Zestaw 2

1. Dana jest funkcja f :R 3 x → y = |x

2

− 1| oraz zbiory A = h1, ∞) , B = (−∞, −1) , C = h−1, 1i.

Znaleźć zbiory: f (A) , f (B) , f (C) , f (B ∪ C) , f

−1

(A) , f

−1

(C).

2. Zbadać parzystość funkcji:

(a) f (x) = sin 3x + cos x,

(b) g (x) = x

2

x

+ 1

2

x

− 1

,

(c) h (x) = log

x − 1

x + 1

.

Która z podanych funkcji jest okresowa?

3. Wykazać, że funkcja f (x) =

x

1+|x|

jest rosnąca.

4. Zbadać, czy odwzorowanie f : x → 2

arctg(x+1)

jest iniektywne. Podać D

f

oraz CI

f

. Czy istnieje f

−1

?

Jeżeli tak, to znaleźć wzór oraz podać D

f

−1

.

5. Obliczyć:

(a)

1
2

arccos

√

3

2

+ arctg −

√

3

− 3 arcsin

√

2

2

,

(b) 2 arccos −

1
2

+ arctg tg

7
8

π

− arctg(−1).

6. Naszkicować wykresy funkcji określonych wzorami:

(a) f (x) = arcsin (x − 2) +

π

2

,

(b) g (x) =




2 arctg

x
2

− π




.

7. Wykazać, że

arcctg x = πγ + arctg

1

x

, .

gdzie γ = 0 dla x > 0, oraz γ = 1 dla x < 0.