Zestaw 5
1. Przeksztaªcenie liniowe L : R
3
→ R
2
okre±lone jest wzorem L (x, y, z) = (2x, y + z) . Znale¹¢ macierz tego
przeksztaªcenia, je±li w R
3
i w R
2
zadano odpowiednio bazy (a
1
, a
2
, a
3
)
i (b
1
, b
2
) ,
gdzie a
1
= (1, 2, 0) ,
a
2
= (1, 1, 0) , a
3
= (0, 0, 1) , b
1
= (1, 2) , b
2
= (0, 1) .
2. Niech
M
L
=
"
1
0
2
2
1
0
#
(macierz przeksztaªcenia liniowego L)
Znale¹¢ L (1, 0, 2) , je±li w przestrzeniach wektorowych R
3
i R
2
przyj¦to bazy jak w poprzednim zadaniu.
3. Rozwa»my przeksztaªcenie L : R
4
→ R
3
, L (x, y, z, t) = (x + 2z + t, −2x + y − 3z − 5t, x − y + z + 4t) .
Wyznaczy¢ KerL, Im L oraz ich bazy. Poda¢ dim Im L.
4. Wyznaczy¢ macierz X z równo±ci macierzowej
"
2
1
3
2
#
· X ·
"
−3
2
5
−3
#
=
"
−2
4
3
−1
#
5. Stosuj¡c metod¦ Gaussa dobra¢ warto±¢ parametru α w ten sposób, aby ukªad
x
1
+
2x
2
−
x
3
+
4x
4
=
2
2x
1
−
x
2
+
x
3
+
x
4
=
1
x
1
+
7x
2
− 4x
3
+
11x
4
=
α
maiª rozwi¡zanie. Jaka jest wtedy posta¢ rozwi¡zania ?
6. Wyznaczy¢ rz¦dy macierzy A i B, gdzie
A =
1
2
−1
1
5
1
2
1
4
−1
a
0
3
a
4
−1
,
B =
a
1
1
1
1
1
a
1
1
1
1
1
a
1
1
1
1
1
a
1
w zale»no±ci od warto±ci parametru a.
7. Rozwi¡za¢ poni»sze ukªady w zale»no±ci od warto±ci wyst¦puj¡cych w nich parametrów a, α, β ∈ R :
x
+
(a + 1) y
=
5
(a + 1) x
+
4y
=
10
3x
+
(2a + 1) y
=
12
,
9x
+
5y
− 8z
=
3
αx
+
2y
+
z
=
−1
x
+
3y
− 2z
=
β
,
x
+
y
+
z
=
1
αx
+
2y
+
3z
=
3
α
2
x
+
4y
+
9z
=
9
,
αx
+
y
+
βz
=
1
αβx
+
y
+
z
=
α
αx
+
βy
+
z
=
1
.