Wykład 3. Wzór de Moivre’a. Pierwiastkowanie
liczb zespolonych.

3.1. Wzór de Moivre’a

Przypomnijmy sobie posta ´

c trygonometryczn ˛

a

(definicja 2.2.4.) i wykładnicz ˛

a (definicja 2.3.1.)

liczby zespolonej.
Dygresja: Przypomnie ´

c ze szkoły ´sredniej funk-

cje trygonometryczne oraz wzory redukcyjne.

Własno´s´

c 3.1.1. Uzupełnienie do algebry liczb

zespolonych z

1

, z

2

w postaci trygonometrycz-

nej i wykładniczej:

1. mno˙zenie liczb zespolonych (rysunek)

z

1

·z

2

= |z

1

| |z

2

| (cos (φ

1

+ φ

2

) + i sin (φ

1

+ φ

2

))

z

1

· z

2

= |z

1

| |z

2

| e

i

(φ

1

+φ

2

)

2. dzielenie liczb zespolonych (rysunek)

z

1

z

2

=

|z

1

|

|z

2

|

(cos (φ

1

− φ

2

) + i sin (φ

1

− φ

2

))

z

1

z

2

=

|z

1

|

|z

2

|

e

i

(φ

1

−φ

2

)

, z

2

6= 0

Definicja 3.1.1. Dla φ ∈

R

mamy nast ˛epuj ˛

ac ˛

a

zale ˙zno´s ´

c (rysunek)

e

iφ

= cos φ + i sin φ

Własno´s´

c 3.1.2. Maj ˛

ac dane φ

1

, φ

2

∈

R

oraz

k

∈

Z

uzyskujemy:

1. e

i

(φ

1

+φ

2

)

= e

iφ

1

e

iφ

2

2. e

i

(φ

1

−φ

2

)

=

e

iφ1

e

iφ2

3.



e

iφ

1



k

= e

ikφ

1

4. e

i

(φ

1

+2kπ)

= e

iφ

1

5. e

iφ

1

6= 0

6. e

iφ

1

= e

iφ

2

⇔ φ

1

= φ

2

+ 2kπ

7.





e

iφ

1





= 1

8. arg



e

iφ

1



= φ

1

+ 2kπ

Własno´s´

c 3.1.3. Dla x ∈

R

s ˛

a prawdziwe wzory

Eulera:

cos x =

e

ix

+ e

−ix

2

,

sin x =

e

ix

− e

−ix

2i

(Postarajmy si ˛e udowodni ´

c powy˙zsze wzory - na-

le ˙zy skorzysta ´

c z definicji 3.1.1.)

Własno´s´

c 3.1.4. (Pot ˛egowanie liczb zespolonych

- wzór de Moivre’a) Maj ˛

ac dane

z

= |z| (cos φ + i sin φ) (|z| , φ ∈

R

,

|z| 6= 0)

oraz n ∈

N

otrzymujemy

z

n

= (|z|)

n

(cos nφ + i sin nφ)

Dygresja: pot ˛egowanie liczby zespolonej - mo-
duł pot ˛egujemy, a argument mno˙zymy przez
pot ˛eg ˛e (rysunek). Podobnie mamy dla postaci
wykładniczej, tzn.

z

n

= (|z|)

n

e

i nφ

(Dokonaj przekształce ´n pomi ˛edzy ró˙znymi po-
staciami liczb zespolonych.)

3.2. Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Definicja 3.2.1. Pierwiastkiem stopnia n ∈

N

liczby

zespolonej a ∈

C

nazywamy ka˙zd ˛

a liczb ˛e ze-

spolon ˛

a z ∈

C

, która spełnia równo´s ´

c

z

n

= a.

Dygresja: Mo˙zna zapisa ´

c z =

n

√

a

= a

1
n

, ale dla

liczb zespolonych to jest zapis niejednoznaczny.

R

C

√

16 = 4

√

16 = {−4, 4}

4

√

1 = 1

4

√

1 = {−1, −i, 1, i}

√

−1 - nie ma

√

−1 = {−i, i}

√

x

4

= x

2

√

z

4

=

n

−z

2

, z

2

o

√

x

2

= |x|

√

z

2

= {−z, z}

Własno´s´

c 3.2.1. Mo˙zna powiedzie ´c, ˙ze liczba

zespolona z = |z| (cos φ + i sin φ)
(|z| > 0, |z| , φ ∈

R

) posiada dokładnie n pier-

wiastków stopnia n (n ∈

N

). Inaczej przedsta-

wiaj ˛

ac

n

√

z

= {z

0

, z

1

, . . . , z

n

−1

} ,

gdzie

z

k

= (|z|)

1
n



cos

φ

+ 2kπ

n

+ i sin

φ

+ 2kπ

n



,

dla k ∈

N

i k = 0, 1, . . . , n − 1.

Własno´s´

c 3.2.2. (Interpretacja geometryczna

zbioru pierwiastków) Na płaszczy´znie zespolo-
nej pierwiastki tworz ˛

a n−k ˛

at foremny wpisany

w koło o promieniu (|z|)

1
n

.

Przypomnienie - funkcje trygonometryczne

1. Narysuj wszystkie funkcje trygonometryczne

i dokładnie opisz osie wykresu w zakresie
φ

∈ h0, 2πi .

2. Wstaw w tabelk ˛e odpowiednie warto´sci funk-

cji

φ

0

1

6

π

1

4

π

1

3

π

1

2

π

2

3

π

3

4

π

5

6

π

π

sin φ

cos φ

tgφ

ctgφ

φ

7

6

π

5

4

π

4

3

π

3

2

π

10

6

π

7

4

π

11

6

π

2π

sin φ

cos φ

tgφ

ctgφ

3. Przypomnij sobie co to jest koło trygonome-

tryczne? Wypisz wzory redukcyjne.

4. Na ´

cwiczeniach wykorzystuj nast ˛epuj ˛

ace wzory:

cos

2

φ

+sin

2

φ

= 1,

cos

2

φ

−sin

2

φ

= cos 2φ

i wiele innych.

Literatura

•

Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri ˛

a, PWN,

Warszawa 1976.

•

Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ˛e-
stochowa 2001.

•

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.

•

Kiełbasi ´nski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.

•

Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.

•

Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej, PWN,
Warszawa 1975.

•

Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.