Ryzyko i niepewność
Ryzyko i niepewność
Ryzyko i niepewność
- wprowadzenie
Zdarzenia wzajemnie wykluczające się:
E
1
, E
2
, .... , E
k
Prawdopodobieństwa tych zdarzeń:
p
1
, p
2
, .... , p
k
lub
ππππ
1
, π
πππ
2
, .... , π
πππ
k
i lub
Wartości, jakie zdarzenia niosą ze sobą:
y
1
, y
2
, .... , y
k
lub
c
1
, c
2
, .... , c
k
Wartość oczekiwana:
Ey = p
1
y
1
+ p
2
y
2
+ .... + p
k
y
k
(tu: dochód oczekiwany)
1
1
=
∑
=
k
i
i
p
1
1
=
∑
=
k
i
i
π
Konsument ma preferencje dotyczące konsumpcji w różnych
sytuacjach
→ funkcja użyteczności:
U(y
1
, y
2
, .... , y
k
; p
1
, p
2
, .... , p
k
)
Zajmiemy się grami, w których występują dwie wykluczające się
możliwości jak np. przy rzucie sprawiedliwą monetą:
•
ππππ
: prawdopodobieństwo konsumpcji
c
1
•
1 - π
πππ
: p-stwo konsumpcji
c
2
funkcja użyteczności:
U(c
1
, c
2
; π
πππ, (1 - ππππ))
Przykłady funkcji użyteczności:
•
np. dla doskonałych substytutów:
U(•
•••) = ππππc
1
+ (1 - π
πππ)c
2
W kontekście niepewności takie wyrażenie zwane jest
wartością oczekiwaną
.
Jest to przeciętny poziom konsumpcji
.
•
Funkcja Cobb-Douglas’a:
U(•
•••) = c
1
π
ππ
π
+ c
2
(1 - π
ππ
π)
Po tożsamościowym przekształceniu:
•
lnU(•
•••) = ππππlnc
1
+ (1 - π
πππ)lnc
2
Użyteczną formą funkcji użyteczności jest:
U(c
1
, c
2
; π
πππ, (1 - ππππ)) = ππππv(c
1
) + (1 - π
πππ)v(c
2
),
gdzie
v(c)
jest funkcją konsumpcji w każdym stanie.
Użyteczność jest więc sumą ważoną funkcji konsumpcji w każdym
stanie, a wagami są prawdopodobieństwa zaistnienia tych
stanów
.
Jeżeli jeden ze stanów jest pewien, np.:
ππππ
1
= 1
, to
v(c
1
)
jest
użytecznością pewnej konsumpcji w stanie 1.
Jeżeli
ππππ
2
= 1
, to
v(c
2
)
jest użytecznością pewnej konsumpcji w
stanie 2.
Wyrażenie:
ππππ
1
v(c
1
) + π
πππ
2
v(c
2
)
opisuje użyteczność oczekiwaną lub użyteczność średnią
konsumpcji (c
1
, c
2
).
Możemy wiec odwołać się do szczególnej funkcji użyteczności:
funkcji użyteczności oczekiwanej
(von Neumanna – Morgensterna)
EU = U(c
1
, c
2
) = π
πππ
1
U(c
1
) + π
πππ
2
U(c
2
)
.
Przykład: Jaś Hazardzista ma 10 zł. i chce włączyć się do gry, w
wyniku której z p-stwem ½ może wygrać 5 zł lub z p-stwem ½
może stracić 5 zł.
•
Wartość oczekiwana gry (dochodu):
EY = ½ (10 + 5) + ½ (10 – 5) = 10
•
Użyteczność oczekiwana gry:
EU = ½ U(15) + ½ U(5)
Awersja wobec ryzyka
EY=10
15
5
Y
U
U(15)
U(EY)
U(5)
EU
U(EY) > EU : osoba nie lubi ryzyka
U(Y)
EY=10
15
5
Y
U
U(EY)
EU
U(EY) < EU : osoba lubi ryzyko
U(Y)
EY=10
15
5
Y
U
EU =
U(EY)
U(EY) = EU : osoba neutralna wobec ryzyka
U(Y)
Wyznaczanie punktu równowagi jednostki
Kupujesz samochód za
$35.000
.
W razie wypadku ponosisz stratę:
$10.000
z
p
1
= 1/100
.
Napotykasz więc możliwości:
C
d
[35.000; 99/100]
&
C
z
[25.000; 1/100]
Możesz wykupić
ubezpieczenie
płacąc
$1 za $100
odszkodowania
,
czyli
stawka
γγγγ = 1/100
.
Składka musi być zapłacona niezależnie od tego, co się zdarzy.
Jeśli decydujesz się wykupić ubezpieczenie,
to za odszkodowanie
K = $10.000
zapłacisz
$100
.
Napotykasz teraz następujące możliwości:
C
d
[35.000 – 100 = 34.900; 99/100]
&
C
z
[35.000 – 10.000 + 10.000 – 100 = 34.900; 1/100]
Czyli jest ci obojętne, co się stanie, bo twój stan posiadania nie
zmieni się w razie wypadku.
