Inżynieria systemów dynamicznych
Piotr Kaczmarek
10.10.2011
Materiały do ćwiczeń - sprawdzian I
Zakres sprawdzianu I
• Własności przekształcenia Laplace’a
• Wykorzystanie przekształcenia Laplace’a do rozwiązywanie równań różniczkowych
• Metody opisu układów (r-nia stanu, r-nia różniczkowe, transmitancje, schematy strukturalne)
oraz zależności pomiędzy nimi
• Tworzenie modeli obiektów elektrycznych (układy RLC), mechanicznych i cieplnych oraz wy-
znaczanie ich odpowiedzi na podstawowe pobudzenia (skok, impuls i sinus)
Przykłady
1. Korzystając z metody residuów wyznacz oryginały funkcji
(a)
F (s) =
4s
2
+ 25s + 30
(s + 1)(s + 2)(s + 4)
Funkcja posiada pojedyncze bieguny rzeczywiste, więc możemy przedstawić ją w postaci
F (s) =
A
s + 1
+
B
s + 2
+
C
s + 4
gdzie poszczególne współczynniki liczymy w sposób następujący
A = [(s + 1)F (s)]|
s=−1
= 3
B = [(s + 2)F (s)]|
s=−2
= 2
C = [(s + 4)F (s)]|
s=−4
= −1
W rezultacie otrzymujemy
F (s) =
3
s + 1
+
2
s + 2
−
1
s + 4
Korzystając z tablic transformat wyznaczamy transformatę odwrotną powyższego wyra-
żenia
f (t) =
h
3e
−t
+ 2e
−2t
− e
4t
i
1(t)
Wartości residuów możemy też wyznaczyć korzystając z Matlaba
N = [4 25 30]
% wspolczynniki wielomianu licznika
D = poly([-1 -2 -4]) % wyznaczenie wspolczynnikow wielomianu mianownika
[R,P] = residue(N,D) % wektor R zawiera wartosci wspolczynnikow odpowiadajacych
% miejscom zerowym P
1
(b)
F (s) =
s
2
+ 2s + 3
(s + 2)
3
Funkcja posiada potrójny biegun dla s = −2 więc możemy ją przedstawić w postaci
F (s) =
A
1
s + 2
+
A
2
(s + 2)
2
+
A
3
(s + 2)
3
Wartości współczynników wyznaczymny na podstawie odpowiednich wzorów
A
1
=
1
2!
d
2
ds
2
h
s
2
+ 2s + 3
i
s=−2
= 1
A
2
=
1
1!
d
ds
h
s
2
+ 2s + 3
i
s=−2
= −2
A
3
=
1
0!
h
s
2
+ 2s + 3
i
s=−2
= 3
skąd możemy zapisać rozważaną funkcję w postaci
F (s) =
1
s + 2
−
2
(s + 2)
2
+
3
(s + 2)
3
co po skorzystaniu ze wzoru
1
(s + a)
n+1
= L
(
t
n
e
−at
n!
)
w dziedzinie czasu daje
f (t) =
"
e
−2t
− 2
te
−2t
1!
+ 3
t
2
e
−2t
2!
#
1(t)
f (t) =
"
1 − 2t +
3t
2
2
#
e
−2t
1(t)
(c)
F (s) =
s + 4
s
2
+ 4s + 5
Mianownik powyższej funkcji posiada pierwiastki zespolone sprzężone (s
1
= −2 + j, s
2
=
−2 − j), więc F (s) należy przedstawić w postaci
F (s) =
A
s + 2 − j
+
B
s + 2 + j
Odpowiednie współczynniki wyznaczymy w identyczny sposób, jak w przypadku pojedyn-
czych pierwiastków rzeczywistych
A = [(s + 2 − j)F (s)]|
s=−2+j
=
s + 4
s + 2 + j
s=−2+j
=
1
2
− j
B = [(s + 2 + j)F (s)]|
s=−2−j
=
s + 4
s + 2 − j
s=−2−j
=
1
2
+ j
2
Stąd rozważaną funkcję możemy przedstawić w postaci
F (s) =
0,5 − j
s + 2 − j
+
0,5 + j
s + 2 + j
Korzystając z tablic transformat otrzymujemy
f (t) =
1
2
− j
e
(−2+j)t
+
1
2
+ j
e
(−2−j)t
1(t) =
= e
−2t
1
2
(e
jt
+ e
−jt
) − j(e
jt
− e
−jt
)
1(t)
co po przekształceniach daje poszukiwaną funkcję
f (t) = e
−2t
[cos t + 2 sin t] 1(t)
Otrzymany wynik możemy sprawdzić korzystając z Matlaba
syms s
F = (s+4)/(s^2+4*s+5)
ilaplace(F)
2. Dany jest układ dynamiczny opisany równaniem
y
00
(t) + 4y
0
(t) + 13y(t) = u(t)
(a) Wyznacz odpowiedź układu na pobudzenie u(t) = −4δ(t) przy założeniu warunków począt-
kowych: y(0
+
) = 1 i y
0
(0
+
) = 0.
Przedstawiamy równanie w dziedzinie transformaty pamiętając o uwzględnieniu warunków
początkowych
s
2
Y (s) − sy(0
+
) − y
0
(0
+
) + 4sY (s) − 4y(0
+
) + 13Y (s) = −4,
a następnie dokonujemy prostych przekształceń wyznaczając Y (s)
s
2
Y (s) − s + 4sY (s) − 4 + 13Y (s) = −4
Y (s)(s
2
+ 4s + 13) = s
Y (s) =
s
s
2
+ 4s + 13
Wyróżnik mianownika jest mniejszy od zera (∆ = −36) więc mianownik przedstawimy w
postaci kanonicznej a(s − p)
2
+ q gdzie p = −b/(2a) oraz q = −∆/(4a)
Y (s) =
s
(s + 2)
2
+ 9
=
s + 2
(s + 2)
2
+ 9
−
2
(s + 2)
2
+ 9
skąd, korzystając z tabel znajdujemy odwrotne transformaty obu składników otrzymując
przebieg odpowiedzi obiektu na pobudzenie u(t)
y(t) = (cos 3t −
2
3
sin 3t)e
−2t
1(t)
3
Rysunek 1: Schemat będący rozwiązaniem zadania 2d
(b) Określ transmitancję układu
Równanie opisujące obiekt przedstawiamy w dziedzinie transformaty s
2
Y (s) + 4sY (s) +
13Y (s) = U(s) a następnie wyznaczamy Y (s) i dzielimy przez U(s) otrzymując transmi-
tancję
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
1
s
2
+ 4s + 13
(c) Opisz działanie układu za pomocą równań stanu
Przepisujemy równanie w postaci
y
00
(t) = u(t) − 4y
0
(t) − 13y(t)
Następnie dokonujemy podstawień x
1
(t) = y(t), x
2
(t) = y
0
(t), co pozwala nam na zapisanie
układu równań
x
0
1
(t) = x
2
(t)
x
0
2
(t) = −13x
1
(t) − 4x
2
(t) + u(t)
który możemy zapisać w postaci
x
0
(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
(1)
gdzie
A =
"
0
1
−13 −4
#
, B =
"
0
1
#
, C = [ 1 0 ]
(d) Narysuj schemat blokowy układu za pomocą integratorów, sumatorów i bloków mnożących
Schemat blokowy powstaje bezpośrednio z modelu stanowego. Jako zmienne stanu przyj-
mujemy wyjścia integratorów. Gotowy schemat przedstawiono na rys. 1.
