Kolokwium IA

Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT

26 listopada 2008 r.

1A.

• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyźnie

{z ∈ C : 0 ¬ Im(iz) < 1, 0 ¬ arg(¯z) ¬ π/2}.

• (2 pkt.) Rozwiąż równanie z

2

+ i − 1 = 0.

• (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w = i

−

√

3. Wyznacz związek

między argumentami liczb z oraz zw. Z jakiego twierdzenia wynika ta odpowiedź? Zaznacz na
płaszczyźnie w, ¯

w, iw.

2A.

(a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x − a)(x − b), gdzie a i b są rzeczywiste. Jak wyznaczyć współczynniki

reszty z dzielenia dowolnego wielomianu w(x) przez wielomian u(x) bez wykonywania dzielenia
wielmianów?

(b) (2 pkt.) Niech a 6= 0. Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną 1/(x−a)

2

? Po-

daj układ równań liniowych, z którego można wyznaczyć współczynniki tych ułamki prostych.
Nie wyznaczaj ułamków prostych.

3A.

Niech

A

n

=










1

1

1

· · ·

1

1

2

1

· · ·

1

1

1

3

· · ·

1

· · · · · · · · · · · · · · ·

1

1

1

· · ·

n










będzie macierzą stopnia n.

(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego

det(A

n

) = 1 · 2 · 3 · · · · (n − 1), czyli det(A

n

) = (n − 1)!.

(b) (2 pkt.) Sprawdź, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 4.

4A.

(5 pkt.) Oblicz trzecią kolumnę macierzy odwrotnej do

A =






3

1

1

0

2

3

0 −3 3






na dwa sposoby: za pomocą dopełnień algebraicznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu
równań liniowych? Jakiego?

5A.

Niech

A =

"

1 1
0 1

#

.

(a) (3 pkt.) Oblicz A

2

, A

3

, A

4

i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się A

n

dla dowolnej

liczby naturalnej n.

(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A

−1

)

n

?

(1 pkt.) Podaj jakąś własność macierzy odwrotnych.

Kolokwium IB

Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT

26 listopada 2008 r.

1B.

• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyźnie

{z ∈ C : Re(z + i) = 2, 0 ¬ arg(i¯z) ¬ π/2}.

• (2 pkt.) Rozwiąż równanie z

2

− i − 1 = 0.

• (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w = i

−

√

3. Wyznacz związek między

argumentami liczb z oraz z/w. Z jakiej własności liczb zespolonych wynika ta odpowiedź?
Zaznacz na płaszczyźnie w, ¯

w, iw.

2B.

(a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x − i)(x − 1 + i). Podaj wielomian rzeczywisty w(x) możliwie niskiego

stopnia taki, że wielomian u(x) dzieli go bez reszty.

(b) (2 pkt.) Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną x/(x

2

+ 1)

2

? Podaj układ

równań liniowych, z którego będzie można wyznaczyć współczynniki tych ułamków prostych.
Nie wyznaczaj ułamków prostych.

3B.

Niech

A

n

+1

=










1

a

1

a

2

· · ·

a

n

1

a

1

+ b

1

a

2

· · ·

a

n

1

a

1

a

2

+ b

2

· · ·

a

n

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

1

a

1

a

2

· · · a

n

+ b

n










będzie macierzą stopnia n + 1.

(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego

det(A

n

+1

) = b

1

· b

2

· b

3

· · · · b

n

.

(b) (2 pkt.) Sprawdź, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 3.

4B.

(5 pkt.) Oblicz trzecią kolumnę macierzy odwrotnej do

A =






3 1 1
1 2 3
0 0 3






na dwa sposoby: za pomocą dopełnień algebraicznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu
równań liniowych? Jakiego?

5B.

Niech

A =

"

a 1
0 a

#

,

gdzie a 6= 0.

(a) (3 pkt.) Oblicz A

2

, A

3

, A

4

i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się A

n

dla dowolnej

liczby naturalnej n.

(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A

−1

)

n

?

(1 pkt.) Podaj definicję macierzy odwrotnej.

Kolokwium IC

Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT

26 listopada 2008 r.

1C.

• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyźnie

{z ∈

C

: Im(¯

z + 1) = 3, 0 ¬ arg(−iz) ¬ π/2}.

• (2 pkt.) Rozwiąż równanie z

2

+ i + 1 = 0.

• (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w =

√

3 + i. Podaj związek między ar-

gumentami liczb z = zw. Z jakiego twierdzenia wynika ta odpowiedź? Zaznacz na płaszczyźnie
w, ¯

w, iw.

2C.

(a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x + 1 − i)(x + 2i). Jak wybrać możliwie niskiego stopnia wielomian

v(x), żeby wielomian w(x) = u(x)v(x) miał wszystkie współczynniki rzeczywiste?

(b) (2 pkt.) Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną x/(x

2

− x + 3)

2

? Podaj

układ równań liniowych, z którego można wyznaczyć współczynniki tych ułamków prostych.
Nie wyznaczaj ułamków prostych.

3C.

Niech

A

n

+1

=












−a

1

a

1

0

· · ·

0

0

0

−a

2

a

2

· · ·

0

0

0

0

−a

3

· · ·

0

0

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

0

0

0

· · · −a

n

a

n

1

1

1

· · ·

1

1












będzie macierzą stopnia n + 1.

(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego

det(A

n

+1

) = (−1)

n

(n + 1)a

1

· a

2

· a

3

· · · · a

n

.

(b) (2 pkt.) Sprawdź, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 3.

4C.

(5 pkt.) Oblicz trzecią kolumnę macierzy odwrotnej do

A =






3 1 1
4 2 3
0 0 3






na dwa sposoby: za pomocą dopełnień algebraicznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu
równań liniowych? Jakiego?

5C.

Niech

A =

"

2 2
0 2

#

.

(a) (3 pkt.) Oblicz A

2

, A

3

, A

4

i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się A

n

dla dowolnej

liczby naturalnej.

(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A

−1

)

n

?

( 1 pkt.) Podaj jakąś własność macierzy odwrotnych.

Kolokwium ID

Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT

26 listopada 2008 r.

1D.

• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyźnie

{z ∈ C : 0 ¬ Im(¯z − 1) ¬ 2, 0 ¬ arg(−iz) ¬ π/2}.

• (2 pkt.) Rozwiąż równanie z

2

− i + 1 = 0.

• (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w =

−

√

3i + 1. Wyznacz związek

między argumentami liczb z i z/w. Z jakiej własności liczb zespolonych wynika ta odpowiedź?
Zaznacz na płaszczyźnie w, ¯

w, iw.

2D.

(a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x − i + 1)(x − i). Podaj wielomian rzeczywisty w(x) możliwie niskiego

stopnia taki, że wielomian u(x) dzieli go bez reszty.

(b) (2 pkt.) Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną x/(x

2

− 4)? Podaj układ

równań liniowych, z którego można wyznaczyć współczynniki tych ułamków prostych. Nie
wyznaczaj ułamków prostych.

3D.

Niech

A

n

+1

=










1

a

1

a

2

· · ·

a

n

1

a

1

+ b

a

2

· · ·

a

n

1

a

1

a

2

+ b · · ·

a

n

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

1

a

1

a

2

· · · a

n

+ b










będzie macierzą stopnia n + 1.

(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego

det(A

n

+1

) = b

n

.

(b) (2 pkt.) Sprawdź, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 3.

4D.

(5 pkt.) Niech

A =






3 0 0
0 2 1
0 3 3






.

Oblicz trzecią kolumnę macierzy odwrotnej do A na dwa sposoby: za pomoca dopełnień algebra-
icznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu równań liniowych.

5D.

Niech

A =

"

a 1
0 a

#

.

(a) (3 pkt.) Oblicz A

2

, A

3

, A

4

i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się A

n

dla dowolnej

liczby naturalnej.

(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A

−1

)

n

?

(1 pkt.) Podaj definicję macierzy odwrotnej.