ALGEBRA ZBIORÓW

Jako pojęcia pierwotne, tzn. takie, które nie definiujemy przyjmujemy: zbiór ,element zbioru, przynależność elementu do zbioru.

Zdanie: x należy do zbioru A oznaczamy symbolem x∈A

(x∉A) (x∈A)’

Jeżeli A ⊂ B, to A jest podzbiorem B

Zbiory identyczne A,B

(A=B)[(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)]

(A ⊄ B)[(A ⊂ B) ∧ (A ≠ B)]

Zbiorem pustym ∅ nazywamy zbiór nie zawierający żadnego elementu.

Ponieważ x∈ ∅ => x∈A A-dowolny zbiór więc zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Zbiór ∅ oraz A to tzw.

podzbiory niewłaściwe zbioru A.

Oznaczamy przez W(x) własność elementu x∈X ≠ ∅

Zbiór elementów posiadających własność W(x) oznaczamy następująco

{x∈X:W(x)}

DZIAŁANIA NA ZBIORACH

♦ SUMA ZBIORÓW A,B

A ∪ B={x: ( x∈A)∨ ( x∈B)}

♦ ILOCZYN ZBIORÓW A,B

A ∩ B={x: ( x∈A)∧ ( x∈B)}

∅

Jeżeli A ∩ B =

to mówimy, że zbiory A,B są rozłączne

7

♦ RÓŻNICA ZBIORÓW A,B

A\B={x: ( x∈A)∧ ( x∉B)}

♦ RÓŻNICE SYMETRYCZNE ZBIORÓW A,B

A *−B={x:[( x∈A)∧ ( x∉B)] ∨ [( x∈B) ∧ ( x∉A)] }

PRAWA ALGEBRY ZBIORÓW

(1) Prawo de Morgana

A \ ( B ∪ C) = ( A \ B) ∩ ( A \ C) A \ ( B ∩ C) = ( A \ B) ∪ ( A \ C) (2) Prawo przemienności

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

(3) Prawo łączności

A ∪ ( B ∪ C) = ( A ∪ B) ∪ C

A ∩ ( B ∩ C) = ( A ∩ B) ∩ C

(4) Prawo rozdzielności

A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∪ ( A ∪ C) Dla liczb rzeczywistych a,b,c mamy a(b+c)=ab+ac a+(b*c)≠(a+)(a+c)

∅

Jeżeli ograniczymy się do rozpatrywania podzbiorów danego zbioru X≠

to przy A ⊂ X piszemy

A’=X\A, A’- dopełnienie zbioru A

8

ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Iloczynem kartezjańskim - produktem kartezjańskim zbiorów niepustych A,B nazywamy zbiór par uporządkowanych (a,b) takich, że a∈A, b∈B

oznaczamy ten zbiór symbolem

A×B={(a,b) : a∈A, b∈B}

RELACJE I FUNKCJE

Relacją między elementami zbiorów A,B nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego A× B.

Mówimy, że x∈A oraz y∈B pozostaje względem siebie w relacji R, co zapisujemy

xRy

jeżeli (x,y) należą do tego samego podzbioru, stąd

R={(x,y) ∈ A×B : xRy}

Relacja f między elementami zbioru X oraz Y nazywa się funkcją, określoną na X o wartościach z Y.

( ∀ ∃ xfy) ∧ [ ∀ ∀ ( xfy ∧ xfz) ⇒ y = z]

x∈ X y Y

∈

x∈ X y, z Y

∈

Funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiorze Y co zapisujemy f: X → Y lub y=f(x) dla x∈ X

9

wtedy X nazywamy dziedziną funkcji f,

a zbiór

Y0= { y∈Y : y=f(x) } dla x∈ X

nazywamy przeciw dziedziną funkcji f.

Jeżeli Y0=Y to mówimy, że f jest suriekcją X na Y.

Relację f nazywamy funkcją odwzorowującą X w Y wzajemnie jednoznacznie lub funkcją wzajemnie jednoznaczną lub iniekcją, jeżeli



 

 

 ∀ ∃



xfy ∧ ∀ ∃ xfy∧ xfz⇒ y = z ∧ ∀ ∀ ∀ ( xfy∧ zfy) ⇒ x = z



 ∈

x X ∈

y Y

  ∈

x X y, ∈

z Y

  ∈

x X ∈

y Y ∈

z X



10