pawels1990

12. Praca gazu
a) Definicja:
- tłok przesuwa się na odległośd dl w wyniku ekspansji gazu o ciśnieniu p
-siła działająca na tłok ze strony gazu:

p- ciśnienie
A-
- wykonana przez gaz praca:

- praca wykonana przez gaz w czasie rozprężania od objętości V

p

do V

k

b) Wyprowadzenie wzoru na pracę gazu dla przemiany
izotermicznej
Praca gazu podczas przemiany izotermicznej -

T

= const

.

-równanie przemiany

-praca

13. Pierwsza zasada termodynamiki. Pojemności cieplne.
Zmiana energii wewnętrznej układu zamkniętego jest równa energii, która przepływa przez
jego granice na sposób ciepła lub pracy

ΔU – zmiana energii wewnętrznej układu,

Q – energia przekazana do układu jako ciepło,
W – praca wykonana na układzie.

W powyższym sformułowaniu przyjmuje się konwencję, że gdy:



W > 0 – do układu przepływa energia na sposób pracy,



W < 0 – układ traci energię na sposób pracy,



Q > 0 – do układu przepływa energia na sposób ciepła,



Q < 0 – układ traci energię na sposób ciepła.

Energią wewnętrzną ,U, układu cząstek nazywamy sumę energii kinetycznych cząstek liczoną
względem układu odniesienia w którym środek masy układu pozostaje w spoczynku i energii
potencjalnej cząstek wynikającej z ich wzajemnego oddziaływania

Energia wewnętrzna jest funkcją stanu

pawels1990

Pojemności cieplne - ilośd ciepła, jaka jest niezbędna
do zmiany temperatury ciała o daną wartośd.

14 Entropia w ujęciu fizyki statystycznej
Wykorzystuje rachunek prawdopodobieostwa przy
badaniu rozkładów parametrów mikroskopowych oraz
poszukuje wartości średnich tych parametrów w układzie złożonym przyjmując często pewne
założenia do mikroskopowej natury tych składników. Posługując się metodami statystycznymi można
uzyskad wzory (ukazujące) wiążące parametry makroskopowe z mierzalnymi parametrami
mikroskopowymi tzn. z wartościami średnimi parametrów mikroskopowych. Jeżeli znamy w danej
chwili czasu współrzędne przestrzenne i składowe prędkości wszystkich n składników układu to
mówimy, że znamy mikroskopowy stan lub mikrostan układu. Pewnym mikrostanom można
przypisad stany makroskopowe układu tzn. mikrostany określone przez mierzalne parametry
makroskopowe.

Makrostan- stan układu opisany za pomoca parametrów makroskopowych (p, V, U…)

Mikrostan –stan opisany za pomocą parametrów mikroskopowych – parametrów opisujących z
osobna stan każdego z elementów układy

Prawdopodobieostwo termodynamiczne Ω –liczba róznych mikrostanów odpowiadająca danemu
stanowi makroskopowemu.

W zależności od indywidualnej wartości cząstek tworzących układ podlegają one różnym rozkładom,
różnym statystykom fizycznym. Występują trzy rodzaje statystyk fizycznych: Rozkład Maxwella,
Fermiego-Diracka, Bosego-Einsteina.

To czym jest temperatura najlepiej wyjaśnia się w oparciu o teorię kinetyczno molekularną. Wynika z
niej, że: Temperatura jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej cząstek ciała.

W odróżnieniu od entropii i ciepła, których mikroskopowe definicje obowiązują także w stanie
nierównowagi termodynamicznej, temperatura może byd zdefiniowana tylko w stanie równowagi lub
lokalnej równowagi termodynamicznej.

Stan równowagi termodynamicznej – izolowany układ znajduje się z jednakowym
prawdopodobieostwem w jednym ze swoich możliwych mikrostanów.

