1. Relatywistyka

1.1. Do jakiej prędkości należy rozpędzić elektron aby zamienił
się w czarną dziurę ?

Nic nie wskazuje na to, aby takie zjawisko w ogóle mogło zajść. Nieporozumienie bierze się
stąd, że oblicza się „masę relatywistyczną” rozpędzonego do prędkości podświetlnej elektronu,
następnie zaś, posługując się wzorem Newtona, oblicza się natężenie pola grawitacyjnego
rzekomo pochodzącego od tego fotonu. Tymczasem dla prędkości podświetlnych wzór Newtona
nie obowiązuje.

To, że wzór Newtona jest tylko przybliżeniem wzorów OTW słusznym dla małych mas i małych
prędkości grawitujących obiektów, wynika wprost z równań OTW. Osoby nie znające OTW
mogą - dla wyrobienia sobie właściwej intuicji - posłużyć się pewnym eksperymentem
myślowym. Wyobraźmy sobie dwa punkty materialne w pustej przestrzeni, oddalone od siebie
o r. Punkty te łączymy nieważką sprężyną o długości swobodnej tak dobranej, aby siła reakcji
ściśniętej sprężyny równoważyła grawitacyjne przyciąganie mas. Opiszmy ten układ z punktu
widzenia obserwatora poruszającego się ze znaczną prędkością v prostopadle do prostej
łączącej oba punkty materialne. Ponieważ odcinek łączący rozważane punkty materialne jest
prostopadły do kierunku ruchu obserwatora, jego długość nie ulega skróceniu w układzie
poruszającym się - obserwator stwierdza, że punkty materialne nadal pozostają w odległości r.
Jednak z punktu widzenia układu poruszającego się oba punkty materialne mają znaczne
„masy relatywistyczne” - gdyby można było używać wzoru Newtona z „masami
relatywistycznymi”, oba punkty (opisywane w układzie poruszającym się) przyciągałyby się z
siłą znacznie większą niż w układzie spoczynkowym, a zatem zgniotłyby łączącą je sprężynkę i
zbliżyły do siebie na odległość mniejszą niż r. Niczego takiego jednak nie obserwujemy.

Wniosek stąd taki, iż wstawianie „masy relatywistycznej” do wzoru Newtona jest fizycznie
nieuzasadnione. (Rozumowanie przedstawione w tym paragrafie nie jest ścisłe, ma tylko
charakter intuicyjny.)

1.2. Na czym polega paradoks bliźniaków ?

Problem polega na tym, że według Teorii Względności Einsteina wszystkie układy odniesienia
są równoprawne, więc jeśli jeden z bliźniaków wyruszy w relatywistyczną podróż kosmiczną, a
drugi zostanie na Ziemi, to względem jednego Ziemia będzie się poruszać, a względem
drugiego lecący brat-bliźniak. Rachunki jednak mówią, że będą starzeć się nierównomiernie.
Który postarzeje się szybciej ?

Oczywiście, postarzeje się brat nieruchomy. Dlaczego? Ano dlatego, że zachodzą tutaj zmiany
układu inercjalnego, używanego przez poruszającego się brata. Przyspiesza on i zwalnia,
doznaje działania bezwładności, itp. Brat stojący znajduje się natomiast stale w jednym
układzie inercjalnym. Widać więc, że sytuacja nie jest symetryczna.

Właśnie ta raptowna zmiana układu inercjalnego jest sednem określenia, który brat będzie
starszy.

Można też i dowodzić inaczej, że nie można synchronizować zegarów w układach
nieinercjalnych posługując się transformacja Lorentza, co w omawianym przypadku zachodzi, a
rozwiązania liczone zgodnie z OTW daja właśnie takie rezultaty.

