POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej
Laboratorium Elektrotechniki Teoretycznej Ćwiczenie nr 8 Temat: Rezonans w obwodzie równoległym RLC
Rok Akademicki: 2011/2012 Kierunek: elektrotechnika Studia: stacjonarne Rok studiów: pierwszy Semestr: II Nr grupy: E-7
Uwagi:

1. Wiadomości teoretyczne.

Rezonans występujący w obwodzie o równoległym połączeniu elementów R, L, C, charakteryzujący się równością susceptancji indukcyjnej i susceptancji pojemnościowej, nazywamy rezonansem prądów lub rezonansem równoległym.

W obwodzie rezonansu prądów, przedstawionym na rys. 6.1a, rezystancja R odwzorowuje straty zarówno w kondensatorze, jak i w cewce. Przyjmujemy, więc dla cewki i dla kondensatora schematy zastępcze równoległe.

a)

b)

Rys. 6.1. Rezonans prądów w dwójniku równoległym RLC: a) schemat obwodu, b) wykres wskazowy dla obwodu w stanie rezonansu.

Jeśli do dwójnika równoległego RLC z rys. 6.1a doprowadzono napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zespolonej U i o pulsacji ω = 2πf, to dla rozpatrywanego obwodu są słuszne następujące zależności:

(6.1)

a prąd dopływający do dwójnika

(6.2)

Zgodnie z podaną definicją, rezonans prądów wystąpi wówczas, gdy B = 0, tzn.

(6.3)

lub

(6.4)

gdzie ρ= nazywa się impedancją charakterystyczną dwójnika przy częstotliwości rezonansowej.

Częstotliwość, przy której jest spełniony warunek (6.4), jest zwana częstotliwością rezonansową równoległego obwodu rezonansowego;

(6.5)

W stanie rezonansu równoległego zachodzącego w obwodzie z rys. 6.1a są słuszne następujące zależności:

(6.6)

W wyniku powyższych rozważań stwierdzamy, że w stanie rezonansu prądów:

• susceptancja pojemnościowa jest równa susceptancji indukcyjnej,

• admitancja obwodu jest równa konduktancji, a zatem argument admitancji zespolonej jest równy zeru,

• prąd w gałęzi indukcyjnej jest równy, co do modułu prądowi w gałęzi pojemnościowej, a suma geometryczna tych prądów jest równa zeru,

• wobec B = 0, prąd całkowity ma bardzo małą wartość, a przy bardzo małej konduktancji jest prawie równy zeru i źródło pracuje w warunkach zbliżonych do stanu jałowego.

Dobroć obwodu rezonansowego:

(6.7)

czyli

(6.8)

(6.9)

W stanie rezonansu prądów, prąd dopływający do dwójnika jest równy prądowi płynącemu w gałęzi z rezystancją, tzn. I = I_R. Wobec tego z zależności (6.7) wynika, że dobroć obwodu Q określa, ile razy prąd w gałęzi z indukcyjnością lub w gałęzi z pojemnością jest większy od prądu dopływającego do obwodu rezonansowego.

W rezonansie cała energia pobierana przez dwójnik ze źródła energii elektrycznej wydziela się na rezystancji R jako ciepło, a cewka i kondensator wymieniają energię między sobą, tzn. suma energii zawartej w polu magnetycznym cewki i polu elektrycznym kondensatora jest wielkością stałą.

Dla częstotliwości rezonansowej, przy pewnych wartości parametrów R prąd dopływający do dwójnika może być nieznaczny (U/R małe), podczas gdy prądy I_L, I_C mogą przybierać duże wartości (U/X_L = U/X_C duże). Mówimy, że występują przetężenia prądów.

Przykładowy przebieg spadków napięć na rezystorze R oraz na kondensatorze i cewce (prądów) przedstawiono na rys. 6.2.

U[V]

f [ Hz]

Rys. 6.2. Spadek napięcia na rezystorze (linia ciągła) oraz na kondensatorze i cewce (linia przerywana)

Na rysunku 6.3 pokazano charakterystyki częstotliwościowe dla elementów dwójnika RLC z rys. 6.1a.

Rys. 6.3. Charakterystyki częstotliwościowe G, B_L, B_C, Y.

2. Schemat połączeń

3. Tabela pomiarowa

Lp.	f	ω	|UR|	|ULC|	R	L	C
					e^j0	e^−j90	e^j90
	[Hz]	$$\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$	[V]	[V]	[mA]	[mA]	[mA]
1	1000	6280	4,98	0,19	1,277	1,375	0,062
2	1500	9420	4,97	0,3	1,274	1,448	0,147
3	2000	12560	4,94	0,43	1,267	1,557	0,278
4	2500	15700	4,9	0,6	1,256	1,734	0,492
5	3000	18840	4,84	0,87	1,241	2,097	0,853
6	3500	21980	4,71	1,32	1,208	2,732	1,5
7	4000	25120	4,16	2,32	1,067	4,199	3,02
8	4100	25748	3,89	2,66	0,997	4,682	3,564
9	4200	26376	3,49	3,05	0,895	5,246	4,179
10	4300	27004	2,91	3,47	0,746	5,829	4,858
11	4400	27632	2,15	3,82	0,551	6,265	5,5
12	4500	28260	1,29	4,09	0,331	6,585	6,012
13	4600	28888	0,7	4,18	0,179	6,563	6,27
14	4700	29516	1,25	4,08	0,321	6,283	6,24
15	4800	30144	2,02	3,83	0,518	5,783	6,013
16	4900	30772	2,67	3,51	0,685	5,195	5,616
17	5000	31400	3,16	3,22	0,810	4,669	5,249
18	5500	34540	4,24	2,11	1,087	2,777	3,777
19	6000	37680	4,55	1,54	1,167	1,863	3,018
20	6500	40820	4,67	1,22	1,197	1,354	2,586
21	7000	43960	4,74	1,01	1,215	1,04	2,303
22	7500	47100	4,77	0,87	1,223	0,835	2,132
23	8000	50240	4,8	0,76	1,231	0,684	1,984
24	8500	53380	4,81	0,68	1,233	0,578	1,884
25	9000	56520	4,82	0,62	1,236	0,496	1,823
26	9500	59660	4,83	0,56	1,238	0,426	1,736
27	10000	62800	4,84	0,52	1,241	0,374	1,695
28	10500	65940	4,85	0,48	1,244	0,331	1,646
29	11000	69080	4,86	0,45	1,246	0,297	1,616
30	11500	72220	4,87	0,42	1,249	0,265	1,575
31	12000	75360	4,88	0,4	1,251	0,24	1,568
32	12500	78500	4,88	0,38	1,251	0,22	1,55
33	13000	81640	4,88	0,36	1,251	0,2	1,526
34	13500	84780	4,88	0,34	1,251	0,184	1,496
35	14000	87920	4,885	0,32	1,253	0,166	1,462

4. Obliczenia i wykresy

4.2. Przykładowe obliczenia prądów płynących przez rezystor, cewkę i kondensator:

Prąd płynący przez rezystor $I_{R} = \frac{U_{R}}{R}$ lub _R = G _R, więc konkretyzując:

$${}_{\ R1} = G{}_{\ R1} = \frac{1}{R}*{}_{\ R1} = \frac{4,98}{3900} = 1,277\ \lbrack mA\rbrack$$

$${}_{\ R2} = G{}_{\ R2} = \frac{1}{R}*{}_{\ R2} = \frac{4,97}{3900} = 1,274\ \lbrack mA\rbrack$$

Natomiast prąd płynący przez cewkę i kondensator obliczymy z _L = −jB_LLC , konkretyzując dla pomiaru pierwszego: gdy  f = 1000 [Hz], to:

$$\omega = 2\pi f\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$$

Zatem:

$$\omega = 2\pi 1000 = 6280\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

$${}_{\ L1} = - jB_{L1}{}_{\ LC1} = - j\frac{1}{\text{ωL}}{}_{\ LC1} = - j1,375*10^{- 3} = 1,375e^{- j90}\ \lbrack mA\rbrack$$

