Aula 1
Proposições simples e compostas 6
Conjunção p
A q 7
Disjunção Inclusiva p v q
10
Disjunção Exclusiva p v q
12
Condicional p -> q
12
Bicondicional p q 16
Número de linhas de uma tabela-verdade 23
Tautologia 24
Contradição 27
Contingência 28
Lógica de Argumentação 36
Relação das questões comentadas 58
1
Proposições
Nosso principal objeto de estudo serão as proposições. O que são proposições lógicas?
Há várias definições nos livros de lógica e cada banca adota "textos diferentes" para definir as
proposições. Vamos utilizar uma definição que englobasse um "acordo" entre livros e bancas
organizadoras. Chegamos à seguinte definição:
Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa,
mas não as duas.
Vamos analisar os termos desta definição.
Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado.
Desta forma, expressões do tipo:
"Os alunos do Ponto dos Concursos."
Não são consideradas proposições (pois não há predicado).
Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa.
Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições.
i) Que belo dia! (exclamativa)
ii) Qual é o seu nome? (interrogativa)
iii) Leia isto atenciosamente, (imperativa - indica ordem)
iv) Que Deus te abençoe, (optativa - exprime desejo).
Vejamos um exemplo:
01. (AFT 2013/CESPE-UnB) A sentença "Quem é o maior defensor de um Estado não
intervencionista, que permite que as leis de mercado sejam as únicas leis reguladoras da economia
na sociedade: o presidente do Banco Central ou o ministro da Fazenda?" é uma proposição
composta que pode ser corretamente representada na forma
(
P V Q ) A
R, em que P,
Q
e R são
proposições simples convenientemente escolhidas.
O item está errado, já que a frase dada no enunciado é interrogativa.
Para começar, o conjunto de palavras deve ser uma oração declarativa, por exemplo:
"O Ponto dos Concursos obteve um grande índice de aprovação no concurso para AFRFB 2009".
Outro ponto a ser analisado na definição é que a oração declarativa deve poder ser classificada em
V ou F, mas não as duas.
Vejamos alguns exemplos de orações declarativas que não podem ser classificadas em V ou F.
"A frase dentro destas aspas é falsa."
2
Vamos tentar classificar em verdadeiro ou falso. Se dissermos que esta "proposição" é verdadeira,
teremos uma contradição - pois será verdade que a frase é falsa, logo a frase é falsa. Se
dissermos que a "proposição" é falsa, teremos novamente uma contradição. Se assim o fizermos,
então será falso que a frase dentro daquelas aspas é falsa, portanto, a frase é verdadeira. Assim, a
"proposição" não pode ser nem verdadeira nem falsa. O que concluímos? Que esta frase não é
uma proposição lógica.
Observação: Frases contraditórias como esta são comumente denominadas de paradoxos.
Um paradoxo famoso é o de Eubulides que declarou: Eu sou mentiroso.
Ora, o paradoxo de Eubulides não pode ser uma proposição lógica.
Se dissermos que a frase de Eubulides é verdadeira, então é verdade que ele é um mentiroso e,
portanto, não pode declarar uma verdade. Contradição!
Se dissermos que a frase é falsa, então é falso que ele é um mentiroso. E se ele não é um
mentiroso, a frase não pode ser falsa (portanto, é verdadeira). Novamente uma contradição.
Assim, a frase "Eu sou mentiroso" não é uma proposição lógica.
Estes exemplos não são proposições lógicas porque não podem ser nem verdadeiros nem falsos.
Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função
proposicional.
Exemplo:
3
Não dá para julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não é possível
descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato,
Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada,
"x" é uma variável, pode assumir inúmeros valores.
Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Ela tem um
termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição.
Vejamos outro exemplo de sentença aberta:
"Ele ganhou o Oscar de melhor ator em 2001".
Ora, não sabemos quem é "ele". Portanto, não podemos classificar esta frase em V ou F.
Se "ele" for Russel Crowe, então a frase é verdadeira.
Se "ele" for qualquer outra pessoa que não Russel Crowe, então a frase é falsa.
Como não sabemos quem é "ele", não podemos classificar a frase e, portanto, não é considerada
uma proposição.
Em tempo: é costume na Lógica "apelidar" as proposições com letras do alfabeto. Por exemplo:
Leis do Pensamento
Assim como a Filosofia, a Sociologia, a Economia e outras ciências, a Lógica também possui
diversas escolas. A Lógica tratada neste curso é a chamada Lógica Aristotélica (Lógica Formal,
Lógica da Forma) e toda a sua estrutura é fundamentada nas seguintes Leis do Pensamento.
1. Princípio da identidade
Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira.
"Cada coisa é aquilo que é." (Gottfried Leibniz)
2. Princípio do terceiro excluído
Toda proposição tem um dos dois valores lógicos: ou verdadeiro ou falso, excluindo-se qualquer
outro.
"Quem diz de uma coisa que é ou que não é ou dirá o verdadeiro ou dirá o falso. Mas se existisse
um termo médio entre os dois contraditórios nem do ser nem do não ser poder-se-ia dizer que é o
que não é." (Aristóteles)
3. Princípio de não contradição
Uma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa.
"Efetivamente, é impossível a quem quer que seja acreditar que uma mesma coisa seja e não seja"
(Aristóteles)
O princípio da identidade afirma que uma proposição não pode ser "mais" verdadeira do que
outra. Não existem patamares de verdade. Na Lógica Aristotélica, todas as proposições
verdadeiras, assim como todas as proposições falsas, estão em um mesmo nível.
O princípio do terceiro excluído estabelece que só existem dois valores lógicos. Assim, por
exemplo, a proposição p ("Existe vida fora da Terra") só pode assumir uma das duas
possibilidades, V ou F, excluindo-se um hipotético valor lógico "talvez", "não lembro" ou "pode ser".
O princípio de não contradição decreta que uma proposição não pode ser simultaneamente V e
F. Assim, se uma proposição é verdadeira, já temos certeza de que ela não pode ser falsa, e
reciprocamente.
O valor lógico de uma proposição p é indicado por V(p). Por exemplo, se a proposição p for falsa,
indicamos V(p) = F.
Modificador
O modificador é um operador lógico que "troca" o valor lógico das proposições. Se temos em mãos
uma proposição verdadeira, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição falsa. Da
mesma forma, se temos em mãos uma proposição falsa, então, ao aplicarmos o modificador,
teremos uma proposição verdadeira.
4
Os símbolos que indicam que uma proposição foi "modificada" são:
^ ou -i. A proposição
modificada é chamada de negação da proposição original.
Exemplos:
p: Paris está na Inglaterra
Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira.
~p: Paris não está na Inglaterra.
Esta frase também pode ser lida das seguintes formas:
~p: É falso que Paris está na Inglaterra.
~p: Não é verdade que Paris está na Inglaterra.
Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo para negar a frase. Vejamos
outro exemplo:
q\John Lennon não recebeu o Oscar de melhor ator em 2001.
Esta é uma proposição verdadeira. Vamos modificar o verbo e torná-la uma proposição falsa.
~q: John Lennon recebeu o Oscar de melhor ator em 2001.
Vamos definir formalmente o modificador.
Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição chamada negação de p pode ser formada
escrevendo-se "É falso que..." antes de p ou, se possível, inserindo a palavra "não".
Simbolicamente, a negação de p é designada por - p ou —,p. Para que - p seja uma
proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos
postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição ~
p tem sempre o valor
lógico oposto de
p, isto é, ~ p é verdadeira quando p é falsa, e - p é falsa quando p é
verdadeira.
Tabela-verdade 1
A tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições. Tabelas-verdades
são especialmente usadas para determinar os valores lógicos de proposições construídas a partir
de proposições simples. As tabelas de valores têm longa história, mas receberam certo destaque
desde os trabalhos (independentes) de Ludwig Wittgenstein (1889-1951) e de Emil L. Post (1897-
1954). A tabela 1 mostra todas as possibilidades de valores de uma proposição e os
correspondentes valores da sua negação.
5
Os símbolos que indicam que uma proposição foi "modificada" são
modificada é chamada de negação da proposição original.
Exemplos:
Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira.
Esta frase também pode ser lida das seguintes formas:
Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo para negar a frase. Vejamos
outro exemplo:
Esta é uma proposição verdadeira. Vamos modificar o verbo e torná-la uma proposição falsa.
Vamos definir formalmente o modificador.
Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição chamada negação de p pode ser formada
escrevendo-se "É falso que..." antes de p ou, se possível, inserindo a palavra "não".
Simbolicamente, a negação de p é designada por - p ou —,p. Para que - p seja uma
proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos
postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição ~
p tem sempre o valor
lógico oposto de
p, isto é, ~ p é verdadeira quando p é falsa, e - p é falsa quando p é
verdadeira.
Simbolicamente, a negação de p é designada por
proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos
postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição ~
p tem sempre o valor
verdadeira.
A negação de uma proposição pode ser considerada o resultado de uma operação do "operador
negação" de uma proposição. O operador negação constrói uma nova proposição a partir de uma
proposição que já existe. Vamos estudar agora operadores lógicos que são usados para formar
novas proposições a partir de duas ou mais proposições preexistentes. Esses operadores lógicos
são chamados conectivos.
Proposições simples e compostas
Estudaremos métodos de produzir novas proposições a partir de proposições simples. Uma
proposição é simples quando declara algo sem o uso de conectivos. Esses métodos foram
discutidos pelo matemático inglês George Boole, em 1854, no seu livro As Leis do Pensamento.
Diversas declarações matemáticas são obtidas combinando proposições.
Exemplos:
6
A partir de proposições simples dadas podemos construir novas proposições compostas mediante
o emprego de operadores lógicos chamados conectivos, como "e" (conectivo de conjunção),
"ou" (conectivo de disjunção), e os condicionais "se... então", "se e somente se". Observe que
o modificador "não" não é um conectivo. "Não" é um advérbio de negação. A expressão "não" não
conecta duas proposições.
Exemplos:
A Lua é um satélite da Terra e Recife é a capital de Pernambuco.
Carlos é solteiro ou Pedro é estudante.
Se um quadrilátero tem todos os lados congruentes, então é um losango.
Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for retângulo e losango
Obs.: A proposição "Guilherme e Moraes são professores" é uma proposição simples. O sujeito
dessa proposição, porém, é composto. A proposição "Guilherme é professor e Moraes é professor"
é uma proposição composta.
