B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

1

x

z

y

O

.

S

x’

z

’

y’

O

.

S’

u



Transformacja Galileusza

pozwala obliczyć

położenie i prędkość ciała w jednym inercjalnym

układzie odniesienia, jeśli znamy jego położenie

i prędkość w innym układzie inercjalnym.

.

a

a

,

u

v

v

















,

t

u

r

r

,

t

t

Czas w obu układach

płynie tak samo.

r



r



Jeśli jeep porusza się ze stałą prędkością względem

beduina, to oba układy odniesienia S i S’ możemy

traktować jako inercjalne.

u



2.6. Zasada względności Galileusza

W układzie S beduina

położenie motolotni

dane wektorem .

r



W układzie S’ jeepa

położenie motolotni

dane wektorem r



B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

2

Zasada względności Galileusza

: Prawa mechaniki są takie

same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Oznacza to, że nie możemy wyróżnić jakiegoś układu spośród innych

za pomocą eksperymentów mechanicznych i twierdzić, że opis ruchu
ciał jest w nim bardziej poprawny niż w pozostałych.

Jeśli obserwatorzy z obu układów

inercjalnych S i S’ zmierzą jednakowe

przyspieszenia danego ciała, to również

zmierzą jednakową siłę działającą na to

ciało.

Żyroskop, na jego zasadzie opiera
się działanie żyrokompasu

x

z

y

S

x’

z’

y’

S’

u



W każdym układzie inercjalnym, na przycumowanym statku w porcie, czy statku
płynącym po morzu, działanie żyrokompasu podlega tym samym prawom.

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

3

Uwaga!

ruch po orbicie okołosłonecznej

– a

S

6 ·10

–3

m/s

2

ruch wirowy

–

a

w

3,34 ·10

–2

m/s

2

i wraz ze Słońcem ruch względem

środka galaktyki – a

G

3 ·10

–10

m/s

2

W warunkach ziemskich układy są tylko w przybliżeniu
inercjalnymi układami odniesienia! Ziemia wykonuje:

i z każdym z tych ruchów związane jest przyspieszenie!

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

4

jest

górną granicą

rozchodzenia się sygnałów oraz szybkości ciał

i jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia.

Takie są fakty doświadczalne!

Tymczasem z transformacji prędkości

Galileusza wynika coś innego!

Poruszające się z bardzo dużą szybkością piony

0

są nietrwałe i

rozpadają się z emisją promieniowania . Obliczmy z transformacji

Galileusza, jaką szybkość będzie miało promieniowanie w układzie

laboratoryjnym, jeśli jego źródło porusza się z u=0,999 75c.

c

0,999 75c

0,999 75c

0

Zmierzona prędkość

promieniowania

c

laboratorium

x

z

y

2.7. Ograniczenia transformacji Galileusza

B. Oleś Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

5

Stąd, że żaden sygnał nie może rozchodzić się szybciej niż

c wynika efekt opóźnienia oddziaływań, np. grawitacyjnych

i trudność w stosowaniu trzeciej zasady dynamiki.

Zasada akcji i reakcji wyrażona wzorem

jest słuszna tylko w przybliżeniu małych szybkości

ciał v

<<

c .

R

A

F

F





Widzimy, że transformacja Galileusza nie stosuje się w przypadkach,

gdy ciała poruszają się z wielkimi szybkościami, bliskimi szybkości

światła w próżni, v c.

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

6

Twórca szczególnej
teorii względności

.

3. Elementy mechaniki relatywistycznej.

Szczególna teoria względności

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

7

1. Postulat stałej prędkości światła

:

Prędkość

rozchodzenia się światła w próżni jest taka sama

we wszystkich inercjalnych układach odniesienia i

nie zależy od ruchu źródła, ani ruchu obserwatora.

2. Postulat względności

:

Wszystkie prawa fizyki są

identyczne we wszystkich inercjalnych układach

odniesienia.

Jeśli transformacja Galileusza i prawa fizyki klasycznej nie dają
poprawnych wyników, to co nam pozostaje?

Podstawą tej teorii są dwa postulaty:

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

8

Einstein rozszerza zasadę względności Galileusza na wszystkie

prawa fizyki (np. elektromagnetyzmu czy optyki).

a) Zmieniamy położenie magnesu

względem nieruchomej zwojnicy,
b) Unieruchamiamy magnes i poruszamy

podstawkę ze zwojnicą w górę i w dół.
W każdym przypadku miernik wskazuje

przepływ w obwodzie wyindukowanego

prądu.

