Przykład 7.4. Belka złożona – połączenie przegubowe

Narysować wykresy sił przekrojowych dla poniższej belki.

α =

Rozwiązanie

Rozwiązywanie zadania rozpocząć należy od oznaczenia punktów charakterystycznych,
składowych reakcji i przyjęcia układu współrzędnych.

α =

W celu obliczenia reakcji należy wykorzystać równania równowagi. Ponieważ belki
połączone przegubem oddziaływają na siebie wyłącznie poprzez siły podłużne i poprzeczne,
a nie przekazują momentu zginającego, moment ten policzony dla jednej bądź drugiej z belek
musi być równy zero. Korzystając z tego warunku możemy napisać cztery równania
równowagi:

2

2

2

4

1

4

3

0

0

4

3

2

1

2

4

9

3

45

2

4

9

3

0

3

0

4

9

2

1

2

4

9

45

2

4

9

0

0

2

4

9

2

9

2

1

2

0

45

2

2

9

0

2

3

2

1

3

0

ql

M

l

ql

ql

M

ql

l

V

M

M

ql

V

ql

ql

V

cos

ql

ql

V

sin

R

l

q

V

P

ql

H

ql

H

cos

ql

H

cos

R

H

P

ql

R

ql

R

sin

R

ql

l

sin

R

l

l

q

M

A

A

B

A

l,

C

B

B

o

B

B

B

y

A

A

o

A

B

A

x

D

D

o

D

D

p

,

C

=

⇒

⋅

−

=

⇒

⇒

=

−

⋅

+

⇔

=

=

⇒

⋅

−

=

⇒

⇒

⋅

−

=

⇒

=

⋅

+

⋅

−

⇔

=

=

⇒

⇒

⋅

=

⇒

⋅

=

⇒

=

−

⋅

−

⇔

=

=

⇒

⇒

=

⋅

⇒

=

⋅

−

⇒

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⇔

=

∑

∑

∑

∑

−

−

α

α

α

α

α

α

α

Tak więc

√

α =

Obecnie możemy już przystąpić do rysowania wykresów sił przekrojowych.

Wykres siły normalnej N

Jak widać jedynym obciążeniem podłużnym działającym na rozpatrywaną belkę są siły
skupione - reakcje podpór działające w punktach A i D. Wynika z tego, że na wykresie N
w punktach tych musi pojawić się skok wartości funkcji N(x), natomiast pomiędzy nimi
wykres musi być stały. Kierunek działania reakcji – „do belki” – oznacza ujemny znak siły N.
Poza odcinkiem A-D, tj. na odcinku D-E siła N=0.

Wykres siły tnącej T

Rysowanie ponownie zaczynamy w punkcie A, przesuwać się będziemy w prawo. Ponieważ
na odcinku A-B nie występują siły działające prostopadle do belek, więc N=0.

2

W punkcie B przyłożona jest siła ql

4

3

wywołująca obrót rozważanej (lewej) części układu

zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, co oznacza, że siła T zwiększa się skokowo

w tym punkcie o ql

4

3

.

Na odcinku B-C nie występują obciążenia poprzeczne, więc funkcja T(x) jest stała.

Pomiędzy punktami C i D działa do dołu obciążenie równomiernie rozłożone o wartości ,
czyli na odcinku C-D wartość funkcji T zmniejsza się liniowo, w sumie o wypadkową
obciążenia, czyli

.

q

ql

2

Jak widać wykres T zeruje się w punkcie odległym o od C. Wartość łatwo policzymy
z proporcji:

x

x

l

x

l

x

l

x

ql

ql

ql

4

3

8

3

2

2

4

5

4

3

4

3

=

⇒

⋅

=

⇒

=

+

3

W punkcie D występuje siła poprzeczna, której składowa pionowa wywołuje obrót
rozważanej (lewej) części układu zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara i ma wartość

ql

4

9

. Wynika z tego skokowe zwiększenie siły T o ql

4

9

.

Na odcinku D-E działa obciążenie równomiernie rozłożone, czyli wykres T musi zmieniać się
liniowo aż do zera w punkcie E (gdyż jest to nie obciążony siłą skupioną koniec belki). Tak
więc ostatecznie wykres siły T ma postać:

4

Wykres momentu zginającego M

Zaczynamy od punktu A. W punkcie tym działa skupiony moment o wartości

4

2

ql

rozciągający dolne włókna belki.

Na odcinku A-B siła T=0, więc funkcja M jest stała.

Na odcinku B-C wykres T jest stały, więc wykres M musi być liniowo zmienny. Wartość
momentu zginającego po lewej stronie punktu C ustalimy rozpatrując równowagę
następującego układu:

2

2

2

4

3

4

1

ql

ql

ql

l

T

M

M

B

B

l

C

=

+

=

⋅

+

=

.

5

Z prawej strony przegubu w punkcie C moment skupiony nie występuje, więc

. Na

odcinkach C-D, oraz D-E wykres M jest parabolą wygiętą do dołu, gdyż na tych odcinkach
działa obciążenie poprzeczne równomiernie rozłożone i skierowane do dołu. W punkcie E
oczywiście

, gdyż jest to nieobciążony momentem skupionym koniec belki. Moment

w punkcie D można policzyć rozpatrując równowagę odcinka D-E.

0

=

p

C

M

0

=

M

2

2

1

2

ql

l

ql

M

D

=

⋅

=

Moment ten rozciąga włókna górne.

Pozostaje nam narysowanie wykresu pomiędzy punktami C i D. Wiemy, że wykresem na tym

odcinku jest parabola, wiemy również, że w punkcie o l

4

3

odległym od C występuje

ekstremum lokalne funkcji M. Wartość momentu w tym punkcie obliczymy rozpatrując
równowagę fragmentu

6

2

32

9

16

9

4

3

2

1

4

3

4

3

4

3

ql

l

l

q

l

ql

M

.

ekstr













−

=

⋅

⋅

⋅

−

⋅

=

Tak więc ostatecznie wykres M ma postać:

7

Dla ukazania zależności pomiędzy geometrią, sposobem podparcia i obciążenia belki oraz
wykresami sił przekrojowych umieszczony został poniżej rysunek zbiorczy

α =

8