L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Temat ćwiczenia:
Badanie równoległego
i szeregowo-równoległego
układu RLC przy wymuszeniu
sinusoidalnym
I
nstytut
P
odstaw
E
lektrotechniki i
E
lektrotechnologii -
Z
akład
E
lektrotechniki
T
eoretycznej
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 2 -
1. Cel i zakres ćwiczenia.
Badanie zjawisk występujących w obwodzie złożonym z równolegle i szeregowo-
równolegle połączonych elementów RLC zasilanych ze źródła napięcia sinusoidalnie
zmiennego o regulowanej częstotliwości. Wyznaczenie rozpływu prądów i spadków napięć na
poszczególnych elementach obwodu dla różnych częstotliwości sygnału zasilającego.
Wyznaczanie admitancji wejściowej badanych obwodów funkcji częstotliwości sygnału
zasilającego.
2. Wstęp teoretyczny.
2.1. Równoległy obwód RLC
Obwód przedstawiony na rys.1 złożony jest z równolegle połączonych elementów RLC.
W obwodzie tym płynie prąd o wartości zespolonej
I
Y E
=
(1)
gdzie Y jest admitancją obwodu, a E jest napięciem zasilającym.
R
L
E
I
I
R
I
L
I
C
C
Rys.1. Równoległy obwód RLC
Moduł admitancji tego obwodu jest opisany równaniem:
(
)
2
2
C
L
Y
G
B
B
=
+
−
(2)
gdzie G jest to przewodnością obwodu, B
L
oznacza susceptancję indukcyjną a B
C
susceptancję
pojemnościową tego obwodu. (rys. 2).
Im
Re
jB
C
G
-jB
L
Y
Rys. 2 Wykres admitancji
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 3 -
Wypadkowa susceptancja obwodu B jest równa różnicy susceptancji elementów
magazynujących energię:
C
L
B
B
B
=
−
(3)
gdzie
C
B
C
ω
=
,
L
1
B
L
ω
=
,
2 f
ω
π
=
Korzystając z prądowego prawa Kirchhoffa całkowity prąd pobierany ze źródła można
wyrazić jako sumę prądów płynących w poszczególnych gałęziach obwodu:
R
C
L
I
I
I
I
=
+
+
(4)
gdzie:
R
I
G E
=
C
C
I
B E
C E
ω
=
=
(5)
L
L
1
I
B E
E
L
ω
=
=
Wykres wskazowy prądów przedstawiono na rys. 3. Kąt przesunięcia fazowego
φ
pomiędzy
prądem pobieranym ze źródła a napięciem zasilającym obliczmy z zależności:
arctg
B
G
ϕ
= −
(6)
Im
Re
I
R
ϕ
I
I
C
I
L
E
Rys. 3 Wykres wskazowy prądów
Dla pewnej częstotliwości f
o
zwanej częstotliwością rezonansową susceptancja całego
obwodu B jest równa zeru:
C
L
B
B
B
0
=
−
=
(7)
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 4 -
Częstotliwość rezonansową obliczamy ze wzoru:
0
1
f
2
LC
π
=
(8)
Należy zauważyć, że dla idealnych elementów, częstotliwość rezonansowa obwodu
równoległego jest taka sama jak częstotliwość rezonansowa obwodu szeregowego.
Krzywą zmian admitancji obwodu w funkcji częstotliwości przedstawiono na rys.4.
Wartość admitancji obwodu w stanie rezonansu przyjmuje wartość minimalną i jest równa
konduktancji tego obwodu:
1
Y
G
R
=
=
(9)
f
Y
f
0
G
Rys. 4. Wykres admitancji w funkcji częstotliwości.
W konsekwencji moduł prądu płynącego w obwodzie w stanie rezonansu jest równy:
1
I
G E
E
R
=
=
(10)
Na rys. 5 przedstawiono wykres zmian prądu w funkcji częstotliwości napięcia zasilającego.
Wartość prądu w rezonansie jest zależna od wartości konduktancji G.
R
E
f
I
f
0
Rys 5. Charakterystyka rezonansowa
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 5 -
Należy zdawać sobie sprawę z faktu, że w obwodzie z równolegle połączonymi elementami
LC
wartości prądów płynących w gałęziach zawierających elementy magazynujące energię
mogą być znacznie większe niż prąd pobierany ze źródła (przetężenie).
