Wi´kszoÊç obywateli Stanów Zjednoczonych i Francji

– podobnie zresztà jak innych paƒstw demokratycznych na ca-
∏ym Êwiecie – rzadko zastanawia si´ nad obowiàzujàcymi
w ich krajach systemami g∏osowania. Spraw´ t´ pozostawia
si´ zwykle politologom i analitykom. Jednak w ciàgu ostat-
nich kilku lat znacznà cz´Êç spo∏eczeƒstw obu krajów spo-
tka∏o du˝e zaskoczenie. Mieszkaƒcy Francji zastanawiali si´,
jak dosz∏o do tego, ˝e kandydat daleko spoza g∏ównego nur-
tu ˝ycia politycznego przeszed∏ jako jeden z dwóch do drugiej,
decydujàcej tury wyborów prezydenckich w 2002 roku. W Sta-
nach Zjednoczonych z kolei wielu wyborców zadawa∏o sobie
pytanie, dlaczego najpopularniejszy kandydat przegra∏ wy-
bory w roku 2000.

Kwestie niedok∏adnie przedziurkowanych kart wyborczych,

rozmieszczenia nazwisk kandydatów na karcie do g∏osowania,
kolegium elektorskiego i Sàdu Najwy˝szego USA pozostaw-
my komentatorom politycznym. Chcemy natomiast – na pod-
stawie naszych w∏asnych badaƒ i prac naszych kolegów – za-
jàç si´ zagadnieniem bardziej podstawowym. Jakie systemy

– niezale˝nie od tego, czy chodzi o wybór przywódców paƒstw,
czy przewodniczàcego samorzàdu studenckiego – najpe∏niej
odzwierciedlajà ˝yczenia wyborców? Twierdzimy, ˝e pewien
konkretny system by∏by pod tym wzgl´dem najlepszy, a jego
wprowadzenie w Stanach Zjednoczonych, Francji i wielu in-
nych krajach by∏oby realne i proste.

Preferencje j´zyczkiem u wagi

W WI

¢

KSZO

ÂCI

krajowych systemów wyborów prezydenckich

g∏osujàcy wskazuje zazwyczaj tylko jednego kandydata, nie
okreÊla natomiast rankingu ocen pozosta∏ych pretendentów.
JeÊli w wyborach startuje tylko dwóch kandydatów, nie ma
to znaczenia, kiedy jednak jest ich trzech lub wi´cej, infor-
macja o dalszych preferencjach mo˝e mieç kolosalny wp∏yw
na wyniki.

Przyk∏adu dostarczajà wybory prezydenckie we Francji

w roku 2002. W pierwszej turze wyborcy mogli g∏osowaç
na jednego z dziewi´ciu kandydatów, wÊród których na czo-
∏o wysuwali si´: urz´dujàcy prezydent Jacques Chirac z par-

78

ÂWIAT NAUKI KWIECIE¡ 2004

Wszystkie

ORDYNACJE WYBORCZE

majà wady. Ale pewien system,

w oczach wyborców,

Partha Dasgupta i Eric Maskin

System

wyborczy

tii gaullistowskiej, przywódca socjalistów Lionel Jospin i kan-
dydat Frontu Narodowego Jean-Marie Le Pen. Przepisy or-
dynacji wyborczej stanowi∏y, ˝e jeÊli ˝aden z kandydatów nie
uzyska bezwzgl´dnej wi´kszoÊci, w drugiej turze spotkajà si´
dwaj pretendenci z najwi´kszà liczbà g∏osów. Po pierwszej
turze na pierwszym miejscu znalaz∏ si´ Chirac (19.9% g∏o-
sów). Zaskoczeniem by∏a natomiast druga pozycja: zajà∏ jà
przedstawiciel skrajnej prawicy Le Pen (16.9%). Jospin, któ-
remu, obok Chiraca, dawano najwi´ksze szanse na udzia∏
w drugiej rundzie, znalaz∏ si´ na trzecim miejscu (16.2%).
W drugiej turze Chirac z ∏atwoÊcià pokona∏ Le Pena.

Choç Jospin zajà∏ dopiero trzecià lokat´, z wi´kszoÊci do-

st´pnych danych wynika raczej, ˝e w bezpoÊredniej konfron-
tacji bez trudu zwyci´˝y∏by Le Pena. Mo˝liwe nawet, ˝e wy-
gra∏by z Chirakiem, gdyby dosta∏ si´ do drugiej tury. Jednak
obowiàzujàca we Francji ordynacja, pozwalajàca wyborcy
wy∏àcznie na okreÊlenie kandydata, którego uwa˝a za najlep-
szego, nie uwzgl´dnia tego rodzaju wa˝nych informacji. Co
wi´cej, pozwala kandydatowi ekstremistów, jakim by∏ Le Pen

– niemajàcemu w praktyce szans na zwyci´stwo – znaczàco
wp∏ynàç na ostateczny wynik wyborów.