(AFT 2013/CESPE-UnB) Julgue os itens subsequentes, relacionados a lógica proposicional.
02. A sentença "A presença de um órgão mediador e regulador das relações entre empregados e
patrões é necessária em uma sociedade que busca a justiça social" é uma proposição simples.
Resolução
O item está certo. Observe que temos apenas um verbo na oração. Uma proposição é simples
quando declara algo sem o uso de conectivos. Observe ainda que o conectivo "e" na frase acima
não está conectando duas orações. O conectivo "e", no nosso exemplo, está conectando as
palavras "mediador" e regulador. Portanto, a proposição é simples e o item está certo.
(STF 2008/CESPE-UnB) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.
A resposta branda acalma o coração irado.
O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem.
Se o filho é honesto, então o pai é exemplo de integridade.
Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.
03. A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de
conjunção.
04. A segunda frase é uma proposição lógica simples.
05. A terceira frase é uma proposição lógica composta.
06. A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.
Resolução
03. Os verbos "ouve" e "atenta" indicam ordem (imperativo). Portanto não são consideradas
proposições lógicas. O item está errado.
04. Certo.
05. A proposição é simples. O sujeito da oração é que é composto. O item está errado.
06. "Se..., então..." é um conectivo só. O item está errado.
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Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra V para formar uma proposição
composta, que é chamada de conjunção das proposições originais. Simbolicamente
representamos a conjunção de duas proposições
Imagine que você prometeu ao seu filho que, no final de semana:
"Vamos ao Shopping Center e vamos à praia."
Vamos separar a frase acima em duas parcelas:
Conectando as proposições
temos a proposição
Se as duas parcelas componentes são verdadeiras, então, de fato, o pai levará o filho ao Shopping
e à praia. Logo, nossa proposição composta é verdadeira.
p: Vamos ao Shopping Center. (Verdade)
Neste quadro estamos indicando que se a proposição "p" (Vamos ao Shopping Center) for
verdadeira e a proposição "q" (Vamos à praia) também for verdadeira, então a proposição "P e Q"
(Vamos ao Shopping Center e vamos à praia) também será verdadeira.
Agora vamos imaginar que o pai levará o filho ao Shopping Center, mas não levará o filho à praia.
p: Vamos ao Shopping Center. (Verdade)
q: Vamos à praia (Falso)
Agora a proposição composta é falsa. Ela afirma que "Vamos ao Shopping Center" e, além disso,
"Vamos à praia". Afirma-se que as duas parcelas ocorrem ao mesmo tempo, o que não está
acontecendo (pois a segunda parcela é falsa). Portanto "p e q" é falso.
Analisemos agora a terceira situação: O pai não levará o filho ao Shopping Center, mas levará o
filho à praia.
p: Vamos ao Shopping Center. (Falso)
q: Vamos à praia (Verdade)
Novamente, a afirmação de que "Vamos ao Shopping Center e vamos à praia" é falsa. Isso porque
uma das parcelas é falsa. Portanto:
E finalmente a última situação possível. O pai nem leva o filho ao Shopping Center nem o leva à
praia.
p: Vamos ao Shopping Center. (Falso)
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q: Vamos à praia (Verdade)
Teríamos então:
q: Vamos à praia (Falso)
Unindo todas estas possibilidades em uma única tabela, temos:
Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de uma conjunção a partir dos
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valores lógicos (conhecidos) das proposições
Exemplo:
p : João é gordo e Mário é alto.
Suponha que a proposição João é gordo seja verdadeira e que Mário não seja alto. Dessa forma
A conjunção "João é gordo e Mário é alto" é falsa, pois a proposição "Mário é alto" é falsa. A
composta só seria verdadeira se ambas as proposições "João é gordo" e "Mário é alto" fossem
verdadeiras.
07. (PC-CE 2012/CESPE-UnB) Se a proposição "João é pobre" for falsa e se a proposição "João
pratica atos violentos" for verdadeira, então a proposição "João não é pobre, mas pratica atos
violentos" será falsa.
Resolução
O "mas" tem o mesmo sentido do conectivo "e". Temos a seguinte estrutura:
Exemplo:
p : Vou à festa ou não me chamo Fulano.
Considere que Fulano afirmou: Vou à festa ou não me chamo Fulano.
Fulano foi à festa. Portanto, a proposição "Vou à festa" é verdadeira.
A proposição "não me chamo Fulano" é falsa, pois quem a disse foi Fulano.
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Ora, uma proposição composta pelo conectivo "e" é verdadeira quando seus dois componentes são
verdadeiros. Assim, a proposição acima é verdadeira e o item está errado.
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra "ou" para formar uma
proposição composta que é chamada de disjunção inclusiva das proposições originais.
Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é designada por
Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção a partir dos
Vou à festa ou não me chamo Fulano.
Considere que Fulano afirmou: Vou à festa ou não me chamo Fulano.
Fulano foi à festa. Portanto, a proposição "Vou à festa" é verdadeira.
A proposição "não me chamo Fulano" é falsa, pois quem a disse foi Fulano.
Temos o seguinte esquema:
A disjunção "Vou à festa ou não me chamo Fulano" só seria falsa se ambas as proposições "Vou à
festa" e "Não me chamo Fulano" fossem falsas. Como a proposição "Vou à festa" é verdadeira,
temos que a composta é verdadeira. Assim,
1 1
O uso do conectivo ou na disjunção inclusiva corresponde a um dos dois modos como a palavra ou
é usada na Língua Portuguesa. A disjunção inclusiva é verdadeira quando pelo menos uma das
duas proposições for verdadeira ou quando ambas forem verdadeiras. A disjunção inclusiva é
usada, por exemplo, na seguinte proposição:
Hoje é sexta-feira ou hoje está chovendo.
Nesse caso, poderíamos ter as duas proposições "Hoje é sexta-feira" e "Hoje está chovendo"
verdadeiras. Não estamos afirmando que as duas são verdadeiras, mas que ambas poderiam ser
verdadeiras. Por outro lado, estamos usando a disjunção exclusiva quando dizemos:
Ou hoje é sexta-feira ou sábado, mas não ambos.
Nesse caso, as duas proposições "Hoje é sexta-feira" e "Hoje é sábado" não podem ser
simultaneamente verdadeiras. Como já observamos, o uso do conectivo ou em uma disjunção
corresponde a um dos dois significados usados na Língua Portuguesa, denominados inclusivo e
é verdadeira quando pelo menos uma delas for verdadeira.
exclusivo. A disjunção inclusiva
Quando o ou exclusivo é usado para conectar as proposições p e q, a proposição "ou p ou q, mas
não ambas" é obtida. A proposição é verdadeira quando p é verdadeira e q é falsa, ou quando p é
falsa e q é verdadeira, e é falsa quando ambas, p e q, são falsas ou ambas são verdadeiras.
É um símbolo semelhante ao do "e", mas de cabeça para baixo.
Basta colocar uma letra
que aprendemos com esses mestres foi como distinguir os símbolos
O ao lado dos símbolos. Observe:
Em qual das duas situações você consegue ler "OU"? Na "palavra da esquerda! Portanto, aquele
símbolo é o "ou". Consequentemente o outro é o "e".
Outro processo mnemónico consiste em colocar um "pontinho" em cima do símbolo. Vejamos:
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra "ou" para formar uma
proposição composta que é chamada de disjunção exclusiva das proposições originais.
Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é designada por p v q.
Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção exclusiva a partir
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Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção exclusiva a partir
dos valores lógicos (conhecidos) das proposições pe q:
Quando duas proposições são conectadas com a palavra "se" antes da primeira e a inserção da
palavra "então" entre elas a proposição resultante é composta e é também chamada de
encontra entre o "se" e o "então" é chamado de antecedente e o componente que se encontra após
a palavra "então" é chamado consequente. Por exemplo, na proposição "Se vou à praia, então
tomo banho de mar", "vou à praia" é o antecedente e "tomo banho de mar" é o consequente.
Coloquemos um exemplo para resumi-lo.
Se Guilherme é recifense, então Guilherme é pernambucano.
Guilherme é recifense
Guilherme é pernambucano
1° caso
verdadeira
verdadeira
2
o
caso
verdadeira
falsa
3
o
caso
falsa
verdadeira
4
o
caso
falsa
falsa
Analisemos cada um deles.
1
o
caso -> antecedente e consequente verdadeiros. Aqui, se efetivamente Guilherme for recifense
e também for pernambucano, não há dúvida, a proposição condicional é considerada verdadeira.
2
o
caso -> antecedente verdadeiro e consequente falso. Nessa situação, temos Guilherme como
uma pessoa que nasceu no Recife e não nasceu em Pernambuco. A condicional é considerada
falsa.
3
o
caso -> antecedente falso e consequente verdadeiro. Guilherme não nasceu no Recife, mas
nasceu em Pernambuco. Isso é totalmente permitido, visto que Guilherme poderia ter nascido em
Petrolina, por exemplo. A proposição condicional é verdadeira.
4
o
caso-> antecedente e consequente falsos. Guilherme não nasceu no Recife nem em
Pernambuco. Situação totalmente aceitável, visto que Guilherme poderia ter nascido em qualquer
outro lugar do mundo.
Existe apenas uma situação em que o condicional é falso: quando a primeira proposição for
verdadeira e a segunda, falsa.
O que precisamos saber é apenas isso: se ocorrer VF, ou seja, se o antecedente for verdadeiro e o
consequente for falso, a proposição composta pelo "se..., então" é falsa. Em todos os outros casos
a proposição composta será verdadeira.
08. (Gestor Fazendário-MG/2005/ESAF) Considere a afirmação P:
P: "A ou B"
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: "Carlos é dentista".
B: "Se Enio é economista, então Juca é arquiteto".
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
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antecedente e consequente verdadeiros. Aqui, se efetivamente Guilherme for recifense
e também for pernambucano, não há dúvida, a proposição condicional é considerada verdadeira.
antecedente verdadeiro e consequente falso. Nessa situação, temos Guilherme como
uma pessoa que nasceu no Recife e não nasceu em Pernambuco. A condicional é considerada
falsa.
antecedente falso e consequente verdadeiro. Guilherme não nasceu no Recife, mas
nasceu em Pernambuco. Isso é totalmente permitido, visto que Guilherme poderia ter nascido em
Petrolina, por exemplo. A proposição condicional é verdadeira.
antecedente e consequente falsos. Guilherme não nasceu no Recife nem em
Pernambuco. Situação totalmente aceitável, visto que Guilherme poderia ter nascido em qualquer
outro lugar do mundo.
