POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej
Przedmiot: Laboratorium Teorii Obwodów Ćwiczenie nr: 6 Temat: Rezonans w obwodzie szeregowym.
Rok akademicki: 2012/2013 Kierunek: elektrotechnika Studia: dzienne Rok studiów: I Semestr: II Nr grupy: E2
Uwagi:

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zbadanie właściwości szeregowo połączonych elementów RLC zasilanych ze źródła napięcia przemiennego w pewnym zakresie częstotliwości.

1. Wiadomości teoretyczne:

Rezonansem napięć nazywamy taki stan obwodu szeregowego RLC, w którym impedancja obwodu ma charakter wyłącznie czynny. Zachodzi to wówczas, gdy U_L=U_C i są w przeciwfazie. Równość obu reaktancji może być osiągnięta poprzez zmianę indukcyjności cewki lub pojemności kondensatora, bądź też drogą zmiany częstotliwości źródła zasilającego. Nastąpi to dla tzw. „pulsacji rezonansowej”:

Dla częstotliwości rezonansowej mamy:

Poniższą wielkość nazywamy impedancją falową lub charakterystyczną dwójnika:

Wartość skuteczna prądu w obwodzie RLC zasilanym napięciem o wartości skutecznej U wynosi:

Dla częstotliwości rezonansowej dzielimy napięcie tylko przez rezystancję:

Stąd otrzymujemy:

Rozstrojenie bezwzględne wyraża się wzorem:

gdzie jest to kąt pomiędzy wskazami prądu i napięcia.

Przekształcając je otrzymujemy następującą postać:

Gdzie wielkość jest rozstrojeniem względnym, a jest dobrocią cewki.

Ogólnie dobroć zapisujemy jako stosunek napięcia na kondensatorze lub cewce do napięcia na rezystancji:

Zatem rozstrojenie bezwzględne można zapisać jako:

Stosunek prądu przy dowolnej częstotliwości ω do prądu przy częstotliwości rezonansowej ω_r po przekształceniach można przedstawić następująco:

Szerokością pasma przepuszczania obwodu rezonansowego nazywa się przedział częstotliwości w otoczeniu częstotliwości rezonansowej, na którego końcach wartość skuteczna prądu zmniejsza się o

3 dB, czyli:

Podstawiając tą własność do funkcji otrzymujemy, że czyli .Wiedząc że i dokonując przekształceń, otrzymujemy wzór na szerokość pasma przepuszczania:

Maksymalne napięcia na cewce i kondensatorze podczas rezonansu są sobie równe i wynoszą:

1. Przebieg ćwiczenia:

3.1. Wyznaczenie charakterystyki spadku napięcia na rezystancji (prądu) w funkcji częstotliwości

Schemat połączeń:

 

Dane: U=2 [V], R=1000 [Ω], L=56 [mH], C=5060 [pF]

 

Przebieg pomiarów:

 

Po połączeniu układu według schematu z punktu 2.1.1. tak sterowaliśmy napięciem z generatora aby jego wartość wynosiła 2,00 0,02 [V]. Wykonaliśmy pomiary napięcia na rezystancji dla zadanych częstotliwości. Wyniki pomiarów przedstawiłem w tabeli poniżej.

Wyniki pomiarów i obliczeń: 

Lp.	ω/ω0	I/I0
1	0,317	0,107
2	0,423	0,157
3	0,529	0,221
4	0,635	0,312
5	0,741	0,449
6	0,794	0,548
7	0,847	0,671
8	0,899	0,816
9	0,952	0,947
10	1,000	1,000
11	1,058	0,955
12	1,111	0,844
13	1,164	0,728
14	1,217	0,631
15	1,270	0,550
16	1,323	0,488
17	1,376	0,437
18	1,481	0,360
19	1,587	0,305
20	1,693	0,265

Lp.	f	UR
	[kHz]	[V]
1	3	0,204
2	4	0,299
3	5	0,422
4	6	0,596
5	7	0,857
6	7,5	1,046
7	8	1,281
8	8,5	1,556
9	9	1,806
10	9,45	1,908
11	10	1,822
12	10,5	1,611
13	11	1,389
14	11,5	1,204
15	12	1,049
16	12,5	0,931
17	13	0,833
18	14	0,686
19	15	0,582
20	16	0,506

Przykładowe obliczenia: Dla punktu pierwszego mamy:

Charakterystyka zależności wartości skutecznej napięcia na rezystancji w funkcji częstotliwości U_R=f(f).

