1.  CO TO ZNACZY, ŻE CIĄG FUNKCYJNY JEST JEDNOSTAJNIE ZBIEŻNY. 

Ciąg funkcyjny   

 

           jest zbieżny w zbiorze A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy: 

   

   

 

 

                   

 

         

 

 

 

Ciąg funkcyjny   

 

           jest zbieżny jednostajnie w zbiorze A do funkcji granicznej f(x), co 

zapisujemy:    

 

         

 

 

     

     

   

 

    

   

     

     

    

 

                  

Zbieżność jednostajna implikuje zbieżność zwykłą ciągu    

 

         

 

 

       

 

         

 

 

  

Twierdzenie: Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągów jest też funkcją ciągłą. 

 

2. CO TO ZNACZY, ŻE SZEREG FUNKCYJNY JEST JEDNOSTAJNIE ZBIEŻNY. 

Szereg funkcyjny jest ciągiem swoich sum częściowych. 

Szereg funkcyjny nazywamy zbieżnym w zbiorze A, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny w 
tym zbiorze, tzn. : 

 

 

     

 

      

Jeżeli ciąg   

 

     jest jednostajnie zbieżny do S(x) w zbiorze A, tzn.: 

 

 

     

 

      , to mówimy, że szereg funkcyjny  

 

 

   

 

   

 jest jednostajnie zbieżny w zbiorze A. 

Twierdzenie: Jeżeli szereg jest zbieżny w zbiorze A, to nazywamy do bezwzględnie zbieżnym w tym 
zbiorze. 

 

3.  DEFINICJA ORTOGONALNEGO UKŁADU FUNKCJI. 

Funkcje f(x) i g(x) są ortogonalne na przedziale <a,b>, gdy: 

                

 

 

 

 

4.  PODAĆ I UDOWODNIĆ KRYTERIUM WEIERSTRASSA. 

Twierdzenie: Jeżeli szereg liczbowy  

 

 

 

   

 jest zbieżny i dla   

 

   

     

 

   zachodzi:   

 

          

 

  to 

szereg funkcyjny   

 

 

   

 

   

 jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny w zbiorze A. (Szereg liczbowy 

 

 

 

 

   

 nazywamy majorantą szeregu funkcyjnego  

 

 

   

 

   

 ) 

 

   

     

 

    

 

          

 

      

Aby pokazać, że szereg jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny należy wykazać, że: 

  

 

         

   

             

 

         

Zbieżność szeregu złożonego z funkcji ciągłych jest jednostajna, więc suma tego szeregu tez jest 
funkcją ciągłą. 

 

5.  PODAĆ TWIERDZENIE O CAŁKOWANIU CIĄGU FUNKCYJNEGO ORAZ SZEREGU FUNKCYJNEGO. 

Założenia:  

 

 

  

 

    są funkcjami ciągłymi w przedziale <a,b> 



 

ciąg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w <a,b> 

     

   

 

 

       

 

 

   

   

   

 

     

 

 

 



 

szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny  w <a,b> 

     

 

   

 

   

  

 

 

       

 

     

 

 

 

   

 

 

6. PODAĆ TWIERDZENIE O RÓŻNICZKOWANIU CIĄGU FUNKCYJNEGO ORAZ SZEREGU 
FUNKCYJNEGO. 

Założenia:  

 

 

  

 

     są funkcjami ciągłymi w przedziale <a,b> 



 

ciąg funkcyjny jest zbieżny w <a,b> 



 

ciąg funkcyjny   

 

      jest jednostajnie zbieżny w <a,b> 

 

                 

   

 

 

           

   

 

 

     



 

szereg  funkcyjny jest zbieżny w <a,b> 



 

szereg funkcyjny  

 

 

    

 

   

 jest jednostajnie zbieżny w <a,b> 

 

                

 

   

 

   

        

 

    

 

   

 

 

7. PODAĆ WARUNKI DIRICHLETA. 

Mówimy, że f(x) określona na przedziale <a;a+2l> spełnia w nim warunki Dirichleta, jeżeli: 



 

jest w tym przedziale monotoniczna bądź przedziałami monotoniczna 



 

jest funkcją ograniczoną 



 

jest ciągła za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, które mają nieciągłości I 
rodzaju. 

 

8. PODAĆ TWIERDZENIE O WYZNACZANIU SUMY SZEREGU FOURIERA 

Twierdzenie: Trygonometryczny szereg Fouriera f(x) określony na przedziale <a,a+2l> i spełniający 
warunki Dirichleta jest zbieżny w każdym punkcie tego przedziału, czyli posiada sumę S(x), przy 
czym: 



 

w punktach              , w których funkcja jest ciągła, suma szeregów wynosi f(x)=S(x) 



 

w punktach              , w których funkcja nie jest ciągła, suma szeregów wynosi 

      

   

 

     

 

 

 

 



 

na końcach przedziału x=a i x=a+2l suma wynosi       

   

 

        

 

 

 

 



 

S(x) – funkcja okresowa o T=2l 

 

9. ROZWINIĘCIE W SZEREG FOURIERA FUNKCJI PARZYSTEJ I NIEPARZYSTEJ. 



 

funkcja parzysta, zamiast <a;a+2l> rozważamy <-l;l>, szereg Fouriera upraszcza się do postaci: 

     

 

 

 

   

 

 

   

   

 

                             

 

   

 



 

funkcja nieparzysta, szereg upraszcza się do postaci: 
 

       

 

 

   

   

 

                           

 

   

 

Funkcję określoną w przedziale (0,l) lub <0,l> można rozwinąć w sinusowy lub cosinusowy szereg 
Fouriera wykorzystując do tego celu pomocniczą funkcję  

 

   , która powstaje z funkcji      poprzez 

przedłużenie jej na przedział (-l,0) lub <-l,0> w sposób parzysty lub nieparzysty. 

 

10. PODAĆ TWIERDZENIE O CIĄGŁOŚCI SUMY SZEREGU FUNKCYJNEGO. 

Twierdzenie: Suma jednostajnie zbieżnego w zbiorze A szeregu funkcji ciągłych jest też funkcją 
ciągłą w tym zbiorze. 

 

 

       

 

 

   

 

   

 

   

   

 

 

                    

 

                            

 

 

     

 

                               

Na to aby szereg funkcyjny był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby dla każdego 
      istniała taka liczba k, że dla n>k i dla     zachodzi nierówność: 

  

 

         

   

             

 

         

11. PODAĆ DEFINICJĘ UKŁADU ORTOGONALNEGO FUNKCJI. 

Ciąg funkcyjny   

 

         

 

      

 

       

 

     nazywamy ortogonalnym w przedziale <a,b> 

jeżeli: