isd cwiczenia

background image

Inżynieria systemów dynamicznych
Piotr Kaczmarek
10.10.2011
Materiały do ćwiczeń - sprawdzian I

Zakres sprawdzianu I

Własności przekształcenia Laplace’a

Wykorzystanie przekształcenia Laplace’a do rozwiązywanie równań różniczkowych

Metody opisu układów (r-nia stanu, r-nia różniczkowe, transmitancje, schematy strukturalne)

oraz zależności pomiędzy nimi

Tworzenie modeli obiektów elektrycznych (układy RLC), mechanicznych i cieplnych oraz wy-

znaczanie ich odpowiedzi na podstawowe pobudzenia (skok, impuls i sinus)

Przykłady

1. Korzystając z metody residuów wyznacz oryginały funkcji

(a)

F (s) =

4s

2

+ 25s + 30

(s + 1)(s + 2)(s + 4)

Funkcja posiada pojedyncze bieguny rzeczywiste, więc możemy przedstawić ją w postaci

F (s) =

A

s + 1

+

B

s + 2

+

C

s + 4

gdzie poszczególne współczynniki liczymy w sposób następujący

A = [(s + 1)F (s)]|

s=1

= 3

B = [(s + 2)F (s)]|

s=2

= 2

C = [(s + 4)F (s)]|

s=4

= 1

W rezultacie otrzymujemy

F (s) =

3

s + 1

+

2

s + 2

1

s + 4

Korzystając z tablic transformat wyznaczamy transformatę odwrotną powyższego wyra-
żenia

f (t) =

h

3e

−t

+ 2e

2t

− e

4t

i

1(t)

Wartości residuów możemy też wyznaczyć korzystając z Matlaba

N = [4 25 30]

% wspolczynniki wielomianu licznika

D = poly([-1 -2 -4]) % wyznaczenie wspolczynnikow wielomianu mianownika
[R,P] = residue(N,D) % wektor R zawiera wartosci wspolczynnikow odpowiadajacych

% miejscom zerowym P

1

background image

(b)

F (s) =

s

2

+ 2s + 3

(s + 2)

3

Funkcja posiada potrójny biegun dla s = 2 więc możemy ją przedstawić w postaci

F (s) =

A

1

s + 2

+

A

2

(s + 2)

2

+

A

3

(s + 2)

3

Wartości współczynników wyznaczymny na podstawie odpowiednich wzorów

A

1

=

1

2!

d

2

ds

2

h

s

2

+ 2s + 3

i

s=2

= 1

A

2

=

1

1!

d

ds

h

s

2

+ 2s + 3

i

s=2

= 2

A

3

=

1

0!

h

s

2

+ 2s + 3

i

s=2

= 3

skąd możemy zapisać rozważaną funkcję w postaci

F (s) =

1

s + 2

2

(s + 2)

2

+

3

(s + 2)

3

co po skorzystaniu ze wzoru

1

(s + a)

n+1

= L

(

t

n

e

−at

n!

)

w dziedzinie czasu daje

f (t) =

"

e

2t

2

te

2t

1!

+ 3

t

2

e

2t

2!

#

1(t)

f (t) =

"

1 2t +

3t

2

2

#

e

2t

1(t)

(c)

F (s) =

s + 4

s

2

+ 4s + 5

Mianownik powyższej funkcji posiada pierwiastki zespolone sprzężone (s

1

= 2 + j, s

2

=

2 − j), więc F (s) należy przedstawić w postaci

F (s) =

A

s + 2 − j

+

B

s + 2 + j

Odpowiednie współczynniki wyznaczymy w identyczny sposób, jak w przypadku pojedyn-
czych pierwiastków rzeczywistych

A = [(s + 2 − j)F (s)]|

s=2+j

=

s + 4

s + 2 + j

s=2+j

=

1
2

− j

B = [(s + 2 + j)F (s)]|

s=2−j

=

s + 4

s + 2 − j

s=2−j

=

1
2

+ j

2

background image

Stąd rozważaną funkcję możemy przedstawić w postaci

F (s) =

0,5 − j

s + 2 − j

+

0,5 + j

s + 2 + j

Korzystając z tablic transformat otrzymujemy

f (t) =



1
2

− j



e

(2+j)t

+



1
2

+ j



e

(2−j)t



1(t) =

= e

2t



1
2

(e

jt

+ e

−jt

) − j(e

jt

− e

−jt

)



1(t)

co po przekształceniach daje poszukiwaną funkcję

f (t) = e

2t

[cos t + 2 sin t] 1(t)

Otrzymany wynik możemy sprawdzić korzystając z Matlaba

syms s
F = (s+4)/(s^2+4*s+5)
ilaplace(F)

2. Dany jest układ dynamiczny opisany równaniem

y

00

(t) + 4y

0

(t) + 13y(t) = u(t)

(a) Wyznacz odpowiedź układu na pobudzenie u(t) = 4δ(t) przy założeniu warunków począt-

kowych: y(0

+

) = 1 i y

0

(0

+

) = 0.