Charakterystyka::

3.2. Wyznaczenie charakterystyki napięcia na cewce w funkcji częstotliwości

Schemat połączeń:

Dane: U=2 [V], R=1000 [W], L=56 [mH], C=5060 [pF]

Przebieg pomiarów:

 

Po dokonaniu połączeń według powyższego schematu zmieniając wartości częstotliwości poszukaliśmy taką jej wartość, przy której wstąpił maksymalny spadek napięcia na cewce. Następnie dokonaliśmy pomiarów napięcia na cewce przy różnych częstotliwościach, utrzymując stałą wartość napięcia generatora U_G =2,000,02 [V]. Wyniki pomiarów zamieściłem w tabeli poniżej.

Wyniki pomiarów i obliczeń:

Lp.	f	UL
	[kHz]	[V]
1	3	0,213
2	4	0,415
3	5	0,735
4	6	1,256
5	7	2,116
6	7,5	2,792
7	8	3,636
8	8,5	4,739
9	9	5,595
10	9,45	6,147
11	9,65	6,225
12	10	6,141
13	10,5	5,634
14	11	5,079
15	11,5	4,609
16	12	4,389
17	13	3,798
18	14	3,399
19	15	3,131
20	16	2,923

Lp.	ω/ω0	UL/U0
1	0,317	0,035
2	0,423	0,068
3	0,529	0,120
4	0,635	0,204
5	0,741	0,344
6	0,794	0,454
7	0,847	0,592
8	0,899	0,771
9	0,952	0,910
10	1,000	1,000
11	1,021	1,013
12	1,058	0,999
13	1,111	0,917
14	1,164	0,826
15	1,217	0,750
16	1,270	0,714
17	1,376	0,618
18	1,481	0,553
19	1,587	0,509
20	1,693	0,476

Przykładowe obliczenia dla punktu pierwszego:

Charakterystyka zależności wartości skutecznej napięcia na cewce w funkcji częstotliwości U_L=f(f).

Charakterystyka: :

 

3.3. Wyznaczenie charakterystyki napięcia na kondensatorze w funkcji częstotliwości

 

Schemat połączeń

Dane: U=2 [V], R=1000 [W], L=56 [mH], C=5060 [pF]

 

Przebieg pomiarów

 

Po połączeniu układu zgodnie z powyższym schematem podobnie jak dla poprzednich układów regulując częstotliwość generatora, szukaliśmy takiej jej wartości, przy której występował maksymalny spadek napięcia na kondensatorze. Następnie dokonaliśmy pomiarów napięcia na kondensatorze dla różnych wartości częstotliwości, utrzymując stałą wartość napięcia generatora U_G = 2,00 0,02 [V] . Wyniki pomiarów zamieściłem w tabeli poniżej.

Wyniki pomiarów i obliczeń:

  

Lp.	f	UC
	[kHz]	[V]
1	3	2,223
2	4	2,420
3	5	2,717
4	6	3,180
5	7	3,959
6	7,5	4,476
7	8	5,149
8	8,5	5,656
9	9	6,152
10	9,2	6,189
11	9,45	6,096
12	10	5,429
13	10,5	4,748
14	11	3,909
15	11,5	3,235
16	12	2,727
17	13	1,998
18	14	1,538
19	15	1,228
20	16	1,002

Lp.	ω/ω0	UC/U 0
1	0,317	0,365
2	0,423	0,397
3	0,529	0,446
4	0,635	0,522
5	0,741	0,649
6	0,794	0,734
7	0,847	0,845
8	0,899	0,928
9	0,952	1,009
10	0,974	1,015
11	1,000	1,000
12	1,058	0,891
13	1,111	0,779
14	1,164	0,641
15	1,217	0,531
16	1,270	0,447
17	1,376	0,328
18	1,481	0,252
19	1,587	0,201
20	1,693	0,164

Przykładowe obliczenia dla punktu pierwszego:

Charakterystyka zależności wartości skutecznej napięcia na kondensatorze w funkcji częstotliwości U_C=f(f).