Amerykaƒskie wybory prezydenckie z 2000 roku ujawni∏y

podobnà s∏aboÊç. Aby uzasadniç t´ tez´ w sposób bardziej
przejrzysty, poczyƒmy pewne upraszczajàce za∏o˝enia o pro-
cedurze wyborczej. Weêmy pod uwag´ tylko czterech g∏ów-
nych kandydatów i przyjmijmy, ˝e nie ma ró˝nicy mi´dzy wy-
nikami g∏osowania powszechnego i g∏osowania kolegium
elektorskiego. (Pod adresem kolegium elektorskiego wysuwa
si´ wiele zarzutów, ale nawet gdyby zastàpiç je g∏osowaniem
powszechnym, problemy nadal by pozosta∏y). Za∏o˝ymy te˝,
˝e istniejà tylko cztery kategorie wyborców: ci, którzy wolà Ral-
pha Nadera od Ala Gore’a, Gore’a od George’a W. Busha i
Busha od Pata Buchanana („elektorat Nadera”); preferujàcy
kolejnoÊç Gore, Bush, Nader, Buchanan („elektorat Gore’a”);
preferujàcy kolejnoÊç Bush, Buchanan, Gore, Nader („elekto-
rat Busha”) i preferujàcy kolejnoÊç Buchanan, Bush, Gore,
Nader („elektorat Buchanana”). Aby skonkretyzowaç te za-
∏o˝enia, przyjmijmy, ˝e 2% g∏osujàcych to elektorat Nadera,

KWIECIE¡ 2004 ÂWIAT NAUKI

79

uwzgl´dniajàcy ranking kandydatów

najlepiej odzwierciedla

PREFERENCJE ELEKTORATU

naszych

marzeƒ

49% elektorat Gore’a, 48% elektorat Busha i 1% elektorat
Buchanana. JeÊli ka˝dy z g∏osujàcych wybiera jednego kan-
dydata, Gore uzyska 49%, a Bush 48% ogólnej liczby g∏osów
(w rzeczywistoÊci liczby te wynios∏y, odpowiednio, 48.4%
i 47.9%). Skoro ˝aden z kandydatów nie uzyska∏ bezwzgl´d-
nej wi´kszoÊci (tj. ponad 50% g∏osów), w jaki sposób nale˝y
okreÊliç zwyci´zc´? Gore uzyska∏ wi´kszoÊç zwyk∏à (najwi´k-
szà liczb´ bezwzgl´dnà g∏osów, choç mniej ni˝ 50%), mo˝e
wi´c to on powinien wygraç?

Amerykaƒska konstytucja przewiduje jednak, ˝e w przy-

padku braku bezwzgl´dnej wi´kszoÊci w kolegium elektor-
skim zwyci´zc´ wy∏oni Izba Reprezentantów. Mo˝na za∏o˝yç,
˝e republikaƒska wi´kszoÊç w izbie w roku 2000 wybra∏aby

Busha. Stàd wniosek, ˝e nie wystarczy zapytaç amerykaƒ-
skiego wyborc´ o jednego, preferowanego kandydata, by au-
tomatycznie uzyskaç jednoznaczne rozstrzygni´cie.

Podobnie jak w wyborach we Francji mo˝na by uniknàç

tego rodzaju niejasnoÊci, gdyby poprosiç wyborców o po-
danie pe∏nego rankingu kandydatów. Choç Gore’a wskaza∏o
na pierwszym miejscu tylko 49% elektoratu, rankingi po-
kazujà, ˝e bezwzgl´dna wi´kszoÊç – 51% (po∏àczony elek-
torat Gore’a i Nadera) – woli Gore’a zarówno od Busha,
jak i od Buchanana. Gore zosta∏by wi´c zwyci´zcà w syste-
mie nazywanym „regu∏à faktycznej wi´kszoÊci” (true majo-
rity rule) lub „regu∏à prostej wi´kszoÊci” (simple majority
rule), w którym wyborcy szeregujà wszystkich kandydatów,
a zwyci´˝a ten, który pokona∏ wszystkich przeciwników
w bezpoÊrednim porównaniu preferencji opartym na tych
rankingach

1

.

Istniejà te˝ inne systemy wyborcze wykorzystujàce kolejnoÊç

preferencji wyborców. Rozwa˝my na przyk∏ad „g∏osowanie me-
todà rankingowà” – procedur´ stosowanà cz´sto przy wyborze
cz∏onków cia∏ kolegialnych, zaproponowanà w celu unik-
ni´cia problemów nieod∏àcznie zwiàzanych z amerykaƒskim
i francuskim systemem wyborów prezydenckich

2

. JeÊli o elekcj´

ubiegajà si´ cztery osoby, ka˝dy wyborca przyznaje cztery punk-
ty swemu kandydatowi numer jeden, trzy punkty nast´pnemu
w kolejnoÊci preferencji, dwa kolejnemu i jeden ostatniemu.
Zwyci´zcà zostaje kandydat z najwi´kszà ∏àcznà liczbà punktów.
Twórcà tego systemu by∏, jak si´ wydaje, Jean-Charles Borda,

˝yjàcy w XVIII wieku francuski in˝ynier, od którego nazwiska
bywa on czasem nazywany metodà Bordy.