Stan nierównowagi termodynamicznej – izolowany układ może znajdowad się z większym
prawdopodobieostwem w jednym ze swoich możliwych mikrostanów.

pawels1990

15. Zdefiniuj pojęcie entropii i podaj jej własności

Jest to termodynamiczna funkcja stanu, określająca kierunek przebiegu procesów spontanicznych
(samorzutnych) w odosobnionym układzie termodynamicznym. Entropia jest miarą stopnia
nieuporządkowania układu. Jest wielkością ekstensywną. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki,
jeżeli układ termodynamiczny przechodzi od jednego stanu równowagi do drugiego, bez udziału
czynników zewnętrznych (a więc spontanicznie), to jego entropia zawsze rośnie.

,

gdzie k- stała Boltzmanna, Ω- liczba sposobów, na jakie makroskopowy stan termodynamiczny układu
(makrostan) może byd zrealizowany poprzez stany mikroskopowe (mikrostany)

Własności:

a)

Funkcja stanu - funkcja zależna wyłącznie od stanu układu, czyli od aktualnych wartości
jego parametrów, takich jak masa, licznośd materii, temperatura, ciśnienie, objętośd i inne.
Zmiana wartości funkcji stanu zależy tylko od stanu początkowego i koocowego układu, a nie
od sposobu w jaki ta zmiana została zrealizowana. Funkcje stanu są najczęściej wielkościami,
których nie możemy bezpośrednio zmierzyd i dla których określenia konieczna jest pewna
procedura zawierająca różne założenia i konwencje.

b)

Funkcja addytywna - wielkośd fizyczna W opisująca układ fizyczny jest addytywna, jeśli
wielkośd ta dla całego układu jest sumą wielkości W

i

odpowiadających składowym częściom

tego układu fizycznego:

Wielkości addytywne:

Skalarne:



ilośd substancji



masa w fizyce klasycznej



liczba atomów (ale nie w reakcjach jadrowych)



liczba cząsteczek lub licznośd materii (liczba moli) (są addytywne, jednak nie muszą byd stałe
w czasie, gdy np. przebiegają reakcje chemiczne)



ładunek elektryczny



moment bezwładności względem tej samej osi



energia kinetyczna – tylko wówczas, gdy elementy układu nie oddziałują ze sobą

Wektorowe:



pęd



moment pędu

Niech układ A1 będzie realizowany na Ω1 sposobow, a układ A2 na Ω2 sposobów. Wtedy:

pawels1990

Procesy równowagowe – w każdej chwili układ znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej.

Procesy odwracalne – proces który może prowadzid w kierunku odwrotnym, tak aby układ i jego
otoczenie powróciły do pierwotnych parametrów

Dla procesów odwracalnych:

Dla procesów nieodwracalnych:

Tw. Nersta -

bo w T=0 każdy układ znajduje się w stanie podstawowym. Taki stan może byd zrealizowany tylko na
jeden sposób.

16 Entropia

a) Wyprowadź wzór na zmianę entropii gazu
doskonałego w przypadku przemiany izotermicznej

b) Korzystając z pojęcia entropii sformułuj drugą zasadę termodynamiki

Entropia układu zamkniętego wzrasta w przemianach nieodwracalnych i nie zmienia się w
przemianach odwracalnych. Entropia nigdy nie maleje.

17. Przedstaw zależnośd pomiędzy ilością stopni swobody a temperaturą i energią wewnętrzną
gazu doskonałego

pawels1990

a) Temperatura – jest miara energii kinetycznej cząstek; zderzenie pomiędzy cząstkami powodują
redystrybucję energii

b)Stopnie swobody - liczba niezależnych parametrów potrzebnych do opisania położenia cząstek
układu
c) Energią wewnętrzną ,U, układu cząstek nazywamy sumę energii kinetycznych cząstek liczoną
względem układu odniesienia w którym środek masy układu pozostaje w spoczynku i energii
potencjalnej cząstek wynikającej z ich wzajemnego oddziaływania

gdzie

n – liczba moli gazu,

C

V

– ciepło molowe przy stałej objętości,

ΔT – zmiana temperatury gazu.