Existe apenas uma situação em que o condicional é falso: quando a primeira proposição for
verdadeira e a segunda, falsa.
O que precisamos saber é apenas isso: se ocorrer VF, ou seja, se o antecedente for verdadeiro e o
consequente for falso, a proposição composta pelo "se..., então" é falsa. Em todos os outros casos
a proposição composta será verdadeira.
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
Resolução
A proposição P é a disjunção das proposições A, B (conectivo ou). O texto nos informou que P é
falsa, e sabemos que a disjunção A ou B só é falsa quando ambas, A e B são falsas. A proposição
A é falsa e daí concluímos que Carlos não é dentista. A condicional B é falsa. Uma proposição
condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso; donde
Enio é economista (antecedente verdadeiro) e Juca não é arquiteto (consequente falso).
Lembre-se sempre: uma proposição composta pelo conectivo "se...,então..." só é falsa quando
ocorre VF. E como o enunciado nos disse que B é falsa, então ocorreu VF.
B: "Se Enio é economista, então Juca é arquiteto".
O antecedente é verdadeiro, logo Enio é economista.
O consequente é falso, logo Juca não é arquiteto.
Letra B
09. (MPOG 2009/ESAF) Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:
a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.
b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França, ou Paris é a capital da França.
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França, ou Paris é a capital da
Inglaterra.
e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.
Resolução
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.
a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.
Antecedente: Roma é a capital da Itália: Verdadeiro.
Consequente: Londres é a capital da França: Falso.
Uma proposição composta pelo conectivo "Se..., então..." com antecedente verdadeiro e
consequente falso é falsa (lembre-se que não admitimos VF no "Se..., então...").
b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.
Antecedente: Londres é a capital da Inglaterra: Verdadeiro.
Consequente: Paris não é a capital da França: Falso.
Uma proposição composta pelo conectivo "Se..., então..." com antecedente verdadeiro e
consequente falso é falsa.
14
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França, ou Paris é a capital da França.
Vamos analisar as partes componentes desta frase:
Roma é a capital da Itália: Verdadeiro.
Londres é a capital da França: Falso.
Paris é a capital da França: Verdadeiro.
A primeira parte da frase é composta pelo conectivo "e".
Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França
Lembremos que uma proposição composta pelo conectivo "e" só é verdadeira se os seus dois
componentes forem verdadeiros. Como a proposição "Londres é a capital da França" é falsa, então
esta primeira parte da proposição é falsa.
15
Vamos conectar esta frase com "Paris é a capital da França", que é uma proposição verdadeira.
Ora, uma proposição composta pelo conectivo "ou" é verdadeira quando pelo menos um de seus
componentes é verdadeiro. Assim, concluímos que a proposição da alternativa C é verdadeira.
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França, ou Paris é a capital da Inglaterra.
Vamos analisar as partes componentes desta frase:
Roma é a capital da Itália: Verdadeiro.
Londres é a capital da França: Falso.
Paris é a capital da Inglaterra: Falso.
A primeira parte da frase é composta pelo conectivo "e".
Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França
Lembremos que uma proposição composta pelo conectivo "e" só é verdadeira se os seus dois
componentes forem verdadeiros. Como a proposição "Londres é a capital da França" é falsa, então
esta primeira parte da proposição é falsa.
Vamos conectar esta frase com "Paris é a capital da Inglaterra", que é uma proposição falsa. Ora,
uma proposição composta pelo conectivo "ou" é falsa quando seus dois componentes são falsos.
Portanto, a frase da alternativa D é falsa.
Finalmente a alternativa E.
e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.
Vejamos os componentes.
Roma é a capital da Itália: verdadeiro.
Londres não é a capital da Inglaterra: falso.
Uma proposição composta pelo conectivo "e" só é verdadeira quando seus dois componentes são
verdadeiros, portanto a frase acima é falsa.
Gabarito: C
Conectando duas proposições p, q através do conectivo bicondicional, obtemos uma nova
Então é simplesmente isso: se os dois componentes tiverem valores iguais, a composta é
verdadeira. Se tiverem valores diferentes, a composta é falsa.
bicondicional equipara-se à conjunção
Por exemplo, a proposição composta "Hoje é Natal se, e somente se hoje é 25 de dezembro"
significa que "Se hoje é Natal, então hoje é 25 de dezembro" e "Se hoje é 25 de dezembro, então
hoje é Natal".
No nosso exemplo acima,
10. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) Assinale a opção que apresenta valor lógico falso.
17
Resolução
Os dois componentes são verdadeiros. Lembre-se que é justamente neste caso em que uma
proposição composta pelo conectivo "e" é verdadeira.
O antecedente é falso e o consequente é verdadeiro, ou seja, ocorreu FV. Uma proposição
composta pelo conectivo "se..., então..." só é falsa quando ocorre VF, nesta ordem. A proposição
composta é, portanto, verdadeira.
Temos uma proposição composta pelo "ou exclusivo". No caso deste conectivo, a proposição
composta é verdadeira quando APENAS um de seus componentes é verdadeiro. Foi justamente o
que ocorreu. Assim, a composta é verdadeira.
O antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, ou seja, ocorreu VF. Sabemos que quando
ocorre VF em uma proposição composta pelo "se..., então..." a composta torna-se falsa. Assim, a
proposição acima é falsa.
Quando os dois componentes são iguais em uma proposição composta pelo "se e somente se",
composta torna-se verdadeira.
Gabarito: D
11. (APOFP - SEFAZ-SP 2009/ESAF) Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 e 3 + 4 =9.
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9.
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9.
d) 3
= 4
ou 3 + 4 = 9.
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9.
Resolução
18
Os dois componentes são falsos. Destarte, a proposição acima é falsa, pois uma proposição
composta pelo conectivo "e" só é verdadeira quando seus dois componentes são verdadeiros.
Uma proposição composta pelo conectivo "Se..., então..." com antecedente verdadeiro e
consequente falso é falsa (lembre-se que não admitimos VF no "Se..., então...").
Uma proposição composta pelo conectivo "Se..., então..." só é falsa quando ocorre VF, nesta
ordem. Assim, quando o antecedente é falso e o consequente também é falso, a proposição
composta é verdadeira. Assim, esta é a resposta da questão.
Para que uma proposição composta pelo conectivo "ou" seja verdadeira, pelo menos um de seus
componentes deve ser verdadeiro. Como os dois componentes são falsos, a frase acima é falsa.
Uma proposição composta pelo conectivo "se e somente se" só é verdadeira quando seus dois
componentes são iguais, ou seja, quando ambos são V ou ambos são F. Como os componentes
têm valores lógicos opostos (um é V e o outro é F), então a composta é falsa.
Gabarito: C
12. (SEFAZ-MG 2005/ESAF) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz
ao rei: "O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem". O rei,
tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:
1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir
corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?
2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir
corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?
3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir
corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?
O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três
perguntas são, respectivamente:
a) Não, sim, não
b) Não, não, sim
c) Sim, sim, sim
d) Não, sim, sim
e) Sim, não, sim
Resolução
19
A afirmação do mago é falsa e o dragão desaparecerá amanhã.
Para que o bicondicional seja falso, os componentes devem ter valores opostos. Se o primeiro
componente é verdadeiro, o segundo deverá ser falso.
Assim, não podemos concluir que Aladim beijou a princesa ontem.
A afirmação do mago é verdadeira e o dragão desaparecerá amanhã.
O bicondicional é verdadeiro quando os dois componentes têm o mesmo valor lógico. Ou seja,
ambos devem ser V ou ambos devem ser F. Como o primeiro componente é verdadeiro, então o
segundo componente também será verdadeiro.
Podemos concluir que Aladim beijou a princesa ontem? Sim!
A afirmação do mago é falsa e o Aladim não beijou a princesa ontem.
Para que o bicondicional seja falso, os componentes devem ter valores opostos. Se o segundo
componente é falso, o primeiro deverá ser verdadeiro.
Posso concluir que o dragão desaparecerá amanhã? Sim!
Letra D
13. (CGU-2003-2004-ESAF) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações:
Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:
Resolução
Já sabemos que as 3 afirmações são verdadeiras.
Vejamos a primeira proposição.
Sabemos que esta proposição é verdadeira. Então nos perguntamos: quando é que uma
proposição composta pelo conectivo "e" é verdadeira?
Ora, uma proposição composta pelo conectivo "e" só é verdadeira quando os dois componentes
são verdadeiros. Portanto...
Com essa informação, vamos observar a segunda proposição.
Novamente nos perguntamos: quando é que uma proposição composta pelo conectivo "se e
somente se" é verdadeira?
Uma proposição composta pelo conectivo "se e somente se" só é verdadeira quando seus dois
componentes são iguais, ou seja, quando ambos são V ou ambos são F. Como o segundo
componente é verdadeiro, então o primeiro componentes também será.
2 1
Observe ainda que este primeiro componente é uma proposição composta pelo conectivo "e
1
Sabemos que uma proposição composta pelo conectivo "e" só é verdadeira quando os dois
componentes são verdadeiros. Portanto...
Observemos a última proposição.
Uma proposição composta pelo conectivo "se e somente se" só é verdadeira quando seus dois
componentes são iguais, ou seja, quando ambos são V ou ambos são F. Como o segundo
componente é falso, então o primeiro componentes também será.
Vamos resumir as nossas conclusões verdadeiras?
Ou seja, X é maior que Q, Q é maior que Y e Y é maior que Z.
Letra B
14. (TRF-1
8
Região/2006/FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se
não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo:
a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.
b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.
c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.
d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.
e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.
Resolução
Podemos resumir tudo o que foi dito com a seguinte tabela-verdade.
22
(se e somente se) equipara-se à conjunção de dois
Vimos que o bicondicional
Letra C
15. (PGE-BA 2013/FCC) Se todas as bananas têm asas, então o ouro não é um fruto seco. Se o
ouro não é um fruto seco, então todas as bananas têm asas. Logo,
(A) todas as bananas não têm asas se e somente se o ouro não for um fruto seco.
(B) todas as bananas têm asas se e somente se o ouro for um fruto seco.
