ŁUKI PIONOWE WKLĘSŁE

Przykłady zastosowania krzywych pionowych wklęsłych

zdjęcie ze strony www.freefoto.com

zdjęcie ze strony www.webshots.com

zdjęcie ze strony www.freefoto.com

zdjęcie ze strony www.dramainnature.com

zdjęcie ze strony www.ourston.com

zdjęcie ze strony www.ctrlcc.org

Na krzywych pionowych wklęsłych powinno się sprawdzać odległość widoczności na

zatrzymanie L

z

w nocy.

Rys. 1. Łuk wklęsły (jezdnia - w nocy oświetlona światłami reflektorów)

Oznaczenia: R – promień łuku pionowego wklęsłego, [m]; L

z

– odległość widoczności na zatrzymanie, [m];

h – wysokość położenia reflektorów nad jezdnią w samochodach osobowych, [m], (h = 0,75 [m]),

ϕ

– kąt stożka rozproszenia światła reflektorów [°], (

ϕ

= 1 [°], czyli tan

ϕ

= 0,01745)

Ważne jest uwzględnienie długości łuku pionowego Ł, gdyż ma ona zasadnicze

znaczenie. Ponieważ pochylenia podłużne drogi mają małe wartości kątów, to wykorzystuje
się znane z geometrii uproszczenia wzorów. Dla małych kątów jakie tworzą pochylenia
podłużne w odniesieniu do poziomu zachodzi następująca zależność:

i

t

h

=

=

=

α

α

tan

sin

oraz

1

cos

=

α

Długość stycznej można określić wtedy z klasycznych wzorów geometrycznych:

2

2

tan

2

tan

2

1

2

1

i

i

R

t

+

=

+

=

=

α

α

α

→

2

2

1

i

i

R

t

+

=

[m]

(1)

gdzie:

i

1

i i

2

– pochylenia podłużne, podawane w ułamku dziesiętnym, znak „+” – stosuje się dla

pochyleń odwrotnych, a znak „–” – dla pochyleń jednakowego kierunku, tj. obydwa
pochylenia są wzniesieniami lub obydwa pochylenia są spadkami.

Rys. 2. Załom profilu podłużnego i łuk pionowy wklęsły (pochylenia odwrotne)

Ł

t

t

i

1

i

2

α

α

1

α

2

α

R

R

L

z

R

R

h

ϕ

Rys. 3. Załomy profilu podłużnego i łuki pionowe wklęsłe (pochylenia jednakowego kierunku)

Długość łuku pionowego oblicza się z klasycznego wzoru, uwzględniając małe wartości
kątów:

(

)

2

1

i

i

R

Ł

+

=

[m]

(2)

gdzie:

i

1

i i

2

– pochylenia podłużne, podawane w ułamku dziesiętnym, znak „+” – stosuje się dla

pochyleń odwrotnych, a znak „–” – dla pochyleń jednakowego kierunku, tj. obydwa
pochylenia są wzniesieniami lub obydwa pochylenia są spadkami,

R – promień łuku pionowego, [m].

Dla wklęsłych łuków pionowych rozróżnić należy dwa przypadki:

1.

odległość widoczności na zatrzymanie L

z

jest mniejsza od długości łuku

pionowego Ł, czyli L

z

< Ł,

2.

odległość widoczności na zatrzymanie L

z

jest większa od długości łuku

pionowego Ł, czyli L

z

> Ł,

i

1

i

2

R

R

α

1

Ł

α

= α

1

– α

2

α

2

R

R

Ł

α

1

α

2

α

=α

2

-α

1

i

1

i

2

α

= α

2

– α

1

α

= α

1

– α

2

W przypadku pierwszym, tj. L

z

< Ł wielkość potrzebnego promienia łuku pionowego

R

min

można wyznaczyć wykorzystując podstawowe zależności geometryczne (rys. 4).

ϕ

sin

z

L

h

y

+

=

i

R

x

y

2

2

=

R

x

L

h

z

2

sin

2

=

+

ϕ

uwzględniając, że:

z

L

x

≈

i

ϕ

ϕ

tan

sin

≈

(

dla małych wartości kątów)

R

L

L

h

z

z

2

tan

2

=

+

ϕ

(3)

gdzie:

R – promień łuku pionowego, [m],

L

z

–wymagana odległość widoczności na zatrzymanie L

z

, [m],

h – wysokość położenia reflektorów nad jezdnią, [m], (h = 0,75 [m]),

ϕ

– kąt stożka rozproszenia światła reflektorów [°], (

ϕ

= 1 [°], czyli tan

ϕ

= 0,01745).

