Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową
Mirosław Tomera
Odpowiedź impulsowa wyznaczana jest na podstawie funkcji operatorowej poprzez zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a.
−1
g( t) = £
{ G( s })
(1)
Zadanie polega na określeniu typów funkcji czasowych odpowiadających różnym częściom rozkładu sygnału operatorowego w zależności od położenia biegunów na płaszczyźnie s oraz od ich krotności.
Bieguny układu są miejscami zerowymi mianownika transmitancji i mają wpływ na charakter odpowiedzi impulsowej układu.
W MATLABIE odpowiedź impulsowa układu opisanego transmitancją może być uzyskiwana przy użyciu jednej z poniższych komend:
ltiview( 'impulse', tf(num, den))
impulse( num, den)
LTIViewer jest interakcyjnym interfejsem graficznym użytkownika do analizowania układów liniowych w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Polecenie impulse( num, den) wykreśla jednostową odpowiedź impulsową w oknie graficznym MATLABA.
1. Badanie wpływu położenia pojedynczego bieguna na przebieg odpowiedzi impulsowej
Ogólna postać transmitancji układu z pojedynczym biegunem s = σ + jω znajdującym się w dowolnym miejscu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej opisana jest wzorem 1
1
jφ
− jφ
Ae
Ae
2
2
1
r
2
r
G( s) =
+
=
+
(2)
s − (σ + jω )
s − (σ − jω )
s − 1
s
s − s 2
której odpowiada odpowiedź impulsowa postaci
σ
g( t) = Ae t cos(ω t + φ ) (3)
Amplituda odpowiedzi w chwili t = 0 oraz przesunięcie fazowe φ zależą od wartości residuów funkcji (2). Zakładając, że residua 1 r oraz 2
r są równe 1
r = 2
r = 1, wówczas funkcja (2) upraszcza się do postaci:
s − σ
G( s) = (
(4)
s − σ )2
2
+ ω
której to odpowiada odpowiedź impulsowa
σ
g( t) = e t cos t ω
(5)
Ostatnia aktualizacja: 03-10-23
M. Tomera
Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową Przy badaniu wpływu położenia pojedynczego bieguna s = σ + jω, zbadać na jakie parametry przebiegu czasowego wpływają zmiany części rzeczywistej σ i urojonej ω bieguna. Rozpatrzyć trzy następujące przypadki:
1.1. Biegun znajduje się na osi liczb rzeczywistych − biegun ma tylko składową rzeczywistą i wówczas równania (4) oraz (5) upraszczają się do postaci Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
1
G( s) =
σ
g( t) =
t
e
s − σ
1.2. Bieguny sprzężone znajdują się na osi liczb urojonych − biegun ma tylko składową urojoną i wówczas równania (4) oraz (5) upraszczają się do postaci Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
s
G( s) =
g( t) = cos t
ω
2
2
s − ω
1.3. Bieguny sprzężone znajdują się w dowolnym punkcie na płaszczyźnie (poza osiami) Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
s − σ
G( s) =
σ
(
g( t) = e t cos t ω
s − σ )2
2
+ ω
Poniżej znajduje się przykładowy kod źródłowy MATLABA realizujący badanie wpływu położeń pojedynczego bieguna na odpowiedź impulsową.
