1. CO TO ZNACZY, ŻE CIĄG FUNKCYJNY JEST JEDNOSTAJNIE ZBIEŻNY.

Ciąg funkcyjny

jest zbieżny w zbiorze A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy:

Ciąg funkcyjny

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze A do funkcji granicznej f(x), co

zapisujemy:

Zbieżność jednostajna implikuje zbieżność zwykłą ciągu

Twierdzenie: Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągów jest też funkcją ciągłą.

2. CO TO ZNACZY, ŻE SZEREG FUNKCYJNY JEST JEDNOSTAJNIE ZBIEŻNY.

Szereg funkcyjny jest ciągiem swoich sum częściowych.

Szereg funkcyjny nazywamy zbieżnym w zbiorze A, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny w
tym zbiorze, tzn. :

Jeżeli ciąg

jest jednostajnie zbieżny do S(x) w zbiorze A, tzn.:

, to mówimy, że szereg funkcyjny

jest jednostajnie zbieżny w zbiorze A.

Twierdzenie: Jeżeli szereg jest zbieżny w zbiorze A, to nazywamy do bezwzględnie zbieżnym w tym
zbiorze.

3. DEFINICJA ORTOGONALNEGO UKŁADU FUNKCJI.

Funkcje f(x) i g(x) są ortogonalne na przedziale <a,b>, gdy:

4. PODAĆ I UDOWODNIĆ KRYTERIUM WEIERSTRASSA.

Twierdzenie: Jeżeli szereg liczbowy

jest zbieżny i dla

zachodzi:

to

szereg funkcyjny

jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny w zbiorze A. (Szereg liczbowy

nazywamy majorantą szeregu funkcyjnego

)

Aby pokazać, że szereg jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny należy wykazać, że:

Zbieżność szeregu złożonego z funkcji ciągłych jest jednostajna, więc suma tego szeregu tez jest
funkcją ciągłą.

5. PODAĆ TWIERDZENIE O CAŁKOWANIU CIĄGU FUNKCYJNEGO ORAZ SZEREGU FUNKCYJNEGO.

Założenia:

są funkcjami ciągłymi w przedziale <a,b>



ciąg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w <a,b>



szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w <a,b>

6. PODAĆ TWIERDZENIE O RÓŻNICZKOWANIU CIĄGU FUNKCYJNEGO ORAZ SZEREGU
FUNKCYJNEGO.

Założenia:

są funkcjami ciągłymi w przedziale <a,b>



ciąg funkcyjny jest zbieżny w <a,b>



ciąg funkcyjny

jest jednostajnie zbieżny w <a,b>



szereg funkcyjny jest zbieżny w <a,b>



szereg funkcyjny

jest jednostajnie zbieżny w <a,b>

7. PODAĆ WARUNKI DIRICHLETA.

Mówimy, że f(x) określona na przedziale <a;a+2l> spełnia w nim warunki Dirichleta, jeżeli:



jest w tym przedziale monotoniczna bądź przedziałami monotoniczna



jest funkcją ograniczoną



jest ciągła za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, które mają nieciągłości I
rodzaju.

8. PODAĆ TWIERDZENIE O WYZNACZANIU SUMY SZEREGU FOURIERA

Twierdzenie: Trygonometryczny szereg Fouriera f(x) określony na przedziale <a,a+2l> i spełniający
warunki Dirichleta jest zbieżny w każdym punkcie tego przedziału, czyli posiada sumę S(x), przy
czym:



w punktach , w których funkcja jest ciągła, suma szeregów wynosi f(x)=S(x)



w punktach , w których funkcja nie jest ciągła, suma szeregów wynosi



na końcach przedziału x=a i x=a+2l suma wynosi



S(x) – funkcja okresowa o T=2l

9. ROZWINIĘCIE W SZEREG FOURIERA FUNKCJI PARZYSTEJ I NIEPARZYSTEJ.



funkcja parzysta, zamiast <a;a+2l> rozważamy <-l;l>, szereg Fouriera upraszcza się do postaci:



funkcja nieparzysta, szereg upraszcza się do postaci:

Funkcję określoną w przedziale (0,l) lub <0,l> można rozwinąć w sinusowy lub cosinusowy szereg
Fouriera wykorzystując do tego celu pomocniczą funkcję

, która powstaje z funkcji poprzez

przedłużenie jej na przedział (-l,0) lub <-l,0> w sposób parzysty lub nieparzysty.

10. PODAĆ TWIERDZENIE O CIĄGŁOŚCI SUMY SZEREGU FUNKCYJNEGO.

Twierdzenie: Suma jednostajnie zbieżnego w zbiorze A szeregu funkcji ciągłych jest też funkcją
ciągłą w tym zbiorze.

Na to aby szereg funkcyjny był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby dla każdego
istniała taka liczba k, że dla n>k i dla zachodzi nierówność:

11. PODAĆ DEFINICJĘ UKŁADU ORTOGONALNEGO FUNKCJI.

Ciąg funkcyjny

nazywamy ortogonalnym w przedziale <a,b>

jeżeli: