Ostatnia aktualizacja: 03-10-23
M. Tomera
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na
odpowiedź impulsową
Mirosław Tomera
Odpowiedź impulsowa wyznaczana jest na podstawie funkcji operatorowej poprzez zastosowanie
odwrotnej transformaty Laplace'a.
( )
t
g
=
£
−
1
{ }
)
(s
G
(1)
Zadanie polega na określeniu typów funkcji czasowych odpowiadających różnym częściom rozkładu
sygnału operatorowego w zależności od położenia biegunów na płaszczyźnie s oraz od ich krotności.
Bieguny układu są miejscami zerowymi mianownika transmitancji i mają wpływ na charakter
odpowiedzi impulsowej układu.
W M
ATLABIE
odpowiedź impulsowa układu opisanego transmitancją może być uzyskiwana
przy użyciu jednej z poniższych komend:
ltiview( 'impulse', tf(num, den))
impulse( num, den)
LTIViewer jest interakcyjnym interfejsem graficznym użytkownika do analizowania układów
liniowych w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Polecenie
impulse( num, den)
wykreśla
jednostową odpowiedź impulsową w oknie graficznym M
ATLABA
.
1. Badanie wpływu położenia pojedynczego bieguna na przebieg odpowiedzi
impulsowej
Ogólna postać transmitancji układu z pojedynczym biegunem
s
=
σ
+ j
ω
znajdującym się
w dowolnym miejscu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej opisana jest wzorem
)
(s
G
=
(
)
(
)
ω
σ
ω
σ
φ
φ
j
s
Ae
j
s
Ae
j
j
−
−
+
+
−
−
2
1
2
1
=
1
1
s
s
r
−
+
2
2
s
s
r
−
(2)
której odpowiada odpowiedź impulsowa postaci
)
(t
g
=
(
)
φ
ω
σ
+
t
Ae
t
cos
(3)
Amplituda odpowiedzi w chwili t = 0 oraz przesunięcie fazowe
φ
zależą od wartości residuów funkcji
(2). Zakładając, że residua
1
r
oraz
2
r
są równe
1
r
=
2
r
= 1, wówczas funkcja (2) upraszcza się do
postaci:
)
(s
G
=
(
)
2
2
ω
σ
σ
+
−
−
s
s
(4)
której to odpowiada odpowiedź impulsowa
)
(t
g
=
t
e
t
ω
σ
cos
(5)
Teoria sterowania
Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową
Ostatnia aktualizacja: 03-10-23
M. Tomera
2
Przy badaniu wpływu położenia pojedynczego bieguna
s
=
σ
+ j
ω
, zbadać na jakie parametry
przebiegu czasowego wpływają zmiany części rzeczywistej
σ
i urojonej
ω
bieguna. Rozpatrzyć trzy
następujące przypadki:
1.1. Biegun znajduje się na osi liczb rzeczywistych
−
biegun ma tylko składową rzeczywistą
i wówczas równania (4) oraz (5) upraszczają się do postaci
Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
)
(s
G
=
σ
−
s
1
)
(t
g
=
t
e
σ
1.2. Bieguny sprzężone znajdują się na osi liczb urojonych
−
biegun ma tylko składową urojoną
i wówczas równania (4) oraz (5) upraszczają się do postaci
Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
)
(s
G
=
2
2
ω
−
s
s
)
(t
g
=
t
ω
cos
1.3. Bieguny sprzężone znajdują się w dowolnym punkcie na płaszczyźnie (poza osiami)
Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
)
(s
G
=
(
)
2
2
ω
σ
σ
+
−
−
s
s
)
(t
g
=
t
e
t
ω
σ
cos
Poniżej znajduje się przykładowy kod źródłowy M
ATLABA
realizujący badanie wpływu położeń
pojedynczego bieguna na odpowiedź impulsową.