Przekształcając wzór (3) względem promienia łuku R, który zapewnia wymaganą

odległość widoczności na zatrzymanie L

z

, otrzyma się klasyczny wzór podany w książce

„Inżynieria ruchu” autorstwa prof.: St. Datki, W. Suchorzewskiego i M. Tracza.

(

)

ϕ

tan

2

2

min

z

z

L

h

L

R

+

=

(4)

Rys. 4. Załom profilu podłużnego i łuk pionowy wklęsły (pochylenia odwrotne)

Podobne zależności zachodzą dla pochyleń jednakowego kierunku.

R

R

L

z

x

α

= a

1

+

α

2

ϕ

h

L

z

sin

ϕ

Rys. 5. Załomy profilu podłużnego i łuki pionowe wklęsłe (pochylenia jednakowego kierunku)

Celem obserwacji może być w przypadku obliczania odległości widoczności na

zatrzymanie L

z

przede wszystkim uszkodzenie nawierzchni, przeszkoda na jezdni (zwalone

drzewo, rozlane paliwo i olej po wypadku, potrącony człowiek, zwierzę itd.)

fot. R. Strzałkowski

zdjęcie ze strony

www.ogrodnik.pl

- zielone mosty

zdjęcie ze strony

www.krbrd.gov.pl

fot. F. Dzięgielewski

piesi na drodze

oznakowanie prac remontowych w nocy

na drogach zamiejskich

i

1

i

2

R

ϕϕϕϕ

αααα

2

x

R

h

L

z

sin

ϕϕϕϕ

αααα

1

L

z

R

x

i

1

i

2

R

h

L

z

sin

ϕϕϕϕ

αααα

2

αααα

1

L

z

ϕϕϕϕ

a) dla wzniesień

b) dla spadków

Analogicznie należy postąpić, gdy zachodzi drugi przypadek tzn. odległość

widoczności na zatrzymanie jest większa niż długość łuku pionowego L

z

> Ł.

Charakterystyczne wówczas zależności geometryczne przedstawia rys. 6.

Rys. 6. Załom profilu podłużnego i łuk pionowy wklęsły (pochylenia odwrotne)

Podobne zależności zachodzą dla załomów pochyleń jednakowego kierunku.

Rys. 7. Załomy profilu podłużnego i łuki pionowe wklęsłe (pochylenia jednakowego kierunku)

R

R

i

1

i

2

L

z

h

x

t

L

z

sin

ϕ

ϕ

αααα

= a

1

+

αααα

2

R

R

R

R

L

z

L

z

L

z

sin

ϕϕϕϕ

L

z

sin

ϕϕϕϕ

t

x

αααα

= a

1

–

αααα

2

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

x

αααα

2

t

αααα

1

h

i

1

αααα

= a

1

–

αααα

2

α

1

h

i

2

i

2

i

1

α

2

a) dla wzniesień

b) dla spadków

Wielkość potrzebnego promienia łuku pionowego R

min

można wyznaczyć

wykorzystując podstawowe zależności geometryczne (rys. 6).

x

t

L

z

+

≈

Z zależności geometrycznych (rys. 6) otrzymuje się, że:

(

)

2

1

tan

sin

α

α

ϕ

+

⋅

=

+

x

L

h

z

,

czyli

(

)

2

1

tan

tan

α

α

ϕ

+

+

=

z

L

h

x

., (

ϕ

ϕ

tan

sin

≈

dla

ϕ

= 1 [°])

Dodatkowo uwzględniając, że

(

)

2

1

2

1

tan

i

i

+

=

+

α

α

,

ostatecznie otrzyma się wyrażenie

(

)

2

1

2

1

tan

2

i

i

L

h

i

i

R

L

z

z

+

+

+

+

=

ϕ

(7)

Przekształcając wzór (7) względem promienia łuku R, który zapewnia wymaganą

odległość widoczności na zatrzymanie L

z

, otrzyma się klasyczny wzór podany w książce

„Inżynieria ruchu” autorstwa prof.: St. Datki, W. Suchorzewskiego i M. Tracza.

przy załomach odwrotnego kierunku













+

+

−

+

=

2

1

2

1

min

tan

2

i

i

L

h

L

i

i

R

z

z

ϕ

,

(8)

a przy załomach jednakowego kierunku:













−

+

−

−

=

2

1

2

1

min

tan

2

i

i

L

h

L

i

i

R

z

z

ϕ

(9)