Rozpatrzmy przedstawiony na rys. 6 rzeczywisty obwód rezonansowy złożony
z bezstratnego kondensatora o pojemności C połączonego równolegle z rzeczywistą cewką
o indukcyjności L i rezystancji R
L
.
R
L
L
E
I
I
L
I
C
C
Rys. 6. Układ równoległy z rzeczywistą cewką indukcyjną.
Korzystając z prądowego prawa Kirchhoffa całkowity prąd pobierany ze źródła jest równy:
C
L
I
I
I
=
+
(11)
gdzie:
C
C
C
I
Y E
jB E
=
=
(12)
L
L
L
L
1
I
Y E
E
R
jX
=
=
+
(13)
Zatem prąd pobierany ze źródła można obliczyć z równania
L
L
C
2
2
2
2
L
L
L
L
R
X
I
E
j B
E
R
X
R
X
=
+
−
+
+
(14)
I
G E
jB E
′
′
=
+
(15)
Na rys. 7 przedstawiono wykres wskazowy prądów w rozpatrywanym obwodzie w stanie
rezonansu.
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 6 -
Im
Re
I
I
C
I
L
E
Rys. 7.Wykres wskazowy prądów dla obwodu z rys. 6
Jak widać na wykresie prąd I jest w fazie z napięciem E, gdyż całkowita susceptancja
obwodu jest równa zeru.
L
2
2
C
L
L
1
X
0
X
R
X
−
=
+
(16)
Po przekształceniu otrzymujemy następujący warunek na rezonans
2
L
C
L
L
R
X
X
X
=
+
(17)
W konsekwencji w rozpatrywanym obwodzie wystąpi rezonans, gdy częstotliwość źródła
będzie równa:
2
L
0
1
1
R
f
2
LC
L
π
=
−
(18)
Jak wynika z powyższej zależności, wzrost rezystancji cewki powoduje obniżenie wartości
częstotliwości rezonansowej. Gdy rezystancja cewki dąży do zera to wartość częstotliwości
rezonansowej zbliża się do częstotliwości rezonansowej obwodu złożonego z elementów
czysto reaktancyjnych.
Rezystancję rezonansową obwodu równoległego określa się jako iloraz napięcia na
zaciskach obwodu do prądu pobieranego przez obwód w chwili rezonansu.
0
0
E
R
I
=
(19)
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 7 -
Rezystancję rezonansową obwodu można wyrazić jako:
0
L
1
L
R
G
CR
=
=
′
(20)
Omawiane obwody mogą być zastosowane do filtracji sygnałów prądowych. Sygnały
prądowe o częstotliwościach zbliżonych do częstotliwości rezonansowej są tłumione ponieważ
obwód charakteryzuje się dużą impedancją wejściową.
2.2. Szeregowo - równoległy obwód RLC
Rozpatrując obwód przedstawiony na rys. 8 należy zauważyć, iż możliwe jest wystąpienie
dwóch rodzajów rezonansu: szeregowego i równoległego.
L
E
I
I
L
I
C
C
2
C
1
Rys.8.. Szeregowo-równoległy obwód LC
Rezonans równoległy wystąpi, gdy źródło napięcia zasilającego będzie miało częstotliwość
dla której wypadkowa susceptancja gałęzi połączonych równolegle będzie równa zeru:
C1
L1
B
B
0
−
=
(21)
r
1
r 1
1
C
L
ω
ω
=
(22)
Wartość pulsacji (częstotliwości) dla której wystąpi rezonans równoległy wynosi więc
2
r
1 1
1
C L
ω
=
(23)
Rezonans szeregowy wystąpi w tedy, gdy reaktancja wejściowa obwodu będzie równa zeru.
W rozpatrywanym przypadku reaktancja wejściowa obwodu wynosi:
C1
C 2
L1
L1
C1
X
X
X
X
X
X
= −
−
−
(24)
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 8 -
Po przekształceniu otrzymuje się
(
)
C1
C 2
L1
C1
C 2
L1
C1
X
X
X
X
X
X
X
X
−
+
= −
−
(25)
Warunek rezonansu szeregowego będzie spełniony, jeżeli licznik powyższego wyrażenia
będzie równy zeru. Tak więc nowe warunki rezonansu szeregowego mogą być zapisane w
postaci:
(
)
C1
C 2
L1
C1
C 2
X
X
X
X
X
0
−
+
=
(26)
Po przekształceniach otrzymujemy następującą zależność na pulsację (częstotliwość)
rezonansu szeregowego:
(
)
2
s
1
1
2
1
L C
C
ω
=
+
(27)
Wyznaczając wartości prądu pobieranego ze źródła funkcji częstotliwości napięcia
zasilającego można wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową badanego obwodu. Prąd
jako odpowiedź na napięcie zasilające ilustruje zachowanie się obwodu oraz jego własności,
gdy jest on zasilany ze źródła napięcia sinusoidalnie zmiennego o stałej amplitudzie i
regulowanej częstotliwości.