3. Dana jest transmitancja układu
G(s) =
3s − 4
s
3
+ 3s
2
+ 4s + 12
(a) Określ odpowiedź impulsową układu
Odpowiedź układu będzie odwrotną transformatą iloczynu transmitancji i transformaty
pobudzenia. Transformata Laplace’a impulsu jednostkowego wynosi L{δ(t)} = 1 więc
odpowiedź impulsowa jest odwrotną transformatą transmitancji
y(t) = L
−1
{G(s)L{δ(t)}} = L
−1
{G(s)} = g(t)
4
Aby otrzymać odpowiedź impulsową, transmitancję rozkładamy na ułamki proste
G(s) =
3s − 4
s
3
+ 3s
2
+ 4s + 12
=
3s − 4
(s
2
+ 4)(s + 3)
=
A
s + 3
+
Bs + C
s
2
+ 4
(2)
As
2
+ 4A + Bs
2
+ 3Bs + Cs + 3C = 3s − 4
A + B
=
0
3B + C
=
3
4A + 3C = −4
skąd wyznaczamy A = −1, B = 1 oraz C = 0. Transmitancja po rozłożeniu na ułamki
proste wygląda następująco
G(s) =
s
s
2
+ 4
−
1
s + 3
skąd przy pomocy tablic wyznaczamy odpowiedź na impuls jednostkowy
y(t) = g(t) = L
−1
{G(s)} =
h
cos 2t − e
−3t
i
1(t)
Taki sam wynik osiągniemy wykonując ciąg poleceń Matlaba
syms s
F=(3*s-4)/(s^3+3*s^2+4*s+12)
ilaplace(F)
(b) Przedstaw równanie różniczkowe opisujące działanie układu
Zapiszmy transmitancję w postaci
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
3s − 4
s
3
+ 3s
2
+ 4s + 12
co daje
s
3
Y (s) + 3s
2
Y (s) + 4sY (s) + 12Y (s) = −4U(s) + 3sU(s).
Dokonując odwrotnej transformaty Laplace’a powyższego równania otrzymamy rozwiąza-
nie zadania
y
000
(t) + 3y
00
(t) + 4y
0
(t) + 12y(t) = −4u(t) + 3u
0
(t)
4. Dany jest system opisany równaniami stanu
x
0
(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
A =
0
1
0
0
0
1
−12 −19 −8
, B =
0
0
1
C = [ 39 26 5 ]
5
(a) Wyznacz transmitancję tego systemu
Aby wyznaczyć transmitancję systemu skorzystamy ze wzoru
G(s) = C[sI − A]
−1
B
[sI − A]
−1
=
s
−1
0
0
s
−1
12 19 s + 8
−1
=
1
det(sI − A)
s
2
+ 8s + 19
12
12s
s + 8
s
2
+ 8s −19s − 12
1
s
s
2
T
=
1
s
3
+ 8s
2
+ 19s + 12
s
2
+ 8s + 19
s + 8
1
12
s
2
+ 8s
s
12s
−19s − 12 s
2
[sI − A]
−1
B =
1
s
3
+ 8s
2
+ 19s + 12
1
s
s
2
C[sI − A]
−1
B =
1
s
3
+ 8s
2
+ 19s + 12
[ 39 26 5 ]
1
s
s
2
skąd możemy wyznaczyć transmitancję
G(s) =
5s
2
+ 26s + 39
s
3
+ 8s
2
+ 19s + 12
Uwaga: Możemy zauważyć, że macierze opisujące działanie układu są w postaci kanonicz-
nej, więc transmitancję można również wyznaczyć podstawiając odpowiednie elementy
macierzy do wzoru.
Transmitancję systemu na podstawie modelu stanowego można również wyznaczyć korzy-
stając z Matlaba
A = [0 1 0; 0 0 1; -12 -19 -8]
B = [0; 0; 1]
C = [39 26 5]
D = [0]
tf(ss(A,B,C,D))
5. Dany jest układ RC jak na rys. 2
(a) Wyznacz transmitancję G(s) =
U
2
(s)
U
1
(s)
tego układu
Możemy określić bilans napięć w układzie
u
1
(t) = u
c
(t) + Ri
c
(t) = u
c
(t) + RC
du
c
(t)
dt
6
Rysunek 2: Schemat układu do zadania 5a
Korzystając z zależności u
c
(t) = u
1
(t) − u
2
(t) otrzymamy
u
1
(t) = u
1
(t) − u
2
(t) + RC
du
1
(t)
dt
− RC
du
2
(t)
dt
co po przekształceniach prowadzi do
RC
du
1
(t)
dt
= +RC
du
2
(t)
dt
+ u
2
(t)
Dokonując przekształcenia Laplace’a powyższego równania i dzieląc jego obie strony przez
U
1
(s) otrzymamy szukaną transmitancję
G(s) =
sRC
1 + sRC
(b) Znajdź odpowiedź tego układu na sygnał u
1
(t) = (sin 2t)1(t) przy założeniu zerowych wa-
runków początkowych oraz R = 2MΩ i C = 0,5µF
Dla warunków określonych w zadaniu RC = 1 oraz U
1
(s) =
2
s
2
+4
. Jako, że warunki
początkowe są zerowe odpowiedź układu możemy wyznaczyć z zależności
u
2
(t) = L
−1
{G(s)U
1
(s)}
= L
−1
(
2s
(s + 1)(s
2
+ 4)
)
= L
−1
−
0,4
s + 1
+
0,4s + 1,6
s
2
+ 4
= 0,4
−e
−t
+ cos 2t + 2 sin 2t
1(t)
Zadania do samodzielnego wykonania
1. Znajdź oryginały transformat
(a) Y (s) =
1
s(s+2)(s+3)
(b) Y (s) =
10
(s+1)
2
(s+3)
(c) Y (s) =
s
(s+3)
3
(d) Y (s) =
s+4
(s+1)
3
(e) Y (s) =
s+3
(s+1)(s
2
+4s+7)
(f) Y (s) =
s+3
s(s
2
+4)
7
2. Posługując się metodą transfomacji Laplace’a znajdź rozwiązanie następujących równań róż-
niczkowych
(a) y
0
(t) + 3y(t) = u(t)
u(t) = 5e
2t
y(0
+
) = 4
(b) y
0
(t) + 2y(t) = u(t)
u(t) = 3e
−t
y(0
+
) = 1
(c) y
00
(t) + 2y
0
(t) + y(t) = u(t)
u(t) = 3δ(t)
y(0
+
) = −3, y
0
(0
+
) = 6
(d) y
0
(t) + y(t) = u(t)
u(t) = sin t
y(0
+
) = 1
(e) y
0
(t) − y(t) = u(t)
u(t) = te
2t
y(0
+
) = 0
(f) y
00
(t) + 4y(t) = u(t)
u(t) = cos t
y(0
+
) = 2
(g) y
00
(t) + 4y
0
(t) + 4y(t) = u(t)
u(t) = 81(t)
y
0
(0
+
) = −12, y(0
+
) = 3
(h) y
000
(t) + 2y
00
(t) + 5y
0
(t) = u(t)
u(t) = 3δ(t)
y
00
(0
+
) = −6, y
0
(0
+
) = 1, y(0
+
) = 4
(i) y
000
(t) + y
00
(t) + 9y
0
(t) + 9y(t) = u(t)
u(t) = 3δ(t)
y
00
(0
+
) = 2, y
0
(0
+
) = −1, y(0
+
) = 3
(j) y
000
(t) + 7y
00
(t) + 17y
0
(t) + 15y(t) = u(t)
u(t) = 0
y
00
(t) = −1, y
0
(t) = −1, y(0
+
) = −19
3. Wyznacz transmitancje układów opisanych równaniami różniczkowymi oraz znajdź ich odpo-
wiedź impulsową
(a) y
00
(t) + 3y
0
(t) + 2y(t) = 7u(t) + 5u
0
(t)
(b) y
00
(t) + 5y
0
(t) + 6y(t) = 4u(t) + u
0
(t)
(c) y
000
(t) + 3y
00
(t) + 7y
0
(t) + 5y
0
(t) = 5u(t) + 3u
0
(t) + u
00
(t)
(d) y
000
(t) + 5y
00
(t) + 9y
0
(t) + 5y(t) = 8u(t) + 8u
0
(t) + 2u
00
(t)
4. Znajdź reprezentację w przestrzeni stanów układów opisanych transmitancjami
(a) G(s) =
1
s
3
+2s
2
+3s+1
(b) G(s) =
4
s
3
+3s
2
+2s+2
8
Rysunek 3: Schemat układu do zadania 6
Rysunek 4: Schemat układu do zadania 7
(c) G(s) =
s
2
+2s+1
s
3
+4s
2
+3s+2
(d) G(s) =
s
2
+s+4
s
3
+2s
2
+s+3
5. Znajdź transmitancje układów opisanych równaniami stanu
(a) A =
"
1 1
0 2
#
, B =
"
0
1
#
, C = [ 1 2 ]
(b) A =
"
−1
0
1
−3
#
, B =
"
1
2
#
, C = [ 0 1 ]
(c) A =
1 0
0
0 1
2
0 0 −1
, B =
1
0
1
, C = [ 1 0 −1 ]
(d) A =
−2
1
0
0
−4
0
−8 −4 −6
, B =
1
0
1
, C = [ 1 0 1 ]
6. Wyznacz transmitancję G(s) =
U
2
(s)
U
1
(s)
układu, którego schemat znajduje się na rys. 3
Rysunek 5: Rysunek do zadania 8
9
Rysunek 6: Schemat do zadania 9
L
R
C
U
1
I
R
Rysunek 7: Schemat do zadania 15
L
R
C
U
1
I
R
Rysunek 8: Schemat do zadania 16
L
R
C
u
1
(t)
u
2
(t)
Rysunek 9: Schemat do zadania 17
L
1
R
1
u
1
(t)
u
2
(t)
R
2
L
2
i
L1
(t)
i
L2
(t)
Rysunek 10: Schemat do zadania 18
10
7. Wyznacz transmitancję G(s) =
U
2
(s)
U
1
(s)
układu, którego schemat znajduje się na rys. 4. Określ
odpowiedź tego układu na skok jednostkowy napięcia wejściowego, przy założeniu R = 100kΩ,
C = 10µF oraz u
c
(0
+
) = 0,2V .
