Wykład 3. Wzór de Moivre’a. Pierwiastkowanie liczb zespolonych.

3.1. Wzór de Moivre’a

Przypomnijmy sobie posta ć trygonometryczną ( definicja 2.2.4. ) i wykładniczą ( definicja 2.3.1. ) liczby zespolonej.

Dygresja: Przypomnie ć ze szkoły średniej funkcje trygonometryczne oraz wzory redukcyjne.

Własność 3.1.1. Uzupełnienie do algebry liczb zespolonych z1, z2 w postaci trygonometrycz-nej i wykładniczej:

1. mnożenie liczb zespolonych ( rysunek) z1·z2 = |z1| |z2| (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)) z1 · z2 = |z1| |z2| ei(φ1+φ2)

2. dzielenie liczb zespolonych ( rysunek) z1

|z

=

1| (cos (φ1 − φ2) + i sin (φ1 − φ2)) z2

|z2|

z1

|z

=

1|ei(φ1−φ2), z2 6= 0

z2

|z2|

Definicja 3.1.1. Dla φ ∈ R mamy nast ępującą zale żnoś ć ( rysunek)

eiφ = cos φ + i sin φ

Własność 3.1.2. Mając dane φ1, φ2 ∈ R oraz k ∈ Z uzyskujemy:

1. ei(φ1+φ2) = eiφ1eiφ2

2. ei(φ1−φ2) = eiφ1

eiφ2

k

3.

eiφ1

= eikφ1

4. ei(φ1+2kπ) = eiφ1

5. eiφ1 6= 0

6. eiφ1 = eiφ2 ⇔ φ1 = φ2 + 2kπ

7. eiφ1 = 1

8. arg eiφ1 = φ1 + 2kπ

Własność 3.1.3. Dla x ∈ R są prawdziwe wzory Eulera:

eix + e−ix

eix − e−ix

cos x =

,

sin x =

2

2i

(Postarajmy si ę udowodni ć powyższe wzory - na-le ży skorzysta ć z definicji 3.1.1. ) Własność 3.1.4. ( Pot ęgowanie liczb zespolonych

- wzór de Moivre’a) Mając dane z = |z| (cos φ + i sin φ) (|z| , φ ∈ R,

|z| 6= 0)

oraz n ∈ N otrzymujemy

zn = (|z|)n (cos nφ + i sin nφ)

Dygresja: pot ęgowanie liczby zespolonej - mo-duł pot ęgujemy, a argument mnożymy przez pot ęg ę ( rysunek). Podobnie mamy dla postaci wykładniczej, tzn.

zn = (|z|)n ei nφ

( Dokonaj przekształce ń pomi ędzy różnymi po-staciami liczb zespolonych. )

3.2. Pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 3.2.1. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N liczby zespolonej a ∈ C nazywamy każdą liczb ę zespoloną z ∈ C, która spełnia równoś ć zn = a.

√

1

Dygresja: Można zapisa ć z = n a = an, ale dla liczb zespolonych to jest zapis niejednoznaczny.

R

C

√

√

16 = 4

16 = {−4, 4}

4

√1 = 1

4

√1 = {−1, −i, 1, i}

√

√

−1 - nie ma

−1 = {−i, i}

√

√

n

x4 = x2

z4 = −z2, z2o

√

√

x2 = |x|

z2 = {−z, z}

Własność 3.2.1. Można powiedzie ć, że liczba zespolona z = |z| (cos φ + i sin φ)

(|z| > 0, |z| , φ ∈ R) posiada dokładnie n pierwiastków stopnia n (n ∈ N). Inaczej przedsta-wiając

√

n z = {z0, z1, . . . , zn−1} ,

gdzie

1

φ + 2kπ

φ + 2kπ

zk = (|z|)n cos

+ i sin

,

n

n

dla k ∈ N i k = 0, 1, . . . , n − 1.

Własność 3.2.2. ( Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków) Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki tworzą n−kąt foremny wpisany 1

w koło o promieniu (|z|)n .

Przypomnienie - funkcje trygonometryczne 1. Narysuj wszystkie funkcje trygonometryczne i dokładnie opisz osie wykresu w zakresie φ ∈ h0, 2πi .

2. Wstaw w tabelk ę odpowiednie wartości funk-cji

φ

0

1

6π

1

4π

1

3π

1

2π

2

3π

3

4π

5

6π

π

sin φ

cos φ

tgφ

ctgφ

φ

7

6π

5

4π

4

3π

3

2π

10

6 π

7

4π

11

6 π

2π

sin φ

cos φ

tgφ

ctgφ

3. Przypomnij sobie co to jest koło trygonometryczne? Wypisz wzory redukcyjne.

4. Na ćwiczeniach wykorzystuj nast ępujące wzory: cos2 φ+sin2 φ = 1,

cos2 φ−sin2 φ = cos 2φ

i wiele innych.

Literatura

• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-

stochowa 2001.

• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

• Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.

• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.

• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975.

• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.