Charakterystyka: :

4. Obliczenia:

 

• Wyznaczanie:

 a) pulsacja rezonansowa:

b) częstotliwość rezonansowa:

c) dobroć obwodu:

d) dobroć cewki i kondensatora przy pulsacji rezonansowej:

• Charakterystyki U_R, U_L, U_C w funkcji częstotliwości dla układu szeregowego (na jednym wykresie):

• Wyznaczanie dobroci obwodu rezonansowego Q_o z charakterystyki przebiegu napięcia na rezystancji U_R=f(f):

Częstotliwości f₁ i f₂ odczytane z wykresu wynoszą:

f₁=8,2 kHz

f₂=11,1 kHz

• Wyznaczanie dobroci obwodu rezonansowego z charakterystyk przebiegu napięć na cewce i kondensatorze (U_L,U_C=f(f)):

Z charakterystyki  U_R=f(f) U_L=f(f) U_C=f(f) odczytałem wartość napięcia na rezystorze dla

częstotliwości rezonansowej f₀: , .

• Tabela obliczeń i charakterystyki: R, X_L, X_C, Z, X_L -X_C jako funkcja:

R [Ω]	XL[Ω]	XC [Ω]	Z [Ω]	XL − XC [Ω]
1000	1055,58	10484,52	9481,82	-9428,94
1000	1407,43	7863,39	6532,94	-6455,95
1000	1759,29	6290,71	4640,45	-4531,42
1000	2111,15	5252,26	3286,92	-3131,11
1000	2463,01	4493,36	2263,26	-2030,36
1000	2638,94	4193,81	1848,68	-1554,87
1000	2814,87	3931,69	1499,10	-1116,83
1000	2990,80	3700,42	1226,20	-709,62
1000	3166,73	3949,84	1052,45	-328,11
1000	3325,06	3328,42	1000,01	-3,36
1000	3518,58	3145,35	1067,38	373,23
1000	3694,51	2995,58	1220,05	698,94
1000	3870,44	2859,41	1422,03	1011,03
1000	4046,37	2735,09	1649,08	1311,28
1000	4222,30	2621,13	1887,79	1601,17
1000	4398,23	2516,28	2131,13	1881,95
1000	4574,16	2419,50	2375,40	2154,66
1000	4926,02	2246,68	2859,87	2679,34
1000	5277,88	2096,90	3334,45	3180,97
1000	5629,73	1965,85	3797,90	3663,89

Przykładowe obliczenia dla punktu pierwszego:

1. Zastosowane urządzenia i mierniki:

Generator

Płytka do badania rezonansu szeregowego.

Dwa multimetry 

1. Uwagi końcowe i wnioski:

Według mnie wyniki uzyskane w sprawozdaniu są w miarę prawidłowe, co potwierdza charakterystyka spadków napięć na wszystkich trzech elementach. Napięcie na rezystorze jest największe w otoczeniu częstotliwości rezonansowej. Możemy jednak zauważyć, że napięcie na cewce osiąga największą wartość przy częstotliwości wyższej niż rezonansowa, zaś na kondensatorze maksymalne napięcie jest przy częstotliwości niższej niż rezonansowa. Jednakże napięcia maksymalne na cewce i kondensatorze są o około Q razy większe od napięcie zasilania, a napięcie na rezystorze przyjmuje wartość ponad 1,9V, a z teorii wiemy, że napięcie na rezystorze przy częstotliwości rezonansowej przyjmuje wartość napięcia źródła zasilania.