Przyjmijmy, ˝e w wyborach prezydenckich w USA bierze

udzia∏ 100 mln osób. Na podstawie wczeÊniejszych za∏o˝eƒ
wiemy, ˝e 49 mln umieÊci Gore’a na pierwszej pozycji. Gore
otrzyma wi´c od swojego elektoratu 196 mln punktów
(49 mln razy 4 punkty). Wyborcy Nadera umieÊcili Go-
re’a na pozycji drugiej, otrzyma wi´c od nich 6 mln punk-
tów. Wreszcie wyborcy Busha i Buchanana dali Gore’owi trze-
cià lokat´, co przynosi dodatkowe 98 mln punktów. ¸àcznie
Gore zgromadzi 300 mln punktów. JeÊli wykonamy analo-
giczne obliczenia dla pozosta∏ych kandydatów, przekona-
my si´, ˝e Nader otrzyma 155 mln punktów, a Buchanan

199 mln. Co ciekawe, Bush otrzyma 346 mln punktów, choç
wi´ksza cz´Êç wyborców preferuje Gore’a [scenariusz A w ram-
ce na stronie obok]. Tylko 2% elektoratu umieÊci∏o Busha
na miejscu ni˝szym od drugiego, co wystarczy, by wygra∏ wy-
bory przy g∏osowaniu metodà rankingowà.

Jak widaç, regu∏a faktycznej wi´kszoÊci i g∏osowanie meto-

dà rankingowà dajà zupe∏nie inne wyniki. Zwa˝ywszy na te
uderzajàce ró˝nice, mo˝e si´ wydawaç, ˝e trudno jest rozstrzy-
gnàç, która z tych metod lepiej oddaje rzeczywiste poglàdy wy-
borców. Postaramy si´ jednak odpowiedzieç na to pytanie. Mo-
˝emy oceniç oba te systemy – jak i dowolny inny – w kontekÊcie
pewnych podstawowych zasad, które powinien spe∏niaç ka˝dy
system wyborczy. Tego rodzaju aksjomatyczne podejÊcie do teo-
rii g∏osowania zaproponowa∏ Kenneth J. Arrow ze Stanford
University, którego monografia (wydana w 1951 roku) wywar-
∏a g∏´boki wp∏yw na póêniejszà literatur´ przedmiotu.

Wi´kszoÊç analityków systemów wyborczych zgodzi∏aby

si´, ˝e ka˝da dobra ordynacja powinna spe∏niaç kilka aksjo-
matów. Jednym z nich jest zasada konsensusu, zwana równie˝
zasadà Pareto, od nazwiska w∏oskiego socjologa Vilfreda Pa-
reto. Zak∏ada ona, ˝e jeÊli wszyscy sà zgodni, i˝ kandydat
A jest lepszy od kandydata B, wówczas B nie zostanie wybra-
ny. Aksjomat ten nie pozwala jednak dokonaç wyboru mi´-
dzy regu∏à faktycznej wi´kszoÊci a metodà rankingowà, ponie-
wa˝ spe∏niajà go oba te systemy – B stoi w obu na przegranej
pozycji. Co wi´cej, zasada ta niezbyt cz´sto znajduje zasto-
sowanie w praktyce: w przyk∏adzie amerykaƒskim ˝aden kan-
dydat nie pokona jednog∏oÊnie ˝adnego innego.

Inny wa˝ny aksjomat mówi, ˝e g∏os wszystkich wyborców

powinien si´ liczyç jednakowo („jeden wyborca, jeden g∏os”)
– jest to zasada równego traktowania. Teoretycy systemów
wyborczych nazywajà jà zasadà anonimowoÊci: to˝samoÊç
wyborcy nie ma wp∏ywu na wynik wyborów. Zarówno regu-
∏a faktycznej wi´kszoÊci, jak i g∏osowanie metodà rankingo-
wà spe∏niajà t´ zasad´.