Zasada ekwipartycji energii - na każdy stopieo swobody przypada taka sama energia kinetyczna
równa :

Średnia energia cząstki:

gdzie:



T – temperatura układu w kelwinach,



k – stała Boltzmanna,



i – liczba stopni swobody cząsteczki:

18 Wyjaśnij dlaczego gaz wywiera ciśnienie na ścianki naczynia oraz wyprowadź wzór
na ciśnienie gazu oraz równanie gazu doskonałego.
a)jedna cząstka
założenie:
zderzenia doskonale sprężyste

Zmiana pędu w wyniku zderzenia:

b) gaz doskonały o koncentracji n

∆N – ilośd cząstek uderzających w czasie ∆t w fragment

ściany o powierzchni

pawels1990

Cząstki w gazie poruszają się całkowicie chaotycznie, stąd

Równanie gazu doskonałego:

Równanie gazu doskonałego:

19 Opisz rozkład wartości prędkości cząstek gazu
doskonałego (rozkład Maxwella).
W wyniku zderzeo cząstek gazu następuje
redystrybucja pędu, a tym samym energii
kinetycznej pomiędzy cząstkami. W wyniku tego
ustala się pewien rozkład prędkości cząstek zależny
od temperatury. Na wykresie widad, że im większa
temperatura, tym wykres się obniża i leci w prawo.

gdzie:



v – prędkośd cząsteczki gazu



m – masa cząsteczki gazu



k – stała Boltzmanna, k = R/N

A

(R – stała gazowa)



T – temperatura



– prawdopodobieostwo, że cząsteczka będzie miała prędkośd z zakresu ( v, v + dv)

Korzystając z tego rozkładu możemy wyliczyd:

- prędkośd najbardziej prawdopodobną Vp

pawels1990

- prędkośd średnią Vs

- prędkośd średnią kwadratową Vk

20. Przedstaw funkcję rozkładu Boltzmanna

Jeżeli energia cząstek układu może przyjmowad wartości jedynie dyskretne to liczba cząstek o energii
Ei wyraża się zależnością:

Emisja wymuszona - Molekuła w stanie wzbudzonym pod wpływem zewnętrznego fotonu emituje
drugi foton przechodząc do nowego stanu.
• Wymuszający i emitowany foton mają takie same :
W stanie równowagi termodynamicznej dominuje emisja spontaniczna.

• częstotliwośd
• kierunek
• fazę

• Emitowana fala jest spójna
W stanie równowagi termodynamicznej dominuje emisja spontaniczna
Emisja spontaniczna zachodzi wtedy, gdy elektrony znajdujące się na poziomach wzbudzonych w
sposób spontaniczny wracają na niższe poziomy energetyczne, emitując przy tym fotony.
Z równania Boltzmanna:

• N1 - ilośd elektronów na poziomie E1
• N2 - ilośd elektronów na poziomie E2
21. Ruch falowy
a. Wyprowadź równanie sinusoidalnej fali płaskiej
W punkcie x=0 znajduje się źródło fali powodującej zaburzenia ośrodka wg
równania

Zaburzenie to dociera do punktu x=b po czasie

Zmiany w punkcie x=b są opóźnione o τ względem zmian w punkcie x=0

u- prędkośd fali

pawels1990

b. Omów zjawisko interferencji fali oraz wyprowadź wzór na maksima i minima
interferencyjne

















c. Omów dyfrakcję promieniowania X na monokrysztale ( na przykładzie NaCl)

a) Sześcienna struktura kryształu NaCl z pokazanymi jonami sodu i chloru oraz komórką elementarną
kryształu (zacieniowana).
b) Padające promieniowane rentgenowskie ulega dyfrakcji na strukturze (a). Ich ugięcie zachodzi tak,
jak gdyby było odbijane od rodziny równoległych płaszczyzn, a nie jak w optyce względem normalnej
do płaszczyzny odbijającej.
c) Różnica dróg między falami efektywnie odbitymi przez dwie sąsiednie płaszczyzny jest 2dsinΘ
d) Inny kierunek promieniowania rentgenowskiego zachodzi na płaszczyznach należących do innej
rodziny płaszczyzn odbijających
d. Wyprowadź równanie fali stojącej oraz omów jej własności
Rozpatrzmy interferencję dwu fal o jednakowych częstotliwościach a rozchodzących się w
przeciwnych kierunkach:

pawels1990

Ponieważ

I I

Amplituda

Częśd oscylatora

Maxima gdy kx=0+nπ
Zero gry kx=π+nπ

22 i 23. Wyjaśnij powstanie fotoprądu w fotokomórce po oświetleniu katody. Czy każda długośd
fali elektromagnetycznej generuje fotoprąd ?
• W wyniku absorpcji fotonu przez elektron uzyskuje on energię E=hv( h –stała Plancka, v-
częstotliwośd fali). Jeżeli energia ta jest większa od pracy wyjścia W, elektron może opuścid
powierzchnię katody i w układzie płynie fotoprąd.
• Wraz ze wzrostem oświetlenia powierzchni katody ( tzn. wzrostem ilości fotonów padających w
jednostce czasu na jednostkę powierzchni katody) rośnie ilośd elektronów emitowan ych z
powierzchni, a tym samym wartośd fotoprądu nasycenia.
• Różnicę energii pomiędzy energią fotonu a pracą wyjścia elektron unosi w postaci jego energii
kinetycznej

• Nie każda długośd fali elektromagnetycznej generuje prąd jedynie fale o częstotliwości większej od
pewnej minimalnej częstotliwości zwanej częstotliwością progową

24. Opisz efekt Comptona i wyprowadź wzór na długośd fali ugiętej
Jest to zjawisko rozpraszania promieniowania rentgenowskiego i promieniowania gamma, czyli
promieniowania elektromagnetycznego o dużej częstotliwości, na swobodnych lub słabo związanych
elektronach, w wyniku którego następuje zwiększanie długości fali promieniowania.
Gdy foton oddziałuje z materią, energia i pęd przekazywane SA tak, jakby zderzen ie fotonu i materii
zaszło w klasycznym sensie. Wiązka promieniowania rentgenowskiego o długości fali zderza się z
tarcza grafitową. Wiązka rozproszona zawiera cały zakres długości fali. Jedno maksimum natężenia
przypada dla długości fali padającej , a drugie dla długości fali odbitej ’ (większej). Padający foton
traci częsd energii na poruszenie elektronów, więc foton rozproszony ma mniejszą energię.
Rozproszone promieniowanie musi mied niższą częstośd. Przesunięcie comptonowskie:

I)Z zasady zachowania pędu:

II)Z trójkąta monochromatycznego ?:

Porównując I i II :

,

Ostatecznie:

25. Co to są fale materii. Przedstaw hipotezę de Broglie’a i doświadczenie ja potwierdzające.
Jest to alternatywny sposób opisu obiektów materialnych. Propozycja de Broglie’a polegała na tym,
aby każdej cząstce o różnym od zera pędzie przypisad fale o określonej długości i częstotliwości.
Doświadczenie potwierdzające hipotezę polegało na bombardowaniu sieci krystalicznej metali
związkami elektronów o dobrze określonym pędzie. Zaobserwowano wzór interferencyjny, który
tłumaczyła tzn. dyfrakcja fal na atomach metalu.
Długośd fali de Broglie’a:

26. Czym jest funkcja falowa. Przedstaw podstawowe własności.

pawels1990

Funkcja falowa jest podstawową wielkością opisującą stan układu kwantowego w
ujęciu relatywistycznym lub nierelatywistycznym, opisuje przemieszczenie się fali. Funkcja falowa jest
dana funkcją zespoloną, określona jest z dokładnością do fazy.
Właściwości:
- zwykle funkcja zespolona

- prawdopodobieostwo, że cząstka zostanie wykryta w określonym czasie jest proporcjonalne do

- gęstośd prawdopodobieostwa jest równa

- spełnia równanie Schrödingera
- musi byd funkcją ciągłą i mied ciągłe pochodne
27. Napisz równanie Schroedingera dla cząstki swobodnej i wyznacz wzór na jej energię.

