ŁUKI PIONOWE WKLĘSŁE
Przykłady zastosowania krzywych pionowych wklęsłych
zdjęcie ze strony www.freefoto.com
zdjęcie ze strony www.webshots.com
zdjęcie ze strony www.freefoto.com
zdjęcie ze strony www.dramainnature.com
zdjęcie ze strony www.ourston.com
zdjęcie ze strony www.ctrlcc.org
Na krzywych pionowych wklęsłych powinno się sprawdzać odległość widoczności na
zatrzymanie L
z
w nocy.
Rys. 1. Łuk wklęsły (jezdnia - w nocy oświetlona światłami reflektorów)
Oznaczenia: R – promień łuku pionowego wklęsłego, [m]; L
z
– odległość widoczności na zatrzymanie, [m];
h – wysokość połoŜenia reflektorów nad jezdnią w samochodach osobowych, [m], (h = 0,75 [m]),
ϕ
– kąt stoŜka rozproszenia światła reflektorów [°], (
ϕ
= 1 [°], czyli tan
ϕ
= 0,01745)
WaŜne jest uwzględnienie długości łuku pionowego Ł, gdyŜ ma ona zasadnicze
znaczenie. PoniewaŜ pochylenia podłuŜne drogi mają małe wartości kątów, to wykorzystuje
się znane z geometrii uproszczenia wzorów. Dla małych kątów jakie tworzą pochylenia
podłuŜne w odniesieniu do poziomu zachodzi następująca zaleŜność:
i
t
h
=
=
=
α
α
tan
sin
oraz
1
cos
=
α
Długość stycznej moŜna określić wtedy z klasycznych wzorów geometrycznych:
2
2
tan
2
tan
2
1
2
1
i
i
R
t
+
=
+
=
=
α
α
α
→
2
2
1
i
i
R
t
+
=
[m]
(1)
gdzie:
i
1
i i
2
– pochylenia podłuŜne, podawane w ułamku dziesiętnym, znak „+” – stosuje się dla
pochyleń odwrotnych, a znak „–” – dla pochyleń jednakowego kierunku, tj. obydwa
pochylenia są wzniesieniami lub obydwa pochylenia są spadkami.
Rys. 2. Załom profilu podłuŜnego i łuk pionowy wklęsły (pochylenia odwrotne)
Ł
t
t
i
1
i
2
α
α
1
α
2
α
R
R
L
z
R
R
h
ϕ
Rys. 3. Załomy profilu podłuŜnego i łuki pionowe wklęsłe (pochylenia jednakowego kierunku)
Długość łuku pionowego oblicza się z klasycznego wzoru, uwzględniając małe wartości
kątów:
(
)
2
1
i
i
R
Ł
+
=
[m]
(2)
gdzie:
i
1
i i
2
– pochylenia podłuŜne, podawane w ułamku dziesiętnym, znak „+” – stosuje się dla
pochyleń odwrotnych, a znak „–” – dla pochyleń jednakowego kierunku, tj. obydwa
pochylenia są wzniesieniami lub obydwa pochylenia są spadkami,
R – promień łuku pionowego, [m].
Dla wklęsłych łuków pionowych rozróŜnić naleŜy dwa przypadki:
1.
odległość widoczności na zatrzymanie L
z
jest mniejsza od długości łuku
pionowego Ł, czyli L
z
< Ł,
2.
odległość widoczności na zatrzymanie L
z
jest większa od długości łuku
pionowego Ł, czyli L
z
> Ł,
i
1
i
2
R
R
α
1
Ł
α
= α
1
– α
2
α
2
R
R
Ł
α
1
α
2
α
=α
2
-α
1
i
1
i
2
α
= α
2
– α
1
α
= α
1
– α
2
W przypadku pierwszym, tj. L
z
< Ł wielkość potrzebnego promienia łuku pionowego
R
min
moŜna wyznaczyć wykorzystując podstawowe zaleŜności geometryczne (rys. 4).
ϕ
sin
z
L
h
y
+
=
i
R
x
y
2
2
=
R
x
L
h
z
2
sin
2
=
+
ϕ
uwzględniając, Ŝe:
z
L
x
≈
i
ϕ
ϕ
tan
sin
≈
(
dla małych wartości kątów)
R
L
L
h
z
z
2
tan
2
=
+
ϕ
(3)
gdzie:
R – promień łuku pionowego, [m],
L
z
–wymagana odległość widoczności na zatrzymanie L
z
, [m],
h – wysokość połoŜenia reflektorów nad jezdnią, [m], (h = 0,75 [m]),
ϕ
– kąt stoŜka rozproszenia światła reflektorów [°], (
ϕ
= 1 [°], czyli tan
ϕ
= 0,01745).
Przekształcając wzór (3) względem promienia łuku R, który zapewnia wymaganą
odległość widoczności na zatrzymanie L
z
, otrzyma się klasyczny wzór podany w ksiąŜce
„InŜynieria ruchu” autorstwa prof.: St. Datki, W. Suchorzewskiego i M. Tracza.
(
)
ϕ
tan
2
2
min
z
z
L
h
L
R
+
=
(4)
Rys. 4. Załom profilu podłuŜnego i łuk pionowy wklęsły (pochylenia odwrotne)
Podobne zaleŜności zachodzą dla pochyleń jednakowego kierunku.
R
R
L
z
x
α
= a
1
+
α
2
ϕ
h
L
z
sin
ϕ
Rys. 5. Załomy profilu podłuŜnego i łuki pionowe wklęsłe (pochylenia jednakowego kierunku)
Celem obserwacji moŜe być w przypadku obliczania odległości widoczności na
zatrzymanie L
z
przede wszystkim uszkodzenie nawierzchni, przeszkoda na jezdni (zwalone
drzewo, rozlane paliwo i olej po wypadku, potrącony człowiek, zwierzę itd.)
fot. R. Strzałkowski
zdjęcie ze strony
www.ogrodnik.pl
- zielone mosty
zdjęcie ze strony
www.krbrd.gov.pl
fot. F. Dzięgielewski
piesi na drodze
oznakowanie prac remontowych w nocy
na drogach zamiejskich
i
1
i
2
R
ϕϕϕϕ
αααα
2
x
R
h
L
z
sin
ϕϕϕϕ
αααα
1
L
z
R
x
i
1
i
2
R
h
L
z
sin
ϕϕϕϕ
αααα
2
αααα
1
L
z
ϕϕϕϕ
a) dla wzniesień
b) dla spadków
Analogicznie naleŜy postąpić, gdy zachodzi drugi przypadek tzn. odległość
widoczności na zatrzymanie jest większa niŜ długość łuku pionowego L
z
> Ł.
Charakterystyczne wówczas zaleŜności geometryczne przedstawia rys. 6.
Rys. 6. Załom profilu podłuŜnego i łuk pionowy wklęsły (pochylenia odwrotne)
Podobne zaleŜności zachodzą dla załomów pochyleń jednakowego kierunku.
Rys. 7. Załomy profilu podłuŜnego i łuki pionowe wklęsłe (pochylenia jednakowego kierunku)
R
R
i
1
i
2
L
z
h
x
t
L
z
sin
ϕ
ϕ
αααα
= a
1
+
αααα
2
R
R
R
R
L
z
L
z
L
z
sin
ϕϕϕϕ
L
z
sin
ϕϕϕϕ
t
x
αααα
= a
1
–
αααα
2
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
x
αααα
2
t
αααα
1
h
i
1
αααα
= a
1
–
αααα
2
α
1
h
i
2
i
2
i
1
α
2
a) dla wzniesień
b) dla spadków
Wielkość potrzebnego promienia łuku pionowego R
min
moŜna wyznaczyć
wykorzystując podstawowe zaleŜności geometryczne (rys. 6).
x
t
L
z
+
≈
Z zaleŜności geometrycznych (rys. 6) otrzymuje się, Ŝe:
(
)
2
1
tan
sin
α
α
ϕ
+
⋅
=
+
x
L
h
z
,
czyli
(
)
2
1
tan
tan
α
α
ϕ
+
+
=
z
L
h
x
., (
ϕ
ϕ
tan
sin
≈
dla
ϕ
= 1 [°])
Dodatkowo uwzględniając, Ŝe
(
)
2
1
2
1
tan
i
i
+
=
+
α
α
,
ostatecznie otrzyma się wyraŜenie
(
)
2
1
2
1
tan
2
i
i
L
h
i
i
R
L
z
z
+
+
+
+
=
ϕ
(7)
Przekształcając wzór (7) względem promienia łuku R, który zapewnia wymaganą
odległość widoczności na zatrzymanie L
z
, otrzyma się klasyczny wzór podany w ksiąŜce
„InŜynieria ruchu” autorstwa prof.: St. Datki, W. Suchorzewskiego i M. Tracza.
przy załomach odwrotnego kierunku
+
+
−
+
=
2
1
2
1
min
tan
2
i
i
L
h
L
i
i
R
z
z
ϕ
,
(8)
a przy załomach jednakowego kierunku:
−
+
−
−
=
2
1
2
1
min
tan
2
i
i
L
h
L
i
i
R
z
z
ϕ
(9)