% Nazwa pliku: impuls_t1.m
% 1. Badanie
wpływu położenia
pojedynczego bieguna na przebieg odpowiedzi
% impulsowej
% Badana transmitancja:
% s-a
% G(s) = -------------
% (s-a)^2 + b^2
s1 = -1 + 1*j;
%
Położenie
bieguna wzorcowego
s2 = -0.5 + 0.5*j;
%
Położenie
drugiego bieguna
A = [s1 s2];
%
Tablica zawierająca
bieguny
for i=1:2,
a = real(A(i));
%
Część
rzeczywista bieguna
b = imag(A(i));
%
Część
urojona bieguna
num = [1 -a];
% Licznik transmitancji
den = [1 -2*a (a^2+b^2)];
% Mianownik transmitancji
sys(i) = tf( num, den);
% Transmitancja
end;
ltiview( 'impulse', sys(1), sys(2))
2. Badanie wpływu położeń podwójnych biegunów na przebieg odpowiedzi
impulsowej
Przy badaniu wpływu położenia podwójnych biegunów
s
= (
σ
+ j
ω
)
2
na odpowiedź impulsową
rozważona zostanie funkcja operatorowa (4) podniesiona do drugiej potęgi
Teoria sterowania
Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową
Ostatnia aktualizacja: 03-10-23
M. Tomera
3
)
(s
G
=
(
)
2
2
2
+
−
−
ω
σ
σ
s
s
(6)
Postać ogólna odpowiedzi impulsowej funkcji operatorowej (6)
)
(t
g
=
t
te
t
e
t
t
ω
ω
ω
σ
σ
cos
2
1
sin
2
1
+
−
(7)
Zbadać na jakie parametry przebiegu czasowego wpływają zmiany części rzeczywistej
σ
i urojonej
ω
bieguna podwójnego. Rozpatrzyć trzy następujące przypadki:
2.1. Podwójny biegun znajduje się na osi liczb rzeczywistych
−
biegun ma tylko składową rzeczywistą
Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
)
(s
G
=
(
)
2
1
σ
−
s
)
(t
g
=
t
te
σ
2.2. Podwójne bieguny sprzężone znajdują się na osi liczb urojonych
−
biegun ma tylko składową
urojoną i wówczas równania (6) oraz (7) upraszczają się do postaci
Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
)
(s
G
=
(
)
2
2
2
2
ω
+
s
s
)
(t
g
=
t
t
t
ω
ω
ω
cos
2
1
sin
2
1
+
−
1.3. Podwójne bieguny sprzężone znajdują się w dowolnym punkcie na płaszczyźnie (poza osiami)
Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
)
(s
G
=
(
)
2
2
2
+
−
−
ω
σ
σ
s
s
)
(t
g
=
t
te
t
e
t
t
ω
ω
ω
σ
σ
cos
2
1
sin
2
1
+
−
Poniżej znajduje się przykładowy kod źródłowy M
ATLABA
realizujący badanie wpływu położeń
podwójnego bieguna na odpowiedź impulsową.
% Nazwa pliku: impuls_t2.m
%2. Badanie wpływu położenia podwójnego bieguna na przebieg odpowiedzi
% impulsowej
% Badana transmitancja:
% (s-a)^2
% G(s) = -----------------
% ((s-a)^2 + b^2)^2
s1 = -2 + 2*j;
% Położenie bieguna wzorcowego
s2 = -1 + 1*j;
% Położenie drugiego bieguna
A = [s1 s2];
% Tablica zawierająca bieguny
for i=1:2,
a = real(A(i));
% Część rzeczywista bieguna
b = imag(A(i));
% Część urojona bieguna
num = conv([1 -a],[1 -a]); % Licznik transmitancji
den = conv([1 -2*a (a^2+b^2)],[1 -2*a (a^2+b^2)]); %Mianownik
sys(i) = tf( num, den); % Transmitancja
end;
ltiview( 'impulse', sys(1), sys(2))
Teoria sterowania
Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową
Ostatnia aktualizacja: 03-10-23
M. Tomera
4
PYTANIA
P1. Jak przedstawia się odpowiedź impulsowa gdy:
1. Pojedynczy biegun znajduje się w początku układu współrzędnych.
2. Podwójny biegun znajduje się w początku układu współrzędnych.
P2. Dla poniższych przypadków podać dwa różne przykłady położeń biegunów elementarnych
transmitancji operatorowych i odpowiadających im odpowiedzi impulsowych i zaznaczyć różnice
oraz udzielić odpowiedzi na następujące pytania:
a) Czy bieguny są stabilne (niestabilne, na granicy stabilności) ?
Jak w zależności od położenia bieguna zmienia się:
b) szybkość zanikania (narastania) odpowiedzi impulsowej?
c) amplituda drgań odpowiedzi impulsowej ?
d) okres drgań odpowiedzi impulsowej?
Przypadki te są następujące:
1. Pojedynczy biegun znajduje się w lewej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
2. Pojedynczy biegun znajduje się w prawej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
3. Para pojedynczych biegunów sprzężonych znajduje się na osi liczb urojonych.
4. Para pojedynczych biegunów sprzężonych znajduje się w lewej półpłaszczyźnie.
5. Para pojedynczych biegunów sprzężonych znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.
6. Para podwójnych biegunów sprzężonych znajduje się na osi liczb urojonych.
7. Podwójny biegun znajduje się w lewej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
8. Podwójny biegun znajduje się w prawej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
9. Para podwójnych biegunów sprzężonych znajduje się w lewej półpłaszczyźnie.
10. Para podwójnych biegunów sprzężonych znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.
LITERATURA
1. Tomera M., Transmitancja operatorowa, http://www.am.gdynia.pl/~tomera/teoria_ster.htm.