Wykład XXVI
Liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu
Równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu
nazywamy równanie postaci:
Rozwiązaniem
ogólnym
(całką) równania różniczkowego jest
całka ogólna y=
ϕ(x,c
1
,c
2
), zależna od dwóch stałych c
1
i c
2
.
(
)
,
0
,
,
,
=
′′
′ y
y
y
x
F
Równanie to często daje się zapisać w postaci
(
)
y
y
x
f
y
′
=
′′
,
,
Rozwiązanie
szczególne
równania różniczkowego
uzyskujemy z warunków początkowych, które określają
wartość y i jej pochodnych w punkcie x=x
0
.
2
Przykład 1. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie:
Równanie to rozwiążemy dwukrotnie je całkując.
Pierwsza całka:
x
y
6
=
′′
1
2
1
2
3
2
6
6
c
x
c
x
xdx
y
+
=
+
=
=
′
∫
Druga całka:
(
)
2
1
3
2
1
3
1
2
3
3
3
c
x
c
x
c
x
c
x
dx
c
x
y
+
+
=
+
+
=
+
=
∫
Odp.
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
y'' =
6x jest funkcja y=x
3
+c
1
x
+c
2
.
Jeśli narzucimy warunek początkowy np., że dla x=1; y=2
oraz y'=1, wówczas wstawiając te warunki do pierwszej
pochodnej i do rozwiązania otrzymamy układ równań:
+
⋅
+
=
+
⋅
=
2
1
3
1
2
1
1
2
1
3
1
c
c
c
=
−
=
⇒
3
2
2
1
c
c
3
2
3
+
−
=
⇒
x
x
y
3
Wykresy rozwiązań szczegółowych:
Rozwiązanie szczególne
spełniające warunek:
x
=1, y=2, y' =1
2
1
3
c
x
c
x
y
+
+
=
4
Przykład 2. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie:
Po pierwszym całkowaniu otrzymujemy:
4
6
2
+
=
′′
x
y
(
)
1
3
1
3
2
4
2
4
3
6
4
6
c
x
x
c
x
x
dx
x
y
+
+
=
+
+
=
+
=
′
∫
Po drugim całkowaniu otrzymujemy:
(
)
2
1
2
4
2
1
2
4
1
3
2
2
2
4
4
2
4
2
c
x
c
x
x
c
x
c
x
x
dx
c
x
x
y
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
∫
Odp.
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
y'' =
6x
2
+4 jest funkcja y=x
4
/2+2x
2
+c
1
x
+c
2
.
5
( )
0
,
2
2
≠
=
+
+
a
x
f
cy
dx
dy
b
dx
y
d
a
Równaniem różniczkowym zwyczajnym
rzędu drugiego o
współczynnikach stałych
nazywamy równanie postaci:
Równanie to jest liniowe względem y i jej pochodnych.
Jeżeli w równaniu f(x)=0, wówczas przyjmuje ono postać:
0
2
2
=
+
+
cy
dx
dy
b
dx
y
d
a
i nazywane jest równaniem jednorodnym.
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego o
współczynnikach stałych
6
1. Rozwiązywanie jednorodnych równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu drugiego o współczynnikach stałych
Jeżeli w równaniu f(x)=0, wówczas przyjmuje ono postać:
0
lub
0
2
2
=
+
′
+
′′
=
+
+
cy
y
b
y
a
cy
dx
dy
b
dx
y
d
a
i nazywane jest równaniem jednorodnym.
Przyjmijmy w równaniu jednorodnym, że
rx
e
y
=
Wówczas
rx
re
y
=
′
( )
rx
rx
e
r
re
y
2
=
′
=
′′
oraz
Wstawiając funkcję oraz pochodne do równania (*)
otrzymujemy:
(*)
0
2
=
+
+
rx
rx
rx
ce
bre
e
ar
Dzieląc równanie przez e
rx
otrzymujemy
0
2
=
+
+
c
br
ar
7
Równanie ar
2
+br+c=0 nazywamy równaniem
charakterystycznym równania (*).
Rozwiązanie równanie ar
2
+br+c=0 zależy od znaku
wyróżnika:
∆=b
2
-4ac.
Przypadek 1.
∆>0
Równanie ar
2
+br+c=0 ma dwa rozwiązania:
a
b
r
2
1
∆
−
−
=
a
b
r
2
2
∆
+
−
=
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:
x
r
x
r
e
c
e
c
y
2
1
2
1
+
=
8
Przypadek 2.
∆=0
Równanie ar
2
+br+c=0 ma jedno rozwiązanie:
a
b
r
2
1
−
=
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:
(
)
x
r
e
c
x
c
y
1
2
1
+
=
Przypadek 3.
