Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

M. Woszczek i M. Geisler

Pozna«, 19 grudnia 2012

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

1 / 17

Spis tre±ci

1

Ortogonalno±¢

2

Iloczyn skalarny

3

Wektory ortogonalne

4

Podprzestrzenie ortogonalne

5

Ukªady równa« bez rozwiaza« - wprowadzenie

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

2 / 17

Ortogonalno±¢ - poj¦cie ogólne

Denicja ortogonalno±ci

Ortogonalno±¢ to poj¦cie wywodz¡ce si¦ z j¦zyka greckiego ortho  prosty,

gonia  k¡t. Spotykamy si¦ z tym terminem ju» w Elementach Euklidesa

(III w. p.n.e.) Jest to uogólnienie prostopadªo±ci z geometrii euklidesowej

na abstrakcyjne przestrzenie z okre±lonym iloczynem skalarnym, jak np.

przestrzenie unitarne czy przestrzenie ortogonalne.

Kiedy dwa elementy s¡ ortogonalne w przestrzeni?

W przestrzeni unitarnej X dwa elementy x i y z iloczynem skalarnym
< ·, · >

okre±lamy jako ortogonalne, je»eli < x, y >= 0. Tak¡ relacj¦

zapisuje si¦ symbolicznie x ⊥ y.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

3 / 17

Ortogonalno±¢ - poj¦cie ogólne

Denicja ortogonalno±ci

Ortogonalno±¢ to poj¦cie wywodz¡ce si¦ z j¦zyka greckiego ortho  prosty,

gonia  k¡t. Spotykamy si¦ z tym terminem ju» w Elementach Euklidesa

(III w. p.n.e.) Jest to uogólnienie prostopadªo±ci z geometrii euklidesowej

na abstrakcyjne przestrzenie z okre±lonym iloczynem skalarnym, jak np.

przestrzenie unitarne czy przestrzenie ortogonalne.

Kiedy dwa elementy s¡ ortogonalne w przestrzeni?

W przestrzeni unitarnej X dwa elementy x i y z iloczynem skalarnym
< ·, · >

okre±lamy jako ortogonalne, je»eli < x, y >= 0. Tak¡ relacj¦

zapisuje si¦ symbolicznie x ⊥ y.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

3 / 17

Ortogonalno±¢ - poj¦cie ogólne

Denicja ortogonalno±ci

Ortogonalno±¢ to poj¦cie wywodz¡ce si¦ z j¦zyka greckiego ortho  prosty,

gonia  k¡t. Spotykamy si¦ z tym terminem ju» w Elementach Euklidesa

(III w. p.n.e.) Jest to uogólnienie prostopadªo±ci z geometrii euklidesowej

na abstrakcyjne przestrzenie z okre±lonym iloczynem skalarnym, jak np.

przestrzenie unitarne czy przestrzenie ortogonalne.

Kiedy dwa elementy s¡ ortogonalne w przestrzeni?

W przestrzeni unitarnej X dwa elementy x i y z iloczynem skalarnym
< ·, · >

okre±lamy jako ortogonalne, je»eli < x, y >= 0. Tak¡ relacj¦

zapisuje si¦ symbolicznie x ⊥ y.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

3 / 17

Iloczyn skalarny - denicja

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem liczb rzeczywistych R.

Funkcj¦ oznaczan¡ (X , Y ), podporz¡dkowuj¡c¡ ka»dej parze wektorów

X , Y ∈ V liczb¦ rzeczywist¡, nazywamy iloczynem skalarnym, gdy dla

dowolnych wektorów X , Y , Z ∈ V i dla ka»dego λ ∈ R s¡ speªnione

warunki:

(

X , Y ) = (Y , X )

(λ ·

X , Y ) = λ · (X , Y )

(

X + Y , Z) = (X , Y ) + (Y , Z)

(

X , X ) ≥ 0 i je±li (X , X ) = 0 , to X = 0

(

x, y) = x

t

y = y

t

x

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

4 / 17

Iloczyn skalarny - denicja

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem liczb rzeczywistych R.

Funkcj¦ oznaczan¡ (X , Y ), podporz¡dkowuj¡c¡ ka»dej parze wektorów

X , Y ∈ V liczb¦ rzeczywist¡, nazywamy iloczynem skalarnym, gdy dla

dowolnych wektorów X , Y , Z ∈ V i dla ka»dego λ ∈ R s¡ speªnione

warunki:

(

X , Y ) = (Y , X )

(λ ·

X , Y ) = λ · (X , Y )

(

X + Y , Z) = (X , Y ) + (Y , Z)

(

X , X ) ≥ 0 i je±li (X , X ) = 0 , to X = 0

(

x, y) = x

t

y = y

t

x

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

4 / 17

Iloczyn skalarny - denicja

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem liczb rzeczywistych R.

Funkcj¦ oznaczan¡ (X , Y ), podporz¡dkowuj¡c¡ ka»dej parze wektorów

X , Y ∈ V liczb¦ rzeczywist¡, nazywamy iloczynem skalarnym, gdy dla

dowolnych wektorów X , Y , Z ∈ V i dla ka»dego λ ∈ R s¡ speªnione

warunki:

(

X , Y ) = (Y , X )

(λ ·

X , Y ) = λ · (X , Y )

(

X + Y , Z) = (X , Y ) + (Y , Z)

(

X , X ) ≥ 0 i je±li (X , X ) = 0 , to X = 0

(

x, y) = x

t

y = y

t

x

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

4 / 17

Iloczyn skalarny - denicja

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem liczb rzeczywistych R.

Funkcj¦ oznaczan¡ (X , Y ), podporz¡dkowuj¡c¡ ka»dej parze wektorów

X , Y ∈ V liczb¦ rzeczywist¡, nazywamy iloczynem skalarnym, gdy dla

dowolnych wektorów X , Y , Z ∈ V i dla ka»dego λ ∈ R s¡ speªnione

warunki:

(

X , Y ) = (Y , X )

(λ ·

X , Y ) = λ · (X , Y )

(

X + Y , Z) = (X , Y ) + (Y , Z)

(

X , X ) ≥ 0 i je±li (X , X ) = 0 , to X = 0

(

x, y) = x

t

y = y

t

x

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

4 / 17

Iloczyn skalarny - denicja

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem liczb rzeczywistych R.

Funkcj¦ oznaczan¡ (X , Y ), podporz¡dkowuj¡c¡ ka»dej parze wektorów

X , Y ∈ V liczb¦ rzeczywist¡, nazywamy iloczynem skalarnym, gdy dla

dowolnych wektorów X , Y , Z ∈ V i dla ka»dego λ ∈ R s¡ speªnione

warunki:

(

X , Y ) = (Y , X )

(λ ·

X , Y ) = λ · (X , Y )

(

X + Y , Z) = (X , Y ) + (Y , Z)

(

X , X ) ≥ 0 i je±li (X , X ) = 0 , to X = 0

(

x, y) = x

t

y = y

t

x

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

4 / 17

Iloczyn skalarny - denicja

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem liczb rzeczywistych R.

Funkcj¦ oznaczan¡ (X , Y ), podporz¡dkowuj¡c¡ ka»dej parze wektorów

X , Y ∈ V liczb¦ rzeczywist¡, nazywamy iloczynem skalarnym, gdy dla

dowolnych wektorów X , Y , Z ∈ V i dla ka»dego λ ∈ R s¡ speªnione

warunki:

(

X , Y ) = (Y , X )

(λ ·

X , Y ) = λ · (X , Y )

(

X + Y , Z) = (X , Y ) + (Y , Z)

(

X , X ) ≥ 0 i je±li (X , X ) = 0 , to X = 0

(

x, y) = x

t

y = y

t

x

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

4 / 17

Uj¦cie geometryczne iloczynu skalarnego

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych

wektorów jest równy iloczynowi dªugo±ci wektorów razy cosinus k¡ta

zawartego mi¦dzy nimi. Wyra»amy to nast¦puj¡cym wzorem:

~

x · ~y = |~x||~y|cosθ

Znaj¡c iloczyn skalarny dwóch wektorów, a tak»e dªugo±ci wektorów ~x i ~y

mo»na zapisa¢ cosinus k¡ta mi¦dzy nimi:

cosθ =

~

x · ~y

|~

x||~y|

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

5 / 17

Uj¦cie geometryczne iloczynu skalarnego

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych

wektorów jest równy iloczynowi dªugo±ci wektorów razy cosinus k¡ta

zawartego mi¦dzy nimi. Wyra»amy to nast¦puj¡cym wzorem:

~

x · ~y = |~x||~y|cosθ

Znaj¡c iloczyn skalarny dwóch wektorów, a tak»e dªugo±ci wektorów ~x i ~y

mo»na zapisa¢ cosinus k¡ta mi¦dzy nimi:

cosθ =

~

x · ~y

|~

x||~y|

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

5 / 17

Uj¦cie geometryczne iloczynu skalarnego

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych

wektorów jest równy iloczynowi dªugo±ci wektorów razy cosinus k¡ta

zawartego mi¦dzy nimi. Wyra»amy to nast¦puj¡cym wzorem:

~

x · ~y = |~x||~y|cosθ

Znaj¡c iloczyn skalarny dwóch wektorów, a tak»e dªugo±ci wektorów ~x i ~y

mo»na zapisa¢ cosinus k¡ta mi¦dzy nimi:

cosθ =

~

x · ~y

|~

x||~y|

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

5 / 17

Uj¦cie geometryczne iloczynu skalarnego

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych

wektorów jest równy iloczynowi dªugo±ci wektorów razy cosinus k¡ta

zawartego mi¦dzy nimi. Wyra»amy to nast¦puj¡cym wzorem:

~

x · ~y = |~x||~y|cosθ

Znaj¡c iloczyn skalarny dwóch wektorów, a tak»e dªugo±ci wektorów ~x i ~y

mo»na zapisa¢ cosinus k¡ta mi¦dzy nimi:

cosθ =

~

x · ~y

|~

x||~y|

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

5 / 17

Wektory ortogonalne

Iloczyn skalarny dwóch wektorów ortogonalnych musi wynosi¢ 0.

(

x, y) = x

t

y = y

t

x = 0

Wektory x i y nazywamy ortogonalnymi lub prostopadªymi, je±li k¡t

mi¦dzy nimi wynosi 90

◦

. Dodatkowo, je»eli wektory x i y s¡ ortogonalne i

speªniaj¡ ||x||

2

= ||

y||

2

=

1, to nazywamy je wektorami ortonormalnymi.

Uwaga

Wektor zerowy jest ortogonalny do ka»ego wektora.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

6 / 17

Wektory ortogonalne

Iloczyn skalarny dwóch wektorów ortogonalnych musi wynosi¢ 0.

(

x, y) = x

t

y = y

t

x = 0

Wektory x i y nazywamy ortogonalnymi lub prostopadªymi, je±li k¡t

mi¦dzy nimi wynosi 90

◦

. Dodatkowo, je»eli wektory x i y s¡ ortogonalne i

speªniaj¡ ||x||

2

= ||

y||

2

=

1, to nazywamy je wektorami ortonormalnymi.

Uwaga

Wektor zerowy jest ortogonalny do ka»ego wektora.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

6 / 17

Wektory ortogonalne

Iloczyn skalarny dwóch wektorów ortogonalnych musi wynosi¢ 0.

(

x, y) = x

t

y = y

t

x = 0

Wektory x i y nazywamy ortogonalnymi lub prostopadªymi, je±li k¡t

mi¦dzy nimi wynosi 90

◦

. Dodatkowo, je»eli wektory x i y s¡ ortogonalne i

speªniaj¡ ||x||

2

= ||

y||

2

=

1, to nazywamy je wektorami ortonormalnymi.

