Zestaw 1

1. Rozstrzygnąć prawdziwość zdań:

(a) ∀x > 0 ∃a ∈ R :

x
2

< a < x,

(b) ∀x > 0 ∀y > 0 : x 6= y ⇒

x+y

2

>

√

xy,

(c) ∃x ∈ R ∃y ∈ R : (x − y)

2

= x

2

− y

2

,

(d) ∀x ∈ R ∃y ∈ R : (x − y)

2

= x

2

− y

2

,

(e) ∃x ∈ R ∀y ∈ R : (x − y)

2

= x

2

− y

2

,

(f) ∀x ∈ R ∀y ∈ R : (x − y)

2

= x

2

− y

2

.

2. Podać zaprzeczenie zdania 1(f). Czy z 1(d) wynika 1(e).

3. Wyznaczyć zbiór A ⊂ N taki, aby zdanie:

∀x ∈ A : x

2

≤ 25 ⇔ |x − 4| > 1

było prawdziwe.

4. Wyznaczyć zbiór A ⊂ R taki, aby zdanie:

∀x ∈ A : 2

|x|+2

< 8 ∨ log

2

(x − 1) > 1

było prawdziwe.

5. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodzą równości:

(a) A ∪ (B \ C) = [(A ∪ B) \ C] ∪ (A ∩ C),

(b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) ∪ [(A ∩ C) \ D],

(c) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).

Uwaga!

A × B

def

= {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B} ,

A

2 def

= A × A.

6. Zbadać jakie relacje inkluzji (” ⊂ ”) zachodzą między zbiorami A, B i C jeśli prawdziwa jest

równość:

(a) (A ∪ B) ∩ (C ∪ B) = B,

1

(b) (A \ B) ∪ C = A ∪ B,

(c) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B.

7. Zilustrować graficznie zbiory: A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A

0

, B

0

⊂ R

2

jeśli:

(a) A = {(x, y) ∈ R

2

: y − 2

x

< 0}, B = {(x, y) ∈ R

2

: x − 2

y

< 0},

(b) A =

(x, y) ∈ R

2

:

1
3

|x| +

1
2

|y| ≤ 1

, B =

n

(x, y) ∈ R

2

:

x

2

4

+

y

2

9

≤ 1

o

.

8. Wyznaczyć

[

t∈T

A

t

oraz

\

t∈T

A

t

dla następujących rodzin zbiorów:

(a) A

t

=

x ∈ R :

1

t

≤ x ≤

4

t

, t ∈ T = N,

(b) A

t

= {x ∈ R : X = cos t + 1}, t ∈ T = R,

(c) A

t

=

x ∈ R : 2 −

1

t

< x < 2 +

1

t

, t ∈ T = N,

(d) A

t

= {x ∈ R : x t

2

≤ 1}, t ∈ T = R \ {0}.

9. Które spośród odwzorowań jest funkcją:

(a) f : R → R; f (x) = y ⇔ |x| + |y| = 1,

(b) f : R → R; f (x) = y ⇔ |x| = |y|,

(c) f : N → N; f (x) = y ⇔ x

2

= y

2

,

(d) f : R → R; f (x) = y ⇔ y

2

− x = 0,

(e) f : h0, +∞) → R; f (x) = y ⇔ y

2

− x = 0,

(f) f : R → h0, +∞); f (x) = y ⇔ y

2

− x = 0,

(g) f : h0, +∞) → h0, +∞); f (x) = y ⇔ y

2

− x = 0.

10. Podać przykłady zbiorów X, Y ⊂ R aby odwzorowanie f : X → Y , f (x) = y ⇔ x

2

+ y

2

= 4

było:

(a) funkcją,

(b) iniekcją,

(c) suriekcją.

11. Zbadać czy odwzorowanie f : x 7→ 2

arctg (x+1)

jest iniektywne. Podać D

f

i OI

f

. Czy istnieje

f

−1

? Jeśli tak, to wyznaczyć funkcję f

−1

.

2

12. Zbadać, czy funkcja f : R → R zadana wzorem

f (x) =

(

x

2

+ 1

dla x ≥ 0

2x − 2 dla x < 0

jest odwracalna w zbiorze R. Jeśli tak, to wyznaczyć funkcję f

−1

(tzn. podać D

f

−1

i OI

f

−1

oraz wzór dla f

−1

(x)).

13. Wyznaczyć f

−1

((−1, 1i) oraz f (h−5, 1)) jeśli funkcja f : R 7→ R zadana jest wzorem f (x) =

|x |x| − 4x|.

3