WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 14

1

Zadanie 1
Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni

a) x

2

+ 2y

2

+ z

2

= 28 w punkcie P

0

= (4, 2, 2)

b) z = 2x

2

+ y

2

w punkcie P

0

= (1, −1, 3)

c) x

2

+ 2y

2

+ 3z

2

− 6 = 0 w punkcie P

0

= (1, −1, 1)

d) z = y + ln

x

z

w punkcie P

0

= (1, 1, 1)

e) x

2

+ 2y

2

+ 3z

2

+ x + 2y + 3z = 0 równoległą do płaszczyzny Oxy

Zadanie 2
Wyznaczyć wektor normalny do powierzchni

a) x

2

+ y

2

+ z

2

− 169 = 0 w punkcie M = (3, 4, 12)

b) z = arc tg

y

x

w punkcie M =



1, 1,

π

2



Zadanie 3
Znaleźć ekstrema funkcji f :

a) f (x, y) = (x

2

+ y)

√

e

y

b) f (x, y) = 2x

3

+ xy

2

+ 5x

2

+ y

2

d) f (x, y, z) = x +

y

2

4x

+

z

2

y

+

2

z

w obszarze x > 0, y > 0, z > 0

Zadanie 4
Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w podanych zbiorach

a) f (x, y) = x

4

+ y

4

, x

2

+ y

2

¬ 9

b) f (x, y) = x

3

+ y

3

− 9xy + 27, D = {(x, y) ∈ R

2

: x ∈ [0, 4], y ∈ [0, 4]}

c) f (x, y) = x

2

+ y

2

w trójkącie ograniczonym liniami x = 0, y = 0, y = −2x − 2

d) f (x, y) = x

2

+ y

2

− 12x + 16y w kole x

2

+ y

2

¬ 25

e) f (x, y, z) = x

2

+ 2y

2

+ 3z

2

, w kuli x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 100

Odpowiedzi: 1. a) 2x + 2y + z − 14 = 0, b) 4x − 2y − z − 3 = 0, c) x − 2y + 3z − 6 = 0, d)

x+y−2z = 0. e) z =

−1 −

√

2

2

lub z =

−1 +

√

2

2

; 2. a) [3, 4, 12], b) [1, −1, 2]; 3. a) f

min

(0, −2) = −2e

−1

,

b) f

min

(0, 0) = 0, f

max



−

5

3

, 0



=

125

27

, c) f

min



1

2

, 1, 1



= 4; 4. a) f

najm

(0, 0) = 0, f

najw

(0, ±3) =

f

najw

(±3, 0) = 81, b) f

najm

(3, 3) = 0, f

najw

(0, 4) = f

najw

(4, 0) = 91, c) f

najm

(0, 0) = 0, f

najw

(0, −2) = 4,

d) f

najm

(3, −4) − 75, f

najw

(−3, 4)125, e) f

najm

(0, 0, 0) = 0, f

najw

(0, 0, 10) = f

najw

(0, 0, −10) = 300.