Natomiast trzecie kryterium pozwala dokonaç rozstrzy-

gni´cia na korzyÊç jednego z tych systemów. Jest ono nazywa-
ne aksjomatem neutralnoÊci i sk∏ada si´ z dwóch cz´Êci. Pierw-
sza z nich to zasada symetrii, stwierdzajàca, ˝e ordynacja nie
powinna faworyzowaç ˝adnego kandydata. Cz´Êç druga
aksjomatu neutralnoÊci zawiera wymóg, by wybór mi´dzy

80

ÂWIAT NAUKI KWIECIE¡ 2004

TOBY T

ALBOT

AP Photo

; IL

USTRACJA

JOHNNY JOHNSON (

na

popr

zednich str

onach

)

n

Nie istnieje idealny system g∏osowania – ka˝dy ma takie

czy inne wady.

n

Jednak˝e pewna metoda pozwoli∏aby rozwiàzaç cz´Êç problemów,

które wystàpi∏y podczas niedawnych wyborów we Francji i USA.
Regu∏a faktycznej wi´kszoÊci wykorzystuje informacj´
o kolejnoÊci preferencji wyborców, dzi´ki czemu wynik wyborów
lepiej odzwierciedla poglàdy elektoratu.

n

Z naszych rozwa˝aƒ wynika, ˝e regu∏a faktycznej wi´kszoÊci

pozwala∏aby cz´Êciej unikaç problemów, które wià˝à si´ z innymi
metodami g∏osowania, i – co równie wa˝ne – by∏aby ∏atwa
do wprowadzenia we wszystkich krajach Êwiata.

Przeglàd / G∏osowanie z g∏owà

Regu∏a faktycznej wi´kszoÊci i metoda rankingowa

mogà dawaç

KRA¡COWO RÓ˚NE WYNIKI.

kandydatami A i B nie zale˝a∏ od stosunku g∏osujàcych do ˝ad-
nego innego kandydata C. Co sta∏oby si´, gdyby w naszym
amerykaƒskim przyk∏adzie zmieni∏y si´ preferencje elektora-
tu Busha i ranking kandydatów przybra∏ kolejnoÊç: Bush, Go-
re, Buchanan, Nader (zamiast Bush, Buchanan, Gore, Na-
der)? Z punktu widzenia regu∏y faktycznej wi´kszoÊci nie
by∏oby ˝adnych istotnych zmian: w konfrontacji z Bushem
wi´kszoÊç nadal preferowa∏aby Gore’a. Spójrzmy jednak, co
stanie si´ przy zastosowaniu metody rankingowej: Gore uzy-
ska teraz 348 mln punktów, a wynik Busha utrzyma si´ na po-
ziomie 346 mln [scenariusz B w ramce powy˝ej]. Zwyci´˝y
Gore zamiast Busha.

Oczywiste jest, ˝e g∏osowanie metodà rankingowà mo˝e

naruszaç zasad´ neutralnoÊci. Preferencje g∏osujàcych doty-
czàce wyboru mi´dzy Gore’em i Buchananem (kandydatem

bez szans na wybór) decydujà o wyborze mi´dzy Bushem
i Gore’em – i tym samym o ostatecznym wyniku. Natomiast
regu∏a faktycznej wi´kszoÊci zawsze spe∏nia postulat neutral-
noÊci. To ostatnie stwierdzenie mo˝e zaskoczyç tych czytelni-
ków, którzy pami´tajà liczne dyskusje podczas wyborów, czy
Nader mo˝e mieç wp∏yw na rozgrywk´ mi´dzy Bushem i Go-
re’em. I rzeczywiÊcie, patrzàc wstecz, mo˝na odnieÊç wra˝e-
nie, ˝e Nader – byç mo˝e równie˝ za sprawà nieszcz´snej,
êle zaprojektowanej karty do g∏osowania z Florydy, a niewy-
kluczone, ˝e tak˝e udzia∏u w wyborach Buchanana – móg∏
odebraç Gore’owi wystarczajàco du˝o g∏osów, tak ˝e zade-
cydowa∏o to o wyniku wyborów na korzyÊç Busha. Ale efekt
ten by∏ mo˝liwy tylko dlatego, ˝e amerykaƒski system g∏oso-
wania nie rzàdzi si´ regu∏à faktycznej wi´kszoÊci, tylko w∏a-
snymi szczególnymi zasadami.

Zalety regu∏y wi´kszoÊci

PRZYJRZYJMY SI

¢

, jaki przebieg mia∏yby wybory we Francji

w 2002 roku, gdyby by∏y oparte na regule faktycznej wi´k-
szoÊci (b´dziemy jà dalej nazywaç regu∏à wi´kszoÊci). Za∏ó˝-
my, ˝e Chirac, Jospin i Le Pen sà jedynymi kandydatami,
a elektorat dzieli si´ na trzy grupy. W pierwszej, obejmujàcej
30% g∏osujàcych, wszyscy stosujà ranking Jospin, Chirac, Le
Pen. W drugiej grupie, stanowiàcej 36% elektoratu, kolejnoÊç
kandydatów jest nast´pujàca: Chirac, Jospin, Le Pen. Pozosta-
∏e 34% wyborców na pierwszym miejscu stawia Le Pena
przed Jospinem i Chirakiem. Chirac i Le Pen, uzyskujàc, od-
powiednio, 36% i 34% g∏osów, przeszliby do drugiej tury,
w której Chirac wygra∏by z ∏atwoÊcià, gdy˝ 66% wyborców wo-
li go od Le Pena.

