2 psyg,st www odblokowany

background image

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 1/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

1

Wprowadzenie

• ze względu na duży stopień złożoności i nieregularności sygnałów stosowanych

w praktyce ich przedstawienie w postaci formuły matematycznej i analiza w naturalnej
dziedzinie czasu stają się zazwyczaj niemożliwe i z tego względu posługujemy się
różnego rodzaju reprezentacjami (rodzaj symbolicznego opisu)

• dużego znaczenia nabiera zatem problem reprezentacji analitycznej sygnału, która

z jednej strony prowadzi do uproszczenia analizy a z drugiej strony umożliwia głębszą
interpretację niektórych jego cech fizycznych (np. reprezentacja widmowa sygnału)

• reprezentacja sygnału zawiera pełną informację o sygnale, wyrażoną w inny, zazwyczaj

bardziej abstrakcyjny sposób

• najogólniej rzecz biorąc istnieją dwie podstawowe reprezentacje sygnałów –

reprezentacja dyskretna i reprezentacja ciągła

• reprezentacja dyskretna sygnału (rozwinięcie w szereg Fouriera) umożliwia zastąpienie

badania funkcyjnej zależności w nieprzeliczalnym zbiorze punktów badaniem
przeliczalnego, ale w ogólnym przypadku nieskończonego, zbioru współczynników (liczb
rzeczywistych lub zespolonych)

• reprezentacja ciągła sygnału polega na określeniu odpowiedniego przekształcenia

sygnału (najczęściej całkowego), przyporządkowującemu mu odpowiedniej
reprezentującej go rzeczywistej lub zespolonej funkcji

1

opracowano na podstawie [1-4], wersja z dnia 02.10.2014

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi

jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 2/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Aproksymacja sygnału


• należy aproksymować sygnał

( )

t

x

przez sygnał

( )

t

u

w przedziale czasu

(

)

2

1

,t

t

, czyli

( )

( )

(

)

2

1

,

,

t

t

t

t

u

a

t

x

mówimy: w przedziale

(

)

2

1

,t

t

sygnał

( )

t

x

ma składową sygnału

( )

t

u

o wartości

a

• należy tak dobrać wartość

a

aby błąd aproksymacji

( ) ( )

( )

t

u

a

t

x

t

x

e

=

był w tym przedziale najmniejszy

• miarą jakości aproksymacji jest wartość błędu średniokwadratowego

( )

( )

( )

[

]

( )

=

=

ε

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

t

t

t

t

e

dt

t

t

u

a

t

x

t

t

dt

t

x

t

t

należy wyznaczyć wartość

a

, przy której

ε

osiąga minimum

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 3/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Aproksymacja sygnału (cd)

• po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera

0

d

d =

ε
a

otrzymujemy

( ) ( )

( )

=

2

1

2

1

2

t

t

t

t

dt

t

u

dt

t

u

t

x

a

jeśli

0

=

a

wówczas oznacza to, że sygnał

( )

t

x

nie zawiera składowej sygnału

( )

t

u

,

że sygnały

( )

t

x

oraz

( )

t

u

są skrajnie do siebie niepodobne, że sygnały

( )

t

x

oraz

( )

t

u

są ortogonalne w przedziale

(

)

2

1

,t

t

• zatem sygnały

( )

t

x

oraz

( )

t

u

są ortogonalne w przedziale

(

)

2

1

,t

t

jeżeli

( ) ( )

0

2

1

=

t

t

dt

t

u

t

x

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 4/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Aproksymacja sygnału (cd)

• przykład 1

funkcję prostokątną

( )

t

x

aproksymować przez przebieg sinusoidalny

( )

t

u

,

w przedziale

(

)

π

2

,

0

, minimalizując wartość błędu średniokwadratowego

( )

π

<

<

π

π

<

<

=

2

1

0

1

t

t

t

x

dla

dla

,

( )

t

t

u

sin

=

( ) ( )

( )

π

=

=

=

π

π

π

π

4

sin

sin

sin

2

0

2

2

0

2

2

1

2

1

tdt

tdt

tdt

dt

t

u

dt

t

u

t

x

a

t

t

t

t

zatem

( )

t

t

x

sin

4
π

4/π

t

x

(t),

0

1

-1

-4/π

u

(t)

π

background image

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 5/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Aproksymacja sygnału (cd)

• dla zmniejszenia błędu aproksymacji należy użyć zbioru wzajemnie ortogonalnych

w przedziale czasu

(

)

2

1

,t

t

funkcji

( )

t

u

1

,

( )

t

u

2

, ,

( )

t

u

n

, czyli

( ) ( )

j

i

dt

t

u

t

u

t

t

j

i

=

0

2

1

• zatem sygnał

( )

t

x

będzie zatem aproksymowany w przedziale

(

)

2

1

,t

t

przez liniową

kombinację

n

wzajemnie ortogonalnych funkcji

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

+

+

+

n

i

i

i

n

n

t

u

a

t

u

a

t

u

a

t

u

a

t

x

1

2

2

1

1

...

