Wprowadzenie do logiki formalnej

© Jarosław Kucharski

Zakresy nazwowe

WYKRESY EULERA

Wszystkie

S

są

P

(

S

a

P

)

Niektóre

S

są

P

(

S

i

P

)

Leonhard Euler

1707 – 1783

S

P

Niektóre

S

są

P

(

S

i

P

)

Niektóre

S

nie są

P

(

S

o

P

)

Żadne

S

nie jest

P

(

S

e

P

)

S

S

P

P

© Jarosław Kucharski

Kwadrat logiczny

S

a

P

S

e

P

S

o

P

S

i

P

© Jarosław Kucharski

Kwadrat logiczny

S

a

P

S

e

P

wykluczanie

S

o

P

S

i

P

dopełnianie

wynikanie

wynikanie

sprzeczność

© Jarosław Kucharski

Język logiki a język naturalny

LOGIKA – nauka badająca warunki poprawności
rozumować

JĘZYK NATURALNY – każdy język, składający się ze zbiory
wyrażeń sensownych, reguł syntaktycznych i postulatów

wyrażeń sensownych, reguł syntaktycznych i postulatów
znaczeniowych, powstający w sposób spontaniczny i
ewoluujący w czasie. Dopuszcza definicje ostensywne.
Znaczenie uzależnione jest od kontekstu.

JĘZYK FORMALNY – język wytworzony sztucznie, za
pomocą ściśle określonych reguł.

© Jarosław Kucharski

Wprowadzenie do logiki

Podział logiki:

SEMIOTYKA – nauka o znakach

Semantyka– bada relacje między znakami a przedmiotami, do
których znaki te się odnoszą

Syntaktyka – bada relacje, które zachodzą wewnątrz języka,
relacje składniowe

relacje składniowe

Pragmatyka – koncentruje się na relacjach między znakami
językowymi a ich użytkownikami (interpretatorami)

Logika formalna

Teoria i metodologia nauk

© Jarosław Kucharski

Język logiki a język naturalny

Zdanie w logice – każde wyrażenie językowe, któremu
można przypisać prawdę lub fałsz

Zmienna – odpowiednio zaznaczone miejsce do
wypełnienia w danym schemacie.

Schemat zdaniowy – schemat zdania danego języka,
który po poprawnym podstawieniu za występujące w
nim zmienne, zmienia się w sensowne zdanie danego
języka.

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek zdań (KRZ)

ALFABET:

Zmienne zdaniowe: p, q, r, z…

Funktory

v

, , ,

¬

Znaki pomocnicze: (), {}, []…

Zenon z Kition

333-262 pne

Gottlob Frege

1848-1925

Alfred Tarski

1901-1983

Jan Łukasiewicz

1878-1956

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek zdań (KRZ)

Wartości zdań tworzonych za pomocą funktorów

ALTERNATYWA ( ) prawdziwa jest wtedy, gdy jeden z jej
członów jest prawdziwy

KONIUNKCJA ( ) prawdziwa jest wtedy, gdy oba jej człony są

KONIUNKCJA ( ) prawdziwa jest wtedy, gdy oba jej człony są
prawdziwe

IMPLIKACJA ( ) fałszywa jest wtedy, gdy z prawdy wynika
fałsz

NEGACJA (

¬

) zmienia wartość logiczną negowanego zdania

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek zdań (KRZ)

Przekład zdań języka naturalnego na język KRZ

Pierwszą rybą, jaką dziś złapie Wacek, będzie karaś, bo wybiera się
wędkować na jeziorze Szczylno, w którym stosunek karasi do innych ryb
wynosi 100:1.

