Politechnika Poznańska

WEKTORY I

PODPRZESTRZENIE

ORTOGONALNE

Opracowali:
Manuela Woszczek
Maciej Geisler

19 grudnia 2012

1

Wektory i podprzestrzenie ortogonalne

Wektory ortogonalne

Wektory x, y są ortogonalne jeżeli kąt pomiędzy nimi wynosi 90

◦

oraz jeżeli

zachodzi pomiędzy nimi zależność

x

T

y = y

T

x = 0

Aby udowodnić ortogonalność dwóch wektorów należy użyć twierdzenia Pitago-
rasa.

||x||

2

= x

T

x

||x||

2

+ ||y||

2

= ||x + y||

2

||x + y||

2

= (x + y)

T

(x + y)

Ortogonalny to inne określenie na słowo „prostopadły” Dwa wektory są orto-

gonalne, jeżeli kąt pomiędzy nimi wynosi 90

◦

. Jeżeli dwa wektory są ortogonal-

ne, to tworzą one trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna podniesiona
do kwadratu stanowi sumę wektorów także podniesionych do kwadratu. Mo-
żemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa by udowodnić, że iloczyn skalarny
x

T

y = y

T

x = 0 tylko i wyłącznie wtedy gdy x oraz y są ortogonalne. Należy

przy tym zauważyć, że długość wektora x do kwadratu ||x||

2

jest równa x

T

x.

Załóżmy, że x ortogonalny y, wtedy

||x||

2

+ ||y||

2

= ||x + y||

2

Dowód:

||x + y||

2

= (x + y)

T

(x + y) = x

T

x + y

T

y + x

y

+ y

T

x = ||x||

2

+ ||y||

2

Uwaga, wszystkie wektory są ortogonalne do wektora zerowego. Przykład:

X = [1, 2, 3],

y = [2, −1, 0],

z = [3, 1, 3]

są ortogonalne.

Podprzestrzenie ortogonalne

Podprzestrzeń S jest ortogonalna do podprzestrzeni T , wtedy gdy: Ściana na
której wisi tablica nie jest ortogonalna do podłogi. Dwa wektory znajdujące się
na prostej gdzie ściana na której wisi tablica i podłoga przecinają się nie są orto-
gonalne do samych siebie. Na płaszczyźnie, rozpatrując jedynie wektor zerowy
i prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, możemy stwier-
dzić , że są one podprzestrzeniami ortogonalnymi. Prosta przechodząca przez
początek układu współrzędnych i przez całą płaszczyznę nie będzie tworzyła
razem z tą płaszczyzną podprzestrzeni ortogonalnych. Dwie proste przechodzą-
ce przez początek układu współrzędnych są ortogonalnymi podprzestrzeniami
jeżeli przecinają się pod kątem prostym.

2

Przestrzeń zerowa jest prostopadła do przestrzeni wierszowej

Przestrzeń wierszowa macierzy jest ortogonalna do przestrzeni zerowej, ponie-
waż Ax = 0 oznacza, że iloczyn skalarny x ze wszystkimi wierszami macierzy A
wynosi 0. Co więcej, iloczyn x z każdą kombinacją wierszy macierzy A także musi
wynosić 0. Przestrzeń kolumnowa jest ortogonalna do lewej przestrzeni zerowej
macierzy A, ponieważ przestrzeń wierszowa A

T

jest prostopadła do przestrzeni

zerowej A

T

. Przestrzeń wierszowa i przestrzeń zerowa macierzy dzielą przestrzeń

R

n

na dwie prostopadłe podprzestrzenie.

Dla macierzy

A =



1

2

5

2

4

10



przestrzeń wierszowa ma wymiar 1 i bazę





1
2
5





i przestrzeń zerowa ma wy-

miar 2 i jest płaszczyzną przechodzącą przez początek układu współrzędnych

prostopadłą do wektora





1
2
5





. Przestrzeń zerowa nie tylko jest ortogonalna

do przestrzeni wierszowej ale także ich wymiary sumują się do wymiaru całej
przestrzeni w której się znajdują. Mówimy, że przestrzeń zerowa i przestrzeń
wierszowa są ortogonalnym dopełnieniem w przestrzeni R

n

. Przestrzeń zero-

wa zawiera wszystkie wektory, które są prostopadłe do przestrzeni wierszowej i
wzajemnie. Można powiedzieć, że jest to druga część najważniejszej teorii alge-
bry liniowej. Pierwsza jej część omawia wymiary czterech podprzestrzeni, druga
część mówi, że te podprzestrzenie łączą się w ortogonalne pary, a część trzecia
będzie o bazach ortogonalnych tych podprzestrzeni.

N (A

T

A) = N (A)

Przez błąd pomiaru Ax = b jest często nierozwiązywalna jeżeli m > n. W
takim przypadku naszym następnym wyzwaniem jest znalezienie najlepszego
z możliwych rozwiązań. Macierz A

T

A odgrywa kluczową rolę w tym staraniu.

Przemnóżmy obie strony równania przez A

T

:

A

T

Aˆ

x = A

T

b

A

T

A jest kwadratowa (n × n) i symetryczna. Kiedy jest odwracalna? Przy-

puśćmy, że macierz





1

1

1

2

1

5





Wtedy:

A

T

A =



1

1

1

1

2

5







1

1

1

2

1

5





=



3

8

8

30



3

i jest odwracalna. A

T

A oczywiście nie zawsze ma taką cechę. Zauważmy

N (A

T

A) = N (A)

rank A

T

A = rank A

A

T

A jest odwracalna dokładnie wtedy gdy A ma niezależne kolumny.