1. Znale¹¢ punkt B symetryczny do punktu A (2, −1, 3) wzgl¦dem prostej l : (x, y, z) = (3t, 5t − 7, 2t + 2) .
2. Znale¹¢ odlegªo±¢ mi¦dzy prostymi: l1 : ~r = ~r1 + t~u i l2 : ~r = ~r2 + s~u, gdzie ~r1 = [3, 1, −1],
~r2 = − ~e1, ~u = [1, −1, −2] .
3. Wyznaczy¢ równanie ogólne pªaszczyzny przechodz¡cej przez proste l1 i l2 z zadania 2.
4. Sprawdzi¢ czy przez proste
(
(
2x + 3y −
z − 1 = 0
x + 5y + 4z = 3
l1 :
l2 :
x +
y − 3z
= 0
x + 2y + 2z = 1
mo»na poprowadzi¢ pªaszczyzn¦. Znale¹¢ ewentualnie jej równanie ogólne.
5. Zbada¢ wzajemne poªo»enie prostych: l1 : (x, y, z) = (9, −2, 0) + t (4, −3, 1) , x
y + 7
z − 2
l2 :
=
=
, a nast¦pnie wyznaczy¢ odlegªo±¢ mi¦dzy nimi.
−2
9
2
6. Znale¹¢ rzut prostej (x, y, z) = (3, 4, 6) + t (−5, 6, 8) na pªaszczyzn¦ XOY.
7. Dane s¡ wierzchoªki trójk¡ta A (−3, 1, −1) , B (6, −2, −5) , C (1, −2, −1) . Obliczy¢ dªugo±¢ wysoko±ci BD opuszczonej z wierzchoªka B na bok AC.
8. Wykaza¢, »e punkty A (1, 2, −1) , B (0, 1, 5) , C (−1, 2, 1) i D (2, 1, 3) le»¡ w jednej pªaszczy¹nie.
9. Napisa¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez prost¡ ~r = ~r0 + t~u i prostopadªej do pªaszczyzny ~r ◦ ~v = D je»eli ~u ∦~v.
10. Obliczy¢ pole równolegªoboku zbudowanego na wektorach ~a = ~p − 2~q i ~b = 2~p + 4~q, je±li
|~p | = 2, |~q | = 3, ](~p, ~q) = π .
3
11. Dany jest czworo±cian o wierzchoªkach w punktach: O (0, 0, 0) , A (5, 2, 0) , B (2, 5, 0) i C (1, 2, 4) .
Obliczy¢ jego obj¦to±¢ oraz wysoko±¢ poprowadzon¡ z wierzchoªka O.
12. Wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt P (2, −1, −3) i przez prost¡ przeci¦cia pªaszczyzny 3x − y + 2z + 2 = 0 z pªaszczyzn¡ x + 3y − 6z + 4 = 0.