(C) todas as bananas não têm asas se o ouro é um fruto seco.
(D) todas as bananas têm asas se e somente se o ouro não for um fruto seco.
(E) algum ouro não é um fruto seco se e somente se todas as bananas tiverem asas.
Resolução
conectivo "se e somente se".
Se todas as bananas têm asas, então o ouro não é um fruto seco.
Se o ouro não é um fruto seco, então todas as bananas têm asas.
Portanto, todas as bananas têm asas se e somente se o ouro não for um fruto seco.
Letra D
Para facilitar o processo mnemónico, podemos fixar as regras que tornam as compostas
verdadeiras.
As duas proposições p, q devem ser verdadeiras
Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode
ocorrer o caso de as duas serem falsas.
Apenas uma das proposições pode ser verdadeira. A proposição
composta será falsa se os dois componentes forem verdadeiros ou
se os dois componentes forem falsos.
Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o
consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e
V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode
acontecer VF, nesta ordem.
Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as
duas são verdadeiras, ou as duas são falsas.
Número de linhas de uma tabela-verdade
O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples é
2
n
.
Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois, pelas leis do
pensamento a proposição p só pode assumir um dos dois valores lógicos: V ou F.
P
V
F
23
Para duas proposições p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 2
2
= 4. SEMPRE que você
for construir uma tabela-verdade envolvendo 2 proposições, começaremos com a seguinte
disposição.
Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma valoração.
24
Para 3 proposições p, q e r, o número de linhas da tabela-verdade é 2
3
= 8.
SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 3 proposições, começaremos com
a seguinte disposição.
Vimos que o número de linhas de uma tabela-verdade é 2
n
(em que n é o número de proposições
simples).
Vamos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade envolvendo
apenas estas três proposições terá 2
3
= 8 linhas.
Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição
E o que significa "construir a tabela-verdade" desta proposição?
Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valoração para esta proposição. Ou seja,
estamos preocupados em responder quando é que esta proposição é verdadeira e quando é que
ela é falsa.
Para tal tarefa, devemos começar com a seguinte disposição:
Neste "começo" de tabela, estão dispostas todas as possibilidades de valorações destas 3
proposições. Observe que há um padrão na construção deste início.
Na primeira coluna, temos 4 "V" seguidos de 4 "F". Na segunda coluna temos 2 "V" seguidos de 2
"F" alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos "V" e "F" que se alternam.
Pois bem toda tabela-verdade envolvendo três proposições começa assim.
Vamos obedecer a ordem de preferência. Vamos construir as proposições compostas que estão
dentro dos parênteses. Comecemos por p A r . Devemos conectar a proposição p com a proposição
r através do conectivo "e". Lembre-se que uma proposição composta pelo "e" só é verdadeira
quando os dois componentes são verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas p e r
são verdadeiras. Todas as outras possibilidades tornam a composta
p Ar falsa.
25
Queremos construir a tabela-verdade da proposição
Observe que não aparece a proposição
q propriamente dia e sim a sua negação. Portanto, o
primeiro passo é construir a negação de
q. Lembre-se que se uma proposição é verdadeira, a sua
negação é falsa e reciprocamente.
dentro dos parênteses. Comecemos por
através do conectivo "e". Lembre-se que uma proposição composta pelo "e" só é verdadeira
quando os dois componentes são verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas
são verdadeiras. Todas as outras possibilidades tornam a composta
Vamos agora construir a segunda proposição composta que está dentro de parênteses: v
r.
Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo "ou" é verdadeira quando pelo menos um
dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar apenas nas linhas em que pelo menos uma
das duas ou
r for verdadeira.
verdadeiro e o segundo componente falso. Vamos olhar apenas as duas últimas colunas.
Vejamos cada linha de per si:
1
a
linha: V V (o condicional é verdadeiro).
2
a
linha: F F (o condicional é verdadeiro).
3
a
linha: V V (o condicional é verdadeiro).
4
a
linha: F V (o condicional é verdadeiro).
5
a
linha: F V (o condicional é verdadeiro).
6
a
linha: F F (o condicional é verdadeiro).
7
a
linha: F V (o condicional é verdadeiro).
8
a
linha: F V (o condicional é verdadeiro).
26
Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo "ou" é verdadeira quando pelo menos um
dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar apenas nas linhas em que pelo menos uma
Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposições são falsas, e portanto,
composta construída é falsa nestes casos.
Podemos agora, finalmente construir a composta
Lembre-se que há apenas
um caso em que a composta pelo "se..., então" é falsa: quando o primeiro componente for
Desta forma:
independentemente dos valores atribuídos às proposições
O primeiro passo é construir as negações destas duas proposições simples.
27
Concluímos que a proposição composta
é sempre verdadeira,
Dizemos então que a proposição
é uma tautologia (ou proposição
logicamente verdadeira). Como diz L. Hegenberg em seu Dicionário de Lógica: Tautologia, no
cálculo proposicional, é uma proposição invariavelmente verdadeira — sejam quais forem os
valores-verdade de suas proposições constituintes.
Então é isso: se alguma questão perguntar se determinada proposição é uma tautologia, devemos
construir a sua tabela-verdade e verificar se ela é sempre verdadeira.
Da mesma maneira, podemos definir contradição (ou proposição logicamente falsa) como uma
proposição composta que é sempre falsa. Vamos mostrar, por exemplo, que a proposição
Ora, como estamos trabalhando com apenas duas proposições simples, então o número de linhas
da tabela-verdade será igual
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
Aula 1
Prof. Guilherme Neves
Vamos agora construir a proposição composta que está no primeiro par de parênteses: ~ p A q .
Foque seu olhar na terceira e na segunda coluna. Quando é que uma proposição composta pelo
conectivo "e" é verdadeira? Quando os dois componentes são verdadeiros. Desta forma, a
composta só será verdadeira na terceira linha.
Vamos construir a proposição composta que está no segundo par de parênteses: p v Devemos
olhar agora apenas para a primeira e quarta colunas. Quando é que uma proposição composta
pelo conectivo "ou" é verdadeira? Quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro.
Desta maneira, a composta será verdadeira na 1
a
, 2
a
e 4
a
linhas.
A composta só é falsa na terceira linha em que ambas,
proposição logicamente falsa).
Contingência
Contingência é uma proposição composta que pode verdadeira e pode ser falsa.
2 8
Finalmente podemos construir a tabela-verdade da proposição
Vamos olhar apenas para as duas últimas colunas. Devemos ligá-las através do conectivo "...se e
somente se...". Quando é que uma proposição composta pelo conectivo "...se e somente se..." é
verdadeira? Quando os dois componentes possuem o MESMO valor lógico. Acontece que as duas
últimas colunas possuem valores lógicos contrários. Desta forma, ela nunca poderá ser verdadeira.
é sempre falsa, a denominamos de contradição (ou
Vamos construir a tabela-verdade da proposição
Este é o modelo inicial de uma tabela-verdade composta por 3 proposições simples. Para listar
todas as possibilidades, devemos proceder assim:
Para a primeira proposição, colocamos 4 V's seguidos de 4 F's.
Para a segunda proposição, colocamos 2 V, 2F, 2V, 2F.
Para a terceira proposição colocamos 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F.
seja, uma condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.
29
Lembre-se que o número de linhas de uma tabela verdade composta por n proposições simples
igual a 2
n
.
Como são 3 proposições simples componentes, então a tabela terá 2
3
= 8 linhas.
Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo
proposições componentes forem verdadeiras.
só é verdadeira quando todas as
Portanto, a proposição
é verdadeira nas linhas 1 e 5.
O antecedente é a proposição p (1
a
coluna) e o consequente é a proposição
Observe que a proposição pode ser verdadeira e pode ser falsa, dependendo dos valores
atribuídos às proposições p,q e r.
Vamos treinar um pouco mais os conceitos abordados.
Vamos agora construir a negação de q. Seus valores devem ser contrários aos valores de q.
com a quarta coluna através do conectivo "e". Lembre-se que a composta pelo "e" só é verdadeira
quando os dois componentes são verdadeiros.
30
Exemplo: Verifique se a proposição composta
Resolução
Basta construir a tabela-verdade que possui 2
2
= 4 linhas. Para determinar o valor lógico de
é verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for
Lembre-se que a proposição
verdadeiro.
devemos antes determinar os valores de
Finalmente vamos construir a composta
Para isto, vamos conectar a terceira coluna
Devemos conectar a proposição
p com a proposição q através do conectivo "e". Lembre-se que
uma proposição composta pelo conectivo "e" só será verdadeira quando os dois componentes
forem verdadeiros.
Vamos agora construir a proposição composta que está no segundo par de parênteses:
pVq.
Lembre-se que a composta
p v q só é verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for
verdadeiro. Isto acontece nas três primeiras linhas.
3 1
admite valores V e F e, portanto, não se trata de uma
contradição. Trata-se de uma contingência.
Exemplo: Determine se a proposição
é uma tautologia, contradição ou uma
contingência.
Resolução
A tabela-verdade possui 2
2
= 4 linhas. Vamos começar construindo a proposição composta
Devemos conectar a proposição
Lembre-se que a composta
só é verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for
16. (PECFAZ 2013/ESAF) Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição
32
a) uma tautologia.
b) equivalente à proposição
c) uma contradição.
d) uma contingência.
e) uma disjunção.
Resolução
Pelo que acabamos de ver, sabemos que a proposição
Temos uma proposição composta pelo conectivo "e". Veremos que o símbolo
A significa "e".
Veremos também que uma proposição composta pelo conectivo "e" é chamada de conjunção.
Disjunção é uma proposição composta pelo conectivo "ou", cujo símbolo é v. Assim, já podemos
descartar a letra E.
Vamos construir a tabela-verdade da proposição
Devemos ligar a proposição P com a sua
através do conectivo "e". Como temos apenas uma proposição simples envolvida, a
nossa tabela-verdade terá apenas 2 linhas, pois há apenas dois possíveis valores lógicos para
proposição P: V ou F.
composta pelo conectivo "e" só é verdadeira quando os dois componentes são simultaneamente
verdadeiros. Observe que na primeira linha temos apenas um componente verdadeiro. O mesmo
Uma proposição que é sempre falsa recebe o nome de contradição.
Letra C
17. (Fiscal do Trabalho 1998/ESAF) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre
verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia
é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.
