LABORATORIUM

PRZEPŁYWÓW PŁYNÓW

I

MIESZANIN WIELOFAZOWYCH

Temat:

Pomiar własności reologicznych płynów nienewtonowskich

dr inż. Jerzy Wiejacha

ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ

POLITECHNIKA WASZAWSKA

WYDZIAŁ BMiP

PŁOCK 2002

2

1. Cel ćwiczenia

- zapoznanie sposobu pomiaru własności teologicznych płynów nienewtonowskich,
- wyznaczenie krzywej płynięcia cieczy Binghama

2. Podstawy teoretyczne

Ponieważ przepływ jest jedną z postaci odkształcenia ciał, Reiner i Scott Blair

zaproponowali następującą definicji: reologia jest nauką o odkształceniu materii, między
innymi ojej przepływie.

Reologia jako gałąź fizyki gałąź fizyki zajmuje się mechaniką ciał rzeczywistych,

ulegających odkształceniu pod działaniem sił zewnętrznych. Celem reologii jest umiejętność
przewidywania układu sił, który spowoduje określone odkształcenie lub odwrotnie -
przewidywanie odkształcenia wynikającego z przyłożenia określonego układu sił.

Reologię dzielimy na mikro- i makroreologię. Mikroreologia, stanowiąca przedmiot

zainteresowań fizykochemików, zajmuje się związkami, jakie występują między rzeczywistą
strukturą

2.1. Odkształcenie

Pod działaniem sił zewnętrznych wszystkie ciała rzeczywiste ulegają odkształceniu

(deformacji). Odkształceniem nazywamy zmianę wzajemnego położenia elementów ciała.

2.1.1 Odkształcenie sprężyste, plastyczne i przepływ

Odkształcenia mogą być podzielone na trzy rodzaje: odkształcenia sprężyste,

odkształcenia plastyczne, przepływ.

Odkształcenie nazywamy sprężystym, gdy jest ono samorzutnie odwracalne, tzn.

gdy zanika natychmiast i całkowicie po ustaniu działania siły.

W przeciwieństwie do odkształcenia sprężystego, odkształcenie plastyczne jest

nieodwracalne. Nie zanika ono po ustaniu działania siły. Energia zużyta na odkształcenie
plastyczne ulega rozproszeniu (dyspersji), czyli zmianie na energię cieplną.

Przepływem nazywamy nieodwracalne odkształcenie, którego stopień - pod

działaniem sił o ograniczonej wartości - wzrasta ciągle z upływem czasu. Energia zużyta na
wymuszenie przepływu ulega rozproszeniu.

2.1.2 Odkształcenie objętościowe i postaciowe

Odkształcenie, które zmienia jedynie objętość ciała - bez zmiany jego kształtu -

nazywamy odkształceniem objętościowym. W wyniku np. wzrostu ciśnienia ciało o kształcie
kuli zmniejszy swoją objętość, lecz zachowa kształt kulisty. Odkształcenie objętościowe
powodujące zmniejszenie objętości nazywamy kompresją, zaś powodujące zwiększenie
objętości - dylatacją.

Drugim prostym rodzajem odkształcenia jest odkształcenie postaciowe. Powoduje

ono zmianę kształtu ciała bez zmiany jego objętości (oczywiście gęstość ciała nie ulega
wówczas zmianie). Najprostszym z kolei przypadkiem odkształcenia postaciowego jest tzw.
ścianie proste.

3

2.2. Reologiczne ciała doskonałe

Zgodnie z drugim aksjomatem reologii każde ciało rzeczywiste ma wszystkie

możliwe własności reologiczne ujawnia je tylko w różnym stopniu, zależnie od konkretnych
warunków. Stąd nie możemy nigdy o ciele rzeczywistym mówić w sposób zupełnie ścisły, że
ma określone własności reologiczne. Oczywiste jest, że ciała doskonałe w rzeczywistości nie
istnieją.

Ciała doskonałe definiowane są za pomocą odpowiednich reologicznych równań

stanu

(zwanych

także

po

prostu

równaniami

reologicznymi

lub

równaniami

konstytutywnymi). Reologiczne równanie stanu podaje zależność między naprężeniem,
odkształceniem i czasem, zaś parametry występujące w tym równaniu definiują własności
reologiczne danego ciała.

W określonych warunkach własności reologiczne ciał rzeczywistych przybliżane są

przez matematyczne modele reologiczne:
a) ciało doskonale sprężyste Hooke'a,
b) ciało doskonale plastyczne St. Venanta,
c) płyn doskonale lepki Newtona.

Rys. l Wykresy reologiczne:

a) ciała sprężystego Hooke'a, b) ciała plastycznego St. Venanta, c) płynu lepkiego Newtona.

2.3. Płyny newtonowskie i nienewtonowskie

Za pomocą przedstawionej w poprzednim rozdziale koncepcji płynu doskonale

lepkiego Newtona, czyli płynu newtonowskiego, opisać można własności reologiczne wielu
układów rzeczywistych. Są to płyny, w których lepkie rozpraszanie energii następuje w
wyniku zdarzeń stosunkowo małych cząsteczek.

Wykres reologiczny płynu newtonowskiego sporządzony w układzie współrzędnych

naprężenie styczne

ττττ jako funkcja szybkości ścinania γγγγ. Wykres zależności ττττ=ƒƒƒƒ(γγγγ) nazywamy

4

krzywą płynięcia. Jak wiadomo, krzywa płynięcia płynu newtonowskiego jest linią prostą
przechodzącą przez początek układu współrzędnych (rys. lc).

