Wykład XXVI

Liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu

Równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu
nazywamy równanie postaci:

Rozwiązaniem

ogólnym

(całką) równania różniczkowego jest

całka ogólna y=

ϕ(x,c

1

,c

2

), zależna od dwóch stałych c

1

i c

2

.

(

)

,

0

,

,

,

=

′′

′ y

y

y

x

F

Równanie to często daje się zapisać w postaci

(

)

y

y

x

f

y

′

=

′′

,

,

Rozwiązanie

szczególne

równania różniczkowego

uzyskujemy z warunków początkowych, które określają
wartość y i jej pochodnych w punkcie x=x

0

.

2

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie:
Równanie to rozwiążemy dwukrotnie je całkując.

Pierwsza całka:

x

y

6

=

′′

1

2

1

2

3

2

6

6

c

x

c

x

xdx

y

+

=

+

=

=

′

∫

Druga całka:

(

)

2

1

3

2

1

3

1

2

3

3

3

c

x

c

x

c

x

c

x

dx

c

x

y

+

+

=

+

+

=

+

=

∫

Odp.

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego

y'' =

6x jest funkcja y=x

3

+c

1

x

+c

2

.

Jeśli narzucimy warunek początkowy np., że dla x=1; y=2
oraz y'=1, wówczas wstawiając te warunki do pierwszej
pochodnej i do rozwiązania otrzymamy układ równań:







+

⋅

+

=

+

⋅

=

2

1

3

1

2

1

1

2

1

3

1

c

c

c







=

−

=

⇒

3

2

2

1

c

c

3

2

3

+

−

=

⇒

x

x

y

3

Wykresy rozwiązań szczegółowych:

Rozwiązanie szczególne

spełniające warunek:

x

=1, y=2, y' =1

2

1

3

c

x

c

x

y

+

+

=

4

Przykład 2. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie:

Po pierwszym całkowaniu otrzymujemy:

4

6

2

+

=

′′

x

y

(

)

1

3

1

3

2

4

2

4

3

6

4

6

c

x

x

c

x

x

dx

x

y

+

+

=

+

+

=

+

=

′

∫

Po drugim całkowaniu otrzymujemy:

(

)

2

1

2

4

2

1

2

4

1

3

2

2

2

4

4

2

4

2

c

x

c

x

x

c

x

c

x

x

dx

c

x

x

y

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

=

∫

Odp.

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego

y'' =

6x

2

+4 jest funkcja y=x

4

/2+2x

2

+c

1

x

+c

2

.

5

( )

0

,

2

2

≠

=

+

+

a

x

f

cy

dx

dy

b

dx

y

d

a

Równaniem różniczkowym zwyczajnym

rzędu drugiego o

współczynnikach stałych

nazywamy równanie postaci:

Równanie to jest liniowe względem y i jej pochodnych.

Jeżeli w równaniu f(x)=0, wówczas przyjmuje ono postać:

0

2

2

=

+

+

cy

dx

dy

b

dx

y

d

a

i nazywane jest równaniem jednorodnym.

Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego o

współczynnikach stałych

6

1. Rozwiązywanie jednorodnych równań różniczkowych

zwyczajnych rzędu drugiego o współczynnikach stałych

Jeżeli w równaniu f(x)=0, wówczas przyjmuje ono postać:

0

lub

0

2

2

=

+

′

+

′′

=

+

+

cy

y

b

y

a

cy

dx

dy

b

dx

y

d

a

i nazywane jest równaniem jednorodnym.

Przyjmijmy w równaniu jednorodnym, że

rx

e

y

=

Wówczas

rx

re

y

=

′

( )

rx

rx

e

r

re

y

2

=

′

=

′′

oraz

Wstawiając funkcję oraz pochodne do równania (*)
otrzymujemy:

(*)

0

2

=

+

+

rx

rx

rx

ce

bre

e

ar

Dzieląc równanie przez e

rx

otrzymujemy

0

2

=

+

+

c

br

ar

7

Równanie ar

2

+br+c=0 nazywamy równaniem

charakterystycznym równania (*).

Rozwiązanie równanie ar

2

+br+c=0 zależy od znaku

wyróżnika:

∆=b

2

-4ac.

Przypadek 1.

∆>0

Równanie ar

2

+br+c=0 ma dwa rozwiązania:

a

b

r

2

1

∆

−

−

=

a

b

r

2

2

∆

+

−

=

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:

x

r

x

r

e

c

e

c

y

2

1

2

1

+

=

8

Przypadek 2.

∆=0

Równanie ar

2

+br+c=0 ma jedno rozwiązanie:

a

b

r

2

1

−

=

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:

(

)

x

r

e

c

x

c

y

1

2

1

+

=

Przypadek 3.