Resolução
Resta-nos agora construir as tabelas-verdades das proposições compostas acima.
33
é a negação da proposição P, ou seja, seus valores são os valores opostos aos
Vamos agora ligar as duas proposições
através do conectivo "e". Uma proposição
ocorre na segunda linha. Assim, concluímos que a composta
As alternativas podem ser reescritas simbolicamente das seguintes maneiras.
Dessa forma, a alternativa A é uma tautologia e as outras alternativas são contingências.
Letra A
18. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) Assinale qual das proposições das opções a
seguir é uma tautologia.
Resolução
Vamos tentar resolver a questão com apenas uma tabela. Para facilitar a minha
comunicação com vocês, vou colocar uma numeração nas colunas: C l , C2, C3, ...
A nossa tabela terá 4 linhas. Começaremos construindo as colunas das proposições
na primeira linha (quando os dois componentes são verdadeiros.
Para construir a coluna C5, vamos ligar a proposição
do conectivo "se..., então...". Este conectivo se importa com a ordem das proposições. A
proposição de C5 será falsa quando ocorrer VF. Observe que devemos olhar a tabela de C3 para
C2. Ocorre VF na segunda linha. É lá que C5 se torna falsa.
Vamos agora construir C6. Para tanto, ligaremos C4 com C2, nesta ordem. Observe que não
ocorre VF em linha alguma, ou seja, C6 é sempre verdadeira. Trata-se, portanto, de uma
tautologia.
Esta já é a resposta da questão. Na hora da prova você nem precisaria continuar construindo a
tabela.
Para construir C7, vamos ligar C4 com C2. Uma proposição composta pelo "se e somente se" é
verdadeira quando os componentes têm valores iguais, ou seja, ou os dois são V ou os dois são F.
Assim, C7 é falsa na terceira linha, pois C2 é V e C4 é F.
Para construir C8, vamos ligar C4 com C2 através do conectivo "ou". A proposição será verdadeira
nas linhas 1 e 3, pois existe pelo menos um componente verdadeiro. Observe que nas linhas 2 e 4
os dois componentes são falsos.
Finalmente, vamos construir C9 ligando C3 com C2 através do "se e somente se". A proposição
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será verdadeira nas linhas 1,3 e 4, pois nestas linhas os dois valores lógicos dos componentes são
iguais.
Gabarito: B
Vamos começar com a resolução de uma questão para explicar a teoria.
Considere as seguintes afirmações:
I. Se ocorrer uma crise econômica, então o dólar não subirá.
II. Ou o dólar subirá, ou os salários serão reajustados, mas não ambos.
III. Os salários serão reajustados se, e somente se, não ocorrer uma crise econômica.
Sabendo que as três afirmações são verdadeiras, é correto concluir que, necessariamente,
(A) o dólar não subirá, os salários não serão reajustados e não ocorrerá uma crise
econômica.
(B) o dólar subirá, os salários não serão reajustados e ocorrerá uma crise econômica.
(C) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e ocorrerá uma crise econômica.
(D) o dólar subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica.
(E) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica.
Resolução
Vamos "dar nomes" às proposições simples envolvidas:
p: ocorrer uma crise econômica
q: o dólar subirá
r: os salários serão reajustados
I. Se ocorrer uma crise econômica, então o dólar não subirá.
II. Ou o dólar subirá, ou os salários serão reajustados, mas não ambos.
III. Os salários serão reajustados se, e somente se, não ocorrer uma crise econômica.
Em símbolos, temos:
I. Se ocorrer uma crise econômica, então o dólar não subirá.
II. Ou o dólar subirá, ou os salários serão reajustados, mas não ambos.
III. Os salários serão reajustados se, e somente se, não ocorrer uma crise econômica.
Em símbolos, temos:
De acordo com o enunciado, as três proposições compostas são verdadeiras. Vamos
construir a tabela verdade correspondente e verificar quando é que isso ocorre. Como são
três proposições simples envolvidas, então a tabela terá 2
3
= 8 linhas. Lembre-se que o
número de linhas de uma tabela verdade com
n proposições simples é igual a 2
n
.
Devemos lembrar as regras dos conectivos. A proposição composta pelo "se..., então..." é
falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.
A proposição composta pelo conectivo da disjunção exclusiva "ou...ou" é verdadeira
quando apenas um dos componentes é verdadeiro.
A proposição composta pelo bicondicional "se e somente se" é verdadeiro quando os
componentes têm o mesmo valor lógico (ou ambos são verdadeiros ou ambos são falsos).
A tabela começa assim:
portanto seus valores lógicos são opostos
portanto seus valores lógicos são opostos
37
Como as três proposições compostas são verdadeiras, estamos interessados apenas na
sétima linha desta tabela.
Para que as compostas sejam verdadeiras, a proposição
p deve ser falsa, a proposição q
deve ser falsa e a proposição
r deve ser verdadeira.
p: ocorrer uma crise econômica
q: o dólar subirá
r: os salários serão reajustados
Concluímos que não ocorrerá uma crise econômica, o dólar não subirá e os salários serão
reajustados.
(E) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise
econômica.
Letra E
Vejamos novamente o final do enunciado:
Sabendo que as três afirmações são verdadeiras, é correto concluir que,
necessariamente,
Basicamente, isto indica a construção de um argumento válido. Tem-se um conjunto de
proposições pressupostamente verdadeiras (chamadas de premissas) e o objetivo é
"extrair" uma conclusão compatível com as premissas.
Obviamente, como foram apenas 3 proposições simples, então a tabela verdade possuía 8
linhas. E se fossem 5 proposições simples? Você iria construir uma tabela com 32 linhas
na hora da prova?
Vamos começar...
O que é um argumento?
"A expressão concreta do raciocínio lógico é o argumento. Um argumento se sustenta ou
cai à medida que o raciocínio que incorpora é bom ou ruim. Cada argumento é composto
de dois elementos básicos, dois diferentes tipos de proposições: uma proposição
'premissa' e uma proposição 'conclusão'. Uma premissa é uma proposição que sustenta. É
o ponto inicial de um argumento que contém a verdade conhecida, da qual parte o
39
Concluímos que não ocorrerá uma crise econômica, o dólar não subirá e os salários serão
reajustados.
(E) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise
econômica.
Letra E
Vejamos novamente o final do enunciado:
Sabendo que as três afirmações são verdadeiras, é correto concluir que,
necessariamente,
Basicamente, isto indica a construção de um argumento válido. Tem-se um conjunto de
proposições pressupostamente verdadeiras (chamadas de premissas) e o objetivo é
"extrair" uma conclusão compatível com as premissas.
Obviamente, como foram apenas 3 proposições simples, então a tabela verdade possuía 8
linhas. E se fossem 5 proposições simples? Você iria construir uma tabela com 32 linhas
na hora da prova?
Vamos começar...
O que é um argumento?
"A expressão concreta do raciocínio lógico é o argumento. Um argumento se sustenta ou
cai à medida que o raciocínio que incorpora é bom ou ruim. Cada argumento é composto
de dois elementos básicos, dois diferentes tipos de proposições: uma proposição
'premissa' e uma proposição 'conclusão'. Uma premissa é uma proposição que sustenta. É
o ponto inicial de um argumento que contém a verdade conhecida, da qual parte o
processo inferencial. Uma conclusão é uma proposição sustentada, a proposição aceita
como verdade na base da premissa." (D.Q. Mclnerny)
Argumento é toda afirmação de que uma sequência finita de proposições, chamadas
Ora, se admitimos a proposição "Jair quer jogar" como verdadeira, devemos assumir a
proposição "Jair não quer jogar" como falsa. Temos então o seguinte esquema:
F
40
conclusão do argumento. Diz-se que um argumento é válido se e somente se a conclusão
for verdadeira, todas as vezes que as premissas forem verdadeiras. Desse modo, a
verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. A validade de um
argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão.
Um argumento não válido é chamado de sofisma ou falácia. Um argumento composto de
duas premissas e uma conclusão é chamado de silogismo.
Vejamos um exemplo para sedimentar a teoria.
Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar, logo:
a) Jair não está machucado nem quer jogar.
b) Jair não quer jogar nem quer jogar.
c) Jair não está machucado e quer jogar.
d) Jair está machucado e não quer jogar.
e) Jair está machucado e quer jogar.
O enunciado nada fala sobre a verdade das proposições expostas. Perguntamo-nos:
Quem é Jair? Quem está nos falando que Jair está machucado? Isto é verdade? Como
podemos inferir uma conclusão se não tenho certeza sobre o valor lógico das premissas?
Em suma, como testar a validade de um argumento? Existe um teste semântico, isto é,
um teste que se baseia nos valores de verdade das suas premissas e conclusão. Um
argumento é válido se, e só se, não for possível ter conclusão falsa e premissas
verdadeiras. Portanto, para termos um argumento válido devemos supor que as premissas
são verdadeiras. Se (e este é um grande se) as premissas forem verdadeiras, então a
conclusão também será.
tem como consequência uma proposição final Q, chamada
DOS CONCURSOS
Perguntamo-nos: Quando é que uma disjunção (proposição composta pelo conectivo "ou")
Letra E
Jair está machucado e quer jogar.
Temos então o seguinte argumento VÁLIDO.
Jair está machucado ou não quer jogar.
Mas Jair quer jogar, logo:
Jair está machucado e quer jogar.
Não estamos afirmando que premissas do enunciado são verdadeiras nem que a
conclusão também o seja. Dizemos apenas que, SE as premissas forem verdadeiras,
então a conclusão também será verdadeira.
Proposições são verdadeiras ou falsas. Argumentos são válidos ou inválidos. A validade de
um argumento depende da conexão das premissas com a conclusão, não do valor lógico
das premissas que formam o argumento.
Então, como determinar a validade de um argumento?
Admita que as premissas sejam verdadeiras, mesmo que não sejam. Há a possibilidade
de, considerando-se as premissas verdadeiras, a conclusão ser falsa? Se isso pode
acontecer (premissas verdadeiras e conclusão falsa) então o argumento é inválido, um
sofisma, uma falácia. Se não, então o argumento é válido.
19. (ANEEL 2004/ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora,
não velejo. Assim:
a) estudo e fumo.
b) não fumo e surfo.
c) não velejo e não fumo.
d) estudo e não fumo.
e) fumo e surfo.
