B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
1
x
z
y
O
.
S
x’
z
’
y’
O
.
S’
u
Transformacja Galileusza
pozwala obliczyć
położenie i prędkość ciała w jednym inercjalnym
układzie odniesienia, jeśli znamy jego położenie
i prędkość w innym układzie inercjalnym.
.
a
a
,
u
v
v
,
t
u
r
r
,
t
t
Czas w obu układach
płynie tak samo.
r
r
Jeśli jeep porusza się ze stałą prędkością względem
beduina, to oba układy odniesienia S i S’ możemy
traktować jako inercjalne.
u
2.6. Zasada względności Galileusza
W układzie S beduina
położenie motolotni
dane wektorem .
r
W układzie S’ jeepa
położenie motolotni
dane wektorem r
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
2
Zasada względności Galileusza
: Prawa mechaniki są takie
same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
Oznacza to, że nie możemy wyróżnić jakiegoś układu spośród innych
za pomocą eksperymentów mechanicznych i twierdzić, że opis ruchu
ciał jest w nim bardziej poprawny niż w pozostałych.
Jeśli obserwatorzy z obu układów
inercjalnych S i S’ zmierzą jednakowe
przyspieszenia danego ciała, to również
zmierzą jednakową siłę działającą na to
ciało.
Żyroskop, na jego zasadzie opiera
się działanie żyrokompasu
x
z
y
S
x’
z’
y’
S’
u
W każdym układzie inercjalnym, na przycumowanym statku w porcie, czy statku
płynącym po morzu, działanie żyrokompasu podlega tym samym prawom.
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
3
Uwaga!
ruch po orbicie okołosłonecznej
– a
S
6 ·10
–3
m/s
2
ruch wirowy
–
a
w
3,34 ·10
–2
m/s
2
i wraz ze Słońcem ruch względem
środka galaktyki – a
G
3 ·10
–10
m/s
2
W warunkach ziemskich układy są tylko w przybliżeniu
inercjalnymi układami odniesienia! Ziemia wykonuje:
i z każdym z tych ruchów związane jest przyspieszenie!
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
4
jest
górną granicą
rozchodzenia się sygnałów oraz szybkości ciał
i jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia.
Takie są fakty doświadczalne!
Tymczasem z transformacji prędkości
Galileusza wynika coś innego!
Poruszające się z bardzo dużą szybkością piony
0
są nietrwałe i
rozpadają się z emisją promieniowania . Obliczmy z transformacji
Galileusza, jaką szybkość będzie miało promieniowanie w układzie
laboratoryjnym, jeśli jego źródło porusza się z u=0,999 75c.
c
0,999 75c
0,999 75c
0
Zmierzona prędkość
promieniowania
c
laboratorium
x
z
y
2.7. Ograniczenia transformacji Galileusza
B. Oleś Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
5
Stąd, że żaden sygnał nie może rozchodzić się szybciej niż
c wynika efekt opóźnienia oddziaływań, np. grawitacyjnych
i trudność w stosowaniu trzeciej zasady dynamiki.
Zasada akcji i reakcji wyrażona wzorem
jest słuszna tylko w przybliżeniu małych szybkości
ciał v
<<
c .
R
A
F
F
Widzimy, że transformacja Galileusza nie stosuje się w przypadkach,
gdy ciała poruszają się z wielkimi szybkościami, bliskimi szybkości
światła w próżni, v c.
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
6
Twórca szczególnej
teorii względności
.
3. Elementy mechaniki relatywistycznej.
Szczególna teoria względności
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
7
1. Postulat stałej prędkości światła
:
Prędkość
rozchodzenia się światła w próżni jest taka sama
we wszystkich inercjalnych układach odniesienia i
nie zależy od ruchu źródła, ani ruchu obserwatora.
2. Postulat względności
:
Wszystkie prawa fizyki są
identyczne we wszystkich inercjalnych układach
odniesienia.
Jeśli transformacja Galileusza i prawa fizyki klasycznej nie dają
poprawnych wyników, to co nam pozostaje?
Podstawą tej teorii są dwa postulaty:
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
8
Einstein rozszerza zasadę względności Galileusza na wszystkie
prawa fizyki (np. elektromagnetyzmu czy optyki).
a) Zmieniamy położenie magnesu
względem nieruchomej zwojnicy,
b) Unieruchamiamy magnes i poruszamy
podstawkę ze zwojnicą w górę i w dół.