Dla kondensatora prąd płynący _C = jB_CLC , więc dla tej samej ω, czyli przy tej samej częstotliwości f uzyskujemy:

 _C1 = jB_C LC1 = j * ωC *  _LC1 = j62, 27 * 10⁻⁶ = 62, 27e^j90 [μA] 

4.3. Charakterystyka prądów płynących przez elementy RLC w funkcji częstotliwości:

4.5. Dobroć obwodu dla częstotliwości rezonansowej, pulsacja rezonansowa i częstotliwość rezonansowa.

Więc zgodnie z teorią pulsacja rezonansowa ω_r będzie wynosić:

$$\omega_{r} = \frac{1}{\sqrt{\text{LC}}}\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$$

Czyli:

$$\omega_{r} = \frac{1}{\sqrt{52*10^{- 9}*22*10^{- 3}}} = \frac{1}{3,3823*10^{- 5}} = 29565,6\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$$

Impedancja charakterystyczna przy częstotliwości rezonansowej:

$\rho = \sqrt{\frac{L}{C}} = \sqrt{\frac{22*10^{- 3}}{52*10^{- 9}}} = \sqrt{\frac{22*10^{6}}{52}} = \sqrt{423077} = 650\lbrack\Omega\rbrack$

Natomiast częstotliwość rezonansowa f_r:

$$f_{r} = \frac{\omega_{r}}{2\pi}\ \lbrack Hz\rbrack$$

Więc:

$$f_{r} = \frac{29565,6}{2*3,14} = 4707,9\ \lbrack Hz\rbrack$$

Dobroć obwodu przy częstotliwości rezonansowej dla pomiarów przy f = 4700 [Hz], czyli dobroć będzie miała wartość:

$$Q = \frac{I_{L}}{I_{R}} = \frac{6,87}{0,188} = 36,54$$

4.6. Wyznaczenie charakterystyki G, B_L, B_C, || = f(f)

$$G = \frac{1}{R}\lbrack S\rbrack$$

$$B_{L} = - j\frac{1}{\text{ωL}}\ \lbrack S\rbrack$$

B_C = jωC [S]

Ukonkretniając do pomirów uzyskujemy

$$G = \frac{1}{R} = \frac{1}{3900} = 0,26*10^{- 3}\left\lbrack S \right\rbrack = 0,26\ \lbrack mS\rbrack$$

Wartość konduktancji G nie zależy od częstotliwości więc jest wartością stałą. Natomiast B_L i B_C będą zależały od częstotliwości. Tak, więc przykładowe obliczenia

$$B_{L3} = - j\frac{1}{\omega_{3}L} = - j\frac{1}{12560*22*10^{- 3}} = - j3,62*10^{- 3} = - j3,62\ \lbrack mS\rbrack$$

B_C3 = jω₃C = j * 12560 * 52 * 10⁻⁹ = j0, 65 * 10⁻⁹ = j0, 65 [mS]

Y₃ = G + j(B_C3−B_L3) = 0, 26 + j(0,65−3,62) = 0, 26 − j2, 97[mS]

$$\left| Y_{3} \right| = \sqrt{G^{2} + \left( B_{C3} - B_{L3} \right)^{2}} = \sqrt{{0,26}^{2} + {( - 2,97)}^{2}} = 2,98\ \lbrack mS\rbrack$$

Wyniki z obliczeń zestawiono w tabeli:

Lp	f	ω	G	|BC|	|BL|	|Y|
	[Hz]	$$\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$$	[mS]	[mS]	[mS]	[mS]
1	1000	6280	0, 26	0,33	7, 24	6, 91
2	1500	9420		0, 49	4, 82	4, 33
3	2000	12560		0, 65	3, 62	2, 98
4	2500	15700		0, 82	2, 89	2, 13
5	3000	18840		0, 98	2, 41	1, 52
6	3500	21980		1, 14	2, 07	0, 93
7	4000	25120		1, 30	1, 81	0, 57
8	4100	25748		1, 34	1, 76	0, 49
9	4200	26376		1, 37	1, 72	0, 43
10	4300	27004		1, 40	1, 68	0, 38
11	4400	27632		1, 44	1, 64	0, 33
12	4500	28260		1, 47	1, 61	0, 29
13	4600	28888		1, 5	1, 57	0, 27
14	4700	29516		1, 53	1, 54	0, 26
15	4800	30144		1, 57	1, 51	0, 27
16	4900	30772		1, 6	1, 48	0, 29
17	5000	31400		1, 63	1, 45	0, 32
18	5500	34540		1, 79	1, 31	0, 55
19	6000	37680		1, 96	1, 21	0, 8
20	6500	40820		2, 12	1, 11	1, 04
21	7000	43960		2, 28	1, 03	1, 27
22	7500	47100		2, 45	0, 96	1, 51
23	8000	50240		2, 61	0, 90	1, 73
24	8500	53380		2, 77	0, 85	1, 94
25	9000	56520		2, 94	0, 80	2, 15
26	9500	59660		3, 1	0, 76	2, 35
27	10000	62800		3, 26	0, 72	2, 55
28	10500	65940		3, 43	0, 69	2, 75
29	11000	69080		3, 59	0, 66	2, 94
30	11500	72220		3, 75	0, 63	3, 13
31	12000	75360		3, 92	0, 60	3, 33
32	12500	78500		4, 08	0, 58	3, 5
33	13000	81640		4, 24	0, 56	3, 69
34	13500	84780		4, 4	0, 54	3, 87
35	14000	87920		4, 57	0, 52	4, 06

Wykres admitancji Y, susceptancji B_Li B_C oraz konduktancji G w zależności od częstotliwości

5.Parametry i dane znamionowe zastosowanych urządzeń i mierników.

6. Wnioski

Analizując zrobione wykresy widać, że przybierają postać bardzo podobną, co do wykresów teoretycznych. Szczególnie to widać na charakterystyki G, B_L, B_C, || = f(f). Pierwsza charakterystyka z niewielkimi odkształceniami spowodowana zbyt rzadkimi pomiarami napięć dla danych częstotliwości oraz zbytnim podwyżaniem czy zaokrąglaniem wyników pomiarów.

Charakterystyka z pkt. 4.3. ukazuje rozpływ prądów w obwodzie i zauważyć można, że prąd płynacy przez rezystor zachowuje się podobnie jak spadek napięcia na rezystorze wskutek zmiany częstotliwości, czyli dążeniu obwodu do pewnej wartości granicznej częstotliwości rezonansowej. Natomiast prądy na cewce i kondensatorze przy częstotliwości rezonansowej osiągają swoje apogeum i później maleją wykładniczo. Jednak zmniejszanie się prądu na cewce jest szybsze i dąży do pewnej wartości minimalnej, gdyż cewka nie jest podatna na zbyt szybkie zmiany kierunku prądu, ponieważ zmiany pola magnetycznego nie mogą się zmieniać tak szybko, co nawet obrazuje wykres przebiegu susceptancji cewki w zależności od częstotliwości. Widać, że reaktancja cewki rośnie wraz ze wzrostem częstotliwości. Na kondesatorze jest inaczej, wartość prądu również maleje wykładniczo, ale nie do takiej małej wartości jak na cewce, a nawet prąd przy wyższych częstotliwościach jest podobny, co do wartości prądu cewki przy niższych częstotliwościach. Wykres susceptancji kondensatora obrazuje, że zmiany reaktancji pojemnościowej maleją liniowo wraz ze wzrostem częstotliwości.

W punkcie częstotliwości rezonansowej prądy jak i susceptancje pojemnościowe i indukcyjne są sobie równe. Konduktancja rezystora jest funkcją stała. Admitancja w momencie rezonansu prądów LC jest równa w przybliżeniu konduktancji.

Podsumowując założenia teoretyczne są w znacznym stopniu poprawne.

7.Literatura:

[1] Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, Wyd. 6, WNT, Warszawa 2001.

[2] Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna, t.1, WNT, Warszawa 1973.

[3] Krakowski M., Elektrotechnika teoretyczna, t.1, PWN, Warszawa 1995.