V
F
4 1
falsa se e somente se ambas p e q são falsas. No nosso caso, temos uma disjunção que
é verdadeira, e uma das proposições que a compõe é falsa. Concluímos que a outra
proposição "Jair está machucado" é verdadeira.
O que esta questão está nos pedindo? Que escolhamos uma conclusão adequada para
que o argumento seja válido. Devemos então, de acordo com a teoria exposta, assumir
que as premissas são verdadeiras. Temos o seguinte esquema:
A proposição acima é uma disjunção e, para que seja verdadeira, ao menos uma das
proposições que a compõe deve ser verdadeira. Como a proposição "Velejo" é falsa,
concluímos que "Não estudo" é verdadeira. "Estudo", que é a negação de "Não estudo", é,
portanto, falsa.
42
V
V
V
V
A proposição "Não velejo" é verdadeira. Como a proposição "Velejo" é a sua negação,
temos que seu valor lógico é falso.
Analogamente, a proposição "Surfo" é verdadeira e a sua negação "Não surfo" é falsa.
Da mesma maneira, temos que a proposição "Fumo" é verdadeira.
Conclusão: Surfo, não estudo, fumo, não velejo.
Letra E
Observação: Daqui em diante, por motivos tipográficos, também para evitar uma "poluição
visual", não colocaremos mais as chaves nas proposições compostas que assumiremos
como verdadeiras. Estará implícito, levando em consideração a teoria exposta.
Simplesmente aplicaremos as regras dos conectivos para que as compostas sejam
verdadeiras. Por exemplo:
20. (AFRFB 2012/ESAF) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em
Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim,
a) não viajo e caso.
b) viajo e caso.
c) não vou morar em Pasárgada e não viajo.
d) compro uma bicicleta e não viajo.
e) compro uma bicicleta e viajo.
Resolução
Vamos começar pela proposição "não vou morar em Pasárgada", que é verdadeira.
Observe a penúltima proposição.
43
Uma proposição composta pelo conectivo "ou" é verdadeira quando pelo menos uma de suas
proposições componentes é verdadeira. Como o primeiro componente é falso, então o segundo
componente tem que ser verdadeira.
Vamos à primeira proposição. Sabemos que "não compro uma bicicleta" é verdadeiro.
Uma proposição composta pelo conectivo "ou" é verdadeira quando pelo menos uma de suas
proposições componentes é verdadeira. Como o segundo componente é falso, então o primeiro
componente tem que ser verdadeiro.
Finalmente, vamos à segunda proposição.
Uma proposição composta pelo conectivo "ou" é verdadeira quando pelo menos uma de suas
proposições componentes é verdadeira. Como o segundo componente é falso, então o primeiro
componente tem que ser verdadeiro.
Gabarito: B
21. (PECFAZ 2013/ESAF) Considere verdadeiras as premissas a seguir:
- se Ana é professora, então Paulo é médico;
- ou Paulo não é medico, ou Marta é estudante;
- Marta não é estudante.
Sabendo-se que os três itens listados acima são as únicas premissas do argumento, pode-se
concluir que:
a) Ana é professora.
b) Ana não é professora e Paulo é médico.
c) Ana não é professora ou Paulo é médico.
d) Marta não é estudante e Ana é Professora.
e) Ana é professora ou Paulo é médico.
Resolução
Observe a última premissa. Trata-se de uma proposição simples. Estamos partindo do pressuposto
que Marta não é estudante. Ora, se a proposição "Marta não é estudante" é verdadeira, a
proposição "Marta é estudante" será falsa.
44
Em um argumento, devemos sempre supor que todas as premissas são verdadeiras.
Uma proposição composta pela disjunção exclusiva "ou..., ou..." é verdadeira quando exatamente
um de seus componentes for verdadeiro. Como o segundo componente (Marta é estudante) é
falso, o primeiro componente (Paulo não é médico) será verdadeiro.
Ora, se a proposição "Paulo não é médico" é verdadeira, a proposição "Paulo é médico" é falsa.
Para que uma proposição composta pelo condicional "se..., então..." seja verdadeira, não podemos
permitir a ocorrência de VF, nesta ordem. Ou seja, se o primeiro componente for verdadeiro, o
segundo componente não poderá ser falso. Se o segundo componente for falso, o primeiro não
poderá ser verdadeiro.
Como o segundo componente (Paulo é médico) é falso, o primeiro componente não poderá ser
verdadeiro. Assim, a proposição "Ana é professora" é falsa.
proposição composta pelo "ou" seja verdadeira, precisamos que pelo menos um dos componentes
seja verdadeiro. Como a proposição "Ana não é professora" é verdadeira, a regra foi satisfeita.
proposição só poderia ser verdadeira se os dois componentes fossem verdadeiros. Como a
proposição "Paulo é médico" é falsa, a regra do conectivo "e" não foi satisfeita.
e) Ana é professora ou Paulo é médico. -> Os dois componentes são falsos, por isso a proposição
composta é falsa.
Gabarito: C
22. (AFC-STN 2013/ESAF) As variáveis X, Y, Z, P e Q podem assumir os valores Xi, y
2
, z
3
, p
4
, q
5
.
Sabe-se que X = X! ou Y = y
2
. Se Z = z
3
, então P = p
4
. Se P^p
4
, então Y ^ y
2
. X ^ Xi e Q ^ q
5
. A
partir disso, e sabendo que todas as afirmações são verdadeiras, pode-se, com certeza, concluir
a) Y = y
2
e P = p
4
.
b) X = Xi e Y = y
2
.
c) P = p
4
e X = Xi.
d) X ^ x
1
e Y = y
2
.
e ) Z ^ z
3
e P = p
4
.
Comentários
Esta questão apresenta duas alternativas corretas e foi anulada.
45
Concluímos que a proposição "Ana não é professora" é verdadeira.
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.
a) Ana é professora. (FALSO)
b) Ana não é professora e Paulo é médico.
Esta proposição é falsa, pois uma proposição
composta pelo conectivo "e" só é verdadeira se os dois componentes forem verdadeiros.
c) Ana não é professora ou Paulo é médico.
Esta proposição é verdadeira, pois para que uma
Marta não é estudante e Ana é Professora.
Novamente temos o conectivo "e". Esta
Os dois componentes são falsos, por isso a proposição
22. (AFC-STN 2013/ESAF) As variáveis X, Y, Z, P e Q podem assumir os valores
partir disso, e sabendo que todas as afirmações são verdadeiras, pode-se, com certeza, concluir
Comentários
Esta questão apresenta duas alternativas corretas e foi anulada.
Temos o seguinte conjunto de proposições:
Sabemos que todas as afirmações são verdadeiras. Comecemos por (IV).
Sabemos que uma proposição composta pelo conectivo "e" é verdadeira quando os dois
componentes são verdadeiros. Desta forma, concluímos que:
46
Já podemos descartar as alternativas B e C.
é verdade. Vamos à frase (I), que é uma composta pelo conectivo "ou". Ora,
uma proposição composta pelo conectivo "ou" é verdadeira quando pelo menos um de seus
componentes é verdadeiro. Como o primeiro componente é falso, então o segundo componente é
verdadeiro. Concluímos que:
Desta forma, a alternativa D está correta!
Analisemos (III). Temos uma proposição condicional em que o consequente é falso. Para que a
composta seja verdadeira, o antecedente deve ser falso. Portanto, concluímos que:
Equivalentemente:
Desta forma, a alternativa A também está correta!
Por essa razão, a questão foi anulada.
23. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) As seguintes premissas são verdadeiras:
- Se Paulo não trabalha terça-feira, então Maria trabalha sábado.
-Se Ana não trabalha domingo, então Samuel não trabalha sexta-feira.
- Se Samuel trabalha sexta-feira, então Maria não trabalha sábado.
- Samuel trabalha sexta-feira. Logo, pode-se afirmar que:
a) Paulo trabalha terça-feira e Maria trabalha sábado.
b) Paulo não trabalha terça-feira ou Maria trabalha sábado.
c) Maria trabalha sábado e Ana não trabalha domingo.
d) Ana não trabalha domingo e Paulo trabalha terça-feira.
e) Se Maria trabalha sábado, então Ana não trabalha domingo.
Resolução
Sempre devemos começar pela proposição simples, se houver.
47
Vamos observar a segunda proposição.
Estamos supondo que as proposições são verdadeiras. Para que uma proposição composta pelo
conectivo "se..., então..." seja verdadeira, não podemos admitir a ocorrência de VF. Como a
segunda proposição é falsa, a primeira não poderá ser verdadeira. A primeira proposição é falsa.
Como a proposição "Ana não trabalha domingo" é falsa, concluímos que a proposição "Ana
trabalha domingo" é verdadeira.
Olhemos a terceira proposição.
Para que uma proposição composta pelo conectivo "se..., então..." seja verdadeira, não podemos
admitir a ocorrência de VF. Como a primeira proposição é verdadeira, a segunda não pode ser
falsa, deve ser verdadeira, portanto.
Concluímos que a proposição "Maria não trabalha sábado" é verdadeira.
Vamos à primeira proposição.
Para que uma proposição composta pelo conectivo "se..., então..." seja verdadeira, não podemos
admitir a ocorrência de VF. Como a segunda proposição é falsa, a primeira não poderá ser
verdadeira. A primeira proposição é falsa.
Sabendo que "Paulo não trabalha terça-feira" é falso, concluímos que "Paulo trabalha terça-feira" é
verdadeiro.
Vamos analisar as alternativas:
Para que uma proposição composta pelo conectivo "ou" seja verdadeira, é necessário que pelo
menos um dos componentes seja verdadeiro. Como os dois componentes são falsos, a proposição
composta é falsa.
c)
Maria trabalha sábado e Ana não trabalha domingo.
F
"
F
'
A proposição da alternativa C é falsa, pois uma proposição composta pelo conectivo "e" só é
verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros.
Gabarito: E
24. (ATFRB 2012/ESAF) Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é
prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é
tia de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria. Logo
a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana.
b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana.
e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo.
48
A proposição da alternativa A é falsa, pois uma proposição composta pelo conectivo "e" só é
verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros.
A proposição da alternativa D é falsa, pois uma proposição composta pelo conectivo "e" só é
verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros.
Uma proposição composta pelo "se..., então" só é falsa quando ocorre VF. Como ocorreu FF, a
proposição da alternativa E é verdadeira.