∆<0
Równanie ar
2
+br+c=0 ma dwa pierwiastki zespolone
i
r
β
−
α
=
1
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:
(
)
x
c
x
c
e
y
x
β
+
β
=
α
sin
cos
2
1
i
r
β
+
α
=
2
gdzie
;
2a
b
−
=
α
a
2
∆
−
=
β
9
Przykład 3. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne ma postać:
0
3
5
2
=
−
′
−
′′
y
y
y
0
3
5
2
2
=
−
− r
r
Obliczamy deltę:
;
2
1
4
7
5
2
1
−
=
−
=
∆
−
−
=
a
b
r
3
4
7
5
2
2
=
+
=
∆
+
−
=
a
b
r
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:
x
x
e
c
e
c
y
3
2
2
1
1
+
=
−
49
24
25
4
2
=
+
=
−
=
∆
ac
b
0
>
∆
⇒
10
Przykład 4. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne równania ma
postać:
0
2
=
+
′
+
′′
y
y
y
0
1
2
2
=
+
+
r
r
Obliczamy deltę:
1
2
2
2
1
−
=
−
=
−
=
a
b
r
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:
(
)
x
e
c
x
c
y
−
+
=
2
1
0
4
4
4
2
=
−
=
−
=
∆
ac
b
Obliczamy pierwiastek:
11
Przykład 5. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne równania ma
postać:
0
5
2
=
+
′
+
′′
y
y
y
0
5
2
2
=
+
+
r
r
Obliczamy deltę:
;
2
1
2
4
2
2
1
i
i
a
i
b
r
−
−
=
−
−
=
∆
−
−
−
=
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:
16
20
4
4
2
−
=
−
=
−
=
∆
ac
b
0
<
∆
⇒
;
2
1
2
4
2
2
2
i
i
a
i
b
r
+
−
=
+
−
=
∆
−
+
−
=
=
β
−
=
α
⇒
2
1
(
)
x
c
x
c
e
y
x
β
+
β
=
α
sin
cos
2
1
(
)
x
c
x
c
e
y
x
2
sin
2
cos
2
1
+
=
−
Wstawiając
α i β dostajemy rozwiązanie ogólne postaci:
12
1. Rozwiązywanie niejednorodnych równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu drugiego o współczynnikach stałych
Równanie niejednorodne ma postać:
( )
( )
0
,
0
;
≠
≠
=
+
′
+
′′
x
f
a
x
f
cy
y
b
y
a
Rozwiązaniem ogólnym równania (**) jest funkcja
(
)
( )
x
y
c
c
x
y
y
2
2
1
1
,
,
+
=
gdzie y
1
(x,c
1
,c
2
) jest rozwiązaniem równania jednorodnego
(*), natomiast y
2
(x) jest pewnym rozwiązaniem szczególnym
równania (**).
(**)
Rozwiązanie y
2
(x) znajdujemy metodą przewidywania lub
uzmienniania stałej.
13
Przykład 6. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne: y''-4y'+4y=0.
Równanie charakterystyczne ma postać:
x
y
y
y
4
4
4
=
+
′
−
′′
0
4
4
2
=
+
−
r
r
Obliczamy deltę:
;
2
2
4
2
1
=
=
−
=
a
b
r
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
jednorodnego jest funkcja postaci:
(
)
x
e
c
x
c
y
2
2
1
+
=
0
16
16
4
2
=
−
=
−
=
∆
ac
b
Ponieważ f(x) jest funkcją liniową wobec tego
przewidujemy, że y
2
=ax+b
14
(
)
a
b
ax
y
=
′
+
=
′
2
Rozwiązanie y
2
=ax+b musi spełniać równanie, wobec
czego musimy obliczyć pierwszą i drugą pochodną tego
rozwiązania.
0
2
=
′′
y
Po wstawieniu do równania
otrzymujemy:
x
y
y
y
4
4
4
=
+
′
−
′′
(
)
x
b
ax
a
4
4
4
0
=
+
+
−
Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymujemy:
x
a
b
ax
4
4
4
4
=
−
+
Porównujemy współczynniki, uzyskując układ równań:
=
−
=
0
4
4
4
4
a
b
a
=
=
⇒
1
1
b
a
15
(
)
1
2
2
1
2
1
+
+
+
=
+
=
x
e
c
x
c
y
y
y
x
Przypomnijmy, że rozwiązaniem szczególnym równania
jednorodnego jest funkcja:
(
)
x
e
c
x
c
y
2
2
1
1
+
=
Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego
jest funkcja postaci:
x
y
y
y
4
4
4
=
+
′
−
′′
16
Zadania na ćwiczenia:
Rozwiązać równania różniczkowe
2
.
1
=
′′
y
0
2
.
4
=
+
′
+
′′
y
y
y
0
2
.
2
=
′
−
′′
y
y
0
25
8
.
6
=
+
′
+
′′
y
y
y
0
2
.
3
=
−
′
+
′′
y
y
y
0
9
6
.
5
=
+
′
+
′′
y
y
y
2
6
.
7
+
=
′′
x
y
0
2
3
.
8
=
+
′
−
′′
y
y
y
0
10
2
.
9
=
+
′
+
′′
y
y
y
1
3
2
.
10
+
=
+
′
−
′′
x
y
y
y
x
y
y
y
4
2
.
11
=
−
′
+
′′
2
4
4
.
12
x
y
y
y
=
+
′
−
′′