Przykład 7.2. Belka złożona. Obciążenie poprzeczne rozłożone, trapezowe.
Dla poniższej belki zapisać funkcje sił przekrojowych i sporządzić ich wykresy.
α
=
Rozwiązanie
Oznaczamy punkty charakterystyczne, składowe reakcji i przyjmujemy układ współrzędnych
XY.
α =
W celu obliczenia reakcji podzielimy belkę na części „cięciami” I-I i II-II.
Ι
ΙΙ
α =
Ι
ΙΙ
W miejscach „cięć” uzewnętrzniamy niezerowe siły działające w połączeniach.
α =
Wykorzystując równania równowagi dla poszczególnych fragmentów obliczymy reakcje.
Dla fragmentu II:
Rozpatrywany fragment belki obciążony jest m. in. obciążeniem poprzecznym trapezowym.
W celu uwzględnienia tego obciążenia należy podzielić je na obciążenie prostokątne
i trójkątne i dokonać ich superpozycji.
(
)
(
)
2
2
0
2
3
1
2
4
2
1
2
2
1
2
2
0
4
0
2
4
2
1
0
ql
M
l
l
q
q
l
l
q
M
l
ql
M
ql
T
l
q
q
T
ql
P
D
D
E
E
E
y
=
⇒
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⇔
=
−
=
⇒
=
⋅
+
⋅
−
−
⇔
=
∑
∑
Dla fragmentu III:
ql
V
ql
ql
V
ql
l
q
T
V
V
P
ql
V
ql
ql
V
l
l
l
q
l
T
l
V
M
N
P
G
G
E
G
F
y
F
F
E
F
G
E
x
6
0
4
4
14
0
4
0
14
0
6
2
4
0
2
1
4
2
0
0
0
−
=
⇒
=
−
−
+
⇒
=
⋅
−
+
+
⇔
=
=
⇒
=
−
⋅
−
⇒
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⇔
=
=
⇔
=
∑
∑
∑
Dla fragmentu II:
0
0
=
⇒
=
⇔
=
∑
D
E
D
x
N
N
N
P
2
Dla fragmentu I:
ql
V
ql
ql
V
ql
V
sin
V
P
ql
H
H
ql
N
H
cos
V
P
ql
V
V
5ql
ql
ql
sin
l
V
ql
M
ql
l
sin
V
l
ql
M
C
C
C
B
y
C
C
D
C
B
x
B
B
o
B
D
B
C
4
0
2
1
2
5
0
0
5
0
2
1
2
5
0
0
2
5
0
2
1
0
2
45
2
0
2
0
2
2
2
2
−
=
⇒
=
⋅
−
=
⇒
=
−
+
⋅
⇔
=
=
⇒
=
+
⋅
−
⇒
=
+
+
⋅
−
⇔
=
=
⇒
=
⋅
+
−
⇒
⇒
=
−
−
⋅
⋅
+
−
⇒
=
−
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⇔
=
∑
∑
∑
α
α
α
Tak więc na belkę działają następujące obciążenia:
α =
√2
W celu znalezienia funkcji sił przekrojowych, podobnie jak w Przykładzie 7.1. dokonywać
będziemy „przecięć” belki przekrojami pomiędzy punktami charakterystycznymi.
Odcinek A-B,
l,
x
0
∈
α
α =
√2
α
3
Rozpatrujemy lewą część fragmentu I:
( )
( )
( )
( )
qlx
x
M
x
ql
x
M
M
ql
x
T
P
x
N
P
y
x
−
=
⇒
=
⋅
−
−
⇔
=
−
=
⇔
=
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
0
0
0
0
0
α
α
Funkcja
jest zmienna liniowo, więc do jej narysowania potrzebna jest znajomość jej
wartości w dwóch punktach:
( )
x
M
( )
( )
2
0
0
ql
l
M
M
M
M
l
B
A
−
=
=
=
=
Odcinek B-C,
l
,
l
x
2
∈
α =
√2
β
β
Rozpatrujemy lewą część fragmentu I:
α =
√2
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
2
5
4
0
2
5
0
4
0
2
5
0
5
2
5
0
ql
qlx
x
M
x
M
l
x
sin
ql
x
ql
M
ql
x
T
x
T
sin
ql
ql
P
ql
x
N
cos
ql
x
N
P
y
x
−
=
⇒
=
−
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⇔
=
=
⇒
=
−
⋅
+
−
⇔
=
=
⇒
⋅
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
α
α
α
β
β
Funkcja
ponownie jest zmienna liniowo:
( )
x
M
( )
( )
2
2
2
3
5
2
4
2
q
ql
l
ql
l
M
M
ql
l
M
M
l
C
p
B
=
−
⋅
=
=
−
=
=
l
4
Odcinek D-C,
l,
x
0
1
∈
W celu uproszczenia obliczeń wprowadzamy nowy układ współrzędnych X
1
Y
1.
