Zestaw 4

1. W zbiorze R

+

liczb rzeczywistych dodatnich określamy działania:

∀ x, y ∈ R

+

x ◦ y = xy,

∀ α ∈ R ∀ x ∈ R

+

α ∗ x = x

α

.

Sprawdzić, czy struktura (R

+

, R, ◦, ∗) jest przestrzenią wektorową (liniową).

2. Zbadać, który z podanych zbiorów U, W jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni liniowej

V = R

2

(R):

U =

(x, y) : 9x

2

+ 12xy + 4y

2

= 0

,

W =

(x, y) : 3x

2

+ 5xy − 2y

2

= 0

.

3. Niech X =

(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

: x

1

+ x

2

+ x

3

= 0

.

(a) Wykazać, że X (R) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni liniowej R

3

(R).

(b) Wyznaczyć dowolną bazę tej podprzestrzeni oraz znaleźć dim X.

4. Wykazać, że podzbiór wektorów liniowo niezależnych jest również zbiorem wektorów liniowo niezależnych.

5. Sprawdzić, czy podane zbiory wektorów B

i

są bazami w przestrzeni wektorowej R

3

(R):

(a) B

1

= {(1, 0, 1) , (1, 2, 2)} ,

(b) B

2

= {(1, 0, 1) , (1, 2, 2) , (0, 1, 1)} ,

(c) B

3

= {(1, 0, 1) , (1, 2, 2) , (2, 2, 3)} ,

(d) B

4

= {(1, 0, 1) , (1, 2, 2) , (0, 1, 1) , (2, 3, 4)} .

6. Zbadać, czy zbiór B =

x + 1, x

2

+ 1, x

2

+ 2x + 2

stanowi bazę przestrzeni wektorowej R

2

[x] , tzn. przestrzeni

wektorowej wielomianów zmiennej rzeczywistej stopnia mniejszego lub równego dwa.

7. Wykazać, że wektory x =

"

x

1

x

2

#

i y =

"

y

1

y

2

#

przestrzeni wektorowej R

2

(R) są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy,

gdy det

"

x

1

y

1

x

2

y

2

#

= x

1

y

2

− x

2

y

1

= 0.

8. Znaleźć taką wartość parametru α, by wektory v

1

= (1, 2, 3) , v

2

= (3, 2, 1) , v

3

= (4, α, 5) stanowiły bazę przestrzeni

R

3

(R) .

9. W przestrzeni wektorowej V (R) rozważmy trzy wektory a, b, c. Niech u = b + c, v = c + a,

w = a + b. Wykazać, że wektory u, v, w są liniowo niezależne wtedy i tyko wtedy, gdy a, b, c są liniowo niezależne.

10. Znaleźć wymiar i wyznaczyć bazę przestrzeni wektorowej rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych:

(

x

−

y

+

2z

−

t

=

0

2x

−

y

+

z

+

3t

=

0

.

11. Rozważmy przekształcenie L : R

3

3 (x

1

, x

2

, x

3

) → (2x

1

+ x

2

− x

3

, x

1

+ x

2

+ 2x

3

) ∈ R

2

. Wykazać, że L jest prze-

kształceniem liniowym oraz podać dim KerL.