W każdym przypadku miernik wskazuje
przepływ w obwodzie wyindukowanego
prądu.
Układy inercjalne są sobie całkowicie równoważne
i żaden z nich nie może być wyróżniony.
Nie oznacza to, że obserwatorzy we wszystkich układach inercjalnych
uzyskają te same wartości mierzonych wielkości fizycznych. Tylko prawa
fizyki, wiążące ze sobą wyniki pomiarów, maja być takie same.
Dwa doświadczenia z indukowaniem prądu elektrycznego w zwojnicy
za pomocą magnesu sztabkowego:
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
9
3.1. Względność czasu
Przez
zdarzenie
rozumiemy takie zjawisko fizyczne (lub jakiekolwiek
inne), którego rozciągłość w czasie i przestrzeni możemy pominąć.
Obserwator dowolnemu zdarzeniu przypisuje
współrzędne
czasoprzestrzenne
(trzy współrzędnych przestrzenne
x,y,z
oraz
współrzędną czasową
t)
, bowiem w teorii względności czas i
przestrzeń są ze sobą wzajemnie powiązane.
Obserwatorzy poruszający się względem siebie z dużą prędkością, mierząc
odstęp czasu między dwoma zdarzeniami otrzymają na ogół różne wyniki.
Inaczej niż w transformacji Galileusza, czas w różnych układach
odniesienia płynie inaczej.
W szczególnej teorii względności z postulatu Einsteina,
że szybkość światła c nie zależy od układu odniesienia
wynika zjawisko zwane
dylatacją (wydłużeniem) czasu
.
B. Oleś
Wykład 3
Wydz.Chemii PK, 2009/10
10
c
d
t
2
'
2
2
4
1
2
2
4
1
2
t
c
t
u
d
2
2
1
'
c
u
t
t
u
x’
y‘
z’
S‘
d
t’
W układzie
odniesienia Jacka
:
c = const
x
y
z
S
d
c t/2
u t
W układzie
odniesienia Wacka:
t
Przykład
c t/2
Jaki czas biegu impulsu świetlnego
zmierzą Jacek i Wacek, jeśli
szybkość światła
c
jest taka sama
w układzie każdego z nich?
B. Oleś Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
11
2
2
1
c
u
t
Czas własny płynie wolniej
– procesy zachodzące
w układzie S’ dla obserwatora w układzie S (jego
zegar przemieszcza się względem miejsca, gdzie
zachodzi zdarzenie) trwają dłużej niż dla obserwatora
w układzie S’ (mierzącego czas własny).
Definiujemy
czas własny
= t’ – przedział czasu
zmierzony dla dwóch zdarzeń, które zaszły w tym
samym miejscu w inercjalnym układzie odniesienia.
Pomiar w jakimkolwiek innym inercjalnym układzie odniesienia
odstępu czasu między tymi zdarzeniami, da zawsze większą wartość.
Czas własny
mierzony w rakiecie
(x,y,z)
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
12
Prędkość, u / c
C
zyn
n
ik
,
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
1
2
3
4
5
6
2
1
2
2
1
c
u
t
czasy mierzone w różnych
układach są identyczne, tak jak w
klasycznej transformacji Galileusza.
Sprawdźmy, że ze wzoru na dylatacje
czasu wynika, że dla szybkości u
<<
c
Zastanów się:
Wyprowadziliśmy wyrażenie na dylatację czasu przebiegu impulsu świetlnego mierzonego
przez Wacka, podczas gdy Jacek w poruszającym się wagonie mierzył czas własny.
A jeśli eksperyment z impulsem świetlnym wykona Wacek, to jaki czas zmierzy on, a jaki
Jacek w swoim wagonie? Który z nich będzie mierzył czas własny, a który wydłużony?
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
13
http://www.earthmagazine.org/mediafiles/i/2009/6/1/491
Błędy w lokalizacji obiektów naziemnych w
systemie GPS udało się wyeliminować
dopiero wówczas, gdy odpowiedzialni za
system inżynierowie uwzględnili za radą
fizyków poprawki relatywistyczne, m.in.
dylatację czasu (
7 μs/dzień, przy
szybkości satelity v = 4 km/s)
Gdzie należy uwzględnić
zjawisko dylatacji czasu?
