1. Rozstrzygnąć prawdziwość zdań:
(a) ∀x > 0 ∃a ∈ R : x < a < x,
2
√
(b) ∀x > 0 ∀y > 0 : x 6= y ⇒ x+y >
xy,
2
(c) ∃x ∈ R ∃y ∈ R : (x − y)2 = x2 − y2,
(d) ∀x ∈ R ∃y ∈ R : (x − y)2 = x2 − y2,
(e) ∃x ∈ R ∀y ∈ R : (x − y)2 = x2 − y2,
(f) ∀x ∈ R ∀y ∈ R : (x − y)2 = x2 − y2.
2. Podać zaprzeczenie zdania 1(f). Czy z 1(d) wynika 1(e).
3. Wyznaczyć zbiór A ⊂ N taki, aby zdanie:
∀x ∈ A : x2 ≤ 25 ⇔ |x − 4| > 1
było prawdziwe.
4. Wyznaczyć zbiór A ⊂ R taki, aby zdanie:
∀x ∈ A : 2|x|+2 < 8 ∨ log (x − 1) > 1
2
było prawdziwe.
5. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodzą równości: (a) A ∪ (B \ C) = [(A ∪ B) \ C] ∪ (A ∩ C),
(b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) ∪ [(A ∩ C) \ D], (c) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
Uwaga!
def
A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B} ,
A2 def
= A × A.
6. Zbadać jakie relacje inkluzji (” ⊂ ”) zachodzą między zbiorami A, B i C jeśli prawdziwa jest równość:
(a) (A ∪ B) ∩ (C ∪ B) = B,
1
(c) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B.
7. Zilustrować graficznie zbiory: A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A0, B0 ⊂
2
R jeśli:
(a) A = {(x, y) ∈
2
2
R : y − 2x < 0}, B = {(x, y) ∈ R : x − 2y < 0}, n
o
(b) A = (x, y) ∈
2
2
R : 1 |x| + 1 |y| ≤ 1 , B =
(x, y) ∈
: x2 + y2 ≤ 1 .
3
2
R
4
9
[
\
8. Wyznaczyć
At oraz
At dla następujących rodzin zbiorów:
t∈T
t∈T
(a) A
t = x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 4
, t ∈ T =
t
t
N,
(b) At = {x ∈ R : X = cos t + 1}, t ∈ T = R,
(c) A
t = x ∈ R : 2 − 1 < x < 2 + 1
, t ∈ T =
t
t
N,
(d) At = {x ∈ R : x t2 ≤ 1}, t ∈ T = R \ {0}.
9. Które spośród odwzorowań jest funkcją:
(a) f : R → R; f (x) = y ⇔ |x| + |y| = 1,
(b) f : R → R; f (x) = y ⇔ |x| = |y|,
(c) f : N → N; f (x) = y ⇔ x2 = y2,
(d) f : R → R; f (x) = y ⇔ y2 − x = 0,
(e) f : h0, +∞) → R; f (x) = y ⇔ y2 − x = 0,
(f) f : R → h0, +∞); f (x) = y ⇔ y2 − x = 0,
(g) f : h0, +∞) → h0, +∞); f (x) = y ⇔ y2 − x = 0.
10. Podać przykłady zbiorów X, Y ⊂ R aby odwzorowanie f : X → Y , f (x) = y ⇔ x2 + y2 = 4
było:
(a) funkcją,
(b) iniekcją,
(c) suriekcją.
11. Zbadać czy odwzorowanie f : x 7→ 2arctg (x+1) jest iniektywne. Podać Df i OIf . Czy istnieje f −1? Jeśli tak, to wyznaczyć funkcję f −1.
2
12. Zbadać, czy funkcja f : R → R zadana wzorem (
x2 + 1
dla x ≥ 0
f (x) =
2x − 2 dla x < 0
jest odwracalna w zbiorze R. Jeśli tak, to wyznaczyć funkcję f −1 (tzn. podać Df−1 i OIf−1
oraz wzór dla f −1 (x)).
13. Wyznaczyć f −1 ((−1, 1i) oraz f (h−5, 1)) jeśli funkcja f : R 7→ R zadana jest wzorem f (x) =
|x |x| − 4x|.
3