Przedstawiamy równanie w dziedzinie transformaty pamiętając o uwzględnieniu warunków
początkowych

s

2

Y (s) − sy(0

+

) − y

0

(0

+

) + 4sY (s) 4y(0

+

) + 13Y (s) = 4,

a następnie dokonujemy prostych przekształceń wyznaczając Y (s)

s

2

Y (s) − s + 4sY (s) 4 + 13Y (s) = 4

Y (s)(s

2

+ 4s + 13) = s

Y (s) =

s

s

2

+ 4s + 13

Wyróżnik mianownika jest mniejszy od zera (∆ = 36) więc mianownik przedstawimy w
postaci kanonicznej a(s − p)

2

+ q gdzie p = −b/(2a) oraz q = /(4a)

Y (s) =

s

(s + 2)

2

+ 9

=

s + 2

(s + 2)

2

+ 9

2

(s + 2)

2

+ 9

skąd, korzystając z tabel znajdujemy odwrotne transformaty obu składników otrzymując
przebieg odpowiedzi obiektu na pobudzenie u(t)

y(t) = (cos 3t −

2
3

sin 3t)e

2t

1(t)

3

background image

Rysunek 1: Schemat będący rozwiązaniem zadania 2d

(b) Określ transmitancję układu

Równanie opisujące obiekt przedstawiamy w dziedzinie transformaty s

2

Y (s) + 4sY (s) +

13Y (s) = U(s) a następnie wyznaczamy Y (s) i dzielimy przez U(s) otrzymując transmi-
tancję

G(s) =

Y (s)
U(s)

=

1

s

2

+ 4s + 13

(c) Opisz działanie układu za pomocą równań stanu

Przepisujemy równanie w postaci

y

00

(t) = u(t) 4y

0

(t) 13y(t)

Następnie dokonujemy podstawień x

1

(t) = y(t), x

2

(t) = y

0

(t), co pozwala nam na zapisanie

układu równań

x

0

1

(t) = x

2

(t)

x

0

2

(t) = 13x

1

(t) 4x

2

(t) + u(t)

który możemy zapisać w postaci

x

0

(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

(1)

gdzie

A =

"

0

1

13 4

#

, B =

"

0
1

#

, C = [ 1 0 ]

(d) Narysuj schemat blokowy układu za pomocą integratorów, sumatorów i bloków mnożących

Schemat blokowy powstaje bezpośrednio z modelu stanowego. Jako zmienne stanu przyj-
mujemy wyjścia integratorów. Gotowy schemat przedstawiono na rys. 1.

3. Dana jest transmitancja układu

G(s) =

3s − 4

s

3

+ 3s

2

+ 4s + 12

(a) Określ odpowiedź impulsową układu

Odpowiedź układu będzie odwrotną transformatą iloczynu transmitancji i transformaty
pobudzenia. Transformata Laplace’a impulsu jednostkowego wynosi L{δ(t)} = 1 więc
odpowiedź impulsowa jest odwrotną transformatą transmitancji

y(t) = L

1

{G(s)L{δ(t)}} = L

1

{G(s)} = g(t)

4

background image

Aby otrzymać odpowiedź impulsową, transmitancję rozkładamy na ułamki proste

G(s) =

3s − 4

s

3

+ 3s

2

+ 4s + 12

=

3s − 4

(s

2

+ 4)(s + 3)

=

A

s + 3

+

Bs + C

s

2

+ 4

(2)

As

2

+ 4A + Bs

2

+ 3Bs + Cs + 3C = 3s − 4

A + B

=

0

3B + C

=

3

4A + 3C = 4

skąd wyznaczamy A = 1, B = 1 oraz C = 0. Transmitancja po rozłożeniu na ułamki
proste wygląda następująco

G(s) =

s

s

2

+ 4

1

s + 3

skąd przy pomocy tablic wyznaczamy odpowiedź na impuls jednostkowy

y(t) = g(t) = L

1

{G(s)} =

h

cos 2t − e

3t

i

1(t)

Taki sam wynik osiągniemy wykonując ciąg poleceń Matlaba

syms s
F=(3*s-4)/(s^3+3*s^2+4*s+12)
ilaplace(F)

(b) Przedstaw równanie różniczkowe opisujące działanie układu

Zapiszmy transmitancję w postaci

G(s) =

Y (s)
U(s)

=

3s − 4

s

3

+ 3s

2

+ 4s + 12

co daje

s

3

Y (s) + 3s

2

Y (s) + 4sY (s) + 12Y (s) = 4U(s) + 3sU(s).