Uwaga

Wektor zerowy jest ortogonalny do ka»ego wektora.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

6 / 17

Twierdzenie Pitagorasa a ortogonalno±¢ wektorów

Wektory x,y s¡ ortogonalne, je»eli speªnione jest dla nich twierdzenie

Pitagorasa.

x ⊥ y ⇒ ||x + y||

2

= ||

x||

2

= ||

y||

2

Uogólniaj¡c powy»sze twiedzenie dla wi¦kszej ilo±ci wektorów, je±li wektory

x, y, z, u, ... s¡ parami ortogonalne, to

||

x + y + z + u + ...||

2

= ||

x||

2

+ ||

y||

2

+ ||

z||

2

+ ||

u||

2

+ ...

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

7 / 17

Twierdzenie Pitagorasa a ortogonalno±¢ wektorów

Wektory x,y s¡ ortogonalne, je»eli speªnione jest dla nich twierdzenie

Pitagorasa.

x ⊥ y ⇒ ||x + y||

2

= ||

x||

2

= ||

y||

2

Uogólniaj¡c powy»sze twiedzenie dla wi¦kszej ilo±ci wektorów, je±li wektory

x, y, z, u, ... s¡ parami ortogonalne, to

||

x + y + z + u + ...||

2

= ||

x||

2

+ ||

y||

2

+ ||

z||

2

+ ||

u||

2

+ ...

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

7 / 17

Dowód

Je»eli x ⊥ y, to ||x

2

|| + ||

y

2

|| = ||

x + y||

2

Dlatego, »e:

||

x + y||

2

= (

x + y)

T

(

x + y) = x

T

x + y

T

y + x

T

y + y

T

x = ||x

2

|| + ||

y

2

||

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

8 / 17

Dowód

Je»eli x ⊥ y, to ||x

2

|| + ||

y

2

|| = ||

x + y||

2

Dlatego, »e:

||

x + y||

2

= (

x + y)

T

(

x + y) = x

T

x + y

T

y + x

T

y + y

T

x = ||x

2

|| + ||

y

2

||

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

8 / 17

Zadanie

Oblicz iloczyn skalarny nast¦puj¡cych par wektorów. Czy podane

wektory s¡ ortogonalne?

a) u = [1, −4], v = [−2, 1]

b) u = [2, 6, 2], v = [−2, 1, −1]

a) u

T

v =



1

−

4



−

2 1 = −6

Odp. Wektory nie s¡ ortogonalne.

b) u

T

v =





2

−

6

2





−

2 1 −1 = 0

Odp. Wektory s¡ ortogonalne.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

9 / 17

Zadanie

Oblicz iloczyn skalarny nast¦puj¡cych par wektorów. Czy podane

wektory s¡ ortogonalne?

a) u = [1, −4], v = [−2, 1]

b) u = [2, 6, 2], v = [−2, 1, −1]

a) u

T

v =



1

−

4



−

2 1 = −6

Odp. Wektory nie s¡ ortogonalne.

b) u

T

v =





2

−

6

2





−

2 1 −1 = 0

Odp. Wektory s¡ ortogonalne.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

9 / 17

Zadanie

Oblicz iloczyn skalarny nast¦puj¡cych par wektorów. Czy podane

wektory s¡ ortogonalne?

a) u = [1, −4], v = [−2, 1]

b) u = [2, 6, 2], v = [−2, 1, −1]

a) u

T

v =



1

−

4



−

2 1 = −6

Odp. Wektory nie s¡ ortogonalne.

b) u

T

v =





2

−

6

2





−

2 1 −1 = 0

Odp. Wektory s¡ ortogonalne.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

9 / 17

Zadanie

Oblicz iloczyn skalarny nast¦puj¡cych par wektorów. Czy podane

wektory s¡ ortogonalne?

a) u = [1, −4], v = [−2, 1]

b) u = [2, 6, 2], v = [−2, 1, −1]

a) u

T

v =



1

−

4



−

2 1 = −6

Odp. Wektory nie s¡ ortogonalne.

b) u

T

v =





2

−

6

2





−

2 1 −1 = 0

Odp. Wektory s¡ ortogonalne.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

9 / 17

Zadanie

Oblicz iloczyn skalarny nast¦puj¡cych par wektorów. Czy podane

wektory s¡ ortogonalne?

a) u = [1, −4], v = [−2, 1]

b) u = [2, 6, 2], v = [−2, 1, −1]

a) u

T

v =



1

−

4



−

2 1 = −6

Odp. Wektory nie s¡ ortogonalne.

b) u

T

v =





2

−

6

2





−

2 1 −1 = 0

Odp. Wektory s¡ ortogonalne.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

9 / 17

Podprzestrzenie ortogonalne

Podprzestrze« liniow¡ S przestrzeni euklidesowej V nazywamy ortogonaln¡

do podprzetrzeni T ⊆ V (symbolicznie: S ⊥ T ), je±li

∀

u∈S

∀

v∈T

h

u, vi = 0

S ⊥ T znaczy tyle samo, co T ⊥ S. Dlatego o S i T mówimy, »e s¡

wzajenie ortogonalne lub krócej ortogonalne.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

10 / 17

Podprzestrzenie ortogonalne

Podprzestrze« liniow¡ S przestrzeni euklidesowej V nazywamy ortogonaln¡

do podprzetrzeni T ⊆ V (symbolicznie: S ⊥ T ), je±li

∀

u∈S

∀

v∈T

h

u, vi = 0

S ⊥ T znaczy tyle samo, co T ⊥ S. Dlatego o S i T mówimy, »e s¡

wzajenie ortogonalne lub krócej ortogonalne.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

10 / 17

Podprzestrzenie ortogonalne - przykªad

Rysunek :

Przykªad. Po lewej podprzestrzenie ortogonalne, po prawej nie.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

11 / 17

Pytanie

Czy o ±cianie na której zawieszona jest tablica mo»na powiedzie¢, ze jest

podprzestrzeni¡ przetrzeni trójwymiarowej ortogonaln¡ do podªogi?

Odpowied¹

Nie, poniewa» istniej¡ wzajemnie w obu podprzestrzeniach takie wektory,

które nie s¡ do siebie prostopadªe, np. wektory, które le»¡ na wspólnej

kraw¦dzi tych podprzestrzeni tworz¡ k¡t równy 0 stopni.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

12 / 17

Pytanie

Czy o ±cianie na której zawieszona jest tablica mo»na powiedzie¢, ze jest

podprzestrzeni¡ przetrzeni trójwymiarowej ortogonaln¡ do podªogi?

Odpowied¹

Nie, poniewa» istniej¡ wzajemnie w obu podprzestrzeniach takie wektory,

które nie s¡ do siebie prostopadªe, np. wektory, które le»¡ na wspólnej

kraw¦dzi tych podprzestrzeni tworz¡ k¡t równy 0 stopni.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

12 / 17

Podziaª przestrzeni R

n

na dwie podprzetrzenie ortogonalne

A - przestrze« wierszowa

x - przestrze« zerowa

A x









wiersz 1

wiersz 2

wiersz 3

...

wiersz n

















↑
x
↓









=









0

0

0

0

0









M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

13 / 17

Podziaª przestrzeni R

n

na dwie podprzetrzenie ortogonalne

A - przestrze« wierszowa

x - przestrze« zerowa

A x









wiersz 1

wiersz 2

wiersz 3

...

wiersz n

















↑
x
↓









=









0

0

0

0

0









M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

13 / 17

Podziaª przestrzeni R

n

na dwie podprzetrzenie ortogonalne

Nale»y zauwa»y¢, »e przestrze« wierszowa i zerowa s¡ dopeªnieniem

ortogonalnym w R

n

.

Przestrze« zerowa musi zawiera¢ wszystkie wektory, które s¡ ortogonalne

do przestrzeni wierszowej.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

14 / 17

Podziaª przestrzeni R

n

na dwie podprzetrzenie ortogonalne

Nale»y zauwa»y¢, »e przestrze« wierszowa i zerowa s¡ dopeªnieniem

ortogonalnym w R

n

.

Przestrze« zerowa musi zawiera¢ wszystkie wektory, które s¡ ortogonalne

do przestrzeni wierszowej.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

14 / 17

Podziaª przestrzeni R

n

na dwie podprzetrzenie ortogonalne

Nale»y zauwa»y¢, »e przestrze« wierszowa i zerowa s¡ dopeªnieniem

ortogonalnym w R

n

.

