1
Zadanie 1.
Obliczyć całkę z funkcji:
13
2
4
7
2
3
4
2
4
7
5
3
3
2
3
4
+
+
−
+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
y
Rozwiązanie:
Funkcję y zapisujemy w postaci:
13
2
4
1
7
2
3
4
2
4
7
2
1
5
3
3
2
3
4
+
+
−
⋅
+
−
+
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
x
y
Następnie liczymy całkę:
Wykład XXI
Temat: Powtórka. Zadania z całek
=
+
+
−
⋅
+
−
+
−
∫
−
−
dx
x
x
x
x
x
x
x
13
2
4
1
7
2
3
4
2
4
7
2
1
5
3
3
2
3
4
c
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
−
+
−
−
+
−
=
−
13
2
1
2
5
8
4
ln
7
2
2
3
4
3
2
4
4
5
7
2
1
5
8
2
3
4
5
c
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
−
+
+
+
−
=
13
4
2
5
ln
7
2
3
2
3
2
5
7
5
3
2
3
4
5
2
Zadanie 2.
Obliczyć całki metodą całkowania
przez podstawienie i przez części:
a) b)
dx
xe
x
∫
+
−
6
3
2
2
dx
xe
x
∫
−
4
Rozwiązanie:
Ad a)
=
∫
+
−
dx
xe
x
6
3
2
2
c
e
c
e
x
t
+
=
+
=
+
−
−
−
6
3
3
1
3
1
2
Ad b)
=
∫
−
dx
xe
x
4
c
e
xe
dx
e
xe
x
x
x
x
+
−
−
=
+
−
=
−
−
−
−
∫
4
4
4
4
( )
( )
( )
( )
−
=
=
′
=
′
=
−
−
x
x
e
x
g
x
f
e
x
g
x
x
f
,
4
,
4
Podstawienie
=
−
=
+
−
dt
xdx
t
x
6
6
3
2
( )
=
=
∫
−
dt
e
t
3
1
3
=
+
−
=
+
−
∫
∫
−
−
dx
x
x
x
dx
x
x
x
4
1
2
1
2
3
4
1
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
4
2
3
2
1
8
8
3
128
4
2
3
2
2
1
2
1
2
3
4
2
4
1
4
4
1
2
1
1
4
−
−
−
+
+
=
+
+
=
+
−
−
=
−
x
x
x
x
x
x
Ad a)
Zadanie 3.
Obliczyć całki oznaczone:
a) b)
dx
x
x
x
∫
+
−
4
1
2
3
2
2
3
2
(
)
dx
x
x
∫
−
4
1
4
2
4
2
3
Ad b)
(
)
=
=
=
−
=
−
=
⇒
=
−
=
⇒
=
∫
4
2
2
1
2
2
1
4
2
4
4
2
4
2
4
t
x
t
x
dt
xdx
t
x
dx
x
x
Rozwiązanie:
(
)
5
5
4
2
5
4
2
4
2
4
5
1
5
+
=
=
−
−
∫
t
dt
t
4
Zadanie 4.
Obliczyć pole zawarte pomiędzy parabolami:
y
x
oraz
y
x
= −
+
=
+
2
2
4
2
Rozwiązanie:
Szukamy punktów
przecięcia, czyli rozwiązujemy układ
równań:
y
x
y
x
x
x
x
x
x
= −
+
=
+
⇒ −
+
=
+
⇔
=
⇔
=
∨
= −
2
2
2
2
2
4
2
4
2
2
2
1
1
(
)
(
)
P
x
dx
x
dx
x
x
x
x
=
−
+
−
+
= −
+
−
+
=
= −
+
−
−
−
+
− −
−
= − + −
−
=
−
−
−
−
∫
∫
2
1
1
2
1
1
3
1
1
3
1
1
4
2
1
3
4
1
3
2
1
3
4
1
3
4
1
3
2
1
3
2
2
3
8
2
3
4
8
3
5
Zadanie 5.