W akceleratorach cząstki elementarne przyspieszane są do
szybkości bliskich c. Średni czas życia nietrwałych cząstek w
układzie laboratoryjnym ulega wydłużeniu.
http://www.wiz.pl/obrazki/najwiekszy_04_08.jpg
http://kresy24.pl/upload/CERN_atom_akcelerator.jpg
Wielki zderzacz
hadronów (LHC) w
CERNIe pod Genewą –
tunel i urządzenie
rejestrujące cząstki
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
14
3.2. Skrócenie długości
Długość własna ciała
- długość zmierzona w inercjalnym układzie
odniesienia, w którym ono spoczywa.
c
l
0
2
l
0
- długość własna,
- czas własny
l
0
u
c t
1
x
y
z
Układ
Ziemi
t
S
2
2
t
u
l
t
c
d
1
1
t
u
l
t
c
d
2
2
2
2
1
2
/
1
2
c
l
c
u
c
l
u
c
l
u
c
l
t
t
t
c
l
t
0
2
Mierzymy czas przebiegu impulsu
świetlnego wzdłuż linijki w układzie
rakiety:
l
0
S’
u
oraz w układzie
obserwatora na Ziemi:
t
c
l
c
l
0
2
2
2
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
15
Długość linijki l zmierzona w układzie odniesienia, w którym ona się
porusza, zawsze mniejsza niż jej długość własna, a
skrócenie
Lorentza długości
dla wymiarów równoległych do kierunku ruchu:
.
1
2
2
0
c
u
l
l
Natomiast wymiary prostopadłe do kierunku ruchu nie ulegają
zmianie przy przejściu z jednego układu odniesienia do innego!
http://nobelprize.org/educational_games/physic
s/relativity/transformations-
images/contraction2.gif
Długości l i l
0
występujące we wzorze to
, a nie postrzegane wzrokiem !
Relatywistyczny
żart
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
16
S
układ
laboratorium
S’
układ
miuonów
v
Dylatacja czasu
życia cząstek
Skrócenie odległości
do Ziemi
Obserwacja efektów relatywistycznych –
wydłużenie czasu życia mionów
http://www.fuw.edu.pl/~ajduk/Public/SCIENCE/cosmicshower_H300.jpg
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
17
u<<c
u c
3.3. Różnica między długością mierzoną a „widzianą”
www.anu.edu.au/.../Searle/Obsolete
Kamera przyspiesza
wzdłuż drogi c<<v - brak
efektów relatywistycznych
Kamera porusza się ze
stałym przyspieszeniem
wzdłuż drogi - występują
efekty relatywistyczne
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
18
-1
+1
u/c
l
w
/ l
0
+1
Skrócenie Lorentza
- mierzona długość
Widziana długość
oddalanie się
zbliżanie się
pomiar długości polega na równoczesnym wyznaczeniu położeń
początku i końca poruszającego się obiektu, tj. t
1
= t
2.
Widzenie (obserwacja) długości obiektu polega na tym, że do naszego
oka w tej samej chwili dociera światło, które niejednocześnie opuściło
początek i koniec poruszającego się obiektu.
x
z
S
Na czym polega różnica między długością mierzoną
a „widzianą”
Zapamiętaj
:
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
19
t
u
x
y
z
S
x
y
z
S
x ’
y‘
z’
S‘
u
r
x ’
y‘
z’
S‘
u
y
y’
P
W chwili późniejszej…
x’
x
3.4. Transformacja Lorentza
2
2
1
c
u
x
ut
x
2
2
1
c
u
x
t
u
x
Wacek w ukł.S
skrócenie x’:
Jacek w ukł.S’
skrócenie x:
W chwili t=t’=0
t=0
t’=0
Rozważmy dwa inercjalne układy odniesienia: Wacka
S i poruszający się względem niego układ Jacka.
u
Przyjmijmy, że w chwili t=t’=0 początki obu
układów pokrywają się, osie są do siebie
odpowiednio równoległe, a prędkość układu
Jacka jest równoległa do osi
x
i
x
’.
t
t’
Jacek przesuwa się o
ut
względem Wacka.
Współrzędne pająka
(zdarzenie) w ukł.
Wacka:
x,y,z,t
,
w ukł.Jacka:
x’,y’,z’,t
’.
