Przykład 7.2. Belka złożona. Obciążenie poprzeczne rozłożone, trapezowe.
Dla poniższej belki zapisać funkcje sił przekrojowych i sporządzić ich wykresy.
α
=
Rozwiązanie
Oznaczamy punkty charakterystyczne, składowe reakcji i przyjmujemy układ współrzędnych
XY.
α =
W celu obliczenia reakcji podzielimy belkę na części „cięciami” I-I i II-II.
Ι
ΙΙ
α =
Ι
ΙΙ
W miejscach „cięć” uzewnętrzniamy niezerowe siły działające w połączeniach.
α =
Wykorzystując równania równowagi dla poszczególnych fragmentów obliczymy reakcje.
Dla fragmentu II:
Rozpatrywany fragment belki obciążony jest m. in. obciążeniem poprzecznym trapezowym.
W celu uwzględnienia tego obciążenia należy podzielić je na obciążenie prostokątne
i trójkątne i dokonać ich superpozycji.
(
)
(
)
2
2
0
2
3
1
2
4
2
1
2
2
1
2
2
0
4
0
2
4
2
1
0
ql
M
l
l
q
q
l
l
q
M
l
ql
M
ql
T
l
q
q
T
ql
P
D
D
E
E
E
y
=
⇒
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⇔
=
−
=
⇒
=
⋅
+
⋅
−
−
⇔
=
∑
∑
Dla fragmentu III:
ql
V
ql
ql
V
ql
l
q
T
V
V
P
ql
V
ql
ql
V
l
l
l
q
l
T
l
V
M
N
P
G
G
E
G
F
y
F
F
E
F
G
E
x
6
0
4
4
14
0
4
0
14
0
6
2
4
0
2
1
4
2
0
0
0
−
=
⇒
=
−
−
+
⇒
=
⋅
−
+
+
⇔
=
=
⇒
=
−
⋅
−
⇒
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⇔
=
=
⇔
=
∑
∑
∑
Dla fragmentu II:
0
0
=
⇒
=
⇔
=
∑
D
E
D
x
N
N
N
P
2
Dla fragmentu I:
ql
V
ql
ql
V
ql
V
sin
V
P
ql
H
H
ql
N
H
cos
V
P
ql
V
V
5ql
ql
ql
sin
l
V
ql
M
ql
l
sin
V
l
ql
M
C
C
C
B
y
C
C
D
C
B
x
B
B
o
B
D
B
C
4
0
2
1
2
5
0
0
5
0
2
1
2
5
0
0
2
5
0
2
1
0
2
45
2
0
2
0
2
2
2
2
−
=
⇒
=
⋅
−
=
⇒
=
−
+
⋅
⇔
=
=
⇒
=
+
⋅
−
⇒
=
+
+
⋅
−
⇔
=
=
⇒
=
⋅
+
−
⇒
⇒
=
−
−
⋅
⋅
+
−
⇒
=
−
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⇔
=
∑
∑
∑
α
α
α
Tak więc na belkę działają następujące obciążenia:
α =
√2
W celu znalezienia funkcji sił przekrojowych, podobnie jak w Przykładzie 7.1. dokonywać
będziemy „przecięć” belki przekrojami pomiędzy punktami charakterystycznymi.
Odcinek A-B,
l,
x
0
∈
α
α =
√2
α
3
Rozpatrujemy lewą część fragmentu I:
( )
( )
( )
( )
qlx
x
M
x
ql
x
M
M
ql
x
T
P
x
N
P
y
x
−
=
⇒
=
⋅
−
−
⇔
=
−
=
⇔
=
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
0
0
0
0
0
α
α
Funkcja
jest zmienna liniowo, więc do jej narysowania potrzebna jest znajomość jej
wartości w dwóch punktach:
( )
x
M
( )
( )
2
0
0
ql
l
M
M
M
M
l
B
A
−
=
=
=
=
Odcinek B-C,
l
,
l
x
2
∈
α =
√2
β
β
Rozpatrujemy lewą część fragmentu I:
α =
√2
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
2
5
4
0
2
5
0
4
0
2
5
0
5
2
5
0
ql
qlx
x
M
x
M
l
x
sin
ql
x
ql
M
ql
x
T
x
T
sin
ql
ql
P
ql
x
N
cos
ql
x
N
P
y
x
−
=
⇒
=
−
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⇔
=
=
⇒
=
−
⋅
+
−
⇔
=
=
⇒
⋅
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
α
α
α
β
β
Funkcja
ponownie jest zmienna liniowo:
( )
x
M
( )
( )
2
2
2
3
5
2
4
2
q
ql
l
ql
l
M
M
ql
l
M
M
l
C
p
B
=
−
⋅
=
=
−
=
=
l
4
Odcinek D-C,
l,
x
0
1
∈
W celu uproszczenia obliczeń wprowadzamy nowy układ współrzędnych X
1
Y
1.