Resolução
Este tipo de questão é muito comum na ESAF. Temos várias proposições compostas pelo "se...,
então...". Lembre-se que quando uma proposição composta por este conectivo tem o consequente
falso, o antecedente também deverá ser falso, já que não admitimos a ocorrência de VF. Assim, se
o segundo componente é F, o primeiro não poderá ser V, deverá ser F também, ok?
Vamos lá, comecemos pela proposição simples "Leila não é tia de Maria", que é verdadeira.
Observe a penúltima frase:
49
Como o segundo componente é falso, o primeiro não poderá ser verdadeiro.
Concluímos que "Marta não é mãe de Rodrigo" é F, ou seja, "Marta é mãe de Rodrigo" é V.
Vamos à segunda proposição:
Temos aqui exatamente a mesma situação. Como o segundo componente é falso, o primeiro não
poderá ser verdadeiro.
Concluímos que "Natália é prima de Carlos" é F, ou seja, "Natália não é prima de Carlos" é V.
Finalmente, vamos à primeira proposição.
Quando o consequente é falso, o antecedente também deve ser.
Concluímos que a proposição "Paulo não é irmão de Ana" é V.
Gabarito: D
d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana.
25. (ATA-MF/2012) Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. Se Pedro não é professor,
então Murilo trabalha. Se Murilo trabalha, então hoje não é domingo. Ora, hoje é domingo. Logo,
a) Marta não é estudante e Murilo trabalha.
b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha.
c) Marta é estudante ou Murilo trabalha.
d) Marta é estudante e Pedro é professor.
e) Murilo trabalha e Pedro é professor.
Resolução
Vamos fazer a resolução agora de uma maneira um pouco mais curta. Vou esquematizar todas as
proposições de uma vez só.
As questões que seguem apresentam uma peculiaridade em relação às questões
anteriormente resolvidas. Até agora, as questões apresentavam uma proposição
simples, que servia de passo inicial para a nossa estratégia de argumentação. As
próximas questões não apresentam proposições simples. A solução geral é a seguinte:
escolha uma proposição qualquer e dê o seu palpite: escolha V ou F. Se o seu palpite
der certo, ótimo! Caso contrário, troque-o. Se você escolheu V, troque por F e vice-
versa.
50
No final, há a informação de que hoje é domingo. Vamos começar pela terceira proposição, depois
vamos para a segunda e finalmente para a primeira. À medida que vamos progredindo na
resolução, os consequentes vão sendo falsos e este fato força os antecedentes a também serem
falsos. Observe:
Gabarito: B
b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha.
Resolução
Nesta questão não temos uma proposição simples para começar. Como acabamos de ver,
devemos escolher uma proposição qualquer e chutar. Isso mesmo, chutar!
Para manter um padrão nas questões e vocês não dizerem que eu acerto sempre o chute, vou
colocar sempre a primeira proposição simples que aparecer como verdadeira, ok?
5 1
Vamos assumir que a proposição f(x)
Analisemos a primeira proposição composta:
Lembre-se que em um argumento devemos supor que as premissas são verdadeiras. Para que a
proposição acima seja verdadeira, não podemos admitir a ocorrência de VF (nesta ordem), já que a
proposição é composta pelo "se..., então...". Como o antecedente é V, o consequente não pode ser
F.
Vamos à terceira proposição.
No "se..., então..." não admitimos a ocorrência de VF. Assim, como a segunda proposição é F, a
primeira não pode ser V.
Até agora sabemos que são verdadeiras as proposições
Vamos ver o que acontece com as outras premissas. Lembre-se que todas as premissas devem
ser verdadeiras. Se alguma premissa for falsa, nosso "chute" inicial estará errado.
Vejamos a última proposição.
Como ocorreu VV, a última premissa é verdadeira.
Precisamos analisar ainda a segunda premissa:
Se f(x) x, então ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funções, g(x) e h(x) são iguais a x, ou
seja, g(x) = x e h(x) = x.
A ESAF escreveu esta proposição de uma maneira muito complicada, obviamente com o intuito de
confundir o candidato. Observe a parte vermelha: temos uma proposição que utiliza um OU
EXCLUSIVO e, em seguida, ele "inclui". Assim, podemos trocar o "ou exclusivo" por um "ou
inclusivo".
52
Temos uma proposição em que o antecedente é falso e o consequente
verdadeiro. Quando o antecedente é falso e o consequente é verdadeiro, a composta é verdadeira.
Como todas as premissas são verdadeiras, o nosso palpite deu certo.
Gabarito: A
27. (EPPGG-MPOG 2013/ESAF) Se Eva vai à praia, ela bebe caipirinha. Se Eva não vai ao
cinema, ela não bebe caipirinha. Se Eva bebe caipirinha, ela não vai ao cinema. Se Eva não vai à
praia, ela vai ao cinema. Segue-se, portanto, que Eva:
a) vai à praia, vai ao cinema, não bebe caipirinha.
b) não vai à praia, vai ao cinema, não bebe caipirinha.
c) vai à praia, não vai ao cinema, bebe caipirinha.
d) não vai à praia, não vai ao cinema, não bebe caipirinha.
e) não vai à praia, não vai ao cinema, bebe caipirinha.
Resolução
Como não há uma proposição simples para ser o nosso "passo inicial", vamos atribuir um valor
lógico a uma proposição qualquer. Se o nosso palpite der certo, ótimo. Se não der, trocamos.
Sempre colocarei como palpite inicial a primeira proposição como sendo verdadeira. Ou seja,
vamos partir do pressuposto de que "Eva vai à praia" é uma proposição verdadeira.
Vamos à primeira proposição:
Temos uma proposição composta pelo "se..., então...". Como o primeiro componente é V, o
segundo não pode ser F, pois não admitimos a ocorrência de VF.
Em uma proposição composta pelo conectivo "se..., então..." só não admitimos a ocorrência de VF.
Se a primeira componente é F, a segunda componente pode ser V ou pode ser F, pois aceitamos a
ocorrência de FV e de FF. Assim, não temos como saber se ela vai ou não ao cinema.
O nosso palpite inicial deu errado. Não pudemos tirar conclusão alguma. Vamos trocar. Vamos
supor agora que Eva não vai à praia.
Vamos à quarta proposição.
53
Vamos à segunda proposição:
Em uma proposição composta pelo conectivo "se..., então..." só não admitimos a ocorrência de VF.
Se a primeira componente é F, a segunda componente pode ser V ou pode ser F, pois aceitamos a
ocorrência de FV e de FF. Assim, não temos como saber se ela bebe ou não caipirinha.
Não temos informações para trabalhar com a terceira proposição.
Vamos à quarta proposição:
Para que a composta seja verdadeira, o consequente tem que ser V, pois não admitimos
ocorrência de VF.
Concluímos que ela vai ao cinema.
Vamos à terceira proposição.
Quando a segunda componente do "se..., então..." é F, a primeira componente tem que ser F, já
que não admitimos a ocorrência de VF.
Conclusão: Eva não bebe caipirinha.
Vamos à segunda proposição:
54
Quando ocorre FV, a proposição composta do "se..., então" é verdadeira.
Vamos à primeira proposição:
Quando ocorre FF, a proposição composta do "se..., então" é verdadeira.
Agora sim, deu certo!
Vamos às conclusões: Eva não vai à praia, vai ao cinema e não bebe caipirinha.
Gabarito: B
28. (AFC-STN 2013/ESAF) P não é número, ou R é variável. B é parâmetro ou R não é variável. R
não é variável ou B não é parâmetro. Se B não é parâmetro, então P é número. Considerando que
todas as afirmações são verdadeiras, conclui-se que:
a) B é parâmetro, P é número, R não é variável.
b) P não é número, R não é variável, B é parâmetro.
c) B não é parâmetro, P é número, R não é variável.
d) R não é variável, B é parâmetro, P é número.
e) R não é variável, P não é número, B não é parâmetro.
Resolução
Vamos utilizar como palpite inicial dizer que "P não é número" é uma proposição verdadeira.
Vejamos a última premissa:
Em uma proposição composta pelo conectivo "se..., então...", o antecedente tem que ser falso
quando o consequente é falso, pois se a segunda proposição é F, a primeira não pode ser V.
Conclusão: B é parâmetro.
Vejamos a terceira premissa
Temos agora uma proposição composta pelo conectivo "ou". Uma proposição composta pelo
conectivo "ou" é verdadeira quando pelo menos um de seus componentes é verdadeiro. Como a
segunda proposição é falsa, a primeira tem que ser verdadeira.
55
Conclusão: R não é variável.
Vejamos a segunda premissa
Temos agora uma proposição composta pelo conectivo "ou". Uma proposição composta pelo
conectivo "ou" é verdadeira quando pelo menos um de seus componentes é verdadeiro. Como os
dois componentes são verdadeiros, a composta é verdadeira.
Finalmente vamos à primeira premissa:
Temos agora uma proposição composta pelo conectivo "ou". Uma proposição composta pelo
conectivo "ou" é verdadeira quando pelo menos um de seus componentes é verdadeiro. Como o
primeiro componente é verdadeiro, a composta é verdadeira. Nosso palpite deu certo.
Conclusões: P não é número, B é parâmetro e R não é variável.
Gabarito: B
29. (AFRFB 2012/ESAF) Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então
Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é
pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais
de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente:
a) piano, piano, piano.
b) violino, piano, piano.
c) violino, piano, violino.
d) violino, violino, piano.
e) piano, piano, violino.
Resolução
Esta questão deveria ter sido anulada pela ESAF, mas não foi. Não é a primeira vez que a ESAF
comete este mesmo erro. Em nenhum momento a ESAF disse na questão que Ana, Beatriz e
Denise tinham que ser obrigatoriamente pianistas ou violinistas. Se supusermos, por exemplo, que
Ana, Beatriz e Denise são flautistas, todas as premissas seriam verdadeiras e todas as alternativas
estariam erradas. Para resolver esta questão, vamos passar a mão na cabeça da ESAF e partir do
pressuposto de que essas mulheres só podem tocar um dos dois instrumentos: piano ou violino.
Como não há proposição simples, vamos dar um palpite inicial. Por exemplo, vamos supor que Ana
seja pianista.
56
Concluímos que Beatriz é violinista.
Vamos à terceira premissa:
Concluímos que Denise é violinista.
