Wykład 21
Witold Obłoza
3 marca 2011
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTA I PŁASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
s
,
a równoległe jeżeli wektory [u
1
, v
1
, w
1
] oraz [u
2
, v
2
, w
2
] s
,
a równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste s
,
a skośne wtw gdy nie maj
,
a punktów wspólnych
i nie leż
,
a w jednej płaszczyźnie.
PROSTA I PŁASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
s
,
a równoległe jeżeli wektory [u
1
, v
1
, w
1
] oraz [u
2
, v
2
, w
2
] s
,
a równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste s
,
a skośne wtw gdy nie maj
,
a punktów wspólnych
i nie leż
,
a w jednej płaszczyźnie.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|v × P P
0
|
|v|
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|v × P P
0
|
|v|
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|v × P P
0
|
|v|
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|v × P P
0
|
|v|
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 311
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i
równoległa do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l wyraża si
,
e wzorem
d(k, l) =
[−
→
n
k
, −
→
n
l
,
−
−
→
KL]
|−
→
n
k
× −
→
n
l
|
.
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
przecinają się to kąt α między
nimi spełnia równanie cos α =
|[u
1
, v
1
, w
1
] ◦ [u
2
, v
2
, w
2
]|
|[u
1
, v
1
, w
1
]| · |[u
2
, v
2
, w
2
]|
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 311
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i
równoległa do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l wyraża si
,
e wzorem
d(k, l) =
[−
→
n
k
, −
→
n
l
,
−
−
→
KL]
|−
→
n
k
× −
→
n
l
|
.
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
przecinają się to kąt α między
nimi spełnia równanie cos α =
|[u
1
, v
1
, w
1
] ◦ [u
2
, v
2
, w
2
]|
|[u
1
, v
1
, w
1
]| · |[u
2
, v
2
, w
2
]|
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 311
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i
równoległa do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l wyraża si
,
e wzorem
d(k, l) =
[−
→
n
k
, −
→
n
l
,
−
−
→
KL]
|−
→
n
k
× −
→
n
l
|
.
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
przecinają się to kąt α między
nimi spełnia równanie cos α =
|[u
1
, v
1
, w
1
] ◦ [u
2
, v
2
, w
2
]|
|[u
1
, v
1
, w
1
]| · |[u
2
, v
2
, w
2
]|
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 313
Jeżeli prosta k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
przebija płaszczyznę
π : Ax + By + Cz + D = 0
to kąt α między nimi spełnia równanie sin α =
|[u, v, w] ◦ [A, B, C]|
|[u, v, w| · |A, B, C]|
.
NORMA
DEFINICJA 314
Norm
,
a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcj
,
e
k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,
2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,
3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .
NORMA
DEFINICJA 314
Norm
,
a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcj
,
e
k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,
2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,
3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .
NORMA
DEFINICJA 314
Norm
,
a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcj
,
e
k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,
2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,
3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .
NORMA
DEFINICJA 314
Norm
,
a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcj
,
e
k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,
2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,
3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .
NORMA
DEFINICJA 314
Norm
,
a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcj
,
e
k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,
2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,
3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .
NORMA
PRZYKŁAD 315
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . v
n
) ∈ R
n
. Funkcje określone następującymi
wzorami s
,
a normami w R
n
k v k
√
·
=
s
n
P
k=1
v
2
k
,
k v k
P
=
n
P
k=1
|v
k
|,
k v k
max
=
max
k∈{1,2,...,n}
|v
k
|.
NORMA
PRZYKŁAD 315
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . v
n
) ∈ R
n
. Funkcje określone następującymi
wzorami s
,
a normami w R
n
k v k
√
·
=
s
n
P
k=1
v
2
k
,
k v k
P
=
n
P
k=1
|v
k
|,
k v k
max
=
max
k∈{1,2,...,n}
|v
k
|.