Układy inercjalne są sobie całkowicie równoważne

i żaden z nich nie może być wyróżniony.

Nie oznacza to, że obserwatorzy we wszystkich układach inercjalnych

uzyskają te same wartości mierzonych wielkości fizycznych. Tylko prawa

fizyki, wiążące ze sobą wyniki pomiarów, maja być takie same.

Dwa doświadczenia z indukowaniem prądu elektrycznego w zwojnicy

za pomocą magnesu sztabkowego:

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

9

3.1. Względność czasu

Przez

zdarzenie

rozumiemy takie zjawisko fizyczne (lub jakiekolwiek

inne), którego rozciągłość w czasie i przestrzeni możemy pominąć.

Obserwator dowolnemu zdarzeniu przypisuje

współrzędne

czasoprzestrzenne

(trzy współrzędnych przestrzenne

x,y,z

oraz

współrzędną czasową

t)

, bowiem w teorii względności czas i

przestrzeń są ze sobą wzajemnie powiązane.

Obserwatorzy poruszający się względem siebie z dużą prędkością, mierząc
odstęp czasu między dwoma zdarzeniami otrzymają na ogół różne wyniki.

Inaczej niż w transformacji Galileusza, czas w różnych układach
odniesienia płynie inaczej.

W szczególnej teorii względności z postulatu Einsteina,

że szybkość światła c nie zależy od układu odniesienia
wynika zjawisko zwane

dylatacją (wydłużeniem) czasu

.

B. Oleś

Wykład 3

Wydz.Chemii PK, 2009/10

10

c

d

t

2

'

2

2

4

1

2

2

4

1

2

t

c

t

u

d

2

2

1

'

c

u

t

t

u



x’

y‘

z’

S‘

d



t’

W układzie

odniesienia Jacka

:

c = const

x

y

z

S

d

c t/2

u t

W układzie

odniesienia Wacka:



t

Przykład

c t/2

Jaki czas biegu impulsu świetlnego

zmierzą Jacek i Wacek, jeśli

szybkość światła

c

jest taka sama

w układzie każdego z nich?

B. Oleś Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

11

2

2

1

c

u

t

Czas własny płynie wolniej

– procesy zachodzące

w układzie S’ dla obserwatora w układzie S (jego

zegar przemieszcza się względem miejsca, gdzie

zachodzi zdarzenie) trwają dłużej niż dla obserwatora

w układzie S’ (mierzącego czas własny).

Definiujemy

czas własny

= t’ – przedział czasu

zmierzony dla dwóch zdarzeń, które zaszły w tym

samym miejscu w inercjalnym układzie odniesienia.

Pomiar w jakimkolwiek innym inercjalnym układzie odniesienia
odstępu czasu między tymi zdarzeniami, da zawsze większą wartość.

Czas własny

mierzony w rakiecie

(x,y,z)

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

12

Prędkość, u / c

C

zyn

n

ik

,

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

1

2

3

4

5

6

2

1

2

2

1

c

u

t

czasy mierzone w różnych

układach są identyczne, tak jak w

klasycznej transformacji Galileusza.

Sprawdźmy, że ze wzoru na dylatacje

czasu wynika, że dla szybkości u

<<

c

Zastanów się:

Wyprowadziliśmy wyrażenie na dylatację czasu przebiegu impulsu świetlnego mierzonego
przez Wacka, podczas gdy Jacek w poruszającym się wagonie mierzył czas własny.

A jeśli eksperyment z impulsem świetlnym wykona Wacek, to jaki czas zmierzy on, a jaki
Jacek w swoim wagonie? Który z nich będzie mierzył czas własny, a który wydłużony?

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

13

http://www.earthmagazine.org/mediafiles/i/2009/6/1/491

Błędy w lokalizacji obiektów naziemnych w
systemie GPS udało się wyeliminować
dopiero wówczas, gdy odpowiedzialni za
system inżynierowie uwzględnili za radą
fizyków poprawki relatywistyczne, m.in.
dylatację czasu (

7 μs/dzień, przy

szybkości satelity v = 4 km/s)

Gdzie należy uwzględnić

zjawisko dylatacji czasu?