α =
√2
β
β
Rozpatrujemy prawą część fragmentu II:
( )
( )
( )
2
1
1
1
2
0
0
0
0
0
ql
x
M
M
x
T
P
x
N
P
y
x
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
γ
γ
Odcinek D-E,
l
,
x
2
0
2
∈
W celu uproszczenia obliczeń wprowadzamy nowy układ współrzędnych X
2
Y
2.
δ
δ
Rozpatrujemy lewą część fragmentu II:
Znalezienie wartości
polega na napisaniu równania prostej przechodzącej przez punkty
(0,q) i (2l,4q):
(
2
x
q
)
5
( )
b
ax
x
q
+
=
2
2
Podstawiając współrzędne punktów:
=
⇒
+
⋅
=
=
⇒
+
⋅
=
l
q
a
q
l
a
q
q
b
b
a
q
2
3
2
4
0
Czyli
( )
q
x
l
q
x
q
+
=
2
2
2
3
Tak więc:
( )
( ) ( )
[
]
( )
( )
( ) ( )
[
]
( )
( )
( )
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
2
3
6
1
2
1
2
0
3
1
0
2
1
2
1
2
0
4
3
2
3
2
1
0
0
2
1
0
0
0
2
2
ql
qlx
qx
l
x
q
x
M
x
q
q
x
l
q
qx
ql
qlx
x
M
x
M
x
x
x
q
q
x
x
q
ql
x
ql
M
ql
qx
x
l
q
)
x
(
T
x
q
x
l
q
q
ql
x
T
x
T
x
x
q
q
ql
P
x
N
P
y
x
+
+
−
−
=
⇒
⇒
−
+
−
−
+
=
⇒
⇒
=
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
−
+
⋅
⇔
=
+
−
−
=
⇒
⇒
+
+
−
=
⇒
=
−
⋅
+
⋅
−
−
⇔
=
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
δ
δ
Funkcja
jest zmienna parabolicznie, natomiast
jest wielomianem 3-go stopnia.
Wartości tych funkcji na granicach przedziału są następujące:
(
2
x
T
)
)
(
2
x
M
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
2
2
2
2
1
2
4
1
2
2
0
4
2
2
4
3
2
0
2
2
3
2
2
=
+
+
−
−
=
=
=
=
−
=
+
⋅
−
⋅
−
=
=
=
=
ql
l
ql
l
q
l
l
q
l
M
M
ql
M
M
ql
ql
l
q
l
l
q
l
T
T
ql
T
T
l
E
p
D
l
E
p
D
Jak widać funkcja T
zmienia znak, co oznacza, że punkcie zmiany znaku występuje
ekstremum lokalne
. W celu znalezienia punktu zerowania się funkcji T
należy
rozwiązać równanie kwadratowe:
( )
x
(
x
M
)
( )
x
( )
( )
[ ]
( )
l
l
q
q
q
x
l
,
D
l
l
q
q
q
x
q
q
q
ql
l
q
q
l
,
x
,
ql
qx
x
l
q
3
2
4
3
2
2
2
0
2
4
3
2
2
2
3
4
3
4
2
0
0
4
3
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
⋅
+
−
−
=
≡
∉
−
=
−
⋅
−
−
−
=
=
+
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∈
=
+
−
−
∆
6
Tak więc:
2
2
2
2
2
2
2
2
3
37
2
27
64
2
3
2
18
4
27
4
8
2
3
2
3
2
2
1
3
2
4
1
3
2
0
3
2
ql
,
ql
ql
ql
ql
ql
ql
l
ql
l
q
l
l
q
l
M
M
l
T
.
ekstr
≈
=
+
+
−
⋅
−
=
=
+
+
−
−
=
=
=
Odcinek E-F,
l,
x
0
3
∈
W celu uproszczenia obliczeń wprowadzamy nowy układ współrzędnych X
3
Y
3.