Dokonując odwrotnej transformaty Laplace’a powyższego równania otrzymamy rozwiąza-
nie zadania

y

000

(t) + 3y

00

(t) + 4y

0

(t) + 12y(t) = 4u(t) + 3u

0

(t)

4. Dany jest system opisany równaniami stanu

x

0

(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

A =

0

1

0

0

0

1

12 19 8

, B =

0
0
1

C = [ 39 26 5 ]

5

background image

(a) Wyznacz transmitancję tego systemu

Aby wyznaczyć transmitancję systemu skorzystamy ze wzoru

G(s) = C[sI − A]

1

B

[sI − A]

1

=

s

1

0

0

s

1

12 19 s + 8

1

=

1

det(sI − A)

s

2

+ 8s + 19

12

12s

s + 8

s

2

+ 8s −19s − 12

1

s

s

2

T

=

1

s

3

+ 8s

2

+ 19s + 12

s

2

+ 8s + 19

s + 8

1

12

s

2

+ 8s

s

12s

19s − 12 s

2

[sI − A]

1

B =

1

s

3

+ 8s

2

+ 19s + 12

1
s

s

2

C[sI − A]

1

B =

1

s

3

+ 8s

2

+ 19s + 12

[ 39 26 5 ]

1
s

s

2

skąd możemy wyznaczyć transmitancję

G(s) =

5s

2

+ 26s + 39

s

3

+ 8s

2

+ 19s + 12

Uwaga: Możemy zauważyć, że macierze opisujące działanie układu są w postaci kanonicz-
nej, więc transmitancję można również wyznaczyć podstawiając odpowiednie elementy
macierzy do wzoru.
Transmitancję systemu na podstawie modelu stanowego można również wyznaczyć korzy-
stając z Matlaba

A = [0 1 0; 0 0 1; -12 -19 -8]
B = [0; 0; 1]
C = [39 26 5]
D = [0]
tf(ss(A,B,C,D))

5. Dany jest układ RC jak na rys. 2

(a) Wyznacz transmitancję G(s) =

U

2

(s)

U

1

(s)

tego układu

Możemy określić bilans napięć w układzie

u

1

(t) = u

c

(t) + Ri

c

(t) = u

c

(t) + RC

du

c

(t)

dt

6

background image

Rysunek 2: Schemat układu do zadania 5a

Korzystając z zależności u

c

(t) = u

1

(t) − u

2

(t) otrzymamy

u

1

(t) = u

1

(t) − u

2

(t) + RC

du

1

(t)

dt

− RC

du

2

(t)

dt

co po przekształceniach prowadzi do

RC

du

1

(t)

dt

= +RC

du

2

(t)

dt

+ u

2

(t)

Dokonując przekształcenia Laplace’a powyższego równania i dzieląc jego obie strony przez
U

1

(s) otrzymamy szukaną transmitancję

G(s) =

sRC

1 + sRC

(b) Znajdź odpowiedź tego układu na sygnał u

1

(t) = (sin 2t)1(t) przy założeniu zerowych wa-

runków początkowych oraz R = 2MΩ i C = 0,5µF
Dla warunków określonych w zadaniu RC = 1 oraz U

1

(s) =

2

s

2

+4

. Jako, że warunki

początkowe są zerowe odpowiedź układu możemy wyznaczyć z zależności

u

2

(t) = L

1

{G(s)U

1

(s)}

= L

1

(

2s

(s + 1)(s

2

+ 4)

)

= L

1



0,4

s + 1

+

0,4s + 1,6

s

2

+ 4



= 0,4



−e

−t

+ cos 2t + 2 sin 2t



1(t)

Zadania do samodzielnego wykonania

1. Znajdź oryginały transformat

(a) Y (s) =

1

s(s+2)(s+3)

(b) Y (s) =

10

(s+1)

2

(s+3)

(c) Y (s) =

s

(s+3)

3

(d) Y (s) =

s+4

(s+1)

3

(e) Y (s) =

s+3

(s+1)(s

2

+4s+7)

(f) Y (s) =

s+3

s(s

2

+4)