Jak widać na rys.10 maksimum prądu pobieranego ze źródła wystąpi w stanie rezonansu
szeregowego. Minimum prądu jest efektem rezonansu równoległego. Zmieniając częstotliwość
napięcia zasilającego od zera do nieskończoności stwierdzamy, że rezonans szeregowy
pojawia się pierwszy, ponieważ w wyrażeniu na częstotliwość rezonansową (27) mianownik
ma większą wartość niż w przypadku rezonansu równoległego (23).
f
f
s
f
r
I
Rys. 10. Charakterystyka rezonansowa.
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 9 -
UWAGA ! Punkty programu oznaczone gwiazdką należy wykonać w ramach przygotowań do laboratorium.
3. Program ćwiczenia
3.1 Równoległy obwód RLC
1*. Zaprojektować i narysować schemat
laboratoryjnego obwodu elektrycznego
do
badania
zjawiska
rezonansu
równoległego. Obwód musi zawierać
równoległą
gałąź
LC,
połączoną
szeregowo z rezystorem dekadowym R.
Zasilany będzie z generatora sygnału
sinusoidalnie zmiennego o regulowanej
częstotliwości napięcia. Obwód powinien
zawierać
oscyloskop
dwukanałowy
ułatwiający dokładniejsze wyznaczenie
częstotliwości rezonansowej. Pierwszy
kanał
oscyloskopu
mierzy
napięcie
zasilające a drugi prąd zasilający ( spadek
napięcia na R ). Należy także uwzględnić
woltomierz do kontroli wartości napięcia
zasilającego
oraz
amperomierz
do
pomiaru całkowitego prądu płynącego w
obwodzie. Układ należy zaprojektować w
taki sposób aby masa generatora oraz
masy obu kanałów oscyloskopu miały ten
sam potencjał.
Schemat układ rezonansu równoległego
.
2*. Rezystor R stosowany w obwodzie ma dwie funkcje, ograniczać
maksymalny prąd w obwodzie i dostarczać do kanału oscyloskopu
napięcie proporcjonalne do prądu ( moduł i faza ). Określ wartość
rezystancji R, którą należy włączyć do obwodu aby ograniczyć
prąd do 3mA, przy napięciu zasilającym generatora 6V (wartość
skuteczna).
R=
3.
Na kondensatorze dekadowym ustaw wartość C=0.03
µ
µ
µ
µF. Wybierz cewkę powietrzną
o wartości L=0.069H. Stosując wybrane elementy i przyrządy pomiarowe połącz
obwód zgodnie ze schematem z punktu 1).
4.
Napisz odpowiednie wyrażenie, które
pozwala
obliczyć
częstotliwość
rezonansu równoległego f
0
dla danych
wartości elementów L i C.
f
0
=
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 10 -
5.
Oblicz
według
wzoru
(w
pkt.4)
częstotliwość
rezonansową
f
0
dla
ustawionych wartości elementów L i C
(w pkt.3)
f
0
=
6.
Wykonaj pomiary charakterystyki częstotliwościowej układu. Utrzymując stałą
wartość napięcia generatora U=6V (skuteczne), zmierz prąd dla różnych wartości
częstotliwości napięcia zasilającego. i zanotuj w poniższej tabeli. Charakterystyka
powinna zawierać minimum 20 punktów pomiarowych, przy czym (ze względu na
dużą stromość przebiegu w stanach bliskich rezonansowi) im częstotliwość napięcia
jest bliższa f
0
to zmiany częstotliwości powinny być mniejsze.
f
[kHz]
I
[mA]
f
[kHz]
I
[mA]
7.
Oscyloskop przełącz w tryb pracy X-Y. Wówczas na ekranie dla nierezonansowych
częstotliwości trajektoria będzie miała kształt elipsy, natomiast dla częstotliwości
rezonansowej będzie odcinkiem prostym. Reguluj częstotliwość aż do osiągnięcia
rezonansu, co stwierdzisz na podstawie kształtu trajektorii na ekranie oscyloskopu.
