(

)

c

by

ax

f

y

+

+

=

′

c

by

ax

u

+

+

=

Wykład XXV

Równania różniczkowe zwyczajne (c.d.)

1. Równanie różniczkowe zwyczajne postaci:

Po wstawieniu nowej zmiennej u oraz

W celu rozwiązania równania dokonujemy podstawienia:

Obliczamy

(

)

dx

dy

b

a

c

by

ax

dx

du

x

+

=

′

+

+

=

b

a

dx

du

b

dx

dy

−

=

1

równanie przyjmie ostateczną postać:

( )

a

u

bf

dx

du

+

=

( )

u

f

b

a

dx

du

b

=

−

1

2

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: Dokonujemy podstawienia:

(

)

1

2

2

−

+

=

′

y

x

y

.

2

y

x

u

+

=

Liczymy pochodną po x:

dx

dy

dx

du

+

= 2

2

−

=

dx

du

dx

dy

Po wstawieniu do równania otrzymujemy nowe
równanie różniczkowe:

1

2

2

−

=

−

u

dx

du

1

2

+

= u

dx

du

Rozwiązując równanie dostajemy:

dx

u

du

=

+1

2

∫

∫

=

+

dx

u

du

1

2

C

x

arctgu

+

=

(

)

C

x

y

x

arctg

+

=

+

2

(

)

C

x

tg

y

x

+

=

+

2

(

)

x

C

x

tg

y

2

−

+

=

Ostatecznie

3













=

′

x

y

f

y

x

y

u =

2. Równanie różniczkowe postaci:

Po wstawieniu nowej zmiennej u oraz

Rozwiązując równanie dokonujemy podstawienia:

Obliczamy

u

dx

du

x

u

x

dx

du

dx

dy

+

=

⋅

+

⋅

=

1

u

dx

du

x

dx

dy

+

=

Otrzymujemy równanie różniczkowe postaci:

( )

u

u

f

dx

du

x

−

=

czyli

ux

y =

4

Przykład 2. Rozwiązać równanie
(dotyczące pęku prostych z
poprzedniego wykładu)

Rozwiązanie: Podzielimy licznik i
mianownik po prawej stronie przez x

2

:

Przekształcając prawą stronę mamy:

Dostajemy równanie:

x

dx

du

u

u

u

=

+

−

3

2

1

2

2

2

y

x

xy

dx

dy

−

=

2

1

2













−

=

x

y

x

y

dx

dy

x

y

u =

Wstawiamy

oraz

u

dx

du

x

dx

dy

+

=

u

u

u

dx

du

x

−

−

=

2

1

2

2

3

1

2

u

u

u

u

dx

du

x

−

+

−

=

(

)

∫

∫

=

+

−

dx

x

du

u

u

u

1

1

1

2

2

5

W celu obliczenia całki po lewej stronie dokonujemy
rozbicia funkcji wymiernej na ułamki proste:

∫

∫

=

+

−

dx

x

du

u

u

u

1

)

1

(

1

2

2

Po wstawieniu symbolu całki dostajemy:

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

u

u

Cu

Bu

Au

A

u

C

Bu

u

A

u

u

u

+

+

+

+

=

+

+

+

=

+

−

Rozwiązujemy układ:









=

=

−

=

+

1

0

1

A

C

B

A









−

=

=

=

2

1

0

B

A

C

∫

∫

∫

=

+

−

+

dx

x

du

u

u

du

u

1

1

2

1

2

6

(

)

C

x

u

u

ln

ln

1

ln

ln

2

−

=

+

−

C

x

u

u

ln

1

ln

2

=

+

C

x

x

y

x

y

=













+

2

1

x

x

y

x

x

y

C

⋅















+

=

±

/

1

2

2

2

2

y

x

Cy

+

=

±

0

2

2

=

+

Cy

y

x

m

0

4

2

2

2

2

=

−













+

C

C

y

x

m

4

2

2

2

2

C

C

y

x

=













+

m

Jeśli wstawimy r=C/2, otrzymamy równanie okręgu o
ś

rodku w punkcie (0,±r) i promieniu r, są więc styczne do

osi OX w punkcie (0,0).