8. Wyznacz transmitancję G(s) =
X(s)
F (s)
układu przedstawionego na rysunku 5 oraz określ jego
model w przestrzeni stanów. Na rysunku x(t) oznacza odchylenie od stanu równowagi natomiast
f (t) siłę działającą na ciało o masie m.
9. Wyznacz transmitancję G(s) =
X
2
(s)
X
1
(s)
układu przedstawionego na rysunku 6 oraz określ jego
model w przestrzeni stanów. Na rysunku x
1
(t) oznacza drogę pokonywaną przez wózek o masie
m
1
natomiast x
2
(t) oznacza drogę pokonywaną przez wózek o masie m
2
. W przyjętym modelu
pominąć tarcie.
10. Wyznacz równania stanu obiektów, opisanych równaniami różniczkowymi
(a) y
000
(t) − 3y
00
(t) − 2y(t) = 3u(t)
(b) y
000
(t) + y
00
(t) − 7y
0
(t) + 3y(t) = 4u(t)
(c) y
00
(t) − y(t) = u(t)
11. Wyznacz równania stanu obiektów, opisanych transmitancjami
(a) G(s) =
3
s
2
−3s+5
(b) G(s) =
1
s
3
−4s
2
+2s+1
(c) G(s) =
4
s2+2s+1
12. Dokonaj diagonalizacji macierzy
(a) A =
"
1 2
2 1
#
(b) A =
"
−1 0
1
4
#
(c) A =
0
1
0
2 −1
0
5
0
−1
(d) A =
0
1
0
3
0
2
−12 −7 −6
13. Korzystając z integratorów, sumatorów oraz układów mnożących, narysuj schematy blokowe
układów
(a) G(s) =
1
s
4
+3s
3
+2s
2
+1
(b) G(s) =
1
s
4
+7s
2
+3s+4
(c) y
000
(t) + 2y
00
(t) + 3y(t) = u(t)
(d) y
000
(t) + 8y
00
(t) + 7y
0
(t) + 4y(t) = u(t)
14. Korzystając z integratorów, sumatorów oraz układów mnożących, narysuj schematy blokowe
układów generujących przebiegi funkcji oraz określ wartości sygnałów na wyjściach integtatorów
dla t = 0
11
(a) y(t) = e
−3t
1(t)
(b) y(t) = cos 2t1(t)
(c) y(t) = 2 sin 3t1(t)
(d) y(t) = 2e
4t
1(t)
15. Znajdź transmitancję G(s) =
I
R
(s)
U
1
(s)
układu przedstawionego na schemacie z rys. 7
16. Znajdź transmitancję G(s) =
I
R
(s)
U
1
(s)
układu przedstawionego na schemacie z rys. 8
17. Znajdź transmitancję G(s) =
U
2
(s)
U
1
(s)
układu przedstawionego na schemacie z rys. 9
18. Wyznacz model stanowy układu przedstawionego na schemacie z rys. 10
12
G(s) =
b
n−1
s
n−1
+ . . . + b
0
s
n
+ a
n−1
s
n−1
+ . . . + a
0
Model stanowy dla n=3
A =
0
1
0
0
0
1
−a
0
−a
1
−a
2
, B =
0
0
1
, C =
h
b
0
b
1
b
2
i
Odpowiedzi
1a. y(t) =
1
6
+
1
3
e
−3t
−
1
2
e
−2t
1(t)
1b. y(t) =
5
2
(e
−3t
+ (2t − 1)e
−t
) 1(t)
1c. y(t) = te
−3t
1 −
3
2
t
1(t)
1d. y(t) = te
−t
3
2
t + 1
1(t)
1e. y(t) =
1
2
e
−t
+
1
6
e
2 t
√
3 sin(
√
3t) −
1
2
e
2 t
cos(
√
3t)
1(t)
1f. y(t) =
3
4
−
3
4
cos(2 t) +
1
2
sin(2 t)
1(t)
2a. Y (s) =
1
s−2
+
3
s+3
, y(t) = e
2t
+ 3e
−3t
, t 0
2b. Y (s) =
3
s+1
−
2
s+2
, y(t) = 3e
−t
− 2e
−2t
, t 0
2c. Y (s) =
−3
s+1
+
6
(s+1)
2
, y(t) = −3e
−t
+ 6te
−t
, t 0
2d. Y (s) =
1,5
s+1
−
0,5s
s
2
+1
+
0,5
s
2
+1
, y(t) = 1,5e
−t
− 0,5 cos t + 0,5 sin t, t 0
2e. Y (s) =
1
s−1
−
1
s−2
+
1
(s−2)
2
, y(t) = e
t
+ (t − 1)e
2t
, t 0
2f. Y (s) =
5
3
s
s
2
+4
+
1
3
s
s
2
+1
, y(t) =
5
3
cos 2t +
1
3
cos t, t 0
3a. G(s) =
5s+7
s
2
+3s+2
, y(t) = 2e
−t
+ 3e
−2t
, t 0
3b. G(s) =
s+4
s
2
+5s+6
, y(t) = 2e
−2t
− e
−3t
, t 0
4c. G(s) =
s
2
+3s+5
s
3
+3s
2
+7s+5
, y(t) = (cos 2t +
1
2
sin 2t)e
−t
+ 3e
−t
, t 0
4d. G(s) =
2s
2
+8s+8
s
3
+5s
2
+9s+5
, y(t) = (cos t + sin t)e
−2t
+ e
−t
, t 0
5a. G(s) =
2s−1
s
2
−3s+2
5b. G(s) =
2s+3
s
2
+3s+2
5c. G(s) =
2
s
2
−1
5d. G(s) =
2s
s
2
+8s+12
6. G(s) =
U
2
(s)
U
1
(s)
=
1
R
1
R
2
C
1
C
2
s
2
+(R
1
C
1
+R
1
C
2
+R
2
C
2
)s+1
7 G(s) =
1
RCs+1
, u
2
(t) = (1 − 0,8e
−t
) 1(t)
8 G(s) =
1
ms
2
+bs+k
, A =
"
0
1
−
k
m
−
b
m
#
, B =
"
0
1
m
#
, C =
h
1 0
i
15 G(s) =
1
s
2
RLC+sL+R
16 G(s) =
s
2
LC
s
2
RLC+sL+R
17 G(s) =
R
s
2
RLC+sL+R
18
di
L1
(t)
dt
di
L2
(t)
dt
=
"
−
R
1
L
1
R
1
L
1
R
1
L
2
−
R
1
+R
2
L
2
# "
i
L
1
(t)
i
L
2
(t)
#
+
"
1
L
1
0
#
u
1
(t), u
2
(t) =
h
0 R
2
i
"
i
L
1
(t)
i
L
2
(t)
#
13
Rysunek 11: Rozwiązania do zad. 14
14
Rysunek 12: Rysunek do przykładu 1
Rysunek 13: Rozwiązanie zadania 1
Inżynieria systemów dynamicznych
Piotr Kaczmarek
Materiały do ćwiczeń - sprawdzian II
Zakres sprawdzianu II
• Przekształcanie schematów blokowych
• Transmitancje uchybowe oraz wartości uchybów w stanie ustalonym
• Standardowe transmitancje I i II rzędu
Przykłady
1. Metodą przekształcania schematów blokowych określ transmitancję G(s) =
Y (s)
U (s)
dla układu
przedstawionego na rysunku.
Rozwiązanie przedstawiono na rysunku 13.
15
Rysunek 14:
2. W układzie sterowania pokazanym na rysunku 14 transmitancja obiektu wynosi G
p
(s) =
2
s(s+1)
natomiast transmitancja regulatora G
c
(s) = k.
(a) Wyznacz odpowiedź układu oraz uchyb w stanie ustalonym, w przypadku, gdy pobudzenie
jest skokiem jednostkowym r(t) = 1(t). W rozwiązaniu założyć zerowe wartości zakłóceń
d
1
(t) oraz d
2
(t).
Rozwiązanie Wyznaczamy odpowiednie transmitancje
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
2k
s
2
+ s + 2k
G
e
(s) =
E(s)
R(s)
=
s
2
+ s
s
2
+ s + 2k
Znając transmitancje, szukane wartości wyznaczymy ze wzorów
lim
t→∞
y(t) = lim
s→0
sR(s)G(s) = s
1
s
2k
s
2
+ s + 2k
= 1
lim
t→∞
e(t) = lim
s→0
sR(s)G
e
(s) = s
1
s
s
2
+ s
s
2
+ s + 2k
= 0
Wartość uchybu w stanie ustalonym możemy również obliczyć bez korzystania z transmi-
tancji G
e
(s) w następujący sposób
lim
t→∞
e(t) = lim
t→∞
r(t) − lim
t→∞
y(t) = 1 − 1 = 0
otrzymując oczywiście ten sam wynik. Jak widzimy, dla rozważanego układu regulacji,
wartość uchybu „położeniowego” jest równa zero.
(b) Wyznacz uchyb w stanie ustalonym, w przypadku, gdy pobudzenie jest rampą r(t) = t1(t).
W rozwiązaniu założyć zerowe wartości zakłóceń d
1
(t) oraz d
2
(t).
lim
t→∞
e(t) = lim
s→0
sR(s)G
e
(s) = s
1
s
2
s
2
+ s
s
2
+ s + 2k
=
1
2k
Jak widzimy, w rozważanym przypadku nie jesteśmy w stanie osiągnąć wartości zadanej.
Wielkość uchybu „prędkościowego” jest odwrotnie proporcjonalna do wzmocnienia regula-
tora.
(c) Wyznacz wartość ustaloną uchybu sterowania, będącą odpowiedzią na zakłócenie d
1
(t) =
1(t). Założyć r(t) = 0 oraz d
2
(t) = 0.
Rozwiązanie W pierwszej kolejności wyznaczymy transmitancję
G
d
1
e
(s) =
E(s)
D
1
(s)
= −
2
s
2
+ s + 2k
16
Wartość uchybu w stanie ustalonym wyznaczymy ze wzoru
lim
t→∞
e(t) = lim
s→0
sD
1
(s)G
d
1
e
(s) = −
1
k
Jak widzimy, w rozważanym przypadku nie jesteśmy w stanie usunąć wpływu skokowego
zakłócenia d
1
(t) na wartość sygnału wyjściowego w stanie ustalonym. Możemy jednak
zredukować ten wpływ zwiększając wzmocnienie k.
(d) Wyznacz wartość ustaloną uchybu sterowania, będącą odpowiedzią na zakłócenie d
2
(t) =
1(t). Założyć r(t) = 0 oraz d
1
(t) = 0.
Rozwiązanie
Przypomnijmy, że uchyb jest to różnica pomiędzy wartością zadaną r(t) oraz wielkością
wyjściową y(t). Zauważmy, że w tak postawionym problemie sygnał e(t) nie jest uchybem.
W naszym przypadku uchyb będzie wynosił ε(t) = r(t) − y(t) = −y(t). Transmitancję
uchybową możemy wyrazić wzorem
G
d
2
ε
(s) =
ε(s)
D
2
(s)
=
2k
s
2
+ s + 2k
Uchyb w stanie ustalonym wyniesie
lim
t→∞
ε(t) = lim
s→0
s
1
s
G
d
2
ε
(s) = 1
Z powyższego rozwiązania wynika, że wartość wzmocnienia regulatora nie ma wpływu na
uchyb związany z zakłóceniami występującymi w torze pomiarowym.
3. Dla układu o transmitancji G(s) =
K
τ s+1
, określić czas, po którym odpowiedź skokowa osiągnie
r = 0.95 wartości stanu ustalonego
Rozwiązanie Przypomnijmy, że odpowiedź skokowa rozważanego układu dana jest wzorem
h(t) = K(1 − e
−t
τ
)1(t)
W stanie ustalonym, wartość tej odpowiedzi wyniesie h(∞) = K. Stąd wynika równanie
K(1 − e
−t
τ
) = rK,
którego rozwiązaniem jest
t = −τ ln(1 − r)
co po podstawieniu r = 0.95 daje odpowiedź t ∼
= 3τ
4. Dany jest obiekt o transmitancji G
p
(s) =
1
10s+1
. Obiekt ten objęto sprzężeniem zwrotnym z
regulatorem proporcjonalnym G
c
(s) = k w sposób pokazany na rysunku 14. Dobierz wartość
wzmocnienia układu tak, aby jego pasmo 3dB było cztery razy szersze niż obiektu nie objętego
sprzężeniem zwrotnym
Rozwiązanie Stała czasowa obiektu wynosi τ = 10sek, z czego wynika, że szerokość pasma 3dB
układu otwartego wynosi ω
3dB
= 1/τ = 0.1sek
−1
. Z warunków zadania wynika, że dla układu
zamkniętego wartości te powinny wynosić ω
0
3dB
= 0.4sek
−1
oraz τ
0
= 2.5sek. Transmitancja
układu zamkniętego wyniesie
G
0
(s) =
k
k+1
10
k+1
s + 1
=
K
0
τ
0
s + 1
17
Stąd mamy równanie
10
k + 1
= 2.5
którego rozwiązaniem jest k = 3.
5. Dany jest układ przedstawiony na rys. 15, w którym G
1
(s) =
10
s(s+2)
, G
2
(s) = k
2
s oraz G
3
(s) =
k
1
.
(a) Wyznacz wartości wzmocnień k
1
oraz k
2
tak, aby w przypadku odpowiedzi na skok jed-
nostkowy zapewnić maksymalne przeregulowanie na poziomie 25% (M
p
= 0,2) oraz dwu-
procentowy czas ustalania t
2%
= 2sek
ROZWIĄZANIE
Transmitancja układu wyniesie
G(s) =
10k
1
s
2
+ (2 + 10k
2
)s + 10k
1
Parametry standardowej transmitancji II rzędu dla rozważanego układu wyniosą
ω
2
n
= 10k
1
, 2ζω
n
= 2 + 10k
2
Na podstawie postawionych w zadaniu wymagań dotyczących przeregulowania możemy
wyznaczyć
ζ =
− ln(M
p
)
q
π
2
+ (ln(M
p
))
2
∼
= 0,4.