W akceleratorach cząstki elementarne przyspieszane są do
szybkości bliskich c. Średni czas życia nietrwałych cząstek w
układzie laboratoryjnym ulega wydłużeniu.

http://www.wiz.pl/obrazki/najwiekszy_04_08.jpg

http://kresy24.pl/upload/CERN_atom_akcelerator.jpg

Wielki zderzacz

hadronów (LHC) w

CERNIe pod Genewą –

tunel i urządzenie

rejestrujące cząstki

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

14

3.2. Skrócenie długości

Długość własna ciała

- długość zmierzona w inercjalnym układzie

odniesienia, w którym ono spoczywa.

c

l

0

2

l

0

- długość własna,

- czas własny

l

0

u



c t

1

x

y

z

Układ

Ziemi



t



S

2

2

t

u

l

t

c

d

1

1

t

u

l

t

c

d

2

2

2

2

1

2

/

1

2

c

l

c

u

c

l

u

c

l

u

c

l

t

t

t

c

l

t

0

2

Mierzymy czas przebiegu impulsu

świetlnego wzdłuż linijki w układzie

rakiety:



l

0

S’

u



oraz w układzie

obserwatora na Ziemi:

t

c

l

c

l

0

2

2

2

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

15

Długość linijki l zmierzona w układzie odniesienia, w którym ona się

porusza, zawsze mniejsza niż jej długość własna, a

skrócenie

Lorentza długości

dla wymiarów równoległych do kierunku ruchu:

.

1

2

2

0

c

u

l

l

Natomiast wymiary prostopadłe do kierunku ruchu nie ulegają

zmianie przy przejściu z jednego układu odniesienia do innego!

http://nobelprize.org/educational_games/physic

s/relativity/transformations-

images/contraction2.gif

Długości l i l

0

występujące we wzorze to

, a nie postrzegane wzrokiem !

Relatywistyczny

żart

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

16

S

układ

laboratorium

S’

układ

miuonów

v

Dylatacja czasu
życia cząstek

Skrócenie odległości

do Ziemi

Obserwacja efektów relatywistycznych –

wydłużenie czasu życia mionów

http://www.fuw.edu.pl/~ajduk/Public/SCIENCE/cosmicshower_H300.jpg

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

17

u<<c

u c

3.3. Różnica między długością mierzoną a „widzianą”

www.anu.edu.au/.../Searle/Obsolete

Kamera przyspiesza

wzdłuż drogi c<<v - brak

efektów relatywistycznych

Kamera porusza się ze

stałym przyspieszeniem

wzdłuż drogi - występują

efekty relatywistyczne

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

18

-1

+1

u/c

l

w

/ l

0

+1

Skrócenie Lorentza
- mierzona długość

Widziana długość

oddalanie się

zbliżanie się

pomiar długości polega na równoczesnym wyznaczeniu położeń

początku i końca poruszającego się obiektu, tj. t

1

= t

2.

Widzenie (obserwacja) długości obiektu polega na tym, że do naszego

oka w tej samej chwili dociera światło, które niejednocześnie opuściło

początek i koniec poruszającego się obiektu.

x

z

S

Na czym polega różnica między długością mierzoną

a „widzianą”

Zapamiętaj

:

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

19

t

u





x

y

z

S



x

y

z

S





x ’

y‘

z’

S‘

u





r





x ’

y‘

z’

S‘

u



y

y’



P

W chwili późniejszej…

x’

x

3.4. Transformacja Lorentza

2

2

1

c

u

x

ut

x

2

2

1

c

u

x

t

u

x

Wacek w ukł.S

skrócenie x’:

Jacek w ukł.S’

skrócenie x:

W chwili t=t’=0

t=0

t’=0

Rozważmy dwa inercjalne układy odniesienia: Wacka
S i poruszający się względem niego układ Jacka.

u



Przyjmijmy, że w chwili t=t’=0 początki obu

układów pokrywają się, osie są do siebie

odpowiednio równoległe, a prędkość układu
Jacka jest równoległa do osi

x

i

x

’.

t

t’

Jacek przesuwa się o

ut

względem Wacka.

Współrzędne pająka

(zdarzenie) w ukł.
Wacka:

x,y,z,t

,

w ukł.Jacka:

x’,y’,z’,t

’.