α =
√2
β
β
Rozpatrujemy prawą część fragmentu II:
( )
( )
( )
2
1
1
1
2
0
0
0
0
0
ql
x
M
M
x
T
P
x
N
P
y
x
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
γ
γ
Odcinek D-E,
l
,
x
2
0
2
∈
W celu uproszczenia obliczeń wprowadzamy nowy układ współrzędnych X
2
Y
2.
δ
δ
Rozpatrujemy lewą część fragmentu II:
Znalezienie wartości
polega na napisaniu równania prostej przechodzącej przez punkty
(0,q) i (2l,4q):
(
2
x
q
)
5
( )
b
ax
x
q
+
=
2
2
Podstawiając współrzędne punktów:
=
⇒
+
⋅
=
=
⇒
+
⋅
=
l
q
a
q
l
a
q
q
b
b
a
q
2
3
2
4
0
Czyli
( )
q
x
l
q
x
q
+
=
2
2
2
3
Tak więc:
( )
( ) ( )
[
]
( )
( )
( ) ( )
[
]
( )
( )
( )
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
2
3
6
1
2
1
2
0
3
1
0
2
1
2
1
2
0
4
3
2
3
2
1
0
0
2
1
0
0
0
2
2
ql
qlx
qx
l
x
q
x
M
x
q
q
x
l
q
qx
ql
qlx
x
M
x
M
x
x
x
q
q
x
x
q
ql
x
ql
M
ql
qx
x
l
q
)
x
(
T
x
q
x
l
q
q
ql
x
T
x
T
x
x
q
q
ql
P
x
N
P
y
x
+
+
−
−
=
⇒
⇒
−
+
−
−
+
=
⇒
⇒
=
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
−
+
⋅
⇔
=
+
−
−
=
⇒
⇒
+
+
−
=
⇒
=
−
⋅
+
⋅
−
−
⇔
=
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
δ
δ
Funkcja
jest zmienna parabolicznie, natomiast
jest wielomianem 3-go stopnia.
Wartości tych funkcji na granicach przedziału są następujące:
(
2
x
T
)
)
(
2
x
M
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
2
2
2
2
1
2
4
1
2
2
0
4
2
2
4
3
2
0
2
2
3
2
2
=
+
+
−
−
=
=
=
=
−
=
+
⋅
−
⋅
−
=
=
=
=
ql
l
ql
l
q
l
l
q
l
M
M
ql
M
M
ql
ql
l
q
l
l
q
l
T
T
ql
T
T
l
E
p
D
l
E
p
D
Jak widać funkcja T
zmienia znak, co oznacza, że punkcie zmiany znaku występuje
ekstremum lokalne
. W celu znalezienia punktu zerowania się funkcji T
należy
rozwiązać równanie kwadratowe:
( )
x
(
x
M
)
( )
x
( )
( )
[ ]
( )
l
l
q
q
q
x
l
,
D
l
l
q
q
q
x
q
q
q
ql
l
q
q
l
,
x
,
ql
qx
x
l
q
3
2
4
3
2
2
2
0
2
4
3
2
2
2
3
4
3
4
2
0
0
4
3
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
⋅
+
−
−
=
≡
∉
−
=
−
⋅
−
−
−
=
=
+
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∈
=
+
−
−
∆
6
Tak więc:
2
2
2
2
2
2
2
2
3
37
2
27
64
2
3
2
18
4
27
4
8
2
3
2
3
2
2
1
3
2
4
1
3
2
0
3
2
ql
,
ql
ql
ql
ql
ql
ql
l
ql
l
q
l
l
q
l
M
M
l
T
.
ekstr
≈
=
+
+
−
⋅
−
=
=
+
+
−
−
=
=
=
Odcinek E-F,
l,
x
0
3
∈
W celu uproszczenia obliczeń wprowadzamy nowy układ współrzędnych X
3
Y
3.