Observe agora a última premissa:
Estamos diante de uma proposição composta pelo "se..., então..." em que ocorreu VF. Esta
premissa é falsa, o que invalida o argumento. Nosso palpite inicial deu errado. Assim, concluímos
que Ana não é pianista. Ela é violinista. Agora temos certeza disso!!
Vamos à segunda premissa:
Concluímos que Beatriz é pianista.
Vamos à quarta premissa:
Concluímos que Denise é pianista.
Gabarito: B
30. (AFRFB 2012/ESAF) Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta,
então Angélica ou Andrea são médicas. Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. Se
Andrea é médica, então Anamara é médica. Considerando que as afirmações são verdadeiras,
segue- se, portanto, que:
a) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas.
b) Anamara é médica, mas Angélica e Andrea são arquitetas.
c) Anamara, Angélica e Andrea são médicas.
d) Anamara e Angélica são arquitetas, mas Andrea é médica.
e) Anamara e Andrea são médicas, mas Angélica é arquiteta.
Resolução
A ESAF cometeu o mesmo erro nesta questão. Mais uma questão que deveria ter sido (e não foi)
anulada. Para resolver esta questão, devemos supor que Anamara, Angélica e Andrea só podem
ser médicas ou arquitetas.
Como não há proposição simples, vamos dar um palpite. Vamos supor que Anamara é médica.
Primeira premissa:
www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves
57
Conclusão: Angélica é médica.
Segunda premissa:
Já sabemos que Angélica é médica, por isso que o consequente é verdadeiro. Quando ocorre FV
com o conectivo "se..., então...", a composta é verdadeira. Até aqui nosso palpite está excelente.
Terceira premissa:
Como o segundo componente é F, o primeiro não pode ser V, pois não admitimos a ocorrência de
VF.
Como Andrea não é arquiteta, concluímos que ela também é médica.
Quarta premissa:
Nosso palpite deu certo. Todas as mulheres são médicas.
Gabarito: C
Ficamos por aqui. Espero que vocês tenham gostado da aula.
Um forte abraço e bons estudos.
Guilherme Neves
01. (AFT 2013/CESPE-UnB) A sentença "Quem é o maior defensor de um Estado não
intervencionista, que permite que as leis de mercado sejam as únicas leis reguladoras da economia
na sociedade: o presidente do Banco Central ou o ministro da Fazenda?" é uma proposição
composta que pode ser corretamente representada na forma
(
P V Q ) A
R, em que P,
Q
e R são
proposições simples convenientemente escolhidas.
(AFT 2013/CESPE-UnB) Julgue os itens subsequentes, relacionados a lógica proposicional.
02. A sentença "A presença de um órgão mediador e regulador das relações entre empregados e
patrões é necessária em uma sociedade que busca a justiça social" é uma proposição simples.
(STF 2008/CESPE-UnB) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.
A resposta branda acalma o coração irado.
O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem.
Se o filho é honesto, então o pai é exemplo de integridade.
Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.
03. A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de
conjunção.
04. A segunda frase é uma proposição lógica simples.
05. A terceira frase é uma proposição lógica composta.
06. A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.
07. (PC-CE 2012/CESPE-UnB) Se a proposição "João é pobre" for falsa e se a proposição "João
pratica atos violentos" for verdadeira, então a proposição "João não é pobre, mas pratica atos
violentos" será falsa.
08. (Gestor Fazendário-MG/2005/ESAF) Considere a afirmação P:
P: "A ou B"
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: "Carlos é dentista".
B: "Se Enio é economista, então Juca é arquiteto".
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
09. (MPOG 2009/ESAF) Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:
a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.
b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.
58
DOS CONCURSOS
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França, ou Paris é a capital da França.
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França, ou Paris é a capital da
Inglaterra.
e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.
10. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) Assinale a opção que apresenta valor lógico falso.
X > Q e Z < Y";
59
11. (APOFP - SEFAZ-SP 2009/ESAF) Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 e 3 + 4 =9.
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9.
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9.
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9.
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9.
12. (SEFAZ-MG 2005/ESAF) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz
ao rei: "O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem". O rei,
tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:
1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir
corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?
2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir
corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?
3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir
corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?
O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três
perguntas são, respectivamente:
a) Não, sim, não
b) Não, não, sim
c) Sim, sim, sim
d) Não, sim, sim
e) Sim, não, sim
13. (CGU-2003-2004-ESAF) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações:
"X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z";
"R * Q, se e somente se Y = X".
Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:
a ) X > Y > Q > Z
b ) X > R > Y > Z
c ) Z < Y < X < R
d ) X > Q > Z > R
e ) Q < X < Z < Y
14. (TRF-1
3
Região/2006/FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se
não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo:
a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.
b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.
c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.
d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.
e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.
15. (PGE-BA 2013/FCC) Se todas as bananas têm asas, então o ouro não é um fruto seco. Se o
ouro não é um fruto seco, então todas as bananas têm asas. Logo,
(A) todas as bananas não têm asas se e somente se o ouro não for um fruto seco.
(B) todas as bananas têm asas se e somente se o ouro for um fruto seco.
(C) todas as bananas não têm asas se o ouro é um fruto seco.
(D) todas as bananas têm asas se e somente se o ouro não for um fruto seco.
(E) algum ouro não é um fruto seco se e somente se todas as bananas tiverem asas.
60
16. (PECFAZ 2013/ESAF) Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição
a) uma tautologia.
b) equivalente à proposição
c) uma contradição.
d) uma contingência.
e) uma disjunção.
17. (Fiscal do Trabalho 1998/ESAF) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre
verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia
é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.
18. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) Assinale qual das proposições das opções a
seguir é uma tautologia.
19. (ANEEL 2004/ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora,
não velejo. Assim:
a) estudo e fumo.
b) não fumo e surfo.
c) não velejo e não fumo.
d) estudo e não fumo.
e) fumo e surfo.
20. (AFRFB 2012/ESAF) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em
Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim,
a) não viajo e caso.
b) viajo e caso.
c) não vou morar em Pasárgada e não viajo.
d) compro uma bicicleta e não viajo.
e) compro uma bicicleta e viajo.
21. (PECFAZ 2013/ESAF) Considere verdadeiras as premissas a seguir:
- se Ana é professora, então Paulo é médico;
- ou Paulo não é medico, ou Marta é estudante;
- Marta não é estudante.
Sabendo-se que os três itens listados acima são as únicas premissas do argumento, pode-se
concluir que:
a) Ana é professora.
b) Ana não é professora e Paulo é médico.
c) Ana não é professora ou Paulo é médico.
d) Marta não é estudante e Ana é Professora.
e) Ana é professora ou Paulo é médico.
6 1
22. (AFC-STN 2013/ESAF) As variáveis X, Y, Z, P e Q podem assumir os valores
partir disso, e sabendo que todas as afirmações são verdadeiras, pode-se, com certeza, concluir
que:
23. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) As seguintes premissas são verdadeiras:
- Se Paulo não trabalha terça-feira, então Maria trabalha sábado.
-Se Ana não trabalha domingo, então Samuel não trabalha sexta-feira.
- Se Samuel trabalha sexta-feira, então Maria não trabalha sábado.
- Samuel trabalha sexta-feira. Logo, pode-se afirmar que:
a) Paulo trabalha terça-feira e Maria trabalha sábado.
b) Paulo não trabalha terça-feira ou Maria trabalha sábado.
c) Maria trabalha sábado e Ana não trabalha domingo.
d) Ana não trabalha domingo e Paulo trabalha terça-feira.
e) Se Maria trabalha sábado, então Ana não trabalha domingo.
24. (ATFRB 2012/ESAF) Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é
prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é
tia de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria. Logo
a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana.
b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana.
e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo.
25. (ATA-MF/2012) Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. Se Pedro não é professor,
então Murilo trabalha. Se Murilo trabalha, então hoje não é domingo. Ora, hoje é domingo. Logo,
a) Marta não é estudante e Murilo trabalha.
b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha.
c) Marta é estudante ou Murilo trabalha.
d) Marta é estudante e Pedro é professor.
e) Murilo trabalha e Pedro é professor.
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27. (EPPGG-MPOG 2013/ESAF) Se Eva vai à praia, ela bebe caipirinha. Se Eva não vai ao
cinema, ela não bebe caipirinha. Se Eva bebe caipirinha, ela não vai ao cinema. Se Eva não vai à
praia, ela vai ao cinema. Segue-se, portanto, que Eva:
a) vai à praia, vai ao cinema, não bebe caipirinha.
b) não vai à praia, vai ao cinema, não bebe caipirinha.
c) vai à praia, não vai ao cinema, bebe caipirinha.
d) não vai à praia, não vai ao cinema, não bebe caipirinha.
e) não vai à praia, não vai ao cinema, bebe caipirinha.
28. (AFC-STN 2013/ESAF) P não é número, ou R é variável. B é parâmetro ou R não é variável. R
não é variável ou B não é parâmetro. Se B não é parâmetro, então P é número. Considerando que
todas as afirmações são verdadeiras, conclui-se que:
a) B é parâmetro, P é número, R não é variável.
b) P não é número, R não é variável, B é parâmetro.
c) B não é parâmetro, P é número, R não é variável.
d) R não é variável, B é parâmetro, P é número.
e) R não é variável, P não é número, B não é parâmetro.
29. (AFRFB 2012/ESAF) Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então
Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é
pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais
de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente:
a) piano, piano, piano.
b) violino, piano, piano.
c) violino, piano, violino.
d) violino, violino, piano.
e) piano, piano, violino.
30. (AFRFB 2012/ESAF) Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta,
então Angélica ou Andrea são médicas. Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. Se
Andrea é médica, então Anamara é médica. Considerando que as afirmações são verdadeiras,
segue- se, portanto, que:
a) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas.
b) Anamara é médica, mas Angélica e Andrea são arquitetas.
c) Anamara, Angélica e Andrea são médicas.
d) Anamara e Angélica são arquitetas, mas Andrea é médica.
e) Anamara e Andrea são médicas, mas Angélica é arquiteta.
63
01. Errado
02. Certo
03. Errado
04. Certo
05. Errado
06. Errado
07. Errado
08. B
09. C
10. D
11. C
12. D
13. B
14. C
15. D
16. C
17. A
18. B
19. E
20. B
21. C
22. Anulada
23. E
24. D
25. B
26. A
27. B
28. B
29. B
30. C
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