Wynik by∏by taki sam w ramach jeszcze innego systemu,

zwanego metodà natychmiastowej dogrywki (instant-runoff
voting – IRV)

3

, stosowanego w Irlandii i Australii, który – po-

dobnie jak metoda rankingowa – bywa∏ postulowany jako
rozwiàzanie alternatywne dla systemu francuskiego i amery-
kaƒskiego. Mówiàc w uproszczeniu, system IRV polega na tym,
˝e komisja wyborcza eliminuje, na podstawie ujawnionych
przez wyborców preferencji, kolejnych kandydatów o najni˝-
szym wyniku (i rozdziela oddane na nich g∏osy pomi´dzy kan-
dydatów wskazanych w rankingu na kolejnej pozycji) do chwi-
li, kiedy na placu boju pozostaje dwóch uczestników.

Jednak zarówno system francuski, jak i IRV naruszajà regu-

∏´ wi´kszoÊci. JeÊli przyjrzymy si´ uk∏adowi preferencji wybor-
ców, okazuje si´, ˝e Jospin dysponuje w rzeczywistoÊci ogrom-
nà wi´kszoÊcià: 64% elektoratu przedk∏ada go nad Chiraca
i 66% nad Le Pena. Regu∏a wi´kszoÊci wskazuje, ˝e Jospin powi-
nien odnieÊç mia˝d˝àce zwyci´stwo [ramka na nast´pnej stronie].

Zwróçmy uwag´, ˝e przy g∏osowaniu metodà regu∏y wi´k-

szoÊci wyborca mo˝e wyraziç swoje poglàdy polityczne, nie
szkodzàc ˝adnemu z liczàcych si´ kandydatów. KtoÊ, kto wo-
li Jospina od Chiraca i wie, ˝e Le Pen nie ma szans na wy-
bór, ale chce umieÊciç go na pierwszym miejscu w geÊcie pro-

KWIECIE¡ 2004 ÂWIAT NAUKI

81

SLIM FILMS

PARTHA DASGUPTA i ERIC MASKIN cz´sto prowadzà wspólne ba-
dania – ostatnio nad teorià aukcji. Dasgupta jest profesorem ekono-
mii w Katedrze im. Franka Ramseya w University of Cambridge,
a w przesz∏oÊci by∏ przewodniczàcym Royal Economic Society.
Maskin jest profesorem nauk spo∏ecznych w Katedrze im. Alberta O.
Hirschmana w Institute for Advanced Study w Princeton (stan New
Jersey) i by∏ym przewodniczàcym Econometric Society.

O

AUTORACH

ORDYNACJA RANKINGOWA:
PRZYK¸ADOWE SCENARIUSZE

W TYM SYSTEMIE wyborcy szeregujà kandydatów wed∏ug swych
preferencji. Na tej podstawie kandydaci otrzymujà punkty, które si´
sumuje i zestawia. Co ciekawe, zwyci´zca w systemie faktycznej
wi´kszoÊci, jak Gore w scenariuszu A, nie musi zwyci´˝yç przy or-
dynacji rankingowej. Nawet drobna zmiana w preferencjach wybor-
ców (jak wÊród elektoratu Busha w scenariuszu B) mo˝e przynieÊç
inny wynik. W tym przypadku zapewni∏aby zwyci´stwo Gore’owi.

Scenariusz A

RANKING OTRZYMANE

UZYSKANE

WYNIKI

KANDYDATÓW

PUNKTY

(w mln punktów)

WYBORCY GORE'A 49%
(ze 100 mln g∏osujàcych)
Gore

4

4

× 49 = 196

Bush

3

3

× 49 = 147

Nader

2

2

× 49 = 98

Buchanan

1

1

× 49 = 49

WYBORCY NADERA 2%
Nader

4

4

× 2 = 8

Gore

3

3

× 2 = 6

Bush

2

2

× 2 = 4

Buchanan

1

1

× 2 = 2

WYBORCY BUSHA 48%
Bush

4

4

× 48 = 192

Buchanan

3

3

× 48 = 144

Gore

2

2

× 48 = 96

Nader

1

1

× 48 = 48

WYBORCY BUCHANANA 1%
Buchanan

4

4

× 1 = 4

Bush

3

3

× 1 = 3

Gore

2

2

× 1 = 2

Nader

1

1

× 1 = 1

Gore ∏àcznie: 300

Bush ∏àcznie: 346

Scenariusz B

WYBORCY BUSHA 48%
Bush

4

4

× 48 = 192

Gore

3

3

× 48 = 144

Buchanan

2

2

× 48 = 96

Nader

1

1

× 48 = 48

Gore ∏àcznie: 348

Bush ∏àcznie: 346

testu, mo˝e to zrobiç, nie obawiajàc si´, ˝e wykluczy Jospina
z gry (z wyjàtkiem, rzecz jasna, bardzo ma∏o prawdopodob-
nej sytuacji, kiedy taki sam gest wykona wi´kszoÊç pozosta-
∏ych wyborców). To samo dotyczy wyborcy, który woli Go-
re’a od Busha, ale pragnie udzieliç symbolicznego poparcia
Naderowi.