Następnie korzystamy z warunku dotyczącego czasu ustalania wyznaczając ω
n
t
2%
=
4
ζω
n
= 2
ω
n
= 5
Skąd wyznaczymy wzmocnienia k
1
= 2,5 oraz k
2
= 0.2.
(b) Wykreść charakterystykę amplitudową A(ω) = |G(jω)| otrzymanego układu
ROZWIĄZANIE
Aby wykreślić charakterystykę częstotliwościową należy wyznaczyć punkty charaktery-
styczne
• Wzmocnienie dla pulsacji zerowej (czyli wartość odp. skokowej w stanie ustalonym)
A(0) = lim
s→0
s
1
s
G(s) = 1
• Pulsacja rezonansowa
ω
r
= ω
n
q
1 − 2ζ
2
= 4,12
• Wysokość szczytu rezonansowego
M
r
=
1
2ζ
√
1 − ζ
2
= 1,36
• Szerokość pasma trzydecybelowego
ω
3dB
= ω
n
r
(1 − 2ζ
2
) +
q
ζ
4
− 4ζ
2
+ 2 = 6,8
Charakterystyka amplitudowa układu została przedstawiona na rysunku 16
18
Rysunek 15: Rysunek do zadania 5
0
5
10
15
20
25
30
0
0.707
0.5
1
1.5
Mr
ω
r
ω
3dB
Rysunek 16: Rysunek do zadania 5b
19
Rysunek 17: Rysunek do zadania 8
Zadania do samodzielnego wykonania
1. Pulsacja 3dB obiektu o transmitancji G
p
(s) =
8
s+a
wynosi ω
3dB
= 4rad/sek. Wyznacz wartość
uchybu w stanie ustalonym, w przypadku, gdy pobudzeniem jest skok jednostkowy, a obiekt
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
2. Ile razy zmieni się czas ustalania t
5%
układu o transmitancji G(s) =
3
s+2
po objęciu go ujemnym
jednostkowym sprzężeniem zwrotnym?
3. Układ o transmitancji G(s) =
k
s
objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Ja-
ką wartość powinno mieć wzmocnienie k, aby pulsacja ω
3dB
otrzymanego układu wyniosła
0,25rad/sek?
4. Układ o transmitancji G(s) =
k
s+1
objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Jaka powinna być wartość wzmocnienia k, aby uchyb odpowiedzi otrzymanego układu na skok
jednostkowy był mniejszy od 5%?
5. Układ o transmitancji G(s) =
3
s+a
, a > 0 objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrot-
nym. Jaka jest wartość współczynnika a, jeśli wiadomo, że t
5%
czas ustalania układu wynosi
1
5
?
6. Układ o transmitancji G(s) =
K
s(s+a)
objęto jednostkowym sprzężeniem zwrotnym
-Określ, jakie powinny być wartości parametrów K i a, aby dla odpowiedzi na skok jednostkowy
5% czas regulacji wynosił t
R5%
= 5sek, natomiast czas narastania wynosił t
n
= 2sek.
-Określ wartość maksymalną odpowiedzi skokowej oraz czas wystąpienia tej wartości.
7. Obiekt o transmitancji G(s) =
K
s(τ s+1)
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Określ wartości współczynników K i τ aby dla odpowiedzi uzyskanego układu na skok jednost-
kowy 2% czas regulacji wynosił 9sek natomiast czas narastania wynosił t
n
= 1, 8sek.
8. Na rysunku 17 przedstawiono układ regulacji, w którym G
p
(s) =
10
s(s+2)
, G
1
(s) = K
1
natomiast
G
2
(s) = K
2
s. Wyznacz wartości wzmocnień K
1
i K
2
tak, aby układ spełniał następujące
wymagania: czas narastania t
n
= 3,6sek oraz maksymalne przeregulowanie M
p
= 14%
20
Inzynieria systemów dynamicznych
Piotr Kaczmarek
Materiały do cwiczen - sprawdzian III
Zakres sprawdzianu III
• Badanie stabilności - tablica Routha
• Zależniość położenia biegunów standardowej transmitancji ukł. II rzędu od wymagań projek-
towych
• Linie pierwiastkowe
• Określanie stabilności układu zamkniętego na podstawie charakterystyk częstotliwościowych
Bodego
Przykłady
1. Stosując kryterium Routha określ liczbę pierwiastków równania M(s) = s
4
+3s
3
+2s
2
−2s−4 =
0 znajdujących się w prawej półpłaszczyźnie
Rozwiązanie: Wypełniamy tablicę Routha
s
4
s
3
s
2
s
1
1
2
−4
3 −2
0
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
d
1
Następnie wyznaczamy wartości współczynników w kolejnych wierszach. Dla s
2
otrzymujemy:
b
1
=
−
1
2
3 −2
3
=
8
3
b
2
=
−
1 −4
3
0
3
= −4
b
3
= 0
s
4
s
3
s
2
s
1
1
2
−4
3 −2
0
8
3
−4
0
c
1
c
2
d
1
Dla s otrzymujemy:
c
1
=
−
3 −2
8
3
−4
8
3
=
20
8
21
c
2
= 0
s
4
s
3
s
2
s
1
1
2
−4
3 −2
0
8
3
−4
0
20
8
0
d
1
Oraz ostatni element
d
1
=
−
8
3
−4
20
8
0
20
8
= −4
co w rezultacie daje pełną tablicę Routha:
s
4
s
3
s
2
s
1
1
2
−4
3
−2
0
8
3
−4
0
20
8
0
−4
Jak widzimy, zmiana znaku w pierwszej kolumnie występuje tylko jeden raz, z czego wynika,
że wielomian M(s) ma jeden pierwiastek w prawej półpłaszczyźnie.
W celu sprawdzenia poprawności wyliczeń możemy znaleźć pierwiastki wielomianu M(s) ko-
rzystając z Matlaba:
roots([1 3 2 -2 -4]) % wyliczenie pierwiastków wielomianu o współczynnikach
% w nawiasie kwadratowym
2. Stosując kryterium Routha określ liczbę miejsc zerowych wielomianu M(s) = 6+3s+3s
2
+s
3
+s
4
znajdujących się w prawej półpłaszczyźnie
Rozwiązanie: Wypełniamy tablicę Routha
s
4
s
3
s
2
s
1
1
3
6
1
3
0
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
d
1
Następnie wyznaczamy wartości współczynników w wierszach odpowiadających drugiej potędze
s
b
1
=
−
1 3
1 3
1
= 0
b
2
=
−
1 6
1 0
1
= 6
22
b
3
= 0
Zauważmy, że wartość współczynnika b
1
wynosi 0, co uniemożliwia „zwykłe” postępowanie. W
takim przypadku zakładamy, że b
1
= ε, gdzie ε jest liczbą dodatnią dążącą do zera.
s
4
s
3
s
2
s
1
1
3 6
1
3 0
ε
6 0
c
1
c
2
d
1
Pozostałe współczynniki wyznaczymy w następujący sposób
c
1
=
−
1 3
ε 6
ε
=
−6 + 3ε
ε
∼
=
−6
ε
c
2
= 0
d
1
=
−
ε
6
−
6
ε
0
−6
ε
= 6
Ostatecznie tablica Routha przybierze postać
s
4
s
3
s
2
s
1
1
3 6
1
3 0
ε
6 0
−
6
ε
0
6
Jak widziny, w pierwszej kolumnie nastąpiły dwie zmiany znaków. Wynika z tego, że dwa
miejsca zerowe wielomianu M(s) znajdują się w prawej półpłaszczyźnie. Sprawdzić to możemy
rozwiązując równanie M(s) = 0, dla którego otrzymamy następujące pierwiastki s
1,2
∼
= 0.4853±
j1.5510, s
3,4
∼
= −0.9853 ± j1.1405.