7

background image

2. Posługując się metodą transfomacji Laplace’a znajdź rozwiązanie następujących równań róż-

niczkowych

(a) y

0

(t) + 3y(t) = u(t)

u(t) = 5e

2t

y(0

+

) = 4

(b) y

0

(t) + 2y(t) = u(t)

u(t) = 3e

−t

y(0

+

) = 1

(c) y

00

(t) + 2y

0

(t) + y(t) = u(t)

u(t) = 3δ(t)
y(0

+

) = 3, y

0

(0

+

) = 6

(d) y

0

(t) + y(t) = u(t)

u(t) = sin t
y
(0

+

) = 1

(e) y

0

(t) − y(t) = u(t)

u(t) = te

2t

y(0

+

) = 0

(f) y

00

(t) + 4y(t) = u(t)

u(t) = cos t
y
(0

+

) = 2

(g) y

00

(t) + 4y

0

(t) + 4y(t) = u(t)

u(t) = 81(t)
y

0

(0

+

) = 12, y(0

+

) = 3

(h) y

000

(t) + 2y

00

(t) + 5y

0

(t) = u(t)

u(t) = 3δ(t)
y

00

(0

+

) = 6, y

0

(0

+

) = 1, y(0

+

) = 4

(i) y

000

(t) + y

00

(t) + 9y

0

(t) + 9y(t) = u(t)

u(t) = 3δ(t)
y

00

(0

+

) = 2, y

0

(0

+

) = 1, y(0

+

) = 3

(j) y

000

(t) + 7y

00

(t) + 17y

0

(t) + 15y(t) = u(t)

u(t) = 0
y

00

(t) = 1, y

0

(t) = 1, y(0

+

) = 19

3. Wyznacz transmitancje układów opisanych równaniami różniczkowymi oraz znajdź ich odpo-

wiedź impulsową

(a) y

00

(t) + 3y

0

(t) + 2y(t) = 7u(t) + 5u

0

(t)

(b) y

00

(t) + 5y

0

(t) + 6y(t) = 4u(t) + u

0

(t)

(c) y

000

(t) + 3y

00

(t) + 7y

0

(t) + 5y

0

(t) = 5u(t) + 3u

0

(t) + u

00

(t)

(d) y

000

(t) + 5y

00

(t) + 9y

0

(t) + 5y(t) = 8u(t) + 8u

0

(t) + 2u

00

(t)

4. Znajdź reprezentację w przestrzeni stanów układów opisanych transmitancjami

(a) G(s) =

1

s

3

+2s

2

+3s+1

(b) G(s) =

4

s

3

+3s

2

+2s+2

8

background image

Rysunek 3: Schemat układu do zadania 6

Rysunek 4: Schemat układu do zadania 7

(c) G(s) =

s

2

+2s+1

s

3

+4s

2

+3s+2

(d) G(s) =

s

2

+s+4

s

3

+2s

2

+s+3

5. Znajdź transmitancje układów opisanych równaniami stanu

(a) A =

"

1 1
0 2

#

, B =

"

0
1

#

, C = [ 1 2 ]

(b) A =

"

1

0

1

3

#

, B =

"

1
2

#

, C = [ 0 1 ]

(c) A =

1 0

0

0 1

2

0 0 1

, B =

1
0
1

, C = [ 1 0 1 ]

(d) A =

2

1

0

0

4

0

8 4 6

, B =

1
0
1

, C = [ 1 0 1 ]

6. Wyznacz transmitancję G(s) =

U

2

(s)

U

1

(s)

układu, którego schemat znajduje się na rys. 3

Rysunek 5: Rysunek do zadania 8

9

background image

Rysunek 6: Schemat do zadania 9

L

R

C

U

1

I

R

Rysunek 7: Schemat do zadania 15

L

R

C

U

1

I

R

Rysunek 8: Schemat do zadania 16

L

R

C

u

1

(t)

u

2

(t)

Rysunek 9: Schemat do zadania 17

L

1

R

1

u

1

(t)

u

2

(t)

R

2

L

2

i

L1

(t)

i

L2

(t)

Rysunek 10: Schemat do zadania 18

10

background image

7. Wyznacz transmitancję G(s) =

U

2

(s)

U

1

(s)

układu, którego schemat znajduje się na rys. 4. Określ

odpowiedź tego układu na skok jednostkowy napięcia wejściowego, przy założeniu R = 100kΩ,
C = 10µF oraz u

c

(0

+

) = 0,2V .

8. Wyznacz transmitancję G(s) =

X(s)

F (s)

układu przedstawionego na rysunku 5 oraz określ jego

model w przestrzeni stanów. Na rysunku x(t) oznacza odchylenie od stanu równowagi natomiast
f (t) siłę działającą na ciało o masie m.