NORMA
PRZYKŁAD 315
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . v
n
) ∈ R
n
. Funkcje określone następującymi
wzorami s
,
a normami w R
n
k v k
√
·
=
s
n
P
k=1
v
2
k
,
k v k
P
=
n
P
k=1
|v
k
|,
k v k
max
=
max
k∈{1,2,...,n}
|v
k
|.
NORMA
PRZYKŁAD 315
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . v
n
) ∈ R
n
. Funkcje określone następującymi
wzorami s
,
a normami w R
n
k v k
√
·
=
s
n
P
k=1
v
2
k
,
k v k
P
=
n
P
k=1
|v
k
|,
k v k
max
=
max
k∈{1,2,...,n}
|v
k
|.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryk
,
a w zbiorze X nazywamy funkcj
,
e
% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) %(x, y) = %(y, x)
3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk
,
a.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryk
,
a w zbiorze X nazywamy funkcj
,
e
% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) %(x, y) = %(y, x)
3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk
,
a.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryk
,
a w zbiorze X nazywamy funkcj
,
e
% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) %(x, y) = %(y, x)
3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk
,
a.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryk
,
a w zbiorze X nazywamy funkcj
,
e
% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) %(x, y) = %(y, x)
3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk
,
a.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryk
,
a w zbiorze X nazywamy funkcj
,
e
% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) %(x, y) = %(y, x)
3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk
,
a.
GRANICA
DEFINICJA 318
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {x
k
}
k∈N
w przestrzeni metrycznej X.
Mówimy, że a ∈ X jest granic
,
a ci
,
agu {x
k
)}
k∈N
w przestrzeni metrycznej
(X, %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy
lim
k→∞
%(x
k
, a) = 0.
Zapisujemy
lim
k−→∞
x
k
= a.
GRANICA
DEFINICJA 318
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {x
k
}
k∈N
w przestrzeni metrycznej X.
Mówimy, że a ∈ X jest granic
,
a ci
,
agu {x
k
)}
k∈N
w przestrzeni metrycznej
(X, %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy
lim
k→∞
%(x
k
, a) = 0.
Zapisujemy
lim
k−→∞
x
k
= a.
GRANICA
DEFINICJA 318
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {x
k
}
k∈N
w przestrzeni metrycznej X.
Mówimy, że a ∈ X jest granic
,
a ci
,
agu {x
k
)}
k∈N
w przestrzeni metrycznej
(X, %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy
lim
k→∞
%(x
k
, a) = 0.
Zapisujemy
lim
k−→∞
x
k
= a.
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul
,
a otwart
,
a o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.
Kul
,
a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, %)
punkt w nazywamy punktem wewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,
punkt z nazywamy punktem zewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul
,
a otwart
,
a o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.
Kul
,
a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, %)
punkt w nazywamy punktem wewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,
punkt z nazywamy punktem zewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul
,
a otwart
,
a o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.
Kul
,
a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, %)
punkt w nazywamy punktem wewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,
punkt z nazywamy punktem zewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul
,
a otwart
,
a o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.
Kul
,
a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, %)
punkt w nazywamy punktem wewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,
punkt z nazywamy punktem zewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul
,
a otwart
,
a o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.
Kul
,
a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, %)
punkt w nazywamy punktem wewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,
punkt z nazywamy punktem zewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
Zn={1,2,...,n}
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2013 02 22 WIL Wyklad 2
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
2013 02 22, ćwiczenia
2011 02 21 WIL Wyklad 18(1)
2011 02 25 WIL Wyklad 21id 2752 Nieznany (2)
2013 02 22 Problemy budowy sieci internetowych w oparciu o jedną technologie IEEE Ethernet
2011 02 21 WIL Wyklad 20id 2752 Nieznany (2)
2011 02 21 WIL Wyklad 20(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 2752 Nieznany
2011 02 21 WIL Wyklad 18
2013 03 01 WIL Wyklad 2
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
więcej podobnych podstron