Każdy z nich zmierzy:

Wacek

Jacek

Jacek

Wacek

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

20

.

1

2

2

c

u

ut

x

x

Obliczamy z :

z

oraz z :

.

1

/

2

2

2

c

u

c

ux

t

t

Dla kierunku prostopadłego

brak skrócenia:

y = y

z = z

i transformacja Lorentza przechodzi

w transformację Galileusza.

Dla ,

1

0

c

u

.

1

/

,

,

,

1

2

2

2

2

2

c

u

c

x

u

t

t

z

z

y

y

c

u

t

u

x

x

Otrzymaliśmy transformację współrzędnych, która

pozwala powiązać ze sobą współrzędne różnych

układów inercjalnych poruszających się względem

siebie z u c.

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

21

3.5. Względność równoczesności zdarzeń oddalonych

2

1

2

c

u

x

x

Zdarzenie 1

Zdarzenie 2

x

1

x

2

S

t

1

=

t

2

jednoczesne

2

1

'

'

t

t

t

S’

układ

promu

u

Zjawiska zachodzące jednocześnie (t

1

= t

2

) w

dwóch różnych miejscach (x

1

x

2

) w układzie S,

nie są jednoczesne (t

1

’ t

2’

) z punktu widzenia

obserwatora w układzie S’ poruszającego się

względem S.

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

22

Jednocześnie !

Jedno po drugim

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

23

= v

z

’

= v

y

’

= v

x

’

3.6. Transformacja prędkości

d '

d

d

t

t

u

c

x

2

x

c

u

t

t

u

x

t

x

d

d

)

d

(d

d

d

2

x

v

x

c

u

t

y

t

y

d

d

d

d

d

2

y

v

x

c

u

t

z

t

z

d

d

d

d

d

2

z

v

d ' (d

d )

x

x u t

x

x

v

v

2

2

1

d

d

1

d

d

c

u

u

t

x

c

u

u

t

x

x

y

v

v

2

1

c

u

z

z

v

v

2

1

c

u

Tr

an

sf

o

rmacja

sk

łado

w

ych

p

rę

d

ko

ści

2

/

1

2

2

/

1

c

u

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

24

Ze statku kosmicznego lecącego w kierunku Marsa z szybkością u=0,99c wysłano
impuls świetlny. Jaką prędkość impulsu zarejestruje obserwator na Marsie?

http://www.bisbos.com/rocketscience/spacecraft/nerva/mi
ssionpics/3.jpg

x

x

x

v

v

v

2

1

c

u

u

Zastosujmy
transformację Lorentza:

c

c

c

c

c

c

,

c

99

,

1

99

,

1

99

,

0

1

99

0

2

Szybkość światła w układzie S’ statku wynosiła c, i taki sam wynik
dostaliśmy w układzie S Marsa zastosowawszy transformacje Lorentza!

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

25

0,90c

0,70c

przykład

Korzystamy ze wzoru na transformację prędkości:

Szybkość sondy 0,70c jest zmierzona w układzie

S’

statku kosmicznego,

czyli jest to v’

x

.

Szybkość

u

układu

S’

jest równa 0,90

c.

Mamy

wyznaczyć v

x

w układzie

S

Ziemi.

x

x

x

v

v

v

2

1

c

u

u

c

c

c

,

c

c

c

c

,

98

,

0

63

,

1

60

,

1

70

0

90

,

0

1

90

,

0

70

0

2

x

v

Statek kosmiczny oddalający się od Ziemi z prędkością 0,90

c

wysyła sondę w kierunku swojego ruchu, której prędkość względem

statku wynosi 0,70

c

. Jaka jest prędkość sondy względem Ziemi?

A jaki otrzymalibyśmy wynik, gdyby sonda została

wysłana w kierunku prostopadłym do ruchu statku?

B. Oleś

Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10

26

Przekonaliśmy się, że wszystkie wzory
szczególnej teorii względności w granicy
małych prędkości przechodzą we wzory
klasyczne, a transformacja Lorentza w
transformację Galileusza.

Klasyczna dynamika oparta na zasadach Newtona jest

teorią przybliżoną, która daje dobre wyniki dla

szybkości małych w porównaniu z szybkością światła c.

Podsumowanie

Nasuwa się zatem wniosek, że