Szczegółowa dyskusja paradoksu bliźniąt, ze ścisłym wprowadzeniem w geometryczną postać

Strona 1 z 5

STW (co jest podstawą intuicyjnego wnioskowania na tematy relatywistyczne) można znaleźć u
Schutza we "Wstępie do ogólnej teorii względności". Niekoniecznie polecamy książki
popularnonaukowe, mające naszym zdaniem czasem zbyt wielkie tendencje do upraszczania,
co prowadzi do wypaczenia rozumienia problemu.

1.3. Jakie pole grawitacyjne wytwarza rotująca masa ?

Weźmy dla przykładu układ Ziemia-Księżyc: w przypadku przyciagąnia się Ziemi i Księżyca
poprawki są rzeczywiście niemierzalne. Tym niemniej pole grawitacyjne wokół rotującej Ziemi
jest troszkę inne niż byłoby, gdyby Ziemia się nie obracała. Te różnice można obliczyć, a ich
wynikiem jest pewien efekt noszący nazwę efektu Lense-Tirringa, do którego wykrycia
przymierzano się już ćwierć wieku temu. Polega on na tym, że, jak to się w branży
ogólnorelatywistycznej określa, lokalne układy inercjalne podlegają "wleczeniu" przez
stacjonarne pole grawitacyjne związane z rotującą masą. Objawia się to tym, że gdybyśmy
umieścili na orbicie wokółziemskiej swobodnie wirujący żyroskop, to jego oś obrotu ulegałaby
powolnej precesji względem "reszty świata" (zmieniałby się kierunek osi obrotu względem
gwiazd). Taka precesja nie wystąpiłaby w przypadku orbitowania żyroskopu wokół statycznego
grawitującego ciała.
Nie należy tutaj mylić tej precesji z tradycyjną precesją wywołaną przez moment skręcajacy.
Ten żyroskop byłby wykonany jako "idealnie" wypolerowana szafirowa kulka, a w takim
przypadku moment skręcający praktycznie można wyeliminować.
Efekt jest bardzo mały (jakieś sekundy czy ułamki sekund łuku na stulecie), ale ocenia się, że
byłby możliwy do zaobserwowania. Na przeszkodzie jak dotychczas stały kwestie finansowe,
gdyż nie było odważnego, który podjąłby decyzję o wydatkowaniu kilkuset milionów dolarów na
orbitalny eksperyment, którego wynik interesuje i tak znikome grono fachowców.
Zaobserwowano także zmiany w promieniowaniu pulsarów znajdujących się w ciasnych
układach podwójnych, które najprościej można interpretowac jako przejaw działania efektu
Lense-Tirringa. Tak więc wygląda na to, że orbitalny eksperyment potwierdziłby za wielkie
pieniądze efekt, w który ludzie z branży i tak wierzą. Tym niemniej, eksperyment taki ma
wykonać satelita NASA Gravity Probe-B, który wystartował w kwietniu 2004.

Całkowanie T

00

grawitującego ciała nie da wartości jego masy rejestrowanej przez odległego

obserwatora. Masa widziana "z nieskończoności" jest wypadkowym efektem wzajemnych relacji
pomiędzy lokanym rozkładem energii-pędu oraz geometrią czasoprzestrzeni reprezentującej
pole grawitacyjne, a sumaryczny wynik zależy od globalnej natury tego pola i rozkładu masy.
Finał tych współzależności jest taki, że z daleka widzimy ("czujemy" grawitacyjnie) mniejszą
masę niż wynikałoby to z prostego podsumowania mas cząstek tworzących ciało. W zwykłych
sytuacjach (planety, "normalne" gwiazdy) ten grawitacyjny defekt masy jest nieistotny, ale już
przy konstrukcji modeli gwiazd neutronowych odgrywa zasadniczą rolę. W przypadkach
rzeczywiście skrajnych sytuacji kosmologicznych (kwazary, aktywne jądra galaktyk)
grawitacyjny defekt masy jest, jak się na ogół uważa, jedyną rozsądną koncepcją wyjaśnienia
źródła kolosalnych ilości energii wyzwalanych w tych procesach.

1.4. Czy można dolecieć do Proximy Centauri w tydzień ?

Ponieważ szczególna teoria względności nakłada ograniczenie na maksymalną prędkość równą
prędkości światła, wielu ludzi skłonnych jest sądzić, że loty, do odległych o tysiące lat
świetlnych gwiazd, trwać muszą całe epoki.
Jednakże zapominają oni o innych aspektach tej teorii, mianowicie dylatacji czasu i
relatywistycznemu skróceniu. W istocie oddalająca się od Ziemi rakieta ulega obserwowanemu

Strona 2 z 5

skróceniu. Jednakże efekt jest zupełnie symetryczny i z punktu widzenia rakiety skróceniu
ulegnie wszystko, co jest względem niej w ruchu. Efektowi temu ulegnie więc zarówno Ziemia,
gwiazda docelowa, jak i droga do przebycia.
Odległość z Ziemi do Proximy w układzie Ziemi to trochę więcej niż cztery lata świetlne.
Jednakże dla rakiety poruszającej się z v=0,9999887c, odległość ta skróci się do tygodnia
świetlnego, dzięki czemu doleci ona na Proximę w tydzień czasu pokładowego. Czy nie ma tu
jednak jakiegoś paradoksu? Skoro w układzie Ziemi rakieta pokonuje cztery lata świetlne w
tydzień, to znaczy, że porusza się z prędkością równą 208c (tyle tygodni mają 4 lata). A
wcześniej założyliśmy, że porusza się z v=0,9999887c. Otóż prawdziwa jest ta druga prędkość.
Z tego wniosek, że w układzie Ziemi rakieta nadal potrzebuje czterech lat, aby dotrzeć na
Proximę. Rolę gra tutaj dylatacja czasu. Po prostu w rakiecie, obserwowanej z Ziemi, czas
płynie dokładnie 208 razy wolniej, wiec po czterech latach lotu minie tam zaledwie tydzień.
Czyli dzięki szczególnej teorii względności możemy dolecieć dowolnie daleko w dowolnie
krótkim czasie pokładowym. Możemy w sekundę zwiedzić inną galaktykę i wrócić na Ziemię,
jednak wtedy miną na niej miliony lat. Problemem pozostają jednak koszty energetyczne i
przeciążenia.
W chwili obecnej wydaje się niemożliwym uzyskać źródło energii pozwalające dostatecznie
zbliżyć się do c (a im jesteśmy bliżej, tym trudnej przyspieszyć). Najefektywniejszym
sposobem magazynowania energii jest równa ilość materii i antymaterii. Nawet jeśli uda się
wytworzyć tak ogromne ilości energii i zbudować silnik fotonowy, to masy paliwa potrzebnego
na międzygwiezdny lot, w rozsądnym czasie, będą sięgały tysięcy mas samego statku. Warto
tutaj zwrócić uwagę na dwie rzeczy:
Po pierwsze omawiane efekty są efektami rzeczywistymi. Niektórym ludziom wydaje się, że
to jedynie efekt obserwacji przy pomocy fal elektromagnetycznych - tzn. złudzenie optyczne.
Nie jest to prawdą. Efekty te są jak najbardziej realne i weryfikowalne w dowolnym
doświadczeniu, niekoniecznie elektromagnetycznym.
Po drugie - można by zapytać: skoro wszystkie układy są równouprawnione i symetryczne, to
czy nie powinno być tak, że z punktu widzenia rakiety to na Ziemi czas ulega spowolnieniu,
więc w momencie dotarcia do Proximy po tygodniu, na Ziemi powinno upłynąć zaledwie 50
minut (skoro Ziemia oddala się z prędkością v=0,9999887c to czas płynie na niej 208 razy
wolniej niż w rakiecie!)? Daje to oczywisty paradoks, skoro na Ziemi upływają 4 lata.
Odpowiedź to - i tak, i nie. Rozumowanie to jest poprawne, ale nie do końca, gdyż układy nie
są równoważne. Rakieta przyspiesza i hamuje i wtedy dodatkowo podlega, już niesymetrycznej
względem Ziemi, dylatacji czasu. Okazuje się, że gdy uwzględnić te efekty, to wszystko do
siebie pasuje. Odsyłam w tym momencie do paradoksu bliźniąt

tutaj

.

1.5. Jak biegnie czas w orbitujących satelitach Ziemi ?

Dylatacja czasu zachodząca na satelitach Ziemi (w ogólności dowolnego ciała kosmicznego)
warunkowana jest dwoma przeciwstawnymi efektami relatywistycznymi:

wpływowi pola grawitacyjnego Ziemi,

dylatacją wynikającą z ruchu (oczywiście względnego) ciała.

Ziemię można w przybliżeniu traktować jako grawitujące ciało o sferycznie-symetrycznym
rozkładzie masy. Pomijając "niewielkie" komplikacje wynikające z tego, że Ziemia znajduje się
w polu grawitacyjnym Słońca, a i wpływy Księżyca bywają w dokładnych analizach warte
uwagi, można założyć, że w strefie kilkudziesięciu tysięcy kilometrów od środka Ziemi jej pole
grawitacyjne dobrze opisuje się za pomocą rozwiązania Schwarzschilda z ogólnej teorii
względności. Tutaj istotne są następujące wnioski wynikające z tego rozwiązania:

Jest to rozwiązanie opisujące sytuację statycznego pola grawitacyjnego (nie jest to do

końca poprawny opis, bo Ziemia jednak rotuje, ale poprawki związane z rotacją są

praktycznie zaniedbywalne).

Można wprowadzić współrzędną t, która ma sens czasu dla obszarów dalekich od środka

Strona 3 z 5

Ziemi ("w nieskończoności").

Dla ciała, które spoczywa w punkcie x upływ czasu związany z tempem procesów fizycznych
zachodzących w tym miejscu (w szczególności tykanie zegarów) związany jest z upływem
czasu "w nieskończoności" poprzez wyrażenie

(1) ∆T(x) = sqrt(g

00

) — ∆t

gdzie g

00

jest jedną ze składowych tensora metrycznego opisującego rozwiązanie

Schwarzschilda.

Jeżeli ciało to dodatkowo porusza się względem punktu x z prędkością V, to dojdzie jeszcze
dodatkowy efekt dylatacji czasu znany ze szczególnej teorii względności, co da wynik:

(2) ∆T(x,V) = sqrt(g

00

) — sqrt(1-V

2

/c

2

) — ∆t

Gdy teraz zastosujemy ten wzór do porównania tempa chodu zegara na satelicie i na Ziemi, to
dostaniemy najpierw dwa równania:

(3) ∆T(R

sat

,V

sat

) = sqrt(g

00

(R

sat

)) — sqrt(1-V

sat

2

/c

2

) — ∆t

(4) ∆T(R

Ziemi

,V

Ziemi

) = sqrt(g

00

(R

Ziemi

)) — sqrt(1-V

Ziemi

2

/c

2

) — ∆t

Po podzieleniu stronami skraca się ∆t, a pozostaje stosunek upływów czasu na satelicie i na
Ziemi.

Reszta to już proste podstawienia i rachunki zaniedbujące niektóre (małe) wielkości. W
ogólnym przypadku w rozwiązaniu Schwarzschilda:

g

00

= 1 - 2MG/(Rc

2

) gdzie M jest masą Ziemi.

Ale ponieważ 2MG/(Rc

2

) jest bardzo małe, to:

sqrt(g

00

) = 1 - MG/(Rc

2

)

Także sqrt(1 - V

2

/c

2

) = 1 - V

2

/(2c

2

) ze względu na małą wartość V w stosunku do c.

Tak więc ostatecznie dostajemy:

(5) ∆T(R

sat

, V

sat

) / ∆T(R

Ziemi

, V

Ziemi

) = 1 - (V

sat

2

- V

Ziemi

2

)/(2c

2

) - MG(1/R

sat

-

1/R

Ziemi

)/c

2

(skorzystano tu z uproszczeń: 1/(1-a) = 1+a zachodzącego dla małych a, aby z ilorazu typu
(1-a

1

)/(1-a

2

) dostać 1-a

1

+a

2

; wcześniej oczywiście także z (1-b

1

)(1-b

2

) = 1-b

1

-b

2

zachodzącego dla małych b

1

i b

2

).

Oznaczmy T

Ziemi

= ∆T(R

Ziemi

, V

Ziemi

), a także T

sat

= ∆T(R

sat

, V

sat

), ponadto oznaczmy:

(6) epsilon = (V

sat

2

- V

Ziemi

2

)/(2c

2

) - MG(1/R

sat

- 1/R

Ziemi

)/c

2

Korzystając w wyżej wyprowadzonych zależności porządkujemy równanie:

(7) T

sat

= T

Ziemi

- epsilon — T

Ziemi

gdzie:
T

sat

- czas jaki upłynął na satelicie wtedy, gdy na Ziemi upłynął czas T

Ziemi

.

Miarą różnicy tempa chodu zegarów jest poprawka epsilon, która wynosi według (6):

(8) epsilon=(V

sat

2

-V

Ziemi

2

)/(2c

2

)+MG(1/R

sat

-1/R

Ziemi

)/c

2

gdzie:
V

sat

- prędkość satelity w układzie inercjalnym ze środkiem w środku masy Ziemi,

V

Ziemi

- prędkość zegara na powierzchni Ziemi w tym samym układzie,

Strona 4 z 5

Aktualizacja: 2007-05-17 22:28

FAQ-System 0.4.0, HTML opublikowal: (STS)

M - masa Ziemi, G - stała grawitacji,
R

sat

- odległość satelity od środka masy Ziemi,

R

Ziemi

- odległość zegara na Ziemi od środka masy Ziemi.

Wzór ten jest przybliżeniem nie uwzględniającym tego, że w rzeczywistości Ziemia nie jest
sferycznie symetryczna ale jest zbliżona do elipsoidy. W zastosowaniach takich jak GPS
odgrywa to już znaczenie i odbiorniki GPS wyliczają dodatkowe poprawki związane z tym
faktem. Tym niemniej, z bardzo dobrym przybliżeniem podane wzory pozwalają na praktyczne
przeliczenie wzajemnych różnic tempa chodu zegarów których dotyczyło pytanie.

Można zauważyć, że dwa fragmenty wyrażenia na epsilon konkurują ze sobą i znak wyniku
zależy od promienia orbity satelity. Można dość łatwo wyrachować, że gdy zaniedbamy V

Ziemi

to wynik wyzeruje się dla R

sat

= (3/2)—R

Ziemi

(zachodzi to dla R

sat

= 9567 km). Jeśli

interesuje nas satelita na orbicie kołowej, to:

(9) mV

sat

2

/R

sat

= mMG/R

sat

2

, czyli V

sat

2

= MG/R

sat

gdzie: m - masa satelity

Wartość epsilon wtedy znika i zegar na satelicie "cyka" w tym samym rytmie co ten, który
pozostał na Ziemi. Dla satelitów na niższych orbitach "cyka" on wolniej, a dla tych na orbitach
wyższych - szybciej.

Dla przykładu: satelity GPS mają promień orbity ok. 20000 km, więc ich zegary "cykają"
szybciej, niż te na Ziemi. W przypadku satelitów geostacjonarnych różnica ta jest jeszcze
większa. Największa różnica jest oczywiście dla satelitów na niskich orbitach, gdyż tam człon z
V

sat

2

jest dominujący.

Strona 5 z 5