Wszystkie płyny, dla których krzywa płynięcia - w ustalonych warunkach

temperatury i ciśnienia - nie jest linią prostą przechodzącą przez początek układu
współrzędnych, nazywamy płynami nienewtonowskimi.

2.3.1 Ogólna klasyfikacja płynów nienewtonowskich

Płynami nazwać będziemy wszystkie substancje, które płyną: a więc zarówno gazy i

ciecze, jak również te ciała stałe, które w pewnych - łatwych do zrealizowania warunkach
wykazują przepływ.

Płyny nienewtonowskie zwykle dzieli się na trzy następujące podstawowe grupy:
a) Płyny reostabilne, których własności reologiczne nie zależą od czasu ścinania.
b) Płyny reologicznie niestabilne, których własności reologiczne zależą od czasu ścinania.
c) Płyny sprężystolepkie, łączące własności reologiczne płynów lepkich i ciał stałych

sprężystych. Wykazują one częściowy powrót sprężysty po usunięciu naprężenia stycznego
powodującego odkształcenie.

2.3.2 Model cieczy Binghama

Model ten skład się z trzech elementów. Do układu, zbudowanego z równolegle

połączonych elementów St. Venanta i Newtona dołączony jest szeregowo element Hooke'a.
Jest to model ciała, które przy niskich naprężeniach stycznych zachowuje się jak ciało stałe,
przy wysokich zaś - jak ciecz. Poniżej bowiem pewnej wartości przyłożonej siły odkształcać
się będzie sprężyna, czyli cały model będzie analogią ciała sprężystego Hooke'a. Dopiero po
przekroczeniu granicznej wartości, równej sile tarcia stycznego elementu St. Venanta, model
znacznie się wydłużać (płynąć), przy czym szybkość odkształcenia będzie wprost
proporcjonalna do różnicy między przyłożoną siłą a siłą tarcia elementu St. Venanta.

Rys. 2 Model mechaniczny ciała Binghama.

Z powyższej analizy modelu mechanicznego wynika, że reologiczne równanie stanu

ciała Binghama - dla naprężeń stycznych większych od naprężenia granicznego

ττττ

y

-

przybierze postać

(1)

lub

(2)

γ

η

τ

τ

p

y

+

=

g

h

t

t

p

y

=

−

5

gdzie:

ηηηη

p

oznacza współczynnik proporcjonalności w równaniu wyżej zwany lepkością

plastyczną, N s/m

2

.

2.4. Płyny reostabilne

Płyny reostabilne można podzielić z kolei na: rzeczywiste płyny nie mające granicy

płynięcia (tzn. granicznego naprężenia stycznego

ττττ

y

) oraz ciała stałe zachowujące się jak płyn

dopiero po przekroczeniu tej granicy.

2.4.1 Płyny nie mające granicy płynięcia

Płyny lepkie nie mające granicy płynięcia noszą nazwę płynów Stokesa.

Z fenomenologicznego punktu widzenia płyn Stokesa może zachować się, w warunkach
laminarnego ścinania, w różny sposób:
a) może występować prosta proporcjonalność między naprężeniem stycznym a szybkością

ścinania - mamy wówczas do czynienia z płynem newtonowskim;

b) dwukrotny wzrost naprężenia stycznego może spowodować więcej niż dwukrotny wzrost

ścinania - mamy wówczas do czynienia ze zjawiskiem rozrzedzenia ścinaniem (ang. shear
thinning);

c) dwukrotny wzrost naprężenia stycznego może spowodować mniej niż dwukrotny wzrost

szybkości ścinania - będzie to zjawisko zagęszczania ścinaniem (ang. shear thickening).

Krzywe płynięcia dla powyższych trzech przypadków, w układzie współrzędnych

ττττ = ƒƒƒƒ ( γγγγ ) przedstawiono na wykresie rys. 3.

Rys.3 Krzywe płynięcia płynów reostabilnych nie wykazujących granicy płynięcia:

l- płyn newtonowski, 2 - płyn rozrzedzany ścinaniem, 3 - płyn zagęszczany ścinaniem.

2.4.2 Płyny rozrzedzane ścinaniem

Płyny

rozrzedzane

ścinaniem

stanowią

najliczniejszą

grupę

płynów

nienewtonowskich. Z punktu widzenia częstości występowania zajmują one drugie miejsce
bezpośrednio po płynach newtonowskich. Ponieważ obie kategorie płynów wykazywały
pewne wspólne cechy (ich lepkość pozorna malała ze wzrostem szybkości ścinania)
omawiane płyny nazywano pseudoplastycznymi. W niemieckiej literaturze przedmiotu
stosowane jest określenie ciecze o lepkości strukturalnej wprowadzone przez Wo. Ostwalda.
Rainer zaproponował dla tych układów nazwę uogólnione płyny newtonowskie i termin ten
przyjął się w literaturze.

6

Rys.4 Krzywa płynięcia uogólnionego płynu newtonowskiego według Ostwalda.

Krzywą płynięcia uogólnionych płynów newtonowskich według Ostwalda

przedstawiono na wykresie rys.4; ma ona cztery charakterystyczne zakresy:
a) W zakresie małych szybkości ścinania występuje stały stosunek naprężenia stycznego do

szybkości ścinania, czyli układ zachowuje się jak płyn newtonowski o stałej lepkości

ηηηη

o

.

