomianu charakterystycznego równania (LS

) (jest ich

n) tworzą jego fundamentalny układ rozwiązań.
Kombinacja liniowa tych funkcji jest rozwiązaniem

ogólnym

równania

różniczkowego liniowego jednorodnego.
Oznaczmy rozwiązanie ogólne przez y

RORJ

. Z powyższego twierdzenia wynika:

RORJ

= c

+ c

+ . . . + c

gdzie y

, y

, . . . , y

jest fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego.

7.8

Rozwiązanie równania niejednorodnego

Definicja 7.13 (Równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach)
Równaniem różniczkowym liniowym o stałych współczynnikach niejednorodnym nazywamy
równanie (L

), gdzie a

, a

, . . . , a

n−1

∈ R oraz funkcja q nie jest tożsamościowo równa

zeru. Równanie niejednorodne będziemy oznaczać (LN

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ a

n−2

(n−2)

+ . . . + a

y = q(x)

(LN

)

Twierdzenie 7.9 Jeżeli funkcje φ ,

są rozwiązaniami równania niejednorodnego

(LN

), to ich różnica (φ − ρ) jest rozwiązaniem równania jednorodnego (LJ

Twierdzenie 7.10 (Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego) Niech

będzie dowolnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (LN

) i niech (y

, y

, . . . , y

)

będzie fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego

(LS

) . Wtedy dla

każdego rozwiązania y(x) równania niejednorodnego

(LN

) istnieją jednoznacznie

określone stałe rzeczywiste C

, C

, . . . , C

takie, że:

y(x) = C

(x) + c

(x) + . . . + C

(x) + φ(x)

Wniosek 7.3 Powyższe twierdzenie oznacza, że mając fundamentalny układ rozwiązań
równania

(LJ

) i jedno rozwiązanie równania

(LN

) można przez dobór stałych

, C

, . . . , C

znaleźć rozwiązanie z dowolnymi warunkami początkowymi.

Sumę rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i dowolnego rozwiązania równania
niejednorodnego nazywamy rozwiązaniem

ogólnym równania niejednorodnego i

oznaczamy y

RORN

(x) = C

(x) + C

(x) + . . . + C

(x)

}

RORJ

+φ(x)

7.9

Metody znajdowania rozwiązania równania niejednorodnego (LN

)

1. Metoda współczynników nieoznaczonych - metoda przewidywań

Metodę tę stosujemy tylko do równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o
stałych współczynnikach, których prawa strona ma postać:

q(x) = e

αx

+ c

k−1

+ . . . + c

x + c

cos βx +

+ b

l−1

+ . . . + b

x + b

sin βx

(?)

Twierdzenie 7.11 Niech dane będzie równanie:

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ a

n−2

(n−2)

+ . . . + a

y = q(x)

(LN

)

gdzie q(x) jest postaci (?).

Jeżeli liczba

σ = α + i β

jest pierwiastkiem krotności s wielomianu

charakterystycznego równania jednorodnego (LJ

), to rozwiązanie równania (LN

)

ma postać:

φ(x) = x

αx

+ A

m−1

k−1

+ . . . + A

x + A

cos βx

+ B

m−1

+ . . . + B

x + B

sin βx

przy czym

m = max(k, l), a

, A

, . . . , A

, B

, . . . , B

są odpowiednio

dobranymi współczynnikami rzeczywistymi.
Jeżeli σ = α + i β

nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to w

powyższym wzorze przyjmujemy s=0.

Przykład 7.15
Wyznaczyć postacie rozwiązań podanych równań różniczkowych:

a) y” − y

= e

b) y” − y

= x

c) y

(4)

+ y” = sin x

d) y

(4)

+ y” = 2x

+ x + 1

2. Metoda uzmienniania stałych

Twierdzenie 7.12
Jeżeli (y

, y

, . . . , y

) jest fundamentalnym układem rozwiązań równania liniowego

jednorodnego (LS

) oraz ciąg funkcji C

, C

, . . . , C

jest dowolnym rozwiązaniem

układu równań:









(x)

. . .

(x)

. . .

(x)

. ..

(n−1)

(x)

(n−1)

(x)

. . .

(n−1)

(x)

















(x)

















0
0

q(x)









to funkcja

φ(x) = C

(x)y

(x) + C

(x)y

(x) + . . . + C

(x)y

(x)

jest rozwiązaniem równania (LN

Uwaga 7.6
Powyższy układ równań z niewiadomymi C

(x), C

(x), . . . , C

(x) ma jednoznaczne

rozwiązanie, gdyż jego wyznacznik jest wrońskianem fundamentalnego układu
rozwiązań równania (LJ

), więc jest różny od zera.

Przykład 7.16 Znaleźć rozwiązania zagadnień początkowych:

a) y” − 2y

+ y = e

arctg x ,

y(0) = 1 , y

(0) = 0

b) y” + 3y

+ 2y =

√

1 − e

y(0) = 1 y

(0) = 0

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
calki+krzywoliniowe, I semstr moje materiały, Matematyka 1 Semsetr, analiza mat zadania
Matematyka 1 zadania z I semestru budownictwa (analiza mat)
ANALIZA bakoma, Ekonomia- wykłady, opracowania
Analiza otoczenia organizacji, Analiza otoczenia organizacji-wykłady
Matematyka 1 zadania z I semestru budownictwa (analiza mat)
lab8 analiza mat I
Mat WIP Wykład21
lab8 analiza mat I
MAT BUD WYKŁAD 3 ceramika
ANALIZA FUNKCJONALNA PACJENTA wykład 1 23, FIZJOTERAPIA, Diagnostyka funkcjonalna
Psychologiczna analiza osobowości, pedagogika wykłady
MAT BUD WYKŁAD 4 ocena zgodności
analiza mat[1] 2 9
Analiza Funkcjonalna II Wykład
Elementy analizy techinicznej własne wykłady
PYTANIA metodologia, MAT.OD WYKŁADOWCÓW, METODOLOGIA I

więcej podobnych podstron