(p z) q

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek zdań (KRZ)

TAUTOLOGIA

Każda formuła, która przy dowolnym wartościowaniu

zmiennych przybiera wartość logiczną 1.

p p

[(p q) p] q

p (q p)

[(p q) ¬p] ¬q

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek zdań (KRZ)

AKSJOMAT (gr. wysoko cenię, przyjmuję za

wiarygodne): takie twierdzenie danej teorii, które
zostało przyjęte bez dowodu i stanowi podstawę
dowodów innych twierdzeń

SYSTEM AKSJOMATYCZNY: system obejmujący

pewien układ aksjomatów oraz zbiór ich
logicznych konsekwencji (twierdzeń
wyprowadzonych z tych aksjomatów).

(za Encyklopedia PWN)

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek zdań (KRZ)

WERSJA SEMANTYCZNA

ALFABET

• Zbiór zmiennych zdaniowych,

• Spójniki:

¬, ∧

∧

∧

∧

, ∨

∨

∨

∨

, →, ≡

;

• Nawiasy: ( ) , [ ]

REGUŁY

Reguła Odrywania (RO): jeżeli uznaliśmy w toku dowodzenia
implikację i jej poprzednik, to możemy uznać również następnik.

Regułą Podstawiania: w toku dowodzenia możemy podstawić za
dowolną zmienną zdaniową poprawie zbudowaną formułę.

∧

∧

∧

∧ ∨

∨

∨

∨

• Nawiasy: ( ) , [ ]

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek zdań (KRZ)

AKSJOMATYKA HILBERTA-ŁUKASIEWICZA

Cz 1

[1] (p→q)→((q→s)→(p→s))

[2] (p→(p→q))→(p→q)

[2] (p→(p→q))→(p→q)

[3] p→(q→p)

[4] p∧q→p

[5] p∧q→q

[6] (p→q)→((p→s)→(p→q∧s))

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek zdań (KRZ)

AKSJOMATYKA HILBERTA-ŁUKASIEWICZA

Cz. 2

[7] p→p∨q

[8] q→p∨q

∨

∨

[8] q→p∨q

[9] (p→s)→((q→s)→(p∨q→s))

[10] (p≡q)→(p→q)
[11] (p≡q)→(q→p)
[12] (p→q)→((q→p)→(p≡q))
[13] (¬q→¬p)→(p→q)

© Jarosław Kucharski

Nazwy i ich relacje

ZNAK – przedmiot, który jego użytkownika odnosi do
czegoś innego, niż ten przedmiot

NAZWA – każdy wyraz, który może być podmiotem lub
orzecznikiem w poprawnie zbudowanym zdaniu typu S jest
P

POJĘCIE – znaczenie nazwy, obejmujące istotne cechy
przedmiotu, do którego nazwa się odnosi.

DESYGNAT – przedmiot oznaczany przez daną nazwę

DENOTACJA NAZWY – zbiór jej desygnatów

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek predykatów (KRP)

ALFABET KRP:

Zmienne indywiduowe: x, y, z…

Stałe indywiduowe: A, B, C, D…

Funktory , , ,

¬

Znaki pomocnicze: (), {}, []…

Kwantyfikatory: ,

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek predykatów (KRP)

FORMUŁY KRP

x

P

(x)

y

S

(y)

y

S

(y)

Wszyscy ludzie są śmiertelni

Sokrates jest człowiekiem

Zatem: Sokrates jest śmiertelny.

© Jarosław Kucharski

Klasyczny rachunek predykatów (KRP)

WYBRANE TEZY KRP

Prawa de Morgana

I

¬ x

P

(x)

≡

x ¬

P

(x)

≡

II

¬ x

P

(x)

≡

x ¬

P

(x)

August de Morgan

1806-1871

© Jarosław Kucharski

Kwadrat logiczny dla modalnego
rachunku zdań

wykluczanie

(dysjunkcja,

alternatywa rozłączna)

x

P

(x)

x

P

(x)

¬

dopełnianie

(alternatywa nierozłączna)

wynikanie

wynikanie

sprzeczność

x

P

(x)

X

P

(x)

¬

© Jarosław Kucharski