)

(

2

2

2

2

x

E

dx

d

m











Rozwiązanie

2

2

2

2

2

2

2

)

sin(

)

(

)

sin(

)

sin(

2

)

sin(

)

sin(

)

(

2

)

sin(

)

(

k

m

E

kx

A

x

kx

EA

kx

A

k

m

kx

E

kx

k

A

m

kx

A

x

























28. Omów zasadę nieoznaczoności.
Zasada nieoznaczoności Heisenberga mówi, że nie ma możliwości by dowolnie dwie wybrane
wielkości zmierzyd z dowolnie dużą dokładnością niezależnie od przyrządu. Ograniczenie to jest
prawem przyrody. Najczęściej przedstawiana jest w postaci dwóch nierówności:

- pedu i położenie cząstki

- energii i czasu

Gdy (cząstka swobodna nie działa na nią żadna siła), to (położenie zupełnie
nieokreślone).
Zasadę tą stosujemy w świecie atomów.
29. Wyprowadź wzór na energię cząstki w nieskooczonej studni potencjału i wyjaśnij różnicę
pomiędzy rozwiązaniem klasycznym, a kwantowym.

czyli:

Podstawiamy kolejne wzory:







Przypadek klasyczny: znajdującą się w głębokiej studni piłka może posiadad dowolną energię
kinetyczną, w szczególności przypadku na dnie posiada E

c

=0.

Przypadek kwantowy: cząstka może przyjmowad tylko ściśle określone, różne od zera wartości.
30. Przedstaw kwantowanie energii oscylatora harmonicznego.
Wykonuje drgania wokół położenia równowagi trwałej. Jeśli na układ mechaniczny wykonujący
działa siła proporcjonalna do wychylenia (sprowadzająca go do położenia równowagi), to stanowi on
tzw. oscylator harmoniczny. Gdy nie występują straty energii (suma energii kinetycznej i
potencjonalnej jest stała), oscylator harmoniczny wykonuje drgania niegasnące, o stałej amplitudzie i
stałym okresie. W przeciwnym wypadku drgania oscylatora są gasnące (oscylator tłumiony). W
mechanice kwantowej energia oscylatora harmonicznego jest skwantowana.

pawels1990

Energia potencjału oscylatora harmonicznego:

Równanie Schroedingera dla oscylatora:

-

Funkcje falowe Ψ będące rozwiązaniem tego równania muszą byd ciągle i posiadac ciągle 1-wsze
pochodne. Takie rozwiązania istnieją wyłącznie wtedy, gdy energia całkowita oscylatora posiada
jedną z wartości:

31. Wyjaśnij czy cząstka o energii całkowitej E może się znaleźd w obszarze o energii potencjalnej
U>E. Odpowiedź uzasadnij wyznaczając prawdopodobieostwo takiego zdarzenia.
Jest możliwe, jednak tylko w teorii kwantowej( chyba chodzi o zjawisko tunelowe- istnieje skooczone
prawdopodobieostwo na znalezienie cząstki po drugiej stronie bariery)


32. Zjawisko tunelowania – zjawisko przejścia cząstki przez barierę (U=U

0

) potencjału o wysokości

większej niż energia cząstki (U

0

>E). Z punktu widzenia fizyki klasycznej, łamie ono zasadę zachowania

energii, ponieważ cząstka przez pewien czas przebywa w obszarze zabronionym przez zasadę
zachowania energii. Prawdopodobieostwo że cząstka o masie m i energii E przejdzie przez barierę
wysokości U

0

i szerokości L równe jest współczynnikowi przejścia T.

gdzie

Przykłady:
- fuzja jądrowa będąca źródłem energii słooca
- na zjawisku tunelowym oparte jest funkcjonowanie wielu półprzewodników elementów
elektronicznych( np. dioda tunelowa)