9. Wyznacz transmitancję G(s) =

X

2

(s)

X

1

(s)

układu przedstawionego na rysunku 6 oraz określ jego

model w przestrzeni stanów. Na rysunku x

1

(t) oznacza drogę pokonywaną przez wózek o masie

m

1

natomiast x

2

(t) oznacza drogę pokonywaną przez wózek o masie m

2

. W przyjętym modelu

pominąć tarcie.

10. Wyznacz równania stanu obiektów, opisanych równaniami różniczkowymi

(a) y

000

(t) 3y

00

(t) 2y(t) = 3u(t)

(b) y

000

(t) + y

00

(t) 7y

0

(t) + 3y(t) = 4u(t)

(c) y

00

(t) − y(t) = u(t)

11. Wyznacz równania stanu obiektów, opisanych transmitancjami

(a) G(s) =

3

s

2

3s+5

(b) G(s) =

1

s

3

4s

2

+2s+1

(c) G(s) =

4

s2+2s+1

12. Dokonaj diagonalizacji macierzy

(a) A =

"

1 2
2 1

#

(b) A =

"

1 0

1

4

#

(c) A =

0

1

0

2 1

0

5

0

1

(d) A =

0

1

0

3

0

2

12 7 6

13. Korzystając z integratorów, sumatorów oraz układów mnożących, narysuj schematy blokowe

układów

(a) G(s) =

1

s

4

+3s

3

+2s

2

+1

(b) G(s) =

1

s

4

+7s

2

+3s+4

(c) y

000

(t) + 2y

00

(t) + 3y(t) = u(t)

(d) y

000

(t) + 8y

00

(t) + 7y

0

(t) + 4y(t) = u(t)

14. Korzystając z integratorów, sumatorów oraz układów mnożących, narysuj schematy blokowe

układów generujących przebiegi funkcji oraz określ wartości sygnałów na wyjściach integtatorów
dla t = 0

11

background image

(a) y(t) = e

3t

1(t)

(b) y(t) = cos 2t1(t)

(c) y(t) = 2 sin 3t1(t)

(d) y(t) = 2e

4t

1(t)

15. Znajdź transmitancję G(s) =

I

R

(s)

U

1

(s)

układu przedstawionego na schemacie z rys. 7

16. Znajdź transmitancję G(s) =

I

R

(s)

U

1

(s)

układu przedstawionego na schemacie z rys. 8

17. Znajdź transmitancję G(s) =

U

2

(s)

U

1

(s)

układu przedstawionego na schemacie z rys. 9

18. Wyznacz model stanowy układu przedstawionego na schemacie z rys. 10

12

background image

G(s) =

b

n−1

s

n−1

+ . . . + b

0

s

n

+ a

n−1

s

n−1

+ . . . + a

0

Model stanowy dla n=3

A =

0

1

0

0

0

1

−a

0

−a

1

−a

2

, B =

0
0
1

, C =

h

b

0

b

1

b

2

i

Odpowiedzi

1a. y(t) =



1
6

+

1
3

e

3t

1
2

e

2t



1(t)

1b. y(t) =

5
2

(e

3t

+ (2t − 1)e

−t

) 1(t)

1c. y(t) = te

3t



1

3
2

t



1(t)

1d. y(t) = te

−t



3
2

t + 1



1(t)

1e. y(t) =



1
2

e

−t

+

1
6

e

2 t

3 sin(

3t)

1
2

e

2 t

cos(

3t)



1(t)

1f. y(t) =



3
4

3
4

cos(2 t) +

1
2

sin(2 t)



1(t)

2a. Y (s) =

1

s−2

+

3

s+3

, y(t) = e

2t

+ 3e

3t

, t ­ 0

2b. Y (s) =

3

s+1

2

s+2

, y(t) = 3e

−t

2e

2t

, t ­ 0

2c. Y (s) =

3

s+1

+

6

(s+1)

2

, y(t) = 3e

−t

+ 6te

−t

, t ­ 0

2d. Y (s) =

1,5

s+1

0,5s

s

2

+1

+

0,5

s

2

+1

, y(t) = 1,5e

−t

0,5 cos t + 0,5 sin t, t ­ 0

2e. Y (s) =

1

s−1

1

s−2

+

1

(s−2)

2

, y(t) = e

t

+ (t − 1)e

2t

, t ­ 0

2f. Y (s) =

5
3

s

s

2

+4

+

1
3

s

s

2

+1

, y(t) =

5
3

cos 2t +

1
3

cos t, t ­ 0

3a. G(s) =

5s+7

s

2

+3s+2

, y(t) = 2e

−t

+ 3e

2t

, t ­ 0

3b. G(s) =

s+4

s

2

+5s+6

, y(t) = 2e

2t

− e

3t

, t ­ 0

4c. G(s) =

s

2

+3s+5

s

3

+3s

2

+7s+5

, y(t) = (cos 2t +

1
2

sin 2t)e

−t

+ 3e

−t

, t ­ 0

4d. G(s) =

2s

2

+8s+8

s

3

+5s

2

+9s+5

, y(t) = (cos t + sin t)e

2t

+ e

−t

, t ­ 0

5a. G(s) =

2s−1

s

2

3s+2

5b. G(s) =

2s+3

s

2

+3s+2

5c. G(s) =

2

s

2

1

5d. G(s) =

2s

s

2

+8s+12

6. G(s) =

U

2

(s)

U

1

(s)

=

1

R

1

R

2

C

1

C

2

s

2

+(R

1

C

1

+R

1

C

2

+R

2

C

2

)s+1

7 G(s) =

1

RCs+1

, u

2

(t) = (1 0,8e

−t

) 1(t)

8 G(s) =

1

ms

2

+bs+k

, A =

"

0

1

k

m

b

m

#

, B =

"

0

1

m

#

, C =

h

1 0

i

15 G(s) =

1

s

2

RLC+sL+R

16 G(s) =

s

2

LC

s

2

RLC+sL+R

17 G(s) =

R

s

2

RLC+sL+R

18

di

L1

(t)

dt

di

L2

(t)

dt

=

"

R

1

L

1

R

1

L

1

R

1

L

2

R

1

+R

2

L

2

# "

i

L

1

(t)

i

L

2

(t)

#

+

"

1

L

1

0

#

u

1

(t), u

2

(t) =

h

0 R

2

i

"

i

L

1

(t)

i

L

2

(t)

#

13

background image

Rysunek 11: Rozwiązania do zad. 14

14

background image

Rysunek 12: Rysunek do przykładu 1

Rysunek 13: Rozwiązanie zadania 1

Inżynieria systemów dynamicznych

Piotr Kaczmarek
Materiały do ćwiczeń - sprawdzian II

Zakres sprawdzianu II

Przekształcanie schematów blokowych

Transmitancje uchybowe oraz wartości uchybów w stanie ustalonym

Standardowe transmitancje I i II rzędu

Przykłady

1. Metodą przekształcania schematów blokowych określ transmitancję G(s) =

Y (s)
U (s)

dla układu

przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku 13.

15

background image

Rysunek 14:

2. W układzie sterowania pokazanym na rysunku 14 transmitancja obiektu wynosi G

p

(s) =

2

s(s+1)

natomiast transmitancja regulatora G

c

(s) = k.

(a) Wyznacz odpowiedź układu oraz uchyb w stanie ustalonym, w przypadku, gdy pobudzenie

jest skokiem jednostkowym r(t) = 1(t). W rozwiązaniu założyć zerowe wartości zakłóceń
d

1

(t) oraz d

2

(t).

Rozwiązanie Wyznaczamy odpowiednie transmitancje

G(s) =

Y (s)
U(s)

=

2k

s

2

+ s + 2k

G

e

(s) =

E(s)
R(s)

=

s

2

+ s

s

2

+ s + 2k

Znając transmitancje, szukane wartości wyznaczymy ze wzorów

lim

t→∞

y(t) = lim

s→0

sR(s)G(s) = s

1
s

2k

s

2

+ s + 2k

= 1

lim

t→∞

e(t) = lim

s→0

sR(s)G

e

(s) = s

1
s

s

2

+ s

s

2

+ s + 2k

= 0

Wartość uchybu w stanie ustalonym możemy również obliczyć bez korzystania z transmi-
tancji G

e

(s) w następujący sposób

lim

t→∞

e(t) = lim

t→∞

r(t) lim

t→∞

y(t) = 1 1 = 0

otrzymując oczywiście ten sam wynik. Jak widzimy, dla rozważanego układu regulacji,
wartość uchybu „położeniowego” jest równa zero.

(b) Wyznacz uchyb w stanie ustalonym, w przypadku, gdy pobudzenie jest rampą r(t) = t1(t).

W rozwiązaniu założyć zerowe wartości zakłóceń d

1

(t) oraz d

2

(t).

lim

t→∞

e(t) = lim

s→0

sR(s)G

e

(s) = s

1

s

2

s

2

+ s

s

2

+ s + 2k

=

1

2k

Jak widzimy, w rozważanym przypadku nie jesteśmy w stanie osiągnąć wartości zadanej.
Wielkość uchybu „prędkościowego” jest odwrotnie proporcjonalna do wzmocnienia regula-
tora.

(c) Wyznacz wartość ustaloną uchybu sterowania, będącą odpowiedzią na zakłócenie d

1

(t) =

1(t). Założyć r(t) = 0 oraz d

2

(t) = 0.

Rozwiązanie W pierwszej kolejności wyznaczymy transmitancję

G

d

1

e

(s) =

E(s)

D

1

(s)

=

2

s

2

+ s + 2k

16

background image

Wartość uchybu w stanie ustalonym wyznaczymy ze wzoru

lim

t→∞

e(t) = lim

s→0

sD

1

(s)G

d

1

e

(s) =

1

k

Jak widzimy, w rozważanym przypadku nie jesteśmy w stanie usunąć wpływu skokowego
zakłócenia d

1

(t) na wartość sygnału wyjściowego w stanie ustalonym. Możemy jednak

zredukować ten wpływ zwiększając wzmocnienie k.

(d) Wyznacz wartość ustaloną uchybu sterowania, będącą odpowiedzią na zakłócenie d

2

(t) =

1(t). Założyć r(t) = 0 oraz d

1

(t) = 0.

Rozwiązanie
Przypomnijmy, że uchyb jest to różnica pomiędzy wartością zadaną r(t) oraz wielkością
wyjściową y(t). Zauważmy, że w tak postawionym problemie sygnał e(t) nie jest uchybem.
W naszym przypadku uchyb będzie wynosił ε(t) = r(t) − y(t) = −y(t). Transmitancję
uchybową możemy wyrazić wzorem

G

d

2

ε

(s) =

ε(s)

D

2

(s)

=

2k

s

2

+ s + 2k

Uchyb w stanie ustalonym wyniesie

lim

t→∞

ε(t) = lim

s→0

s

1
s

G

d

2

ε

(s) = 1

Z powyższego rozwiązania wynika, że wartość wzmocnienia regulatora nie ma wpływu na
uchyb związany z zakłóceniami występującymi w torze pomiarowym.

3. Dla układu o transmitancji G(s) =

K

τ s+1

, określić czas, po którym odpowiedź skokowa osiągnie

r = 0.95 wartości stanu ustalonego

Rozwiązanie Przypomnijmy, że odpowiedź skokowa rozważanego układu dana jest wzorem

h(t) = K(1 − e

−t

τ

)1(t)

W stanie ustalonym, wartość tej odpowiedzi wyniesie h() = K. Stąd wynika równanie

K(1 − e

−t

τ

) = rK,

którego rozwiązaniem jest

t = −τ ln(1 − r)

co po podstawieniu r = 0.95 daje odpowiedź t ∼

= 3τ

4. Dany jest obiekt o transmitancji G

p

(s) =

1

10s+1

. Obiekt ten objęto sprzężeniem zwrotnym z

regulatorem proporcjonalnym G

c

(s) = k w sposób pokazany na rysunku 14. Dobierz wartość

wzmocnienia układu tak, aby jego pasmo 3dB było cztery razy szersze niż obiektu nie objętego
sprzężeniem zwrotnym

Rozwiązanie Stała czasowa obiektu wynosi τ = 10sek, z czego wynika, że szerokość pasma 3dB
układu otwartego wynosi ω

3dB

= 1= 0.1sek

1

. Z warunków zadania wynika, że dla układu

zamkniętego wartości te powinny wynosić ω

0

3dB

= 0.4sek

1

oraz τ

0

= 2.5sek. Transmitancja

układu zamkniętego wyniesie

G

0

(s) =

k

k+1

10

k+1

s + 1

=

K

0

τ

0

s + 1

17

background image

Stąd mamy równanie

10

k + 1

= 2.5

którego rozwiązaniem jest k = 3.

5. Dany jest układ przedstawiony na rys. 15, w którym G

1

(s) =

10

s(s+2)

, G

2

(s) = k

2

s oraz G

3

(s) =

k

1

.

(a) Wyznacz wartości wzmocnień k

1

oraz k

2

tak, aby w przypadku odpowiedzi na skok jed-

nostkowy zapewnić maksymalne przeregulowanie na poziomie 25% (M

p

= 0,2) oraz dwu-

procentowy czas ustalania t

2%

= 2sek

ROZWIĄZANIE
Transmitancja układu wyniesie

G(s) =

10k

1

s

2

+ (2 + 10k

2

)s + 10k

1

Parametry standardowej transmitancji II rzędu dla rozważanego układu wyniosą

ω

2

n

= 10k

1

, 2ζω

n

= 2 + 10k

2

Na podstawie postawionych w zadaniu wymagań dotyczących przeregulowania możemy
wyznaczyć

ζ =

ln(M

p

)

q

π

2

+ (ln(M

p

))

2

= 0,4.