ξ
ξ
Rozpatrujemy lewą część fragmentu III:
( )
( )
( )
( )
( )
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
2
0
2
1
4
4
0
4
4
0
4
4
0
0
0
3
3
qlx
qx
x
M
x
M
x
x
q
x
ql
M
qx
ql
x
T
x
T
x
q
ql
P
x
N
P
y
x
−
−
=
⇒
=
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⇔
=
−
−
=
⇒
=
−
⋅
−
−
⇔
=
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
ξ
ξ
Funkcja
jest zmienna liniowo, natomiast
parabolicznie. Wartości tych funkcji
na granicach przedziału są następujące:
( )
3
x
T
(
3
x
M
)
( )
( )
( )
( )
2
2
6
4
2
0
0
8
4
4
4
0
ql
l
ql
ql
l
M
M
M
M
ql
l
q
ql
l
T
T
ql
T
T
l
F
p
E
l
F
p
E
−
=
⋅
−
−
=
=
=
=
−
=
⋅
−
−
=
=
−
=
=
7
Ponieważ funkcja T
nie zmienia znaku, więc w tym przedziale nie wystąpi lokalne
ekstremum funkcji momentu zginającego. Kierunek wygięcia wykresu jednoznacznie określa
kierunek działania obciążenia rozłożonego – działa ono do dołu, więc i wykres
ma
wypukłość skierowaną do dołu.
( )
3
x
(
3
x
M
)
Odcinek G-F,
l,
x
0
4
∈
W celu uproszczenia obliczeń wprowadzamy nowy układ współrzędnych X
4
Y
4.
ζ
ζ
Rozpatrujemy prawą część fragmentu III:
( )
( )
( )
( )
4
4
4
4
4
4
6
0
6
0
6
0
0
0
qlx
x
M
x
ql
x
M
M
ql
x
T
P
x
N
P
y
x
−
=
⇒
=
⋅
+
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
ζ
ζ
Jak widać funkcje
i T
są stałe, natomiast
jest zmienna liniowo. Na
granicach przedziału przyjmuje ona wartości:
(
4
x
N
)
)
)
(
4
x
(
4
x
M
( )
( )
2
6
0
0
ql
l
M
M
M
M
p
F
G
−
=
=
=
=
8
Nanosząc uzyskane wyniki na wykresy uzyskujemy dla rozpatrywanej belki:
α
=
≈ 2,37
W celu sprawdzenia poprawności otrzymanych funkcji sił przekrojowych można wstawić je
do różniczkowych równań równowagi:
q
dx
dT
T
dx
dM
−
≡
≡ ,
9
Dla przykładu sprawdzimy funkcje otrzymane w przedziale D-E:
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
4
3
4
3
4
3
2
2
1
3
4
1
2
2
1
4
1
x
q
q
x
l
q
q
x
l
q
q
x
l
q
dx
ql
qx
x
l
q
d
dx
x
dT
x
T
ql
qx
x
l
q
ql
x
q
l
x
q
dx
ql
qlx
qx
l
x
q
d
dx
x
dM
−
≡
+
−
=
−
−
=
−
⋅
−
=
+
−
−
=
≡
+
−
−
=
=
+
⋅
−
⋅
−
=
+
+
−
−
=
Jak widać wyniki się zgadzają.
Spostrzeżenia zapisane w Przykładzie 7.1. możemy uzupełnić o kolejne:
II. Dotyczy wykresu T
( )
x
4. Jeżeli na danym odcinku nie działa siła poprzeczna rozłożona, to wykres T
na tym
odcinku jest stały (T
).
( )
x
.
const
=
5. Na odcinku, na którym działa obciążenie poprzeczne rozłożone, liniowo zmienne,
wykres siły T
jest parabolą.
( )
x
6. W miejscu występowania teleskopu siła jest równa 0, o ile nie występuje tam siła
skupiona.
T
III. Dotyczy wykresu M
( )
x
4. Na odcinku, na którym siła poprzeczna T
jest stała, wykres
zmienia się
liniowo.
( )
x
( )
x
M
5. Na odcinku, na którym siła poprzeczna T
, wykres
jest stały.
( )
0
=
x
( )
x
M
6. Na odcinku, na którym siła poprzeczna T
zmienia się parabolicznie, wykres
jest parabolą 3-go stopnia.
( )
x
( )
x
M
7. W przegubie wykres
się zeruje, jeśli nie występuje w tym przekroju moment
skupiony.
( )
x
M
10
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
BELKA ZŁOŻONA ŁĄCZONA NA GWOŹDZIE KL
Belka zlozona
Belka złożona Połączenie przegubowe
Belka obciazona dobryaparat
ZESTAWIENIE OBCIĄŻEŃ, Nauka, pomoce, stare pomoce, betony, Złożone Konstrukcje Betonowe, Konstrukcje
Belka obciazona zlyaparat1
naprezenia wywolane obciazeniem prostokatnym rownomiernie rozlozonym
12 13 Z Hipotezy wytezenia Obciazenie zlozoneid 13706 (2)
Linia wpływowa rozdziału poprzecznego obciążenia
43 Belka obciążona siłą o zmiennym położeniu
Belka obciazona zlyaparat2
43 Belka obciążona siłą o zmiennym położeniu
analiza złożonych aktów ruchowych w sytuacjach patologicznych
więcej podobnych podstron