• można wykazać, że jeśli funkcje

( )

t

u

1

,

( )

t

u

2

, ...,

( )

t

u

n

tworzą zbiór zupełny funkcji

wzajemnie ortogonalnych wówczas ze wzrostem

n

średniokwadratowy błąd

aproksymacji maleje w granicy do zera

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

+

+

+

+

=

1

2

2

1

1

...

...

i

i

i

n

n

t

u

a

t

u

a

t

u

a

t

u

a

t

x

(równość sygnału i szeregu w sensie wartości błędu średniokwadratowego, nie zawsze
oznacza to zbieżność punktową – efekt Gibbsa)

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 6/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Aproksymacja sygnału (cd)

• przykład 2

funkcję prostokątną

( )

t

x

z przykładu 1 aproksymować w przedziale

(

)

π

2

,

0

przez

skończony szereg wzajemnie ortogonalnych funkcji sinusoidalnych

( )

3

,

2

,

1

,

sin

=

=

i

it

t

u

i

, minimalizując wartość błędu średniokwadratowego

=

π

=

=

π

j

i

j

i

jtdt

it

I

0

sin

sin

2

0

dla

dla

warunek wzajemnej ortogonalności

( )

( )

( )

( )

t

u

a

t

u

a

t

u

a

t

x

3

3

2

2

1

1

+

+

( )

t

t

u

sin

1

=

,

( )

t

t

u

2

sin

2

=

,

( )

t

t

u

3

sin

3

=

π

=

4

1

a

,

0

2

=

a

,

π

=

4

3

1

3

a

( )

+

π

t

t

t

x

3

sin

3

1

sin

4

t

x

(t),

0

1

-1

u

1

(t),

π

u

3

(t)

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 7/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Uogólniony szereg Fouriera

• z matematycznego punktu widzenia zagadnienie dyskretnej reprezentacji sygnału

sprowadza się do zagadnienia aproksymacji, czyli przybliżenia sygnału

( )

t

x

szeregiem

typu

( )

( )

=

n

i

i

i

t

u

a

t

x

0

gdzie:

( )

t

u

i

- ustalone funkcje czasu (funkcje bazowe)

i

a

- współczynniki szeregu (liczby rzeczywiste lub zespolone)

w pierwszym kroku

procedury aproksymacyjnej wybiera się zbiór funkcji

( )

t

u

i

o określonych właściwościach,

w drugim kroku

wyznacza się liczby

i

a

,

tak, aby błąd

aproksymacji był najmniejszy w sensie pewnego ustalonego kryterium miary błędu
(minimum błędu średniokwadratowego)

• funkcje

( )

t

u

i

są dobierane w taki sposób, by ze wzrostem ich liczby

n

błąd

aproksymacji malał i w granicy szereg nieskończony był zbieżny według średniej do

funkcji aproksymowanej

( )

t

x

(zbiór zupełny funkcji wzajemnie ortogonalnych)

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 8/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Uogólniony szereg Fouriera (cd)


szereg

( )

( )

=

=

0

i

i

i

t

u

a

t

x

gdzie

( )

{

}

t

u

i

stanowi układ zupełny funkcji wzajemnie ortogonalnych

w przedziale

(

)

2

1

,t

t

, a współczynniki

i

a

określone są zależnością

( ) ( )

( )

=

2

1

2

1

2

t

t

i

t

t

i

i

dt

t

u

dt

t

u

t

x

a

nosi nazwę uogólnionego szeregu Fouriera



background image

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 9/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Uogólniony szereg Fouriera (cd)


• podane powyżej definicje można uogólnić na układ ortogonalnych funkcji zespolonych

• warunek ortogonalności dla układu funkcji zespolonych zapisuje się następująco

( ) ( )

,...

