Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej

Teoria sterowania

Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na
odpowiedź impulsową

Mirosław Tomera

Odpowiedź impulsowa wyznaczana jest na podstawie funkcji operatorowej poprzez zastosowanie
odwrotnej transformaty Laplace'a.

( )

t

g

=

£

−

1

{ }

)

(s

G

(1)

Zadanie polega na określeniu typów funkcji czasowych odpowiadających różnym częściom rozkładu
sygnału operatorowego w zależności od położenia biegunów na płaszczyźnie s oraz od ich krotności.
Bieguny układu są miejscami zerowymi mianownika transmitancji i mają wpływ na charakter
odpowiedzi impulsowej układu.

W M

ATLABIE

odpowiedź impulsowa układu opisanego transmitancją może być uzyskiwana

przy użyciu jednej z poniższych komend:

ltiview( 'impulse', tf(num, den))
impulse( num, den)

LTIViewer jest interakcyjnym interfejsem graficznym użytkownika do analizowania układów
liniowych w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Polecenie

impulse( num, den)

wykreśla

jednostową odpowiedź impulsową w oknie graficznym M

ATLABA

.

1. Badanie wpływu położenia pojedynczego bieguna na przebieg odpowiedzi

impulsowej

Ogólna postać transmitancji układu z pojedynczym biegunem

s

=

σ

+ j

ω

znajdującym się

w dowolnym miejscu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej opisana jest wzorem

)

(s

G

=

(

)

(

)

ω

σ

ω

σ

φ

φ

j

s

Ae

j

s

Ae

j

j

−

−

+

+

−

−

2

1

2

1

=

1

1

s

s

r

−

+

2

2

s

s

r

−

(2)

której odpowiada odpowiedź impulsowa postaci

)

(t

g

=

(

)

φ

ω

σ

+

t

Ae

t

cos

(3)

Amplituda odpowiedzi w chwili t = 0 oraz przesunięcie fazowe

φ

zależą od wartości residuów funkcji

(2). Zakładając, że residua

1

r

oraz

2

r

są równe

1

r

=

2

r

= 1, wówczas funkcja (2) upraszcza się do

postaci:

)

(s

G

=

(

)

2

2

ω

σ

σ

+

−

−

s

s

(4)

której to odpowiada odpowiedź impulsowa

)

(t

g

=

t

e

t

ω

σ

cos

(5)

Teoria sterowania

Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

2

Przy badaniu wpływu położenia pojedynczego bieguna

s

=

σ

+ j

ω

, zbadać na jakie parametry

przebiegu czasowego wpływają zmiany części rzeczywistej

σ

i urojonej

ω

bieguna. Rozpatrzyć trzy

następujące przypadki:

1.1. Biegun znajduje się na osi liczb rzeczywistych

−

biegun ma tylko składową rzeczywistą

i wówczas równania (4) oraz (5) upraszczają się do postaci

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

σ

−

s

1

)

(t

g

=

t

e

σ

1.2. Bieguny sprzężone znajdują się na osi liczb urojonych

−

biegun ma tylko składową urojoną

i wówczas równania (4) oraz (5) upraszczają się do postaci

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

2

2

ω

−

s

s

)

(t

g

=

t

ω

cos

1.3. Bieguny sprzężone znajdują się w dowolnym punkcie na płaszczyźnie (poza osiami)

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

(

)

2

2

ω

σ

σ

+

−

−

s

s

)

(t

g

=

t

e

t

ω

σ

cos

Poniżej znajduje się przykładowy kod źródłowy M

ATLABA

realizujący badanie wpływu położeń

pojedynczego bieguna na odpowiedź impulsową.

% Nazwa pliku: impuls_t1.m
% 1. Badanie

wpływu położenia

pojedynczego bieguna na przebieg odpowiedzi

% impulsowej
% Badana transmitancja:
% s-a
% G(s) = -------------
% (s-a)^2 + b^2

s1 = -1 + 1*j;

%

Położenie

bieguna wzorcowego

s2 = -0.5 + 0.5*j;

%

Położenie

drugiego bieguna

A = [s1 s2];

%

Tablica zawierająca

bieguny

for i=1:2,
a = real(A(i));

%

Część

rzeczywista bieguna

b = imag(A(i));

%

Część

urojona bieguna

num = [1 -a];

% Licznik transmitancji

den = [1 -2*a (a^2+b^2)];

% Mianownik transmitancji

sys(i) = tf( num, den);

% Transmitancja

end;
ltiview( 'impulse', sys(1), sys(2))