A jednak mimo tych zalet regu∏a wi´kszoÊci ma s∏aby punkt.

Mo˝e ona naruszyç innà powszechnie akceptowanà za-
sad´ wyborczà – przechodnioÊci. Wymaga ona, by w sytuacji,
gdy wyborcy przedk∏adajà kandydata A nad kandydata B,
a B nad C, A wygrywa∏ z C. Za∏ó˝my teraz (ignorujàc Bu-
chanana), ˝e 35% elektoratu preferuje ranking Gore, Bush, Na-

der, 33% – Bush, Nader, Gore, a 32% – Nader, Gore, Bush.
Oznacza to, ˝e 67% wyborców woli Gore’a od Busha, 68%
woli Busha od Nadera i 65% Nadera od Gore’a. Innymi
s∏owy, niezale˝nie od tego, który kandydat zostanie wybrany,
co najmniej 65% wyborców preferuje kogoÊ innego. W tej sy-
tuacji regu∏a wi´kszoÊci nie pozwala wy∏oniç zwyci´zcy.

Na mo˝liwoÊç t´ zwróci∏ uwag´ pod koniec XVIII wieku

rodak i zaciek∏y krytyk Bordy – Marie-Jean-Antoine-Nicho-
las de Caritat, markiz de Condorcet – od którego nazwiska

jest ona nazywana paradoksem Condorceta. Zestaw trzech
rankingów typu: Gore, Bush, Nader; Bush, Nader, Gore i Na-
der, Gore, Bush; okreÊla si´ mianem cyklu Condorceta.

Wydaje si´ wi´c, ˝e nasze porównanie regu∏y wi´kszoÊci

z ordynacjà rankingowà skoƒczy∏o si´ remisem: regu∏a wi´k-
szoÊci spe∏nia wszystkie aksjomaty z naszej listy oprócz prze-
chodnioÊci, a metoda rankingowa – wszystkie oprócz neu-
tralnoÊci. Wobec tej trudnoÊci rodzi si´ pytanie, czy istnieje
w ogóle system wyborczy spe∏niajàcy wszystkie aksjomaty.
S∏ynne twierdzenie Arrowa o niemo˝noÊci mówi, ˝e nie. Wy-
nika z niego, ˝e ka˝da ordynacja wyborcza narusza w pewnych
sytuacjach co najmniej jeden z aksjomatów [patrz: Douglas H.
Blair i Robert A. Pollak „Rational Collective Choice”; Scien-
tific American, sierpieƒ 1983].

Dokonaç niemo˝liwego

Z TWIERDZENIA ARROWA

wyciàga si´ jednak zbyt daleko idàce ne-

gatywne wnioski. Oczekuje si´, ˝e ordynacja wyborcza po-
winna spe∏niaç okreÊlony aksjomat niezale˝nie od tego, jak
uk∏adajà si´ rzeczywiste preferencje wyborców. Tymczasem
pewne rankingi sà bardzo ma∏o prawdopodobne. W szcze-
gólnoÊci paradoks Condorceta – pi´ta achillesowa regu∏y
wi´kszoÊci – nie musi byç w praktyce powa˝nym problemem.
Rankingi wyborców nie biorà si´ przecie˝ z powietrza. Ich
êród∏em jest cz´sto ideologia.

Aby zorientowaç si´, jak preferencje ideologiczne wp∏ywa-

jà na dzia∏anie regu∏y wi´kszoÊci, okreÊlmy pozycj´ ka˝dego
kandydata w obr´bie spektrum lewica–prawica. Przesuwajàc
si´ wzd∏u˝ sceny politycznej od lewej ku prawej, napotkamy
kandydatów w wyborach z 2000 roku w nast´pujàcej przy-
puszczalnie kolejnoÊci: Nader, Gore, Bush, Buchanan. JeÊli
wyborcy kierujà si´ w swych wyborach ideologià, wówczas
ka˝dy, kto stawia Nadera przed Gore’em, prawdopodobnie
umieÊci Gore’a przed Bushem, a Busha przed Buchananem.
Podobnie mo˝na oczekiwaç, ˝e ka˝dy wyborca przedk∏adajà-

cy Busha nad Gore’a sklasyfikuje tego drugiego przed Nade-
rem. Nie spodziewamy si´ spotkaç wyborcy deklarujàcego ko-
lejnoÊç preferencji: Bush, Nader, Gore, Buchanan.

