Zestaw 5

1. Przeksztaªcenie liniowe L : R

3

→ R

2

okre±lone jest wzorem L (x, y, z) = (2x, y + z) . Znale¹¢ macierz tego

przeksztaªcenia, je±li w R

3

i w R

2

zadano odpowiednio bazy (a

1

, a

2

, a

3

)

i (b

1

, b

2

) ,

gdzie a

1

= (1, 2, 0) ,

a

2

= (1, 1, 0) , a

3

= (0, 0, 1) , b

1

= (1, 2) , b

2

= (0, 1) .

2. Niech

M

L

=

"

1

0

2

2

1

0

#

(macierz przeksztaªcenia liniowego L)

Znale¹¢ L (1, 0, 2) , je±li w przestrzeniach wektorowych R

3

i R

2

przyj¦to bazy jak w poprzednim zadaniu.

3. Rozwa»my przeksztaªcenie L : R

4

→ R

3

, L (x, y, z, t) = (x + 2z + t, −2x + y − 3z − 5t, x − y + z + 4t) .

Wyznaczy¢ KerL, Im L oraz ich bazy. Poda¢ dim Im L.

4. Wyznaczy¢ macierz X z równo±ci macierzowej

"

2

1

3

2

#

· X ·

"

−3

2

5

−3

#

=

"

−2

4

3

−1

#

5. Stosuj¡c metod¦ Gaussa dobra¢ warto±¢ parametru α w ten sposób, aby ukªad











x

1

+

2x

2

−

x

3

+

4x

4

=

2

2x

1

−

x

2

+

x

3

+

x

4

=

1

x

1

+

7x

2

− 4x

3

+

11x

4

=

α

maiª rozwi¡zanie. Jaka jest wtedy posta¢ rozwi¡zania ?

6. Wyznaczy¢ rz¦dy macierzy A i B, gdzie

A =









1

2

−1

1

5

1

2

1

4

−1

a

0

3

a

4

−1









,

B =









a

1

1

1

1

1

a

1

1

1

1

1

a

1

1

1

1

1

a

1









w zale»no±ci od warto±ci parametru a.

7. Rozwi¡za¢ poni»sze ukªady w zale»no±ci od warto±ci wyst¦puj¡cych w nich parametrów a, α, β ∈ R :











x

+

(a + 1) y

=

5

(a + 1) x

+

4y

=

10

3x

+

(2a + 1) y

=

12

,











9x

+

5y

− 8z

=

3

αx

+

2y

+

z

=

−1

x

+

3y

− 2z

=

β

,











x

+

y

+

z

=

1

αx

+

2y

+

3z

=

3

α

2

x

+

4y

+

9z

=

9

,











αx

+

y

+

βz

=

1

αβx

+

y

+

z

=

α

αx

+

βy

+

z

=

1

.