7

Jeżeli q(x)=0 wówczas równanie różniczkowe nazywamy
jednorodnym. Jeżeli q(x)≠0 równanie różniczkowe nazywane
jest niejednorodnym.

gdzie p(x) i q(x) są ciągłe w pewnym przedziale, natomiast
y

jest pewną funkcją zależną od x.

Równaniem różniczkowym liniowym I rzędu nazywamy
równanie postaci:

Metoda rozwiązywania równania liniowego rzędu

pierwszego

( )

( )

x

q

y

x

p

y

=

+

′

3. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

a) Rozwiązujemy równanie jednorodne y'+p(x)y=0

(równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych)

b) Uzmienniamy stałą w rozwiązaniu równania

jednorodnego.

8

Przykład 3. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie:
a) Rozwiązujemy równanie jednorodne

x

x

y

y

=

+

′

0

=

+

′

x

y

y

x

y

dx

dy

−

=

x

dx

y

dy

−

=

dx

x

dy

y

∫

∫

−

=

1

1

C

x

y

ln

ln

ln

+

−

=

x

C

y

ln

ln

=

( )

x

C

x

y

=

9

b) Uzmienniamy stałą:

( )

( )

x

x

C

x

y

=

Ponieważ funkcja musi spełniać równanie różniczkowe:

x

x

y

y

=

+

′

obliczamy pochodną (

pochodna ilorazu

):

( )

( )

( )

( )

2

2

1

x

x

C

x

x

C

x

x

C

x

x

C

dx

dy

y

−

′

=

⋅

−

⋅

′

=

=

′

i wstawiamy ją do równania uzyskując:

( )

( )

( )

x

x

x

C

x

x

C

x

x

C

=

+

−

′

2

2

( )

2

x

x

C

=

′

( )

1

3

3

C

x

x

C

+

=

Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie:

x

C

x

x

C

x

y

1

2

1

3

3

1

3

1

+

=

+

=

10

Przykład 4. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie:
a) Rozwiązujemy równanie jednorodne

xy

dx

dy

2

−

=

xdx

y

dy

2

−

=

∫

∫

−

=

xdx

dy

y

2

1

2

x

e

C

y

−

=

0

2

=

+

′

xy

y

C

x

C

x

y

ln

ln

2

2

ln

2

2

+

−

=

+

−

=

2

x

Ce

y

−

=

2

2

x

xe

xy

y

−

=

+

′

11

b) Uzmienniamy stałą:

( )

( )

2

x

e

x

C

x

y

−

=

Obliczamy pochodną (

pochodna iloczynu

):

( )

x

x

C

=

′

Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie:

2

1

2

2

1

x

e

C

x

y

−













+

=

Wstawiamy pochodną i funkcję do równania
uzyskując:

2

2

x

xe

xy

y

−

=

+

′

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

xe

e

x

xC

e

x

xC

e

x

C

−

−

−

−

=

+

−

′

( )

( )

( )

(

)

x

e

x

C

e

x

C

x

y

x

x

2

2

2

−

⋅

+

′

=

′

−

−

( )

1

2

2

1

C

x

x

C

+

=

12

Zadania na ćwiczenia:
Rozwiązać równania różniczkowe

(

)

1

.

1

2

+

−

=

′

y

x

y

y

x

x

x

y

y

+

=

−

′

3

.

4

1

3

2

.

2

+

+

=

′

y

x

y

2

2

2

2

.

6

y

x

dx

dy

xy

−

=

2

3

2

.

3

+

=

+

′

x

y

y

0

5

.

5

2

=













+

−

′

−

x

y

y

x

y

x

e

y

y

5

3

5

.

7

=

+

′

x

y

y

3

sin

5

.

8

=

+

′

1

4

3

.

9

+

=

+

′

x

y

y

3

2

.

10

x

x

y

y

=

+

′