-
γK
K -
γK
C
d
C
z
35.000
35.000
-
γK
25.000
35.000 -
γK
Punkt wyposażenia
początkowego
Punkt po ubezpieczeniu
Nachylenie =
-
γγγγ/1 - γγγγ
Nachylenie
to
ekstra konsumpcja,
jaką tracisz w dobrym stanie
(
γγγγK
)
do
ekstra konsumpcji,
jaką otrzymujesz w złym stanie
(
K - γ
γγγK
):
.
d
z
z
d
p
p
K
K
K
C
C
=
−
=
−
=
∆
∆
γ
γ
γ
γ
1
.
Dołączamy funkcję użyteczności:
ππππ
z
i
ππππ
d
= (1 - π
πππ
z
) →
→
→
→ ππππ i (1 - ππππ)
U(•
•••) = (1 - ππππ)U(c
d
) + π
πππ U(c
z
)
d
d
z
z
c
c
U
c
c
U
MRS
∆
∆
−
∆
∆
−
=
)
(
)
1
(
)
(
π
π
.
W punkcie równowagi: MRS = stosunek cen:
γ
γ
π
π
−
−
=
∆
∆
−
∆
∆
−
1
)
(
)
1
(
)
(
d
d
z
z
c
c
U
c
c
U
Spójrzmy teraz z punktu widzenia
firmy ubezpieczeniowej:
•
z p-stwem
ππππ
musi zapłacić odszkodowanie
K
•
z p-stwem
(1 - π
πππ)
nie wypłaci
nic
.
Zawsze otrzyma
γγγγK
.
Zysk oczekiwany firmy, P, wynosi:
P = γ
γγγK - ππππK – (1 - ππππ)0 = γγγγK - ππππK
.
Jeśli firma oferuje „sprawiedliwe” ubezpieczenie to znaczy, że
stawka jest sprawiedliwa, czyli nie osiąga zysku:
P = γ
γγγK - ππππK = 0 →
→
→
→ γγγγ = ππππ
.
Modyfikując warunek równowagi:
ππππ
i
(1 - π
πππ)
upraszczają się, co daje postać:
π
π
π
π
−
−
=
∆
∆
−
∆
∆
−
1
)
(
)
1
(
)
(
d
d
z
z
c
c
U
c
c
U
z
z
d
d
c
c
U
c
c
U
∆
∆
=
∆
∆
)
(
)
(
Wynika z niej, że
MU ekstra złotówki dochodu w razie straty równa
się MU ekstra złotówki dochodu bez straty
.
Konsument jest
niechętny ryzyku
, co oznacza, że
MU↓
↓
↓
↓
wraz ze
wzrostem konsumpcji,
C
(dochodu).
Jeżeli
C
d
> C
z
to:
MU
Cd
< MU
Cz
.
Jeżeli
MU
Cd
= MU
Cz
to:
C
d
= C
z
.
Wyprowadziliśmy równość:
35.000 - γ
γγγK = 25.000 + K - γγγγK
,
z czego wynika, że
K = 10.000
,
czyli wielkości straty.
Oznacza to, że osoba
niechętna ryzyku
maksymalizująca
użyteczność mogąc ubezpieczyć się sprawiedliwie, zawsze
wybierze
pełne ubezpieczenie
.
Przykład
Na działce stoi dom o wartości
$40.000
.
W razie pożaru dom ulega całkowitemu zniszczeniu i pozostaje
tylko działka o wartości
$10.000
.
Pożar może nastąpić z p-stwem
ππππ = 0,01
.
Funkcja użyteczności ma postać pierwiastkową:
U(X) = √
√√√X
.
X
nf
= 40.000
i
ππππ
nf
= 0,99
oraz
X
f
= 10.000
i
ππππ
f
= 0,01
U(•
•••) = ππππ
nf
√√√√X
nf
+ π
πππ
f
√√√√X
f
EX = π
πππ
f
X
f
+ π
πππ
nf
X
nf
= 0,01 •
••• 10.000 + 0,99 •••• 40.000 = 39.700
EU = π
πππ
f
U(X
f
) + π
πππ
nf
U(X
nf
) = π
πππ
nf
√√√√X
nf
+ π
πππ
f
√√√√X
f
= 0,99 √
√√√40.000 +0,01 √√√√10.000 = 198 + 1 = 199
EX=39.700
40.000
10.000
X
U
U(EX)
EU = 199
U(X)
C.E.=39.601
C.E.
:
ekwiwalent otrzymywany na pewno
U(C.E.) = 199 →
→
→
→ √√√√C.E. = 199 →
→
→
→ 199
2
= 39.601
Wartość, jaką konsument jest gotów zapłacić za uniknięcie
ryzyka (risk premium) wynosi:
39.700 – C.E.[= 39.601] = 99
Oczekiwana strata
:
EL = π
πππ
f
30.000 + π
πππ
nf
0 = 0,01 •
••• 30.000 = 300
(Insurance premium = EL)