Przestrze« zerowa musi zawiera¢ wszystkie wektory, które s¡ ortogonalne

do przestrzeni wierszowej.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

14 / 17

Ukªady równa« bez rozwi¡za« - wprowadzenie

Przez bª¡d pomiaru Ax = b jest cz¦sto nierozwi¡zywalna je»eli m > n, aby

uzyska¢ najlepsze mo»liwe rozwi¡zanie nale»y skorzysta¢ z macierzy A

T

A.

A

T

Aˆx = A

T

b

Przez ˆx oznaczamy najlepsze mo»liwe rozwi¡zanie.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

15 / 17

Ukªady równa« bez rozwi¡za« - wprowadzenie

Przez bª¡d pomiaru Ax = b jest cz¦sto nierozwi¡zywalna je»eli m > n, aby

uzyska¢ najlepsze mo»liwe rozwi¡zanie nale»y skorzysta¢ z macierzy A

T

A.

A

T

Aˆx = A

T

b

Przez ˆx oznaczamy najlepsze mo»liwe rozwi¡zanie.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

15 / 17

Wªa±ciwo±ci macierzy A

T

A

Jest kwadratowa (n × n).

Jest symetryczna.
Jest odwracalna, je»eli jej kolumny s¡ liniowo niezale»ne.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

16 / 17

Wªa±ciwo±ci macierzy A

T

A

Jest kwadratowa (n × n).
Jest symetryczna.

Jest odwracalna, je»eli jej kolumny s¡ liniowo niezale»ne.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

16 / 17

Wªa±ciwo±ci macierzy A

T

A

Jest kwadratowa (n × n).
Jest symetryczna.
Jest odwracalna, je»eli jej kolumny s¡ liniowo niezale»ne.

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

16 / 17

Wªa±ciwo±ci macierzy A

T

A - zadanie

Wyznacz i podaj cechy macierzy A

T

A dla

A =





1 1

1 2

1 5





Rozwi¡zanie

A

T

=



1 1 1

1 2 5



A

T

A =



1 1 1

1 2 5







1 1

1 2

1 5





=



3 8

8 30



Cechy:

N(A

T

A) = N(A)

rank A

T

A = rank A

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

17 / 17

Wªa±ciwo±ci macierzy A

T

A - zadanie

Wyznacz i podaj cechy macierzy A

T

A dla

A =





1 1

1 2

1 5





Rozwi¡zanie

A

T

=



1 1 1

1 2 5



A

T

A =



1 1 1

1 2 5







1 1

1 2

1 5





=



3 8

8 30



Cechy:

N(A

T

A) = N(A)

rank A

T

A = rank A

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

17 / 17

Wªa±ciwo±ci macierzy A

T

A - zadanie

Wyznacz i podaj cechy macierzy A

T

A dla

A =





1 1

1 2

1 5





Rozwi¡zanie

A

T

=



1 1 1

1 2 5



A

T

A =



1 1 1

1 2 5







1 1

1 2

1 5





=



3 8

8 30



Cechy:

N(A

T

A) = N(A)

rank A

T

A = rank A

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

17 / 17

Wªa±ciwo±ci macierzy A

T

A - zadanie

Wyznacz i podaj cechy macierzy A

T

A dla

A =





1 1

1 2

1 5





Rozwi¡zanie

A

T

=



1 1 1

1 2 5



A

T

A =



1 1 1

1 2 5







1 1

1 2

1 5





=



3 8

8 30



Cechy:

N(A

T

A) = N(A)

rank A

T

A = rank A

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

17 / 17

Wªa±ciwo±ci macierzy A

T

A - zadanie

Wyznacz i podaj cechy macierzy A

T

A dla

A =





1 1

1 2

1 5





Rozwi¡zanie

A

T

=



1 1 1

1 2 5



A

T

A =



1 1 1

1 2 5







1 1

1 2

1 5





=



3 8

8 30



Cechy:

N(A

T

A) = N(A)

rank A

T

A = rank A

M. Woszczek i M. Geisler

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Pozna«, 19 grudnia 2012

17 / 17