% Nazwa pliku: impuls_t1.m
% 1. Badanie wpływu położenia pojedynczego bieguna na przebieg odpowiedzi
% impulsowej
% Badana transmitancja:
% s-a
% G(s) = -------------
% (s-a)^2 + b^2
s1 = -1 + 1*j;
% Położenie bieguna wzorcowego
s2 = -0.5 + 0.5*j;
% Położenie drugiego bieguna
A = [s1 s2];
% Tablica zawierająca bieguny
for i=1:2,
a = real(A(i));
% Część rzeczywista bieguna
b = imag(A(i));
% Część urojona bieguna
num = [1 -a];
% Licznik transmitancji
den = [1 -2*a (a^2+b^2)];
% Mianownik transmitancji
sys(i) = tf( num, den);
% Transmitancja
end;
ltiview( 'impulse', sys(1), sys(2))
2. Badanie wpływu położeń podwójnych biegunów na przebieg odpowiedzi impulsowej
Przy badaniu wpływu położenia podwójnych biegunów 2
s = (σ + jω) na odpowiedź impulsową rozważona zostanie funkcja operatorowa (4) podniesiona do drugiej potęgi Ostatnia aktualizacja: 03-10-23
M. Tomera
2
Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową 2
s − σ
G( s) =
(6)
( s −σ )
2
2
+ ω
Postać ogólna odpowiedzi impulsowej funkcji operatorowej (6) 1 σ
1 σ
g( t) = −
e t sin t
ω + te t cos t
ω
(7)
ω
2
2
Zbadać na jakie parametry przebiegu czasowego wpływają zmiany części rzeczywistej σ i urojonej ω
bieguna podwójnego. Rozpatrzyć trzy następujące przypadki: 2.1. Podwójny biegun znajduje się na osi liczb rzeczywistych − biegun ma tylko składową rzeczywistą Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
1
G( s) =
σ
(
g( t) =
t
te
s − σ )2
2.2. Podwójne bieguny sprzężone znajdują się na osi liczb urojonych − biegun ma tylko składową urojoną i wówczas równania (6) oraz (7) upraszczają się do postaci Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
2
s
1
1
G( s) = (
g( t) = −
sin t
ω + t cos t
ω
2
s + ω )2
2
ω
2
2
1.3. Podwójne bieguny sprzężone znajdują się w dowolnym punkcie na płaszczyźnie (poza osiami) Funkcja operatorowa
Odpowiedź impulsowa
2
s − σ
1 σ
1
t
t
σ
G( s) =
g( t) = −
e
sin t
ω + te cos t
ω
( s −σ )
2
2
+ ω
ω
2
2
Poniżej znajduje się przykładowy kod źródłowy MATLABA realizujący badanie wpływu położeń podwójnego bieguna na odpowiedź impulsową.
% Nazwa pliku: impuls_t2.m
%2. Badanie wpływu położenia podwójnego bieguna na przebieg odpowiedzi
% impulsowej
% Badana transmitancja:
% (s-a)^2
% G(s) = -----------------
% ((s-a)^2 + b^2)^2
s1 = -2 + 2*j;
% Położenie bieguna wzorcowego
s2 = -1 + 1*j;
% Położenie drugiego bieguna
A = [s1 s2];
% Tablica zawierająca bieguny
for i=1:2,
a = real(A(i));
% Część rzeczywista bieguna
b = imag(A(i));
% Część urojona bieguna
num = conv([1 -a],[1 -a]); % Licznik transmitancji den = conv([1 -2*a (a^2+b^2)],[1 -2*a (a^2+b^2)]); %Mianownik sys(i) = tf( num, den); % Transmitancja end;
ltiview( 'impulse', sys(1), sys(2))
Ostatnia aktualizacja: 03-10-23
M. Tomera
3
Badanie wpływu położenia biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową PYTANIA
P1. Jak przedstawia się odpowiedź impulsowa gdy: 1. Pojedynczy biegun znajduje się w początku układu współrzędnych.
2. Podwójny biegun znajduje się w początku układu współrzędnych.
P2. Dla poniższych przypadków podać dwa różne przykłady położeń biegunów elementarnych transmitancji operatorowych i odpowiadających im odpowiedzi impulsowych i zaznaczyć różnice oraz udzielić odpowiedzi na następujące pytania: a) Czy bieguny są stabilne (niestabilne, na granicy stabilności) ?
Jak w zależności od położenia bieguna zmienia się: b) szybkość zanikania (narastania) odpowiedzi impulsowej?
c) amplituda drgań odpowiedzi impulsowej ?
d) okres drgań odpowiedzi impulsowej?
Przypadki te są następujące:
1. Pojedynczy biegun znajduje się w lewej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
2. Pojedynczy biegun znajduje się w prawej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
3. Para pojedynczych biegunów sprzężonych znajduje się na osi liczb urojonych.
4. Para pojedynczych biegunów sprzężonych znajduje się w lewej półpłaszczyźnie.
5. Para pojedynczych biegunów sprzężonych znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.
6. Para podwójnych biegunów sprzężonych znajduje się na osi liczb urojonych.
7. Podwójny biegun znajduje się w lewej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
8. Podwójny biegun znajduje się w prawej półpłaszczyźnie na osi liczb rzeczywistych.
9. Para podwójnych biegunów sprzężonych znajduje się w lewej półpłaszczyźnie.
10. Para podwójnych biegunów sprzężonych znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.
LITERATURA
1. Tomera M., Transmitancja operatorowa, http://www.am.gdynia.pl/~tomera/teoria_ster.htm.
Ostatnia aktualizacja: 03-10-23
M. Tomera
4