Politechnika Opolska

LABORATORIUM

Przedmiot:	ELEKTROTECHNIKA

Kierunek studiów:		Rok studiów:
Semestr:		Rok akademicki:	2010/2011

Temat:

Projekt wykonali:
Nazwisko:
1.
3.

Ocena za projekt:	Data:	Uwagi:

Termin zajęć:
Dzień tygodnia:

Termin oddania projektu:		Projekt oddano:

Cel ćwiczenia

Naszym zadaniem było przeprowadzenie badania zjawiska rezonansu elektrycznego w obwodzie, którego schemat zamieszczamy poniżej. Doświadczenie zostało przeprowadzone w programie PSpice.

Charakterystyki rezonansowe:

- napięć U_L,  U_c

-wartości urojonych (U_L + U_C)

a)Dla układu z cewką o pojemności 40mH

b)Dla układów z cewkami o pojemności 10mH i 70mH

Omówienie wykresów.

Na pierwszym wykresie charakterystyka V(L1:1) pokazuje zmiany potencjału w węźle między cewką a kondensatorem, korzystając z faktu że kondensator podłączony jest drugą stroną do uziemienia, można uznać, że owa charakterystyka to właśnie napięcie na stykach kondensatora. Charakterystyka V(L1:2) odwzorowuje potencjał w węźle między cewką a rezystorem R1, odejmując ten wykres od wykresu napięcia na końcach kondensatora otrzymamy wykres napięcia w cewce(charakterystyka V(L1:1)-V(L1:2)).

Na wykresie napięć widzimy, że dla częstotliwości rezonansowej charakterystyki napięć na kondensatorze i cewce przecinają się, ponadto punkt przecięcia się tych wykresów pokrywa się na osi OX z minimum funkcji opisującej potencjał w węźle przed cewką L1. Dla układu z cewką o pojemności 40mH częstotliwość rezonansowa wyniosła 159,1 Hz.

Analizując wykres urojonej części napięć na cewce i kondensatorze[ IMG(V(L1:2)) ] można zauważyć, iż punktem zerowym tej charakterystyki jest wartość częstotliwości rezonansowej( na osi OX), odczytując ją z wykresu stwierdzamy, że jej wartość wynosi 159,1 Hz tak jak dla wykresu z napięciami.

Obliczenia

Sporządzając sprawozdanie wyliczyliśmy częstotliwość rezonansową układu oraz prądy, jakie płyną w obwodzie przy ściśle określonej częstości zmian napięcia, ale różnej od częstotliwości rezonansowej

Obliczanie częstotliwości rezonansowej.

Aby obliczyć częstotliwość rezonansową, przyrównujemy część urojoną impedancji układu do 0

Im{Z}=0

$$= R_{L} + \ j\omega L + \frac{- j\frac{R_{C}}{\text{ωC}}}{R_{C} - \ j\frac{1}{\text{ωC}}} = R_{L} + \ j\omega L - \frac{j\frac{R_{C}}{\text{ωC}}\left( R_{2} + \ \frac{1}{\text{jωC}} \right)}{{R_{C}}^{2} + \ \left( \frac{1}{\text{ωC}} \right)^{2}} = R_{L} + \ j\omega L - \frac{j\frac{{R_{C}}^{2}}{\text{ωC}} - \frac{R_{C}}{\omega^{2}C^{2}}}{{R_{C}}^{2} + \ \frac{1}{\omega^{2}C^{2}}}$$

$$\text{Im}\left\{ \right\} = \omega L - \frac{\frac{{R_{C}}^{2}}{\text{ωC}}}{{R_{C}}^{2} + \ \frac{1}{\omega^{2}C^{2}}} = 0$$

$$\omega L = \frac{\frac{{R_{C}}^{2}}{\text{ωC}}}{{R_{C}}^{2} + \ \frac{1}{\omega^{2}C^{2}}}\text{\ \ \ }\text{\ \ \ ωL}{R_{C}}^{2} + \ \frac{L}{\omega C^{2}} = \frac{{R_{C}}^{2}}{\text{ωC}}\text{\ \ \ }\text{\ \ }\omega^{2}L{R_{C}}^{2} + \ \frac{L}{C^{2}} = \frac{{R_{C}}^{2}}{C}$$

$$\omega = \sqrt{\frac{\frac{{R_{C}}^{2}}{C} - \ \frac{L}{C^{2}}}{L{R_{C}}^{2}}}$$

$$\omega = \sqrt{\frac{\frac{100000^{2}}{25*10^{- 6}} - \ \frac{0,04}{\left( 25*10^{- 6} \right)^{2}}}{0,04*100000^{2}}} = 1000$$

$$\omega = 2\Pi\text{f\ \ }\ \ f = \frac{\omega}{2\Pi}$$

$$f = \frac{1000}{6,28} = 159,24\ \lbrack Hz\rbrack$$

Rozpływ prądów dla f=10 Hz
Jako węzeł którego potencjał jest nieznany biorę węzeł, w którym łączą się cewka, rezystor R_C i kondensator, oznaczam go jako A, a jego potencjał to V_A.

$$\omega = 2\Pi\text{f\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }X_{L} = \omega L\ \ \ \ \ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X}_{C} = \frac{1}{\text{ωC}}$$

$$\omega = 2*3,14*10 = 62,8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X_{L} = 62,8*0,04 = 2,5\Omega\text{\ \ \ \ \ }\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X}_{C} = \frac{1}{62,8*25*10^{- 6}} = 636,9\Omega$$

zatem:

$$\left( \frac{1}{R_{L} + \text{jX}_{L}} - \frac{1}{\text{jX}_{C}} + \frac{1}{R_{C}} \right){}_{A} = \frac{{}_{1}}{R_{L} + \text{jX}_{L}}$$

$$\left( \frac{1}{10 + {j2,5}_{}} - \frac{1}{{j636,9}_{}} + \frac{1}{100000} \right){}_{A} = \frac{10}{10 + {j2,5}_{}}$$

_A * 0, 0967e^−j13 = 0, 97e^−j14

$${}_{A} = \frac{0,97e^{- j14^{}}}{0,0967e^{- j13^{}}} = 10,03e^{- j1^{}}\text{\ \ }\left\lbrack V \right\rbrack$$

$$I_{\text{RL}} = \frac{{}_{1} - {}_{A}}{R_{L} + \text{jX}_{L}} = 0,017e^{j85^{}}\text{\ \ \ }\left\lbrack A \right\rbrack$$

$$I_{C} = \frac{{}_{A}}{- \text{jX}_{C}} = 0,016e^{j89^{}}\text{\ \ }\left\lbrack A \right\rbrack\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

$$I_{R} = \frac{{}_{A}}{R_{C}} = 1,003e^{- j1^{}}\text{\ \ }\left\lbrack A \right\rbrack\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

Wnioski

Podsumowując całość widzimy jakie są zależności pomiędzy poszczególnymi charakterystykami prądowymi i napięciowymi a częstotliwością rezonansową w układach rezonansowych. Dzięki badaniu zachowania się charakterystyki napięcia urojonego w układzie zaobserwowaliśmy pewną zależność, mianowicie: im cewka w układzie rezonansowym ma większą pojemność tym mniejsza jest częstotliwość rezonansowa danego układu.

Porównując wartości rezonansowe odczytane z wykresów z wartością obliczoną widzimy, że są one mocno zbliżone do siebie, a to potwierdza poprawność wykonanych obliczeń.