2

,

1

,

0

,

,

0

2

1

*

=

=

j

i

j

i

dt

t

u

t

u

t

t

j

i

gdzie

dla

• współczynniki uogólnionego szeregu Fouriera dla układu ortogonalnych funkcji

zespolonych wyznacza się z następującego wzoru

( ) ( )

( )

=

2

1

2

1

2

*

t

t

i

t

t

i

i

dt

t

u

dt

t

u

t

x

a



2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 10/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Uogólniony szereg Fouriera (cd)


• uogólniony szereg Fouriera posiada bardzo istotną właściwość: zapewnia najlepszą

aproksymację w sensie minimum błędu średniokwadratowego (bez dowodu)

• z powyższego wynika, iż rozwijanie sygnału

( )

t

x

, przy użyciu wybranego układu funkcji

ortogonalnych w uogólniony szereg Fouriera sprowadza się do jednoznacznego

przyporządkowania mu ciągu liczb

n

i

a

a

a

a

a

,...,

,...,

,

,

2

1

0

• możliwość przedstawienia sygnałów w postaci uogólnionego szeregu Fouriera ma bardzo

istotne znaczenie praktyczne; zamiast badać funkcyjne zależności w nieprzeliczalnym
zbiorze punktów, możemy charakteryzować go przeliczalnym (w ogólnym przypadku
nieskończonym) zbiorem współczynników

• Dla przedstawienia sygnału w postaci uogólnionego szeregu Fouriera można stosować

zarówno funkcje elementarne jak i specjalne układy, spełniające warunek ortogonalności

w rozmaitych przedziałach. Mogą to być funkcje trygonometryczne, funkcje typu

x

x

sin

,

wielomiany Hermite’a, Legendre’a, Czebyszewa, funkcje Bessela, Laguerre’a, Walsha
i wiele innych. Do celów analizy wybiera się takie funkcje, które zapewniają najszybszą
zbieżność szeregu, tzn. wymagających najmniejszej liczby wyrazów szeregu, przy
zadanej dokładności przybliżenia.



2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 11/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Wykładniczy szereg Fouriera

• dowolny sygnał

( )

t

x

można rozwinąć w przedziale

(

)

2

1

,t

t

w uogólniony szereg

Fouriera postaci

( )

( )

=

=

0

i

i

i

t

u

a

t

x

gdzie:

( )

t

u

i

- wybrany układ funkcji ortogonalnych w przedziale

(

)

2

1

,t

t

(funkcje bazowe)

i

a

- współczynniki rozwinięcia

• można wykazać, że zbiór funkcji wykładniczych

{ }

...

,

2

,

1

,

0

,

0

±

±

=

ω

i

e

t

ji

tworzy w przedziale

(

)

0

0

0

,

T

t

t

+

, gdzie

0

0

2
ω

π

=

T

, układ ortogonalny


2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 12/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Wykładniczy szereg Fouriera (cd)

dowód

warunek ortogonalności dla układu funkcji zespolonych

( ) ( )

m

n

dt

t

u

t

u

t

t

m

n

=

0

2

1

*

dla

zatem

(

)

(

)

+

ω

+

ω

ω

+

ω

ω

=

=

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

*

T

t

t

t

m

n

j

T

t

t

t

jm

t

jn

T

t

t

t

jm

t

jn

dt

e

dt

e

e

dt

e

e

I

dla

m

n =

0

0

2

0

0

0

ω

π

=

=

=

+

T

dt

I

T

t

t

dla

m

n

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

0

1

1

1

2

0

0

0

0

0

0

=

ω

=

ω

=

π

+

ω

m

n

j

T

t

t

t

m

n

j

e

m

n

j

e

m

n

j

I

background image

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 13/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Wykładniczy szereg Fouriera (cd)


• zatem dowolny sygnał

( )

t

x

można rozwinąć w przedziale

(

)

0

0

0

,

T

t

t

+

w szereg

(wykładniczy)

( )

−∞

=

ω

ω

ω

ω

ω

=

+

+

+

+

+

+

=

i

t

ji

i

t

j

t

j

t

j

t

j

e

a

e

a

e

a

a

e

a

e

a

t

x

0

0

0

0

0

...

...,

2

2

1

0

1

2

2

• współczynniki uogólnionego szeregu Fouriera dla układu ortogonalnych funkcji

zespolonych wyznacza się z następujących wzorów

( ) ( )

( )

( )

( )

+

ω

+

ω

ω

+

ω

+

+

=

=

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

*

1

T

t

t

t

ji

T

t

t

t

ji

t

ji

T

t

t

t

ji

T

t

t

i

T

t

t

i

i

dt

e

t

x

T

dt

e

e

dt

e

t

x

dt

t

u

dt

t

u

t

x

a


2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 14/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Wykładniczy szereg Fouriera (cd)


• ostatecznie




przedstawienie dowolnego sygnału

( )

t

x

za pomocą szeregu wykładniczego

( )

−∞

=

ω

ω

ω

ω

ω

=

+

+

+

+

+

+

=

i

t

ji

i

t

j

t

j

t

j

t

j

e

a

e

a

e

a

a

e

a

e

a

t

x

0

0

0

0

0

...