2. Badanie wpływu położeń podwójnych biegunów na przebieg odpowiedzi

impulsowej

Przy badaniu wpływu położenia podwójnych biegunów

s

= (

σ

+ j

ω

)

2

na odpowiedź impulsową

rozważona zostanie funkcja operatorowa (4) podniesiona do drugiej potęgi

Teoria sterowania

Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

3

)

(s

G

=

(

)

2

2

2

















+

−

−

ω

σ

σ

s

s

(6)

Postać ogólna odpowiedzi impulsowej funkcji operatorowej (6)

)

(t

g

=

t

te

t

e

t

t

ω

ω

ω

σ

σ

cos

2

1

sin

2

1

+

−

(7)

Zbadać na jakie parametry przebiegu czasowego wpływają zmiany części rzeczywistej

σ

i urojonej

ω

bieguna podwójnego. Rozpatrzyć trzy następujące przypadki:

2.1. Podwójny biegun znajduje się na osi liczb rzeczywistych

−

biegun ma tylko składową rzeczywistą

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

(

)

2

1

σ

−

s

)

(t

g

=

t

te

σ

2.2. Podwójne bieguny sprzężone znajdują się na osi liczb urojonych

−

biegun ma tylko składową

urojoną i wówczas równania (6) oraz (7) upraszczają się do postaci

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

(

)

2

2

2

2

ω

+

s

s

)

(t

g

=

t

t

t

ω

ω

ω

cos

2

1

sin

2

1

+

−

1.3. Podwójne bieguny sprzężone znajdują się w dowolnym punkcie na płaszczyźnie (poza osiami)

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

(

)

2

2

2

















+

−

−

ω

σ

σ

s

s

)

(t

g

=

t

te

t

e

t

t

ω

ω

ω

σ

σ

cos

2

1

sin

2

1

+

−

Poniżej znajduje się przykładowy kod źródłowy M

ATLABA

realizujący badanie wpływu położeń

podwójnego bieguna na odpowiedź impulsową.

% Nazwa pliku: impuls_t2.m

%2. Badanie wpływu położenia podwójnego bieguna na przebieg odpowiedzi

% impulsowej
% Badana transmitancja:
% (s-a)^2
% G(s) = -----------------
% ((s-a)^2 + b^2)^2

s1 = -2 + 2*j;

% Położenie bieguna wzorcowego

s2 = -1 + 1*j;

% Położenie drugiego bieguna

A = [s1 s2];

% Tablica zawierająca bieguny

for i=1:2,
a = real(A(i));

% Część rzeczywista bieguna

b = imag(A(i));

% Część urojona bieguna

num = conv([1 -a],[1 -a]); % Licznik transmitancji
den = conv([1 -2*a (a^2+b^2)],[1 -2*a (a^2+b^2)]); %Mianownik

sys(i) = tf( num, den); % Transmitancja
end;
ltiview( 'impulse', sys(1), sys(2))

Teoria sterowania

Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

4

PYTANIA

P1. Jak przedstawia się odpowiedź impulsowa gdy:

1. Pojedynczy biegun znajduje się w początku układu współrzędnych.
2. Podwójny biegun znajduje się w początku układu współrzędnych.

P2. Dla poniższych przypadków podać dwa różne przykłady położeń biegunów elementarnych

transmitancji operatorowych i odpowiadających im odpowiedzi impulsowych i zaznaczyć różnice
oraz udzielić odpowiedzi na następujące pytania:

a) Czy bieguny są stabilne (niestabilne, na granicy stabilności) ?
Jak w zależności od położenia bieguna zmienia się:

b) szybkość zanikania (narastania) odpowiedzi impulsowej?
c) amplituda drgań odpowiedzi impulsowej ?
d) okres drgań odpowiedzi impulsowej?

Przypadki te są następujące:

1. Pojedynczy biegun znajduje się w lewej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
2. Pojedynczy biegun znajduje się w prawej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
3. Para pojedynczych biegunów sprzężonych znajduje się na osi liczb urojonych.
4. Para pojedynczych biegunów sprzężonych znajduje się w lewej półpłaszczyźnie.
5. Para pojedynczych biegunów sprzężonych znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.
6. Para podwójnych biegunów sprzężonych znajduje się na osi liczb urojonych.
7. Podwójny biegun znajduje się w lewej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
8. Podwójny biegun znajduje się w prawej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
9. Para podwójnych biegunów sprzężonych znajduje się w lewej półpłaszczyźnie.
10. Para podwójnych biegunów sprzężonych znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.

LITERATURA

1. Tomera M., Transmitancja operatorowa, http://www.am.gdynia.pl/~tomera/teoria_ster.htm.