Wielkość

ηηηη

o

jest więc graniczną lepkością układu przy szybkości ścinania dążącej do zera.

b)

W

zakresie

pośrednich

szybkości

ścinania

występuje

obszar

przepływu

nienewtonowskiego. Stosunek naprężenia stycznego do szybkości ścinania w tym obszarze
nie jest stały. Ten zmienny stosunek - przez analogię do definicji lepkości dynamicznej
układów newtonowskich gdzie

ηηηη = ττττ ⁄⁄⁄⁄ γγγγ =CONST - nazywać będziemy lepkością pozorną i

oznaczać symbolem

ηηηη

’

(3)

W omawianym zakresie lepkość pozorna uogólnionego płynu newtonowskiego

maleje ze wzrostem szybkości ścinania.
c) Przy bardzo dużych szybkościach ścinania (np. rzędu l0

5

-10

6

s

-1

) występuje drugi obszar

przepływu newtonowskiego. Nachylenie krzywej płynięcia jest tu ponownie stałe.

d) Powyżej pewnej granicznej szybkości ścinania występuje charakterystyczny wzrost

nachylenia krzywej płynięcia zawiązany z pojawieniem się turbulencji.

Drugi sposób przedstawienia powyższych zależności polega na wykreśleniu krzywej

lepkości pozornej

ττττ w funkcji ścinania γγγγ. Wykres taki dla uogólnionego płynu

newtonowskiego pokazano na rys. 5.

const

≠

=

γ

τ

η

'

7

Rys.5 Zależność lepkości pozornej od szybkości ścinania dla uogólnionych płynów

newtonowskich.

W literaturze przedmiotu podejmowane były bardzo liczne próby opisu krzywej

płynięcia uogólnionego płynu newtonowskiego odpowiednim matematycznym modelem
reologicznym .

Najprostszym matematycznym modelem reologicznym, opisującym krzywą

płynięcia uogólnionych płynów newtonowskich w zakresie pośrednich szybkości ścinania,
jest tzw. model potęgowy, zaproponowany przez Ostwalda i de Wale. Wyniknął on z
doświadczalnie stwierdzonego faktu, że dla omawianych płynów zależność naprężenia
stycznego od szybkości ścinania, przedstawiona na wykresach sporządzonych w podwójnie
logarytmicznym układzie współrzędnych

(4)

daje się często przybliżyć linią prostą w 100 do 1000-krotnym zakresie szybkości ścinania.

Wskazuje to na potęgową zależność typu:

(5)

gdzie stała k (N s

n

/ m

2

)i wykładnik potęgi n są parametrami reologicznymi wyznaczonymi

doświadczalnie dla danego układu.

Dla omawianych płynów wykładnik potęgi ma wartość n < l. Zauważmy, że

podstawiając do wyrażenia (3) zależność na naprężenie styczne (5) otrzymamy

(6)

Wynika stąd, że dla parametru n < 1 lepkość pozorna maleje ze wzrostem szybkości

ścinania.

Model potęgowy Ostwalda - de Waele (5) jest najprostszym matematycznym

modelem reologicznym uogólnionego płynu newtonowskiego, zawierającym tylko dwie łatwe
do wyznaczenia stałe. Przeciwko modelowi temu wysuwane są jednak następujące zarzuty;
a) Miano współczynnika k zależy od wykładnika potęgi n gdyż k ma wymiar

(siła)·(czas)

n

/(długość)

2

. Dla różnych substancji współczynnik k zmienia się więc nie tylko

ilościowo, lecz także jakościowo, a parametry reologiczne n i k mają sens fizyczny tylko
wówczas, gdy są rozpatrywane łącznie.

b) Jeżeli wyznaczamy lepkość pozorną korzystając z zależności (6), to zauważymy, że w

przypadku n < 1

ηηηη’ →

→

→

→ ∞

∞∞

∞

dla

γγγγ →

→

→

→ 0

zaś

(7)

ηηηη’ →

→

→

→ 0000

dla

γγγγ →

→

→

→ ∞

∞∞

∞

Jak wynika to z krzywej płynięcia Ostwalda oba wnioski są sprzeczne z

doświadczeniem.

Na podstawie powyższych zarzutów Reiner stwierdził, że model potęgowy nie jest

reologicznym równaniem stanu, lecz jedynie empiryczna formuła interpolacyjną, którą
przestaje być słuszna poza zakresem interpolacji.

2.4.3 Płyny zagęszczone ścinaniem

Płynami zagęszczonymi ścinaniem nazywamy układy, których lepkość pozorna

ηηηη’-

w stałej temperaturze - nie maleje, lecz rośnie odwracalnie ze wzrostem szybkości ścinania

γγγγ

(nie wykazując przy tym dającej się zmierzyć zależności od czasu ścinania). Krzywą

ηηηη’= f (γγγγ)

przedstawiono dla tej kategorii płynów na wykresie rys. 6.

(

)

γ

τ

log

log

f

=

( )

n

k

γ

τ =

( )

( )

n

n

k

k

−

=

=

1

'

γ

γ

γ

η

8

Rys.6 Zależności lepkości pozornej od szybkości ścinania dla płynów reostabilnych bez

granicy płynięcia wykazujących zjawisko zagęszczenia ścinaniem.

Krzywą płynięcia układu zagęszczonego ścinaniem (rys. 3) można na ogół, w

dużym zakresie pośrednich szybkości ścinania opisać podobną uprzednio zależnością
potęgową (5). Parametr reologiczny n przybiera wówczas wartości liczbowe większe od
jedności n > 1. Oznacza to, że lepkość pozorna

(8)

rośnie ze wzrostem szybkości ścinania.