Obliczyć całki z funkcji wymiernych:
a) b)
dx
x
x
∫
−
−
9
3
3
2
dx
x
x
∫
+
−
13
6
8
2
Rozwiązanie:
Ad a)
Ad b)
=
−
−
∫
dx
x
x
9
3
3
2
(
)(
)
3
3
3
3
3
3
9
3
3
2
+
+
−
=
+
−
−
=
−
−
x
B
x
A
x
x
x
x
x
(
)
(
)
3
3
3
3
−
=
−
+
+
x
x
B
x
A
c
x
x
dx
x
dx
x
+
+
+
−
=
+
+
−
=
∫
∫
3
ln
2
3
ln
3
2
3
1
(
)
dx
x
dx
x
dx
x
x
∫
∫
∫
+
−
=
+
−
=
+
−
<
∆
1
2
3
2
4
3
8
13
6
8
2
2
0
2
Podstawiamy:
t
x
=
−
2
3
dt
dx =
⇒
2
1
c
x
arctg
c
arctgt
dt
t
+
−
=
+
=
+
=
∫
2
3
4
4
1
4
2
2
;
1
1
3
3
3
3
3
=
=
⇒
−
=
−
=
+
⇔
−
=
−
=
+
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
6
Zadanie 6.
Obliczyć całki z funkcji niewymiernych:
a) b)
dx
x
x
x
∫
−
4
2
dx
x
∫
+ 9
1
2
Rozwiązanie:
Ad a)
=
−
∫
dx
x
x
x
4
2
Podstawiamy:
4
t
x =
dt
t
dx
3
4
=
(
)
=
−
=
−
=
∫
∫
dt
t
t
t
dt
t
t
t
t
1
8
4
2
7
3
2
4
∫
∫
=
−
+
+
+
+
+
+
=
−
=
dt
t
t
t
t
t
t
dt
t
t
1
1
1
8
1
8
2
3
4
5
6
c
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
+
+
+
+
+
=
1
ln
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
8
4
4
4
3
4
c
t
t
t
t
t
t
t
+
−
+
+
+
+
+
+
=
1
ln
2
3
4
5
6
8
2
3
4
5
6
7
Ad b)
dx
x
∫
+ 9
1
2
Podstawienie Eulera:
t
x
x
=
+
+
9
2
( )
2
2
9
x
t
x
−
=
+
2
2
2
2
9
x
tx
t
x
+
−
=
+
t
t
x
t
tx
2
9
9
2
2
2
−
=
⇒
−
=
2
2
2
2
2
4
18
2
4
18
2
4
t
t
dt
t
t
t
dx
+
=
+
−
=
(
)
(
)
dt
t
t
t
t
dt
t
t
t
t
t
2
2
2
2
2
2
2
9
9
2
2
9
2
9
1
+
⋅
+
=
+
−
−
=
∫
∫
c
x
x
c
t
dt
t
+
+
+
=
+
=
=
∫
9
ln
ln
1
2
8
Zadanie 7.
Obliczyć długość łuku oraz objętość bryły
powstałej z obrotu dookoła osi OX funkcji:
3
0
;
4
9
3
2
≤
≤
=
x
x
y
Rozwiązanie:
Wyznaczamy z funkcji y
x
y
x
y
x
y
=
′
⇒
=
⇒
=
2
3
3
2
3
2
9
4
Objętość:
π
=
π
=
π
=
π
=
∫
9
9
81
4
9
4
9
4
3
0
4
3
0
3
x
dx
x
V
Długość łuku:
( )
(
)
=
+
=
+
=
′
+
=
∫
∫
∫
dx
x
dx
x
dx
y
L
3
0
3
0
3
0
2
2
1
1
1
1
(
)
(
)
3
16
1
1
3
2
2
3
1
3
0
3
0
2
3
=
+
+
=
+
=
x
x
x
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Mat WIP Wykład16
Analiza mat I semstr wykłady
MAT BUD WYKŁAD 3 ceramika
MAT BUD WYKŁAD 4 ocena zgodności
PYTANIA metodologia, MAT.OD WYKŁADOWCÓW, METODOLOGIA I
Mat WIP Wyk ad22
Mat met Wykład 1, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe
Mat WIP Wyk ad23
MAT BUD WYKŁAD 4 drewno
TEST NIEDOKOĹCZONYCH ZDAĹ, MAT.OD WYKŁADOWCÓW, DIAGNOZA INTELIGENCJI OSOBY DOROSŁEJ, DIAGNOZA OSOB
MAT BUD WYKŁAD 4 termoizolacje
MAT BUD WYKLAD 1
Mat WIP Wyk ad25
Inne materiały, mat-funkcja wykładnicza, a >1
MAT BUD WYKŁAD 5 spoiwa
Mat WIP Wyk ad19
więcej podobnych podstron