∆<0

Równanie ar

2

+br+c=0 ma dwa pierwiastki zespolone

i

r

β

−

α

=

1

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:

(

)

x

c

x

c

e

y

x

β

+

β

=

α

sin

cos

2

1

i

r

β

+

α

=

2

gdzie

;

2a

b

−

=

α

a

2

∆

−

=

β

9

Przykład 3. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne ma postać:

0

3

5

2

=

−

′

−

′′

y

y

y

0

3

5

2

2

=

−

− r

r

Obliczamy deltę:

;

2

1

4

7

5

2

1

−

=

−

=

∆

−

−

=

a

b

r

3

4

7

5

2

2

=

+

=

∆

+

−

=

a

b

r

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:

x

x

e

c

e

c

y

3

2

2

1

1

+

=

−

49

24

25

4

2

=

+

=

−

=

∆

ac

b

0

>

∆

⇒

10

Przykład 4. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne równania ma
postać:

0

2

=

+

′

+

′′

y

y

y

0

1

2

2

=

+

+

r

r

Obliczamy deltę:

1

2

2

2

1

−

=

−

=

−

=

a

b

r

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:

(

)

x

e

c

x

c

y

−

+

=

2

1

0

4

4

4

2

=

−

=

−

=

∆

ac

b

Obliczamy pierwiastek:

11

Przykład 5. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne równania ma
postać:

0

5

2

=

+

′

+

′′

y

y

y

0

5

2

2

=

+

+

r

r

Obliczamy deltę:

;

2

1

2

4

2

2

1

i

i

a

i

b

r

−

−

=

−

−

=

∆

−

−

−

=

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:

16

20

4

4

2

−

=

−

=

−

=

∆

ac

b

0

<

∆

⇒

;

2

1

2

4

2

2

2

i

i

a

i

b

r

+

−

=

+

−

=

∆

−

+

−

=







=

β

−

=

α

⇒

2

1

(

)

x

c

x

c

e

y

x

β

+

β

=

α

sin

cos

2

1

(

)

x

c

x

c

e

y

x

2

sin

2

cos

2

1

+

=

−

Wstawiając

α i β dostajemy rozwiązanie ogólne postaci:

12

1. Rozwiązywanie niejednorodnych równań różniczkowych

zwyczajnych rzędu drugiego o współczynnikach stałych

Równanie niejednorodne ma postać:

( )

( )

0

,

0

;

≠

≠

=

+

′

+

′′

x

f

a

x

f

cy

y

b

y

a

Rozwiązaniem ogólnym równania (**) jest funkcja

(

)

( )

x

y

c

c

x

y

y

2

2

1

1

,

,

+

=

gdzie y

1

(x,c

1

,c

2

) jest rozwiązaniem równania jednorodnego

(*), natomiast y

2

(x) jest pewnym rozwiązaniem szczególnym

równania (**).

(**)

Rozwiązanie y

2

(x) znajdujemy metodą przewidywania lub

uzmienniania stałej.

13

Przykład 6. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie:
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne: y''-4y'+4y=0.
Równanie charakterystyczne ma postać:

x

y

y

y

4

4

4

=

+

′

−

′′

0

4

4

2

=

+

−

r

r

Obliczamy deltę:

;

2

2

4

2

1

=

=

−

=

a

b

r

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
jednorodnego jest funkcja postaci:

(

)

x

e

c

x

c

y

2

2

1

+

=

0

16

16

4

2

=

−

=

−

=

∆

ac

b

Ponieważ f(x) jest funkcją liniową wobec tego
przewidujemy, że y

2

=ax+b

14

(

)

a

b

ax

y

=

′

+

=

′

2

Rozwiązanie y

2

=ax+b musi spełniać równanie, wobec

czego musimy obliczyć pierwszą i drugą pochodną tego
rozwiązania.

0

2

=

′′

y

Po wstawieniu do równania
otrzymujemy:

x

y

y

y

4

4

4

=

+

′

−

′′

(

)

x

b

ax

a

4

4

4

0

=

+

+

−

Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymujemy:

x

a

b

ax

4

4

4

4

=

−

+

Porównujemy współczynniki, uzyskując układ równań:







=

−

=

0

4

4

4

4

a

b

a







=

=

⇒

1

1

b

a

15

(

)

1

2

2

1

2

1

+

+

+

=

+

=

x

e

c

x

c

y

y

y

x

Przypomnijmy, że rozwiązaniem szczególnym równania
jednorodnego jest funkcja:

(

)

x

e

c

x

c

y

2

2

1

1

+

=

Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego

jest funkcja postaci:

x

y

y

y

4

4

4

=

+

′

−

′′

16

Zadania na ćwiczenia:
Rozwiązać równania różniczkowe

2

.

1

=

′′

y

0

2

.

4

=

+

′

+

′′

y

y

y

0

2

.

2

=

′

−

′′

y

y

0

25

8

.

6

=

+

′

+

′′

y

y

y

0

2

.

3

=

−

′

+

′′

y

y

y

0

9

6

.

5

=

+

′

+

′′

y

y

y

2

6

.

7

+

=

′′

x

y

0

2

3

.

8

=

+

′

−

′′

y

y

y

0

10

2

.

9

=

+

′

+

′′

y

y

y

1

3

2

.

10

+

=

+

′

−

′′

x

y

y

y

x

y

y

y

4

2

.

11

=

−

′

+

′′

2

4

4

.

12

x

y

y

y

=

+

′

−

′′