2.4.4 Płyny mające granicę płynięcia

Płyny reostabilne mające granicę płynięcia nazywać będziemy płynami plastyczne

lepkimi. Występowanie w tych układach granicznego naprężenia stycznego, poniżej którego
substancja zachowuje się jak ciało stałe, wyjaśnimy w sposób następujący:

W układzie dyspersyjnym, w którym jedna lub więcej faz jest rozproszona w postaci

cząstek lub pęcherzyków w ośrodku ciągłym, tworzy się struktura odporna na naprężenia
styczne nie przekraczające wartości granicznej

ττττ

y

. Im bardziej cząstki dyspersyjne przylegają

do siebie, tzn. im bardziej sztywna jest struktura, tym większa jest wartość naprężenia
granicznego

ττττ

y

. Po przekroczeniu granicy płynięcia struktura ulega całkowitemu zniszczeniu i

układ zachowuje się jak ciecz, na którą działa naprężenie styczne równe różnicy miedzy
rzeczywistym naprężeniem i naprężeniem granicznym

ττττ

y

. Z kolei przy obniżeniu naprężenia

stycznego poniżej wartości

ττττ

y

zakładamy, że struktura ulega natychmiastowej odbudowie

(układ jest bowiem reostabilny).

( )

1

'

−

=

n

k

γ

η

9

Rys.7 Krzywe płynięcia płynów reostabilnych wykazujących granicę płynięcia

l-płyn plastycznolepki Binghama, 2,3 - nieliniowe płyny plastycznolepkie.

Krzywe płynięcia omawianych układów przy naprężeniach stycznych

ττττ > ττττ

Y

przedstawiono na wykresie (rys. 7). Prosta l na tym wykresie reprezentuje własności
reologiczne ciała doskonałego Binghama. Zależność

ττττ = f ( γγγγ ) da się w tym przypadku opisać

podanym uprzednio równaniem reologicznym (2)

(9)

gdzie granica płynięcia

ττττ

y

, N/m

2

oraz wielkość

ηηηη

p

, N s/m

2

, nazywana lepkością plastyczną, są

parametrami reologicznymi określonymi doświadczalnie.

W

przeciwieństwie

do

lepkości

plastycznej,

lepkość

pozorna

płynu

plastycznolepkiego Binghama (jak każdego płynu nienewtonowskiego) nie jest wielkością
stałą. Zgodnie z definicją lepkości pozornej - wzór (3) - można ją wyrazić jako:

(10)

Wynika stąd, że w omawianym przypadku lepkość pozorna maleje ze wzrostem

szybkości ścinania.

Krzywe płynięcia tzw. nieliniowych płynów plastycznolepkich przedstawiono na rys.

7 (krzywa 2 i 3). Według Van Wazera i innych o charakterze przepływu po przekroczeniu
granicy płynięcia decydują często własności reologiczne ośrodka rozpraszającego.
Najprostszym

modelem

opisującym

własności

reologiczne

nieliniowych

płynów

plastycznolepkich jest model Herschela i Bulkleya

(11)

gdzie granica płynięcia

ττττ

y

, N/m

2

oraz wielkości

ηηηη

pm

, N

m

s/m

2m

i bezwymiarowa wielkość m,

występująca w wykładniku potęgi, są to parametry reologiczne określone doświadczalnie.
Casson zaproponował dla omawianych układów wzór w postaci

(12)

gdzie

ττττ

y

, N/m

2

i

ηηηη

p2

, N s/m

2

są to parametry reologiczne.

W przypadku niektórych układów okazuje się, że model Cassona (12) z

wykładnikiem potęgi 1/2 nie opisuje zadowalająco doświadczalnych krzywych płynięcia.
Lepsze rezultaty uzyskuje się, jeżeli wykładnik potęgi ma inną wartość liczbową. Prowadzi to
do następującego uogólnienia modelu Cassona

(13)

γ

η

τ

τ

P

Y

+

=

P

Y

η

γ

τ

η

+

=

'

( )

m

pm

y

/

1

γ

η

τ

τ

+

=

γ

η

τ

τ

2

p

y

+

=

( )

n

pn

n

y

n

/

1

/

1

/

1

γ

η

τ

τ

+

=

10

przy czym miano parametrów reologicznych

ττττ

y

i

ηηηη

pn

nie ulega zmianie, zaś trzecim

parametrem reologicznym jest bezwymiarowa wielkość n.

3. Ogólne zasady pomiaru własności reologicznych płynów nienewto-

nowskich

Własności reologiczne płynów charakteryzują ich zachowanie się w czasie

przepływu i tylko w warunkach przepływu mogą być mierzone. Ogólne zasady reometrii
płynów nienewtonowskich wynikają z ich specyficznych cech, dyskusję nad tymi zasadami
podzielmy je na dwa etapy.

a) płyny nie wykazujące efektów naprężeń normalnych

Do kategorii płynów nie wykazujących efektów naprężeń normalnych należą płyny

nienewtonowskie reostabilne oraz reologicznie niestabilne. Do pomiaru własności
reologicznych tych układów stosujemy metody wiskozymetryczne.

Większość jednak wiskozymetrów, stosowanych w laboratoriach do pomiaru

lepkości cieczy newtonowskich, jest nie przydatna do określenia własności reologicznych
płynów nienewtonowskich. Ze względu na cechy konstrukcyjne nie jest możliwe
równoczesne określenie naprężenia stycznego i szybkości ścinania w jakimkolwiek punkcie
tego przyrządu (wiskozymetry takie nazywamy porównawczymi).

Aby określić rzeczywistą wartość naprężenia stycznego i szybkości ścinania musimy

dysponować tzw. przyrządem absolutnym. W przyrządzie absolutnym dokonujemy
oznaczenia na podstawie znajomości praw fizycznych opisujących występujący w przyrządzie
przepływ oraz na znajomość geometrii przyrządu. Najczęściej stosowane w wiskozymertii
cieczy newtonowskich wiskozymetry absolutne dają jednak tzw. pomiar jednopunktowy.
Określamy za ich pomocą tylko jedną wartość naprężenia stycznego i szybkości ścinania,
czyli uzyskujemy tylko jeden punkt na krzywej płynięcia.

Jeden punkt na krzywej płynięcia charakteryzuje oczywiście w sposób jednoznaczny

płyn newtonowski, natomiast zupełnie nie określa własności reologicznych płynu
nienewtonowskiego. Tę samą lepkość pozorną przydanej szybkości ścinania mogą mieć
układy o diametralnie różnych własnościach reologicznych, jeżeli tylko ich krzywe płynięcia
przecinają się przypadkowo w badanym punkcie. Wynika stąd, że wnioskowanie o
własnościach

reologicznych

płynu

nienewtonowskiego

na

podstawie

pomiaru

jednopunktowego może prowadzić do bardzo poważnych błędów. Pomiary takie mogą być
wykorzystywane ewentualnie do bieżącej kontroli produkcji w tym sensie, że odstępstwo od
wartości standardowej sygnalizuje zmianę własności produktu, natomiast nie prowadzą do
gromadzenia informacji o znaczeniu naukowym lub technicznym.

Określenie

własności

reologicznych

płynu

nienewtonowskiego

wymaga

wyznaczenia krzywej płynięcia tego płynu. Pomiary muszą bezwzględnie objąć zakres
szybkości ścinania występujący w zagadnieniu praktycznym, które jest celem
przeprowadzonych badań.

Z powyższych rozważań wynika, że pomiary własności reologicznych płynów

nienewtonowskich

muszą

być

wykonane

za

pomocą

przyrządów

absolutnych

wielopunktowych. Przyrządy te w odróżnieniu od zwykłych wiskozymetrów absolutnych
jednopunktowych nazywać będziemy reometrami. Ściśle mówiąc reometrami nazywamy
przyrządy do pomiaru własności reologicznych nie tylko płynów, lecz także ciał stałych
W przypadkach każdego reometru powinniśmy dysponować ścisłym rozwiązaniem równań
ruchu opisujących realizowany w przyrządzie rodzaj przepływu. Jeżeli rozwiązanie równań
ruchu jest przybliżone, to błąd popełniony przez to przybliżenie musi być mniejszy od
dopuszczalnego błędu pomiaru. Konieczność zachowania tego warunku powoduje, że
pomiary reologiczne wykonujemy dla szczególnie prostych przypadków przepływu, w

11

których występuje tylko jedna składowa prędkości różną od zera. Są to tzw. przepływy
wiskozymetryczne. Dla przepływów wiskozymetrycznych jesteśmy w stanie w sposób
jednoznaczny określić zależność między naprężeniem stycznym a szybkością ścinania.
Jedynym założeniem przy tym dotyczącym płynu jest to, że jest on nieściśliwy i może być
traktowany jako continuum (ośrodek ciągły).

b) płyny wykazujące efekty naprężeń normalnych.

Płyny o złożonych własnościach reologicznych, wykazujące efekty naprężeń

normalnych, uważamy za płyny sprężystolepkie.

W przypadku omawianych układów różnica naprężeń normalnych może przy

pewnej szybkości ścinania być większa od naprężenia stycznego. Oczywiste jest, że sam
pomiar zależności naprężenie styczne - szybkość ścinania nie wystarcza do określenia
własności reologicznych takiego układu. Niezbędny jest wówczas pomiar nie tylko
naprężenia stycznego, ale i różnic naprężeń normalnych jako funkcji szybkości ścinania.

Składową styczną naprężenia mierzy się za pomocą metod wiskozymetrycznych.

Natomiast do pomiaru różnicy naprężeń normalnych stosujemy metody reogoniometryczne.
Reogoniometria jest działem reometrii zajmującym się zagadnieniami ilościowego określenia
wszystkich naprężeń w przypływającej substancji, za pomocą przyrządów zwanych
reogoniometrami. W metodach reogoniometrycznych wykorzystujemy te same, co w
metodach wiskozymetrycznych szczególnie proste przypadki przepływu.

Aby uzyskać możliwie pełną charakterystykę układu o złożonych własnościach

reologicznych oprócz metod wiskozymetrycznych i reogoniometrycznych w pewnych
przypadkach

stosujemy

metody

wykorzystujemy

przepływy

niewiskozymetryczne.

Przykładem takiej metody, która może dostarczyć dodatkowych informacji o własnościach
reologicznych układu, są badania wykonywane przy użyciu drgań o małej amplitudzie (tzw.
metoda oscylacyjna).

4. Zasada działania reometru kapilarnego

Zasada działania reometru kapilarnego polega na przetłaczaniu badanego płynu

przez długie, cylindryczne rurki o gładkiej powierzchni wewnętrznej. Warunki pracy
przyrządu muszą być tak dobrane, aby przepływ był ustalony, izotermiczny i laminarny. Przy
zwianych rozmiarach kapilar dążymy wówczas do określenia zależności między
objętościowym natężeniem przepływu a spadkiem ciśnienia wywołanym tarciem
wewnętrznym płynu. Jeżeli pomiary wykonane są w sposób umożliwiający wyznaczenie
powyższej zależności dla różnych wartości natężenia przepływu, to stosując odpowiednie
obliczenia możemy określić w sposób jednoznaczny krzywą płynięcia badanego czynnika.

Reometry kapilarne mają kilka cennych zalet. Przede wszystkim stosując zmienne

średnice kapilar oraz zmienne ciśnienia można uzyskać niezwykle szeroki zakres przyrządu,
nie dostępny w pojedynczym urządzeniu o innej zasadzie działania ( reometry rotacyjne mają
ograniczony zakres szybkości ścinania i zakres ten trudno jest zmienić). Następnie w
przypadku przyrządu kapilarnego nie występują - oprócz przypadków skrajnych - trudności
związane z koniecznością zachowania izotermicznych warunków pomiaru. Płyn przebywa
bowiem w kapilarze przez bardzo krótki okres czasu. Nie zachodzi więc niebezpieczeństwo
akumulowania się ciepła powstającego z lepkiego rozproszenia energii, co może zachodzić w
reometrach rotacyjnych, wreszcie bardzo ważne jest to, że reometry kapilarne cechują się
prostą konstrukcją. Mogą być one wykonywane w zwykłych warunkach warsztatowych, w
przeciwieństwie do bardziej skomplikowanych przyrządów rotacyjnych.

Należy jednak podkreślić, że reometry kapilarne służą tylko do pomiaru tych

własności reologicznych, które charakteryzują ustalony przepływ płynów reostabilnych i

12

sprężystolepkich. Są one natomiast mało przydatne do badania układów reologicznie nie
stabilnych.

Zakres pracy przyrządu kapilarnego jest ograniczony w przypadku małych

szybkości ścinania, zaś czas potrzebny do wykonania jednego pomiaru w reometrze
kapilarnym jest wielokrotnie dłuższy niż w przyrządach rotacyjnych.

5. Przepływ laminarny płynu newtonowskiego przez kapilarę ( równanie

Hagena - Poiseuille'a)

Rozważmy laminarny przepływ płynu newtonowskiego przez cylindryczną kapilarę

o promieniu R i długości L. Załóżmy, że mamy do czynienia z ustalonym, izometrycznym
przepływem płynu nieściśliwego, zaś stosunek długości kapilary do jej średnicy jest tak duży,
iż można zaniedbać wpływ efektów końcowych (występujących na wlocie i wylocie z
kapilary).

W pełni uformowany przepływ laminarny płynu przez przewód o przekroju kołowy

możemy sobie wyobrazić jako ruch nie mieszających się ze sobą warstewek o kształcie
współosiowych cylindrów. Prędkość lokalna u w kierunku osiowym, będąca jedyną składową
prędkości, jest stała na obwodzie każdej cylindrycznej warstewki o różniczkowej grubości dr.
Przepływ jest więc osiowo - symetryczny, a prędkość u jest wyłącznie funkcją odległości od
osi r.

Zakładamy, że wskutek działania sił adhezji, prędkość przepływu warstewki płynu

stykającej się bezpośrednio ze ścianką kapilary, tzn. gdy r = R, jest równa zeru. Jest to
założenie dotyczące braku tzw. efektywnego poślizgu przy ścianie. Założenie to jest zawsze
spełnione dla płynów czystych, nie będących układami dyspersyjnymi.

W osi przewodu (r = 0) prędkość lokalna osiąga wartość maksymalną. Przy istnieniu

gradientu prędkości w kierunku promieniowym występuje między poszczególnymi
warstewkami płynu naprężenie styczne.

Ruch płyny w kapilarze następuje pod wpływem różnicy ciśnienia w kierunku

osiowym. W warunkach przepływu ustalonego, gdy nie występują siły bezwładności, siły
pochodzące od ciśnień równoważną się z siłami tarcia.

Wyodrębnimy myślowo część przepływającego płynu w postaci walca o promieniu

r i długości L współosiowego z kapilarą (rys. 8). Siły parcia i przeciwparcia na podstawę
rozważanego walca równe są, uwzględniając kierunek działania siły, odpowiednio p

1

ππππr

2

i

p

2

ππππr

2

, gdzie p

1

jest wartością

Rys. 8 Siły powierzchniowe działające na walec cieczy o promieniu r i długości L.

Ciśnienia na wlocie, a p

2

- na wylocie z kapilary. Siła tarcia działająca na

powierzchnię boczną walca jest równa iloczynowi tej powierzchni i naprężenia stycznego

ττττ w

odległości r od osi. Uwzględniając, że kierunek działania siły tarcia jest przeciwny do
kierunku przepływu otrzymamy - 2

ππππrLττττ. Warunek równowagi sił wymaga, aby suma rzutów

sił zewnętrznych na kierunek osi rury była równa zeru. Stąd

(14)

0

2

2

2

2

1

=

−

−

τ

π

π

π

rL

r

p

r

p

13

Oznaczając różnicę ciśnień p

1

- p

2

=

∆∆∆∆p uzyskamy po prostym przekształceniu

równania (14) następującą zależność na naprężenie styczne

(15)

Zrównania (15) wynika, że naprężenie styczne w płynie przepływającym w

kapilarze jest wprost proporcjonalne od osi r i do spadku ciśnienia na jednostkę długości
kapilary

∆∆∆∆p / L. Zwrócimy przy tym uwagę, że naprężenia styczne w osi jest równe zeru,

osiąga zaś wartość maksymalna przy ścianie kapilary. Podstawiając do wzoru (15) r = R,
uzyskamy zależność na naprężenie styczne przy ścianie kapilary

(16)

Podkreślmy, że powyższa liniowa zależność naprężenia stycznego od odległości od

osi r wynika z ogólnego bilansu sił przy przepływie laminarnym przez kapilarę i jest słuszna
dla wszystkich płynów zarówno newtonowskich, jak i nienewtonowskich.

Dalsze nasze rozważania dotyczyć będą tylko płynów newtonowskich, dla których

w warunkach izotermicznego przepływu laminarnego istnieje prosta proporcjonalność między
naprężeniem stycznym a szybkością ścinania. Dla przypadku przepływu przez cylindryczną
kapilarę równanie Newtona przybierze postać:

(17)

Gradient prędkości du / dr jest ujemny, ponieważ prędkość maleje ze wzrostem

odległości od osi r.
Korzystając z zależności (15) przedstawimy wzór (17) w postaci

(18)

lub po rozdzieleniu zmiennych

(19)

Całkując równanie (19) otrzymamy

(20)

Stałą całkowania C określimy z warunku brzegowego, wynikającego z założenia

braku poślizgu przy ścianie
dla r = R

u = 0

Stąd

i ostatecznie

(21)

Z otrzymanego wzoru na prędkość lokalną widać, że przy osiowo - symetrycznym

przepływie rozkład prędkości w zależności od promienia jest paraboloidalny. Na rys. 9

L

p

r

2

∆

=

τ

L

p

R

w

2

∆

=

τ











 −

=

dr

du

η

τ

dr

du

L

p

r

η

−

=

∆

2

rdr

L

p

du

η

2

∆

−

=

C

r

L

p

u

+

∆

−

=

2

4

η

L

pR

C

η

4

2

∆

=

(

)

2

2

4

r

R

L

p

u

−

∆

=

η

14

przedstawiono rozkład naprężeń stycznych i paraboliczny profil prędkości, w płaszczyźnie
przechodzącej przez oś kapilary, podczas laminarnego przepływu płynu newtonowskiego.
Dysponując wzorem na rozkład prędkości (21) obliczymy łatwo objętościowe natężenie
przepływu Q,m

3

/s. W tym celu wyodrębnimy myślowo w przekroju poprzecznym kapilary

dwa koncentryczne koła o promieniach odpowiednio r oraz r + dr. Przez pierścieniowy
przekrój poprzeczny o różniczkowej grubości dr płyn przepływać będzie z jednakową
prędkością u = f ( r ). Objętościowe natężenie przepływu przez rozważaną powierzchnię
pierścienia wyniesie

(22)

Rys.9 Rozkład naprężeń stycznych i profil prędkości płynu newtonowskiego podczas

przepływu laminarnego przez przewód o przekroju kołowym.

Stąd natężenie przepływu dla całego przekroju poprzecznego

(23)

Korzystając z równania (21)

(24)

po scałkowaniu otrzymamy

(25)

Jeśli zamiast promienia wprowadzimy średnicę rury, to

(26)

Stwierdziliśmy więc, że objętościowe natężenie przepływu przy laminarnym ruchu

płynu newtonowskiego przez kapilarę jest wprost proporcjonalne do różnicy ciśnień
powodującej przepływ, proporcjonalne do czwartej potęgi promienia kapilary i odwrotnie
proporcjonalne do jej długości. Jest to znane prawo Hagena – Poiseuille’a.

6.Podstawy teoretyczne reometrii kapilarnej dla płynów nienewtonowskich.

6.1 Równanie Rabinowitscha-Mooneya.

Przy wyprowadzeniu równania jedynym założeniem dotyczącym płynu jest to, że w

warunkach przepływu przez kapilarę jego własności reologiczne nie zależą od czasu ścinania
oraz że nie wykazuje on poślizgu przy ścianie.

rdr

u

dQ

π

2

=

∫

∫

=

=

Q

R

urdr

dQ

Q

0

0

2π

(

)

∫

−

∆

=

R

rdr

r

R

L

p

Q

0

2

2

2

η

π

L

pR

Q

η

π

8

4

∆

=

L

pD

Q

η

π

128

4

∆

=

15

Rozpoczniemy od identycznego, jak w przypadku wprowadzenia równania Hagena -

Poiseuille'a, stwierdzenia że objętościowe natężenie przepływu przez przekrój pierścieniowy
różniczkowy między r oraz r+dr wynosi dQ=u2π

π

π

πr dr, gdzie u jest prędkością lokalną w

odległości r od osi. Stąd natężenie przepływu przez cały przekrój poprzeczny kapilary

(27)

Korzystając z tego, że

d(r

2

)=2rdr

napiszemy

(28)

i całkując następnie otrzymamy

(29)

Z założenia braku poślizgu przy ścianie wynika, że u = 0 dla r = R i wyrażenie ur

2

odpada. Z kolei z założenia, że przepływ jest laminarny a płyn w rozważanych warunkach
reostabilny wynika, iż gradient prędkości jest wyłącznie funkcją naprężenia stycznego

(30)

czyli

(31)

Następnie łącząc równania (15) i (16) możemy napisać wyrażenia na naprężenie

styczne w odległości r od osi w postaci

(32)

Zrównania (32) wynika, że

(33)

zaś

(34)

Wprowadzając zależności (33), (31) i (34) do równania (29) uzyskany po prostym

przekształceniu tzn. ogólne równanie, przepływu w rurze

(35)

lub używając średnicy zamiast promienia kapilary

(36)

Równanie (35) jest ogólną zależnością wiążącą objętościowe natężenie przepływu Q

z naprężeniem stycznym przy ścianie τ

τττ

w

. Przypomnimy, że jest ono słuszne w przypadku

laminarnego przepływu przez przewód o przekroju kołowym dowolnego płynu reostabilnego,
spełniające go zależność (30). Dzięki temu równanie (35) odgrywa znaczną rolę w inżynierii
płynów nienewtonowskich, gdyż może być wykorzystane dookreślenia zależności Q od