Zmar∏y niedawno Duncan Black z University College of

North Wales wykaza∏ w swej pionierskiej pracy opublikowa-
nej w latach czterdziestych, ˝e jeÊli rankingi wyborców sà mo-
tywowane ideologicznie w sensie okreÊlonym powy˝ej lub
przynajmniej odsetek wyborców, którzy nie kierujà si´ ideolo-
già, nie jest zbyt wysoki, zasada wi´kszoÊci spe∏nia warunek
przechodnioÊci. Odkrycie to utorowa∏o drog´ do wielu no-
wych osiàgni´ç w dziedzinie politologii, gdy˝ za∏o˝enie o ide-
ologicznej motywacji wyborców przy ustalaniu rankingu kan-
dydatów pozwala obejÊç paradoks Condorceta i przewidzieç
w sposób sensowny konsekwencje regu∏y wi´kszoÊci.

OczywiÊcie, preferencje wyborców nie zawsze rozk∏adajà

si´ tak jednoznacznie na linii lewica–prawica. Ale istniejà tak-
˝e inne sytuacje gwarantujàce przechodnioÊç. I znów mo˝emy
pos∏u˝yç si´ przyk∏adem Francji. Choç Chirac i Jospin stali
na czele dwóch najwi´kszych partii, mo˝na zaryzykowaç twier-

82

ÂWIAT NAUKI KWIECIE¡ 2004

JACK GUEZ

AFP/Corbis

(Jospin)

; DANIEL JANIN

AFP/Corbis (Chirac)

; FRANÇOIS GUILL

OT

R

euters NewMedia/Corbis (Le P

en)

Social Choice and Individual Values. Kenneth J. Arrow; Wiley, 1951

(Yale University Press, 1990).

The Theory of Committees and Elections. Duncan Black; Cambridge Uni-

versity Press, 1958 (Kluwer Academic Publishers, 1998).

Collective Choice and Social Welfare. Amartya Kumar Sen; Holden-Day,

1970 (North-Holland, 1984).

On the Robustness of Majority Rule and Unanimity Rule. Partha Dasgup-

ta i Eric Maskin. Artyku∏ dost´pny pod adresem:

www.sss.ias.edu/papers/papers/econpapers.html

JEÂLI CHCESZ WIEDZIEå WI¢CEJ

WYBORY WE FRANCJI W ROKU 2002

RANKING

ODSETEK WYBORCÓW

KANDYDATÓW

WYBIERAJÑCYCH DANY RANKING

Jospin ............................................. 30
Chirac
Le Pen

Chirac ............................................. 36
Jospin
Le Pen

Le Pen ............................................ 34
Jospin
Chirac

PROCENTOWY ROZK¸AD PREFERENCJI WYBORCÓW
Jospin przed Chirakiem ............................................................... 64
Jospin przed Le Penem ............................................................... 66
Chirac przed Jospinem ................................................................ 36
Chirac przed Le Penem ............................................................... 66
Le Pen przed Chirakiem .............................................................. 34
Le Pen przed Jospinem ............................................................... 34

Jospin

Chirac

Le Pen

Przy wyborze mi´dzy wi´cej ni˝ dwoma kandydatami wyborcy

powinni ujawniç

PE¸NY ZESTAW

swych

PREFERENCJI.

dzenie, ˝e nie budzili wÊród elekto-
ratu silniejszych emocji. Natomiast
na ekstremist´ Le Pena wyborcy
reagowali bàdê oburzeniem, bàdê
entuzjazmem: dost´pne dane su-
gerujà, ˝e ogromna wi´kszoÊç wy-
borców umieszcza∏a go albo na
pierwszym, albo na trzecim miej-
scu wÊród trzech najbardziej liczà-
cych si´ kandydatów – ma∏o kto
widzia∏ go na miejscu drugim.
Mo˝na dyskutowaç, czy taka pola-
ryzacja stanowisk jest dla Francji
dobra, czy z∏a. Bezsprzecznie jed-
nak sprawia, ˝e regu∏a wi´kszo-
Êci si´ sprawdza. JeÊli wyborcy
zgodnie powstrzymujà si´ od kla-
syfikowania jednego z trzech kan-
dydatów na drugiej pozycji, prze-
chodnioÊç jest zapewniona. T´
w∏asnoÊç, zwanà ograniczonà dys-
trybucjà wartoÊci (value restric-
tion), po raz pierwszy opisa∏ w
1966 roku Amartya Sen z Har-
vard University.

W naszych pracach na temat sys-

temów wyborczych dany system
nazywamy zadowalajàcym dla
okreÊlonej klasy preferencji, je˝eli
spe∏nia wszystkie cztery aksjomaty
przy za∏o˝eniu, ˝e wszystkie ran-
kingi preferencji wyborców nale-
˝à do tej klasy. Na przyk∏ad regu∏a
wi´kszoÊci jest zadowalajàca, jeÊli
wszystkie preferencje sà ideologicz-
nie motywowane, a tak˝e wtedy,
gdy wszystkie rankingi cechujà si´
ograniczonà dystrybucjà wartoÊci.
W istocie pokazaliÊmy, ˝e jeÊli ja-
kiÊ system g∏osowania jest zadowa-
lajàcy, to regu∏a wi´kszoÊci te˝. Wy-
nik ten nazywamy twierdzeniem
o dominacji regu∏y wi´kszoÊci.