...,

2

2

1

0

1

2

2

gdzie

( )

+

=

0

0

0

0

0

1

T

t

t

dt

t

x

T

a

( )

+

ω

=

0

0

0

0

0

1

T

t

t

t

ji

i

dt

e

t

x

T

a

nazywamy rozwinięciem sygnału w szereg wykładniczy Fouriera w przedziale

(

)

0

0

0

,

T

t

t

+



2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 15/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Wykładniczy szereg Fouriera (cd)

• dotychczasowe rozważania dotyczyły przedstawienia dowolnego sygnału

( )

t

x

za

pomocą szeregu w przedziale skończonym

(

)

0

0

0

,

T

t

t

+

poza tym przedziałem sygnał

( )

t

x

oraz odpowiadający mu szereg Fouriera, nie muszą być sobie równe

• jeśli sygnał

( )

t

x

jest okresowy o okresie

0

T

, to można wykazać, że jego rozwinięcie

w szereg dotyczy przedziału nieskończonego

(

)

− ,

przedstawienie sygnału okresowego

( )

t

x

, o okresie

0

T

, za pomocą szeregu

wykładniczego

( )

−∞

=

ω

=

i

t

ji

i

e

a

t

x

0

gdzie

( )

+

=

0

0

0

0

0

1

T

t

t

dt

t

x

T

a

( )

+

ω

=

0

0

0

0

0

1

T

t

t

t

ji

i

dt

e

t

x

T

a

nazywamy rozwinięciem sygnału okresowego w szereg wykładniczy Fouriera

w przedziale nieskończonym

(

)

− ,

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 16/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Wykładniczy szereg Fouriera (cd)

• współczynniki

i

a

w ogólnym przypadku są wielkościami zespolonymi, które można

zapisać w postaci wykładniczej

i

j

i

i

e

a

a

ϕ

=

wówczas:

i

a

nazywamy widmem amplitudowym

i

ϕ

nazywamy widmem fazowym

a rozwinięcie w szereg wykładniczy Fouriera przyjmie postać

( )

(

)

−∞

=

ϕ

+

ω

−∞

=

ω

ϕ

−∞

=

ω

=

=

=

i

t

i

j

i

i

t

ji

j

i

i

t

ji

i

i

i

e

a

e

e

a

e

a

t

x

0

0

0

• widmo mocy

2

i

i

a

P =

• moc sygnału

( )

t

x

rozwiniętego w wykładniczy szereg Fouriera

( )

−∞

=

+

=

=

i

i

T

t

t

x

a

dt

t

x

T

P

2

2

0

0

0

0

1

background image

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 17/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Trygonometryczny szereg Fouriera


• można wykazać, że zbiór funkcji trygonometrycznych

{

}

...

,

2

,

1

,

0

,

sin

,

cos

0

0

=

ω

ω

i

t

i

t

i

tworzy w przedziale

(

)

0

0

0

,

T

t

t

+

, gdzie

0

0

2
ω

π

=

T

, układ ortogonalny zupełny

• zatem dowolny sygnał

( )

t

x

można rozwinąć w przedziale

(

)

0

0

0

,

T

t

t

+

w szereg postaci

( )

( )

( )

(

)

=

=

=

=

=

ω

+

ω

+

=

=

ω

+

ω

=

+

=

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

sin

cos

sin

cos

i

i

i

i

i

i

i

i

is

i

i

ic

i

t

i

b

t

i

a

a

t

i

b

t

i

a

t

u

b

t

u

a

t

x

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 18/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Trygonometryczny szereg Fouriera (cd)


• współczynniki rozwinięcia wyznacza się ze wzorów

( ) ( )

( )

+

+

=

0

0

0

0

0

0

2

T

t

t

ic

T

t

t

ic

i

dt

t

u

dt

t

u

t

x

a

,

( ) ( )

( )

+

+

=

0

0

0

0

0

0

2

T

t

t

is

T

t

t

is

i

dt

t

u

dt

t

u

t

x

b

• zatem współczynniki rozwinięcia dla układu funkcji trygonometrycznych

dla

0

=

i

( )

( )

+

+

+

=

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

T

t

t

T

t

t

T

t

t

dt

t

x

T

dt

dt

t

x

a


2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 19/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Trygonometryczny szereg Fouriera (cd)

dla

,...