∫

∫

=

=

Q

R

rdr

u

dQ

Q

0

0

2

π

( )

∫

=

2

0

2

R

r

ud

Q

π

[

]

2

0

2

2

R

du

r

ur

Q

∫

−

= π

( )

τ

f

dr

du

=

−

( )

dr

f

du

τ

−

=

R

r

w

τ

τ =

2

2

2

2

w

R

r

τ

τ

=

τ

τ

d

R

dr

w

=

( )

∫

=

w

d

f

R

Q

w

τ

τ

τ

τ

τ

π

0

2

3

3

1

( )

∫

=

w

d

f

D

Q

w

τ

τ

τ

τ

τ

π

0

2

3

3

1

8

16

spadku ciśnienia

∆∆∆∆p wywołanego tarciem wewnętrznym dla płynów spełniających różne

modele reologiczne. W tym celu należy wprowadzić do wzoru (35) właściwą zależność
funkcjonalną (30) i dokonać całkowania. Dla płynu newtonowskiego, podstawiając f(

ττττ ) = ττττ

/

ηηηη otrzymamy po scałkowaniu równanie Hagena -Poiseuille'a (26). Podobnie dla płynu

spełniającego zależność potęgową Ostwalda - de Waele (5), podstawiając

ƒƒƒƒ(ττττ)=(ττττ/k)

1/n

uzyskamy tzw. uogólnione równanie Hagena - Poiseuille'a

(37)

Analogicznie uzyskać można uzyskać odpowiedniki równania Hagena-Poiseuille’a

dla innych modeli reologicznych płynów nienewtonowskich. Wracając do zasadniczego nurtu
naszych rozważań, pomnóżmy obie strony równania (36) przez

ττττ

w

3

, a następnie

zróżniczkujmy je względem

ττττ

w

. Otrzymamy wówczas

(38)

Korzystając z twierdzenia Leibniza - Newtona możemy napisać

(39)

Z zależności (30) wynika, że

. Stąd

(40)

i zastępując, zgodnie z zależnością (16),

ττττ

w

przez D

∆∆∆∆p/4L ostatecznie otrzymamy

(41)

Równanie Rabinowitscha-Mooneya (41) jest szukaną przez nas zależnością z której

można wyznaczyć szybkość ścinania przy ścianie kapilary.

n

kL

p

R

n

R

n

Q

/

1

3

2

1

3











 ∆

+

=

π

( )

∫

=













+













w

d

f

d

d

D

Q

D

Q

d

w

w

w

τ

τ

τ

τ

τ

π

τ

π

τ

0

2

3

2

3

2

8

3

8

( )

w

w

w

w

w

w

d

f

d

D

Q

D

Q

d

τ

τ

τ

τ

π

τ

π

τ

2

3

2

3

3

8

3

8

=













+













w

w

w

d

D

Q

d

D

Q

dr

du

τ

π

τ

π













+













=











 −

3

3

8

8

3











 ∆













∆

+













=











−

L

p

D

d

D

Q

d

L

p

D

D

Q

dr

du

w

4

8

4

8

3

3

3

π

π

17

9. Schemat stanowiska do pomiaru własności reologicznych płynów

nienewtonowskich.

1- sprężarka tłokowa
2- zawór redukcyjny
3- zbiornik reometru
4- manometr kontrolny
5- zawór przelotowy
6- kapilara
7- naczynie pomiarowe

10. Wykonanie ćwiczenia

Zmierzyć średnicę i długość kapilary. Otworzyć zawór (5) i uruchomić sprężarkę.

Po uruchomieniu sprężarki (l) należy ustawić na zaworze redukcyjnym (2) jak najniższą
wartość ciśnienia, a następnie odczytać jego wartość na manometrze kontrolnym (4).
Zwiększać powoli zaworem redukcyjnym (2) ciśnienie w zbiorniku (3) tak długo, dopóki
ciecz nie zacznie wypływać z kapilary (6).W momencie rozpoczęcia mchu cieczy odczytać
ciśnienie na manometrze (4) i wpisać jego wartość do tabeli. Dla różnych wartości ciśnienia
zmierzyć natężenie przepływu cieczy wypływającej przez kapilarę (6) do naczynia (7). Po
wykonaniu pomiarów wyłączyć sprężarkę.

11. Pomiary i obliczenia

Podczas ćwiczenia wykonuje się następujące pomiary i obliczenia:

- średnica kapilary D[m];
- długość kapilary L[m];
- ciśnienie w zbiorniku P[N/m

2

];

- natężenie wypływu cieczy Q[m

3

/s];

- granica płynięcia [N/m

2

];

- naprężenia styczne [N/m

2

];

- lepkość plastyczna [N s/m

2

];

- szybkość ścinania [l/s],

18

12.Przykładowe pytania

1. jak możemy podzielić odkształcenia, krótko zdefiniować?
2. ogólna klasyfikacja płynów nienewtonowskich.
3. jak zachowuje się płyn Stokesa w warunkach laminarnego ścinania?
4. wymień oraz opisz jak wykonuje się pomiary własności reologicznych płynów

nienewtonowskich.

5. wymień zalety reometru kapilarnego.
6. narysuj rozkład naprężeń stycznych i profil prędkości płynu newtonowskiego podczas

przepływu laminarnego przez przewód o przekroju okrągłym.

7. naszkicuj stanowisko do pomiaru własności reologicznych płynów nienewtonowskich.

13. Literatura

Z.Kembłowski - „Reometria płynów nienewtonowskich"