Każdy z nich zmierzy:
Wacek
Jacek
Jacek
Wacek
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
20
.
1
2
2
c
u
ut
x
x
Obliczamy z :
z
oraz z :
.
1
/
2
2
2
c
u
c
ux
t
t
Dla kierunku prostopadłego
brak skrócenia:
y = y
z = z
i transformacja Lorentza przechodzi
w transformację Galileusza.
Dla ,
1
0
c
u
.
1
/
,
,
,
1
2
2
2
2
2
c
u
c
x
u
t
t
z
z
y
y
c
u
t
u
x
x
Otrzymaliśmy transformację współrzędnych, która
pozwala powiązać ze sobą współrzędne różnych
układów inercjalnych poruszających się względem
siebie z u c.
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
21
3.5. Względność równoczesności zdarzeń oddalonych
2
1
2
c
u
x
x
Zdarzenie 1
Zdarzenie 2
x
1
x
2
S
t
1
=
t
2
jednoczesne
2
1
'
'
t
t
t
S’
układ
promu
u
Zjawiska zachodzące jednocześnie (t
1
= t
2
) w
dwóch różnych miejscach (x
1
x
2
) w układzie S,
nie są jednoczesne (t
1
’ t
2’
) z punktu widzenia
obserwatora w układzie S’ poruszającego się
względem S.
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
22
Jednocześnie !
Jedno po drugim
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
23
= v
z
’
= v
y
’
= v
x
’
3.6. Transformacja prędkości
d '
d
d
t
t
u
c
x
2
x
c
u
t
t
u
x
t
x
d
d
)
d
(d
d
d
2
x
v
x
c
u
t
y
t
y
d
d
d
d
d
2
y
v
x
c
u
t
z
t
z
d
d
d
d
d
2
z
v
d ' (d
d )
x
x u t
x
x
v
v
2
2
1
d
d
1
d
d
c
u
u
t
x
c
u
u
t
x
x
y
v
v
2
1
c
u
z
z
v
v
2
1
c
u
Tr
an
sf
o
rmacja
sk
łado
w
ych
p
rę
d
ko
ści
2
/
1
2
2
/
1
c
u
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
24
Ze statku kosmicznego lecącego w kierunku Marsa z szybkością u=0,99c wysłano
impuls świetlny. Jaką prędkość impulsu zarejestruje obserwator na Marsie?
http://www.bisbos.com/rocketscience/spacecraft/nerva/mi
ssionpics/3.jpg
x
x
x
v
v
v
2
1
c
u
u
Zastosujmy
transformację Lorentza:
c
c
c
c
c
c
,
c
99
,
1
99
,
1
99
,
0
1
99
0
2
Szybkość światła w układzie S’ statku wynosiła c, i taki sam wynik
dostaliśmy w układzie S Marsa zastosowawszy transformacje Lorentza!
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
25
0,90c
0,70c
przykład
Korzystamy ze wzoru na transformację prędkości:
Szybkość sondy 0,70c jest zmierzona w układzie
S’
statku kosmicznego,
czyli jest to v’
x
.
Szybkość
u
układu
S’
jest równa 0,90
c.
Mamy
wyznaczyć v
x
w układzie
S
Ziemi.
x
x
x
v
v
v
2
1
c
u
u
c
c
c
,
c
c
c
c
,
98
,
0
63
,
1
60
,
1
70
0
90
,
0
1
90
,
0
70
0
2
x
v
Statek kosmiczny oddalający się od Ziemi z prędkością 0,90
c
wysyła sondę w kierunku swojego ruchu, której prędkość względem
statku wynosi 0,70
c
. Jaka jest prędkość sondy względem Ziemi?
A jaki otrzymalibyśmy wynik, gdyby sonda została
wysłana w kierunku prostopadłym do ruchu statku?
B. Oleś
Wykład 3 Wydz.Chemii PK, 2009/10
26
Przekonaliśmy się, że wszystkie wzory
szczególnej teorii względności w granicy
małych prędkości przechodzą we wzory
klasyczne, a transformacja Lorentza w
transformację Galileusza.
Klasyczna dynamika oparta na zasadach Newtona jest
teorią przybliżoną, która daje dobre wyniki dla
szybkości małych w porównaniu z szybkością światła c.
Podsumowanie
Nasuwa się zatem wniosek, że