Odczytaj wartość częstotliwości rezonansowej ze skali generatora i zapisz ją w tabeli
(w pkt. 6)
8.
Narysuj i opisz osie wykresu w odpowiedniej skali. Narysuj charakterystykę
rezonansową, zależność wartości prądu od częstotliwości według tabeli (w ptk.6).
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 11 -
Charakterystyka rezonansowa obwodu równoległego ( pkt. 1).
9.
Wykorzystując wykonane pomiary napięcia i prądu, oblicz
moduł impedancji obwodu w stanie rezonansu.
Z=
10. Przyjmując, że rezystor dekadowy o ustawionej wartości R jest
przyłączony szeregowo do obwodu rezonansu równoległego
(równoległa gałąź LC), wyznacz impedancję gałęzi równoległej
w stanie rezonansu.
Z
0
=Z-R=
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 12 -
11*. Zakładając znaczącą wartość rezystancji
cewki
indukcyjnej
R
L
,
narysuj
zmodyfikowany
obwód
gałęzi
równoległej
uwzględniający
tę
rezystancję (szeregowe połączenie R
L
i
L).
Schemat zmodyfikowanego układ rezonansu równoległego.
12*. Napisz wzór dla zmodyfikowanego obwodu (pkt.11)
na wartość impedancji wejściowej w stanie
rezonansu. Zauważ od jakich parametrów jest
zależna ta impedancja.
Z
0
=
13
Przekształć wzór (w pkt. 12), w celu obliczenia
rezystancji cewki indukcyjnej R
L
w stanie rezonansu.
Oblicz tę wartość mając dane: Z
0
(pkt.10)
L C (pkt.3)
oraz f
0
(pkt.7).
R
L
=
14
Napisz odpowiednie wyrażenie do obliczenia
częstotliwości rezonansowej, rzeczywistego układu
rezonansu równoległego (pkt.11) na podstawie
parametrów obwodu. Oblicz i porównaj tę wartość f
0
z obliczoną w pkt. 5.
f
0
=
15
Wykorzystaj otrzymane wyniki badań, do przeprowadzenia analizy jakościowej i
ilościowej obwodu dla granicznych częstotliwości napięcia. Mając wartości
impedancji oblicz prąd. Porównaj obliczone prądy z otrzymanymi podczas pomiarów
laboratoryjnych
f
f = 0
f = f
0
f =
∞
∞
∞
∞
B
L
B
C
B
Z
0
I
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 13 -
3.1 Szeregowo - równoległy obwód RLC
16
Zmodyfikuj istniejący obwód laboratoryjny przez
włączenie dodatkowego kondensatora C
0
szeregowo z
obwodem rezonansu równoległego (gałęzią równoległą
LC ). Oblicz i ustaw wartości pojemności
kondensatorów tak aby rezonans szeregowy zachodził
przy częstotliwości f
0S
=3kHz, a rezonans równoległy
przy f
0R
=8kHz. Zastosuj cewkę indukcyjną o wartości
L=0.05H. Obliczenia wykonaj przy założeniu R
L
=0.
C
0
=
C=
17. Oscyloskop przełącz w tryb pracy X-Y. Dla częstotliwości rezonansowych trajektoria
widziana na ekranie oscyloskopu będzie miała kształt odcinka prostego. Reguluj
częstotliwość aż do osiągnięcia rezonansu. Odczytaj wartości częstotliwości rezonansu
szeregowego i równoległego ze skali generatora i porównaj je z założonymi. (w pkt.
16)
18..
Wykonaj pomiary charakterystyki częstotliwościowej układu szeregowo równoległego.
Utrzymując stałą wartość napięcia generatora U = 6V (skuteczne), zmierz prąd dla
różnych wartości częstotliwości napięcia zasilającego. i zanotuj w poniższej tabeli.
f
[kHz]
I
[mA]
f
[kHz]
I
[mA]
19.
Narysuj i opisz osie wykresu w odpowiedniej skali. Narysuj charakterystykę
rezonansową, zależność wartości prądu od częstotliwości według tabeli (w ptk.6).
L
aboratorium
P
odstaw
E
lektrotechniki
Badanie szeregowego układu RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
- 14 -
Charakterystyka rezonansowa obwodu szeregowo równoległego ( pkt. 16).
20.
Ć
wiczenie laboratoryjne należy zakończyć sprawdzeniem poprawności otrzymanych
wyników pomiarowych, uzupełnić protokół o dane, które będą niezbędne do
poprawnego wykonania sprawozdania.