3. Stosując kryterium Routha określ liczbę miejsc zerowych wielomianu M(s) = s
4
+ 2s
3
+ 3s
2
+
4s + 2 znajdujących się w prawej półpłaszczyźnie
Rozwiązanie: Wypełniamy tablicę Routha
s
4
s
3
s
2
s
1
1
3
2
2
4
0
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
d
1
Zauważmy, że elementy w wierszu odpowiadającym s
3
możemy podzielić przez 2, co pozwoli
na ułatwienie obliczeń:
s
4
s
3
s
2
s
1
1
3
2
1
2
0
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
d
1
23
Wyznaczamy wartości współczynników w wierszach odpowiadających drugiej potędze s
b
1
=
−
1 3
1 2
1
= 1
b
2
=
−
1 2
1 0
1
= 2
b
3
= 0
s
4
s
3
s
2
s
1
1
3 2
1
2 0
1
2 0
c
1
c
2
d
1
Wyznaczamy wartości współczynników w wierszach odpowiadających pierwszej potędze s
c
1
=
−
1 2
1 2
1
= 0
c
2
=
−
1 0
1 0
1
= 0
s
4
s
3
s
2
s
1
1 3 2
1 2 0
1 2 0
0 0
d
1
Jak widać, w wierszu odpowiadającym s
1
otrzymaliśmy same zera. W takim przypadku musimy
skorzystać z wielomianu pomocniczego, który powstaje ze współczynników znajdujących się w
wierszu powyżej wiersza zerowego:
P (s) = s
2
+ 2
Jako współczynniki wiersza s
1
wstawiamy współczynniki odczytane z wielomianu będącego
pochodną wielomianu pomocniczego
dP (s)
ds
= 2s
s
4
s
3
s
2
s
1
1 3 2
1 2 0
1 2 0
2 0
d
1
24
Następnie postępujemy zgodnie ze standardową procedurą:
d
1
=
−
1 2
2 0
1
= 2
s
4
s
3
s
2
s
1
1 3 2
1 2 0
1 2 0
2 0
2
Z otrzymanej tablicy Routha wynika, że w prawej półpłaszczyźnie nie ma pierwiastków wielo-
mianu M(s). Z faktu, że w tablicy wystąpił rząd samych zer wynika, że występują pierwiastki na
osi urojonej. Z własności wielomianu pomocniczego wynika, że jego miejsca zerowe są również
miejscami zerowymi wielomianu M(s).
P (s) = s
2
+ 2 = 0
Stąd wiemy, że liczby j
√
2 oraz −j
√
2 są pierwiastkami równania M(s) = 0.
4. Układ o transmitancji G
p
(s) =
2
s(s+1)(s+T )
objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrot-
nym. Korzystając z tablicy Routha określ jaka powinna być wartość współczynnika T aby
otrzymany układ był na granicy stabilności? Jaka wtedy będzie częstotliwość drgań na wyjściu
otrzymanego układu?
W pierwszej kolejności należy wyznaczyć transmitancję otrzymanego układu:
G(s) =
G
p
(s)
1 + G
p
(s)
=
2
s
3
+ (T + 1)s
2
+ T s + 2
Stąd wielomian charakterystyczny możemy przedstawić w postaci: M(s) = s
3
+(T +1)s
2
+T s+2.
Formujemy tablicę
s
3
s
2
s
1
1
T
T + 1 2
b
1
b
2
c
1
b
1
=
−
1
T
T + 1 2
T + 1
=
T
2
+ T − 2
T + 1
b
2
= 0
s
3
s
2
s
1
1
T
T + 1
2
T
2
+T −2
T +1
0
c
1
25
Rysunek 18: Rysunek do zadania 5
Aby układ był na granicy stabilności, w tablicy Routha musi wystąpić rząd samych zer, czyli
musi być spełniony warunek: b
1
= 0. Warunek ten jest spełniony dla T = 1 oraz T = −2. War-
tość T = −2 odrzucamy, gdyż dla T = −2 w wielomianie M(s) wystąpią ujemne współczynniki
co będzie oznaczało, że uzyskany układ będzie niestabilny.
Dla T = 1 tablica Routha przyjmie postać:
s
3
s
2
s
1
1 1
2 2
0 0
c
1
Stąd wyznaczamy wielomian pomocniczy P (s) = 2s
2
+2 i jego pochodną P
0
(s) = 4s co pozwala
nam na ostateczne wypełnienie tablicy:
s
3
s
2
s
1
1 1
2 2
4 0
2
Z tablicy wynika, że dla T = 1 w prawej półpłaszczyźnie nie będzie pierwiastków. Pulsację
drgań na wyjściu układu wyznaczymy korzystając z wielomianu pomocniczego:
P (s) = 2s
2
+ 2 = 0
s
12
= ±j
ω = 1
rad
sek
5. Dla jakich wartości wzmocnień k
1
i k
2
układ przesdtawiony na rysunku 18 będzie stabilny?
Rozwiązanie Transmitancja przedstawionego układu wynosi
G(s) =
k
1
s
s
3
+ 3s
2
+ (k
1
k
2
+ k
1
+ 2)s + k
1
k
2
Dla mianownika transmitancji tworzymy tablicę Routha
s
3
s
2
s
1
1
k
1
k
2
+ k
1
+ 2 0
3
k
1
k
2
0
1
3
(2k
1
k
2
+ 3k
1
+ 6)
0
k
1
k
2
Z tablicy wynika, że aby zapewnić stabilność układu, spełnione muszą być następujące warunki
2k
1
k
2
+ 3k
1
+ 6 > 0
k
1
k
2
> 0
26
Z drugiego z waunków wynika, że k
1
i k
2
muszą być tych samych znaków. Pierwszy z warunków
możemy zapisać jako
(
k
2
> −
3
k
1
−
3
2
dla k
1
> 0
k
2
< −
3
k
1
−
3
2
dla k
1
< 0
6. Znajdź obszary położeń biegunów ustandaryzowanej transmitancji układu II rzędu na płasz-
czyźnie s, jeśli wymagania nałożone na odpowiedź skokową są następujące: czas narastania
t
n
¬ 0,3sek, maksymalne przeregulowanie M
p
¬ 10% oraz dwuprocentowy czas regulacji
t
2%
= 0,8sek.
ROZWIĄZANIE
Przypomnijmy, że standardowa transmitancja układu II rzędu jest następującej postaci
G(s) =
ω
2
n
s
2
+ 2ζω
n
s + ω
2
n
Bieguny tej transmitancji możemy wyrazić wzorem
s
12
= −ζω
n
± jω
n
q
1 − ζ
2
= ω
n
e
j arc cos −ζ
Dla warunku związanego z szybkością narastania mamy
ω
n
1,8
t
n
= 6
Zauważmy, że moduł bieguna wynosi ω
n
. Wynika z tego, że warunek związany z szybkością
narastania odpowiedzi skokowej jest spełniony dla obszaru przedstawionego na rys. 20a.
Dla warunku związanego z maksymalnym przeregulowaniem mamy
ζ
− ln(M
p
)
q
π
2
+ (ln(M
p
))
2
= 0,59
Zauważmy, że arg s
12
= arc cos −ζ = π − arc cos ζ co pozwala na określenie dozwolonego po-
łożenia biegunów ze względu na warunek związany z maksymalnym przeregulowaniem (patrz
rysunek 20b)
Z trzeciego warunku wynika, że
ζω
n
= σ
4
t
2%
co pozwala na określenie dozwolonego położenia biegunów ze względu na czas ustalania (patrz
rysunek 19c)
Rozwiązaniem zadania jest część wspólna wyznaczonych obszarów (patrz rysunek 20).
7. W układzie przedstawionym na rysunku 21 transmitancja obietu wynosi G(s) =
N (s)
D(s)
=
s+2
(s+5)(s+1)(s−2)
. Wyznacz położenie biegunów na płaszczyźnie s otrzymanego układu w zależ-
ności od wielkości wzmocnienia k.
ROZWIĄZANIE
• Określamy asymptoty
Bieguny układu otwartego p
1
= −5, p
2
= −1, p
3
= 2, zera układu otwartego z
1
= −2.
Liczba asymptot α = l
p
− l
z
= 2 gdzie l
p
= 3 oraz l
z
= 1 są odpowiednio liczbą biegunów
27
Re[s]
Im[s]
(a)
ω
n
Re[s]
Im[s]
arccos
ζ
(b)
Re[s]
Im[s]
σ
(c)
Rysunek 19: Obszary dozwolonego położenia biegunów ze względu na ograniczenia
Re[s]
Im[s]
Rysunek 20: Odpowiedź do zadania 6
i zer transmitancji układu otwartego. Dla α = 2, kąty asymptot z osią liczb rzeczywistych
wynoszą ±90
0
. Punkt przecięcia asymptot z osią liczb rzeczywistych (centroid)
σ =
P
l
p
i=1
p
i
−
P
l
z
i=1
z
i
l
p
− l
z
= −1
• Wyznaczamy punkty rozejścia się lub zejścia lini pierwiastkowych (czyli miejsca, w których
równanie charakterystyczne układu ma wielokrotne pierwiastki). W tym celu korzystamy
ze wzoru
D
0
(s)N(s) − D(s)N
0
(s) = 0
W rozważanym przypadku
D
0
(s)N(s) − D(s)N
0
(s) = 3s
3
+ 10s
2
+ 16s − 4 = 0
Powyższe równanie ma jedno rozwiązanie s
0
∼
= 0,2188. Wartość wzmocnienia, które odpo-
wiada punktowi s
0
wyznaczymy ze wzoru
k
0
= −
1
G(s
0
)
= 5,1062
• Określamy punkty przecięcia lini pierwiastkowych z osią liczb urojonych. W tym celu
wyznaczamy równanie charakterystyczne układu zamkniętego. Transmitancja układu
zamkniętego wynosi
G
z
(s) =
kG(s)
1 + kG(s)
=
k(s + 2)
s
3
+ 4s
2
+ (k − 7)s + 2k − 10
28
Rysunek 21: Schemat do przykładu 7
Aby układ zamknięty był stabilny muszą być spełnione warunki k > 5, k > 7 (współczyn-
niki mianownika transmitancji dodatnie) oraz k > 9 (z tablicy Routha). Wynika z tego, że
układ będzie na granicy stabilności gdy k
1
= 9. Wtedy mianownik G
s
(s) będzie postaci
s
3
+ 4s
2
+ 2s + 8 = (s + 4)(s
2
+ 2)
co pozwala na określenie punktów przecięcia osi jω: s
1
= j
√
2 oraz s
2
= −j
√
2
• Mając na uwadze powyższe rozważania oraz jeszcze kilka wskazówek
– Linie pierwiastkowe rozpoczynają się w biegunach transmitancji układu otwartego
(dla k = 0). l
z
linii pierwiastkowych kończy się w zerach transmitancji G
p
(s) (dla
k = ∞), natomiast pozostałe α linii pierwiastkowych dąży do asymptot.
– Linie pierwiastkowe pokrywają się z osią rzeczywistą na tych odcinkach, na prawo
od których suma liczby rzeczywistych biegunów i rzeczywistych zer jest nieparzysta
(wynika to z warunku fazy).
– Obraz lini pierwiastkowych jest symetryczny względem osi liczb rzeczywistych
wykreślamy linie pierwiastkowe. Gotowy obraz lini pierwiastkowych dla rozważanego przy-
kładu został pokazany na rysunku 22.
• Obraz linii pierwiastkowych możemy wykreślić w Matlabie. Kod programu dla naszego
przykładu będzie następujący:
s = tf(’s’);
g=(s+2)/((s+5)*(s+1)*(s-2))
rlocus(g)
8. Wykreśl charakterystyki Bodego oraz Nyquista dla układu o transmitancji G(s) =
1
s(s+α)
ROZWIĄZANIE
Wyznaczamy transmitancję widmową układu
G(jω) =
1
jω(jω + α)
=
−jαω − ω
2
ω
2
(α
2
+ ω
2
)
oraz jej część rzeczywistą i urojoną
P (ω) = −
1
α
2
+ ω
2
Q(ω) = −
α
ω(α
2
+ ω
2
)
Przy przekształceniach pamiętamy że 1/j = −j oraz j
2
= −1! Wyznaczamy również moduł i
fazę transmitancji widmowej
A(ω) = |G(jω)| =
q
P
2
(ω) + Q
2
(ω) =
1
ω
√
ω
2
+ α
2
=
1
ωα
q
ω
2
α
2
+ 1
29
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
−15
−10
−5
0
5
10
15
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
k=5,1
s=0,22
k=9
s=1,41j
k=9
s=−1,41j
p
1
p
2
=
σ
p
3
z
1
Rysunek 22: Linie pierwiastkowe dla przykładu 7
φ(ω) = arc tg
α
ω
− π
Z faktu, że dla ω > 0 P (ω) < 0 oraz Q(ω) < 0 wnioskujemy, że π ¬ ϕ(ω) <
3
2
π - stąd w
powyższym równaniu „−π”.
Na podstawie przedstawionych wzorów określamy
P (0) = −
1
α
2
,
Q(0) = −∞
P (∞) = 0,
Q(∞) = 0
P (α) = −
1
2α
2
,
Q(α) = −
1
2α
2
co pozwala nam na naszkicowanie wykresu Nyquista przedstawionego na rysunku 23.
W Matlabie ch. Nyquista wykreślimy za pomocą poleceń:
s = tf(’s’)
G = 1/(s*(s+0.5))
% zakładamy \alpha = 0.5
nyquist(G)
Charakterystyki Bodego wyznaczymy logatytmując moduł transmitancji widmowej
L(ω) = 20 log(A(ω)) = −20 log(αω) − 10 log
ω
α
2
+ 1
!
= L
1
(ω) + L
2
(ω)
Zauważmy, że pierwszy składnik powyższej różnicy przecina oś 0dB dla ω = 1/α natomiast
L
1
(1) = −20 log(α). Drugi ze składników natomiast wprowadza wzmocnienie 0dB dla ω
α, dla ω = α wprowadza wzmocnienie −3dB, natomiast dla ω α wzmocnienie drugiego
30
1/
α
2
1/(2
α
2
)
1/(2
α
2
)
Re
Im
Rysunek 23: Ch. Nyquista do przykładu 8
składnika wynosi −20 log(ω/α) (maleje z szybkością 20dB/dek). Na rys. 24 pokazana została
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa. Charakterystykę fazową kreślimy na podstawie
wzoru na φ(ω) lub sumując przesunięcia fazowe wprowadzone przez „człony” związane z L
1
(ω)
(−π/2 dla każdego ω) i z L
2
(ω) (0 dla ω α, −π/4 dla ω = α oraz −π/2 dla ω α). Wynik
pokazany jest również na rys. 24.
W Matlabie ch. Bodego wykreślimy za pomocą poleceń:
s = tf(’s’)
G = 1/(s*(s+0.5))
% zakładamy \alpha = 0.5
bode(G)
Zadania do samodzielnego wykonania
1. Korzystając z tablicy Routha znajdź liczbę pierwiastków wielomianu znajdujących się w prawej
półpłaszczyźnie
(a) M(s) = 2s
4
+ s
3
+ 3s
2
+ 5s + 10
(b) M(s) = s
4
+ s
3
+ 2s
2
+ 2s + 3
(c) M(s) = s
5
+ 4s
4
+ 8s
3
+ 8s
2
+ 7s + 4
2. Korzystając z tablicy Routha określ stabilność układów na podstawie ich wielomianów charak-
terystycznych M(s). Dla układów będących na granicy stabilności podaj pulsację drgań.
(a) M(s) = s
4
+ 3s
3
+ 3s
2
+ 3s + 2
(b) M(s) = s
4
+ 3s
3
+ 6s
2
+ 12s + 8
(c) M(s) = s
5
+ 5s
4
+ 14s
3
+ 22s
2
+ 17s + 5
3. Określ liczbę pierwiastków równania s
6
− 3s
5
− s
4
+ 3s
3
+ 2s
2
− 6s − 2 = 0 znajdujących się w
prawej półpłaszczyźnie
31
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
α
1/
α
−20log(
α
)
−20dB/dek
−40dB/dek
ω
L(
ω
)
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
0
−
π
/4
−
π
/2
−3
π
/4
−
π
ω
φ
(
ω
)
α
Rysunek 24: Ch. Bodego do przykładu 8
32
4. Układ o transmitancji G
p
(s) =
1
s(s+1)
3
objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Korzystając z tablicy Routha sprawdź, czy otrzymany układ będzie stabilny.
5. Układ o transmitancji G
p
(s) =
s+1
s
3
(s+2)
objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Korzystając z tablicy Routha sprawdź, czy otrzymany układ będzie stabilny.
6. Układ o transmitancji G(s) =
k
s
2
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Czy
otrzymany układ będzie stabilny? Określ pulsację drgań własnych otrzymanego układu.
7. Dla jakich wartości współczynnika k układ dany poniższymi równaniami stanu będzie stabilny?
˙x(t) =
1
k
0
3 −2
k
0
0
k + 1
x(t) +
1
0
k
u(t)
y(t) =
h
k 0 0
i
x(t)
8. Układ o transmitancji G
p
(s) =
k
s
2
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Czy
istnieje wartość wzmocnienia k dla której otrzymany układ będzie stabilny? Jak będą wyglądały
linie pierwiastkowe?
9. Układ o transmitancji G
p
(s) =
ks+1
s(s+2)
2
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Dla jakich wartości k otrzymany układ będzie stabilny?
10. Układ o transmitancji G
p
(s) =
K
s(s+1)(s+T )
objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrot-
nym. W układzie współrzędnych (T - oś rzędnych, K - oś odciętych) zaznacz obszar wartości
T oraz K dla których otrzymany układ będzie stabilny.
11. Wyznacz obszar na płaszczyźnie s, w którym powinny znaleźć się bieguny układu II rzędu aby
spełnione były poniższe wymagania
(a)
• maksymalne przeregulowanie 10% ¬ M
p%
< 25%
• dwuprocentowy czas regulacji t
2%
¬ 4sek
(b)
• czas narastania 0,2 ¬ t
t
¬ 0,6
• maksymalne przeregulowanie 15% ¬ M
p%
¬ 30%
• pięcioprocentowy czas regulacji t
5%
¬ 3sek
(c)
• czas narastania t
n
0,6
• maksymalne przeregulowanie 0,1 ¬ M
p
< 0,2
• jednoprocentowy czas regulacji t
5%
4,6sek
(d)
• czas narastania t
t
¬ 1,8
• maksymalne przeregulowanie M
p%
¬ 16%
• dwuprocentowy czas regulacji t
2%
2sek
12. Znajdź obszary położeń biegunów ustandaryzowanej transmitancji układu II rzędu na płasz-
czyźnie s, jeżeli wymagania nałożone na odpowiedź skokową są następujące: czas narastania
t
n
< 0.5[s] oraz maksymalne przeregulowanie M
p
< 16.7[%].
13. Układ o transmitancji G(s) =
k
(s+1)(s+3)
objęto jednostkowym sprzężeniem zwrotnym. Dla
jakich wartości k biegunami otrzymanego układu będą liczby rzeczywiste?
33
Rysunek 25: Układ ze sprzężeniem zwrotnym
14. Układ o transmitancji G(s) =
K
s(s+4)
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Wyznacz położenie biegunów na płaszczyźnie s otrzymanego układu w zależności od wielkości
parametru k.
15. W układzie na rysunku 25 odpowiednie transmitancje wynoszą G
p
(s) =
0,2(s+0,1)
s(s+0,02)(s+2)
oraz
G
c
(s) = k. Wyznacz położenie biegunów układu na płaszczyźnie s w zależności od wielko-
ści parametru k.
16. Układ o transmitancji G(s) =
k(s+2)
(s−2)(s−4)
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Wyznacz wartość k, dla której linie pierwiastkowe układu przetną oś jω. Jaka będzie wtedy
częstotliwość oscylacji układu?
17. Układ o transmitancji G(s) =
k
(s+2)(s+6)
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Wyznacz punkt "rozejścia się" linii pierwiastkowych otrzymanego systemu.
18. Układ o transmitancji G(s) =
k
(s+2)(s+1)
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Wyznacz punkt "rozejścia się" linii pierwiastkowych otrzymanego systemu oraz miejsca, w
których linie pierwiastkowe pokryją się z osią "rzeczywistą".
19. Układ o transmitancji G(s) =
k(s+5)
(s−2)(s−1)
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Wyznacz wartość k, dla którego linie pierwiastkowe układu przetną oś jω. Jaka będzie wtedy
częstotliwość oscylacji układu?
20. Wyznacz położenie biegunów układu o transmitancji G(s) =
kG
p
(s)
1+kG
p
(s)
w zależności od wzmoc-
nienia k gdzie
(a) G
p
(s) =
1
s(s+4)(s+8)
(b) G
p
(s) =
2(s+2)
s(s+1)(s+3)(s+4)
(c) G
p
(s) =
s+4
(s−1)(s+2)
(d) G
p
(s) =
s(s+2)
(s+1)(s+3)(s+4)
21. Wykreśl charakterystyki Nyquista i Bodego dla układów o poniższych transmitancjach
(a) Układ całkujący
G(s) =
K
s
(b) Układ całkujący z inercją
G(s) =
K
s(τ s + 1)
(c) Układ różniczkujący
G(s) = Ks
34
(d) Układ różniczkujący z inercją
G(s) =
Ks
(τ s + 1)
(e) Regulator PI
G(s) = K
p
+
1
T
i
s
(f) Regulator PD
G(s) = K
p
+ T
d
s
(g) Regulator PID
G(s) = K
p
+ T
d
s +
1
T
i
s
22. Wyznacz asymptotyczne charakterystyki amplitudowo-fazowe Bodego dla układów o transmi-
tancjach
(a)
G(s) =
s(0,1s + 1)(100s + 1)
(s + 1)
2
(10s + 1)
(b)
G(s) =
(0,1s + 1)(s + 1)
10s
2
(0.01s + 1)(100s + 1)
(c)
G(s) =
s + 10
0,1s
2
(s + 1)
(d)
G(s) =
10s
3
(s + 1)
2
(s + 100)
2
23. Dla układu z rysunku 25 określ zapas amplitudy i fazy. Dla jakiego k układ będzie na granicy
stabilności?
(a)
G
c
(s) = k = 1, G
p
(s) =
1
s(s + 10)
(b)
G
c
(s) = k = 1, G
p
(s) =
1
s(10s + 1)(0,1s + 1)
(c)
G
c
(s) = k = 1, G
p
(s) =
1
s
2
(s + 1)
(d)
G
c
(s) = k = 1, G
p
(s) =
10s + 1
s
2
(0.1s + 1)
2
24. Wykreśl charakterystykę Nyquista dla układu o transmitancji G(s) =
k
s(s+a)
35
25. Transmitancja pewnego obiektu wynosi G
p
(s) =
0.1s
(s+0.1)
2
(s+1)
. Korzystając z charakterystyk
częstotliwościowych Bodego określ, czy po objęciu go jednostkowym sprzężeniem zwrotnym
układ ten jest stabilny. W przypadku, gdy układ jest stabilny wyznacz zapas amplitudy i fazy.
26. Wykreśl charakterystykę Nyquista dla układu opisanego transmitancją G(s) =
1
T s
+ K
27. W układnie przedstawionym na rys. 25 tansmitancja G
c
(s) = 1, G
p
(s) =
0.1s
(s+0.1)
2
(s+1)
. Ko-
rzystając z charakterystyk częstotliwościowych Bodego określ, czy układ ten jest stabilny. W
przypadku, gdy układ jest stabilny wyznacz zapas amplitudy i fazy.
28. Obiekt o transmitancji G
p
(s) =
s+10
100s(s+0.1)
2
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrot-
nym. Korzystając z charakterystyk częstotliwościowych Bodego określ, czy układ ten jest sta-
bilny. W przypadku, gdy układ jest stabilny wyznacz zapas amplitudy i fazy.
29. Wykreśl charakterystykę Nyquista dla układu opisanego transmitancją G(s) = As + K
36