2

,

1

=

i

( )

( )

+

+

+

ω

=

ω

ω

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

cos

2

cos

cos

T

t

t

T

t

t

T

t

t

i

tdt

i

t

x

T

tdt

i

tdt

i

t

x

a

( )

( )

+

+

+

ω

=

ω

ω

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

sin

2

sin

sin

T

t

t

T

t

t

T

t

t

i

tdt

i

t

x

T

tdt

i

tdt

i

t

x

b

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 20/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Trygonometryczny szereg Fouriera (cd)

• ostatecznie


dowolny sygnał

( )

t

x

można rozwinąć w szereg trygonometryczny

w przedziale

(

)

0

0

0

,

T

t

t

+

( )

(

)

=

ω

+

ω

+

=

1

0

0

0

sin

cos

i

i

i

t

i

b

t

i

a

a

t

x

gdzie:

( )

+

=

0

0

0

0

0

1

T

t

t

dt

t

x

T

a

( )

+

ω

=

0

0

0

0

0

cos

2

T

t

t

i

tdt

i

t

x

T

a

( )

+

ω

=

0

0

0

0

0

sin

2

T

t

t

i

tdt

i

t

x

T

b

background image

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 21/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Trygonometryczny szereg Fouriera (cd)

• dla sygnałów okresowych


sygnał okresowy

( )

t

x

, o okresie

0

T

można rozwinąć w szereg

trygonometryczny w przedziale nieskończonym

(

)

− ,

( )

(

)

=

ω

+

ω

+

=

1

0

0

0

sin

cos

i

i

i

t

i

b

t

i

a

a

t

x

gdzie:

( )

+

=

0

0

0

0

0

1

T

t

t

dt

t

x

T

a

( )

+

ω

=

0

0

0

0

0

cos

2

T

t

t

i

tdt

i

t

x

T

a

( )

+

ω

=

0

0

0

0

0

sin

2

T

t

t

i

tdt

i

t

x

T

b

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 22/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Trygonometryczny szereg Fouriera (cd)


• jeśli współczynniki rozwinięcia zapiszemy w postaci

i

i

i

c

a

ϕ

= cos

oraz

i

i

i

c

b

ϕ

= sin

wówczas

2

2

i

i

i

b

a

c

+

=

oraz

i

i

i

a

b

arctg

=

ϕ

podstawiając powyższe zależności do wyrażenia na szereg trygonometryczny Fouriera
otrzymamy

( )

(

)

=

ϕ

ω

+

=

1

0

0

cos

i

i

i

t

i

c

a

t

x

gdzie:

i

c

- amplituda

i

-tej harmonicznej (

widmo amplitudowe

)

i

ϕ

- faza początkowa

i

-tej harmonicznej (

widmo fazowe

)


2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 23/24

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Warunki Dirichleta


• aby sygnał okresowy

( )

t

x

można było rozwinąć w szereg Fouriera musi spełniać tzw.

warunki Dirichleta

warunek 1

sygnał

( )

t

x

musi być bezwzględnie całkowalny (warunek dostateczny)

( )

<

+

0

0

0

T

t

t

dt

t

x

warunek 2

dla dowolnego przedziału czasu o długości

0

T

sygnał

( )

t

x

posiada

skończoną liczbę ekstremów

warunek 3

dla dowolnego przedziału czasu o długości

0

T

sygnał

( )

t

x

posiada

skończoną liczbę punktów nieciągłości

każdy przebieg okresowy, który można wytworzyć w warunkach
eksperymentalnych spełnia warunki Dirichleta

2. Analiza widmowa sygnałów okresowych.doc, 24/24

BIBLIOGRAFIA

1. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów. Kompendium wiedzy na temat

sygnałów i metod ich przetwarzania, Helion, Gliwice, 2006

2. Szabatin J.: Podstawy teorii sygnałów. Wydawnictwa Komunikacji i Łączności,

Warszawa, 1982.

3. Baskakow S.I.: Sygnały i układy radiotechniczne. Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa, 1991.

4. Lathi B.P.: Systemy telekomunikacyjne. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne WNT,

Warszawa, 1972.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3 psyg,st www odblokowany
1 psyg,st www odblokowany
4 psyg,st www odblokowany
9 psyg,st www odblokowany
11 psyg,st www odblokowany
7 psyg,st www odblokowany
10 psyg,st www odblokowany
6 psyg,st www odblokowany
3 psyg,st www odblokowany
1 psyg,st www odblokowany

więcej podobnych podstron