Wyobraêmy sobie na przyk∏ad,

˝e w wyborach startuje trzech kan-
dydatów: Gore, Bush i Nader. Za-
∏ó˝my, ˝e ka˝dy wyborca szeregu-
je kandydatów w kolejnoÊci albo Gore, Bush, Nader, albo
Bush, Gore, Nader. JeÊli rankingi wszystkich wyborców na-
le˝à do tej dwuelementowej klasy, unika si´ s∏abego punktu or-
dynacji rankingowej – spe∏nia ona w tych warunkach postu-
lat neutralnoÊci (stosunek wyborców do Nadera nie wp∏ywa
na to, czy zwyci´˝y Bush czy Gore). Jednak zadowalajàca jest
tak˝e regu∏a wi´kszoÊci, poniewa˝ spe∏nia wówczas postulat
przechodnioÊci, który jest jej s∏abym punktem.

Natomiast metoda rankingowa przestaje byç zadowalajà-

ca w nieco bardziej skomplikowanej sytuacji. JeÊli dodamy
trzeci mo˝liwy ranking – Gore, Nader, Bush – regu∏a wi´k-
szoÊci nadal zapewnia przechodnioÊç (rankingi nie tworzà
cyklu Condorceta). Tymczasem metoda rankingowa przesta-

je spe∏niaç postulat neutralnoÊci.
Za∏ó˝my, ˝e 51% wyborców sto-
suje ranking Bush, Gore, Nader.
JeÊli pozosta∏e 49% wybiera Go-
re’a przed Naderem i Bushem,
zwyci´˝y Gore. JeÊli jednak pre-
ferencje tej grupy u∏o˝à si´ w
kolejnoÊci Gore, Bush, Nader,
wybory wygra Bush, mimo ˝e pre-
ferencje wyboru mi´dzy Gore’em
a Bushem nie zmieni∏y si´ w tej
grupie.

Jak pokazuje paradoks Condor-

ceta, istniejà przypadki, kiedy re-
gu∏a wi´kszoÊci si´ nie sprawdza,
choç zdarza si´ to rzadziej ni˝
w innych systemach g∏osowania.
W takich sytuacjach nale˝y jà od-
powiednio zmodyfikowaç, by móc
wskazaç zwyci´zc´. Mo˝na to ro-
biç na wiele sposobów. Najprost-
sza byç mo˝e modyfikacja jest na-
st´pujàca: jeÊli nie ma kandydata,
który wygra∏by w bezpoÊredniej
konfrontacji z ka˝dym z pozosta-
∏ych, wówczas wÊród kandyda-
tów, którzy pokonali najwi´kszà
liczb´ przeciwników przy bezpo-
Êrednim porównaniu preferencji,
zwyci´zcà zostaje ten, który uzys-
ka∏ ∏àcznie najwi´cej punktów
rankingowych.

Ulepszone wybory

SPOSÓB WYBORU PREZYDENTA

jest

w wi´kszoÊci krajów wadliwy.
Zarówno w wyborach w 2000 ro-
ku w USA, jak i w roku 2002 we
Francji znacznà – byç mo˝e na-
wet decydujàcà – rol´ odegrali
kandydaci niemajàcy realnych
szans na zwyci´stwo. Mogli oni
wywrzeç wp∏yw na wynik, gdy˝
w obu przypadkach system g∏o-
sowania uwzgl´dnia∏ tylko jedne-
go, preferowanego kandydata ka˝-
dego z wyborców. Uwa˝amy, ˝e

jeÊli dokonuje si´ wyboru mi´dzy wi´cej ni˝ dwoma kandy-
datami, wyborcy powinni ujawniç pe∏ny zestaw swych pre-
ferencji, a zwyci´zc´ powinna okreÊlaç przedstawiona wy˝ej
regu∏a wi´kszoÊci. Nie by∏aby to metoda doskona∏a, gdy˝
takiej metody nie ma. Jednak, jak pokazuje twierdzenie o
dominacji regu∏y wi´kszoÊci, odzwierciedla∏aby faktyczne
˝yczenia elektoratu bardziej precyzyjnie ni˝ jakikolwiek
inny system.

n

1

W∏aÊciwsze dla tego systemu by∏oby okreÊlenie „system porównawczy”,

„regu∏a porównywania” lub „zasada ka˝dy z ka˝dym”.

2

W Polsce takà metodà wybiera si´ co roku najlepszego sportowca w plebi-

scycie Przeglàdu Sportowego.

3

System ten nazywany jest te˝ metodà g∏osów transferowalnych (single trans-

ferable vote – STV).

KWIECIE¡ 2004 ÂWIAT NAUKI

83

KARTA DO G¸OSOWANIA z pierwszych wolnych wybo-
rów w RPA w 1994 roku. 62% elektoratu popar∏o wtedy
Nelsona Mandel´ i Afrykaƒski Kongres Narodowy (ANC).