ξ
ξ
Rozpatrujemy lewą część fragmentu III:
( )
( )
( )
( )
( )
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
2
0
2
1
4
4
0
4
4
0
4
4
0
0
0
3
3
qlx
qx
x
M
x
M
x
x
q
x
ql
M
qx
ql
x
T
x
T
x
q
ql
P
x
N
P
y
x
−
−
=
⇒
=
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⇔
=
−
−
=
⇒
=
−
⋅
−
−
⇔
=
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
ξ
ξ
Funkcja
jest zmienna liniowo, natomiast
parabolicznie. Wartości tych funkcji
na granicach przedziału są następujące:
( )
3
x
T
(
3
x
M
)
( )
( )
( )
( )
2
2
6
4
2
0
0
8
4
4
4
0
ql
l
ql
ql
l
M
M
M
M
ql
l
q
ql
l
T
T
ql
T
T
l
F
p
E
l
F
p
E
−
=
⋅
−
−
=
=
=
=
−
=
⋅
−
−
=
=
−
=
=
7
Ponieważ funkcja T
nie zmienia znaku, więc w tym przedziale nie wystąpi lokalne
ekstremum funkcji momentu zginającego. Kierunek wygięcia wykresu jednoznacznie określa
kierunek działania obciążenia rozłożonego – działa ono do dołu, więc i wykres
ma
wypukłość skierowaną do dołu.
( )
3
x
(
3
x
M
)
Odcinek G-F,
l,
x
0
4
∈
W celu uproszczenia obliczeń wprowadzamy nowy układ współrzędnych X
4
Y
4.
ζ
ζ
Rozpatrujemy prawą część fragmentu III:
( )
( )
( )
( )
4
4
4
4
4
4
6
0
6
0
6
0
0
0
qlx
x
M
x
ql
x
M
M
ql
x
T
P
x
N
P
y
x
−
=
⇒
=
⋅
+
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
−
∑
∑
∑
ζ
ζ
Jak widać funkcje
i T
są stałe, natomiast
jest zmienna liniowo. Na
granicach przedziału przyjmuje ona wartości:
(
4
x
N
)
)
)
(
4
x
(
4
x
M
( )
( )
2
6
0
0
ql
l
M
M
M
M
p
F
G
−
=
=
=
=
8
Nanosząc uzyskane wyniki na wykresy uzyskujemy dla rozpatrywanej belki:
α
=
≈ 2,37
W celu sprawdzenia poprawności otrzymanych funkcji sił przekrojowych można wstawić je
do różniczkowych równań równowagi:
q
dx
dT
T
dx
dM
−
≡
≡ ,
9
Dla przykładu sprawdzimy funkcje otrzymane w przedziale D-E:
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
4
3
4
3
4
3
2
2
1
3
4
1
2
2
1
4
1
x
q
q
x
l
q
q
x
l
q
q
x
l
q
dx
ql
qx
x
l
q
d
dx
x
dT
x
T
ql
qx
x
l
q
ql
x
q
l
x
q
dx
ql
qlx
qx
l
x
q
d
dx
x
dM
−
≡
+
−
=
−
−
=
−
⋅
−
=
+
−
−
=
≡
+
−
−
=
=
+
⋅
−
⋅
−
=
+
+
−
−
=
Jak widać wyniki się zgadzają.
Spostrzeżenia zapisane w Przykładzie 7.1. możemy uzupełnić o kolejne:
II. Dotyczy wykresu T
( )
x
4. Jeżeli na danym odcinku nie działa siła poprzeczna rozłożona, to wykres T
na tym
odcinku jest stały (T
).
( )
x
.
const
=
5. Na odcinku, na którym działa obciążenie poprzeczne rozłożone, liniowo zmienne,
wykres siły T
jest parabolą.
( )
x
6. W miejscu występowania teleskopu siła jest równa 0, o ile nie występuje tam siła
skupiona.
T
III. Dotyczy wykresu M
( )
x
4. Na odcinku, na którym siła poprzeczna T
jest stała, wykres
zmienia się
liniowo.
( )
x
( )
x
M
5. Na odcinku, na którym siła poprzeczna T
, wykres
jest stały.
( )
0
=
x
( )
x
M
6. Na odcinku, na którym siła poprzeczna T
zmienia się parabolicznie, wykres
jest parabolą 3-go stopnia.
( )
x
( )
x
M
7. W przegubie wykres
się zeruje, jeśli nie występuje w tym przekroju moment
skupiony.
( )
x
M
10