Następnie korzystamy z warunku dotyczącego czasu ustalania wyznaczając ω

n

t

2%

=

4

ζω

n

= 2

ω

n

= 5

Skąd wyznaczymy wzmocnienia k

1

= 2,5 oraz k

2

= 0.2.

(b) Wykreść charakterystykę amplitudową A(ω) = |G()| otrzymanego układu

ROZWIĄZANIE
Aby wykreślić charakterystykę częstotliwościową należy wyznaczyć punkty charaktery-
styczne

Wzmocnienie dla pulsacji zerowej (czyli wartość odp. skokowej w stanie ustalonym)

A(0) = lim

s→0

s

1
s

G(s) = 1

Pulsacja rezonansowa

ω

r

= ω

n

q

1 2ζ

2

= 4,12

Wysokość szczytu rezonansowego

M

r

=

1

2ζ

1 − ζ

2

= 1,36

Szerokość pasma trzydecybelowego

ω

3dB

= ω

n

r

(1 2ζ

2

) +

q

ζ

4

4ζ

2

+ 2 = 6,8

Charakterystyka amplitudowa układu została przedstawiona na rysunku 16

18

background image

Rysunek 15: Rysunek do zadania 5

0

5

10

15

20

25

30

0

0.707

0.5

1

1.5

Mr

ω

r

ω

3dB

Rysunek 16: Rysunek do zadania 5b

19

background image

Rysunek 17: Rysunek do zadania 8

Zadania do samodzielnego wykonania

1. Pulsacja 3dB obiektu o transmitancji G

p

(s) =

8

s+a

wynosi ω

3dB

= 4rad/sek. Wyznacz wartość

uchybu w stanie ustalonym, w przypadku, gdy pobudzeniem jest skok jednostkowy, a obiekt
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

2. Ile razy zmieni się czas ustalania t

5%

układu o transmitancji G(s) =

3

s+2

po objęciu go ujemnym

jednostkowym sprzężeniem zwrotnym?

3. Układ o transmitancji G(s) =

k

s

objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Ja-

ką wartość powinno mieć wzmocnienie k, aby pulsacja ω

3dB

otrzymanego układu wyniosła

0,25rad/sek?

4. Układ o transmitancji G(s) =

k

s+1

objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Jaka powinna być wartość wzmocnienia k, aby uchyb odpowiedzi otrzymanego układu na skok
jednostkowy był mniejszy od 5%?

5. Układ o transmitancji G(s) =

3

s+a

, a > 0 objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrot-

nym. Jaka jest wartość współczynnika a, jeśli wiadomo, że t

5%

czas ustalania układu wynosi

1
5

?

6. Układ o transmitancji G(s) =

K

s(s+a)

objęto jednostkowym sprzężeniem zwrotnym

-Określ, jakie powinny być wartości parametrów K i a, aby dla odpowiedzi na skok jednostkowy
5% czas regulacji wynosił t

R5%

= 5sek, natomiast czas narastania wynosił t

n

= 2sek.

-Określ wartość maksymalną odpowiedzi skokowej oraz czas wystąpienia tej wartości.

7. Obiekt o transmitancji G(s) =

K

s(τ s+1)

objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Określ wartości współczynników K i τ aby dla odpowiedzi uzyskanego układu na skok jednost-
kowy 2% czas regulacji wynosił 9sek natomiast czas narastania wynosił t

n

= 1, 8sek.

8. Na rysunku 17 przedstawiono układ regulacji, w którym G

p

(s) =

10

s(s+2)

, G

1

(s) = K

1

natomiast

G

2

(s) = K

2

s. Wyznacz wartości wzmocnień K

1

i K

2

tak, aby układ spełniał następujące

wymagania: czas narastania t

n

= 3,6sek oraz maksymalne przeregulowanie M

p

= 14%

20

background image

Inzynieria systemów dynamicznych

Piotr Kaczmarek
Materiały do cwiczen - sprawdzian III

Zakres sprawdzianu III

Badanie stabilności - tablica Routha

Zależniość położenia biegunów standardowej transmitancji ukł. II rzędu od wymagań projek-

towych

Linie pierwiastkowe

Określanie stabilności układu zamkniętego na podstawie charakterystyk częstotliwościowych

Bodego

Przykłady

1. Stosując kryterium Routha określ liczbę pierwiastków równania M(s) = s

4

+3s

3

+2s

2

2s−4 =

0 znajdujących się w prawej półpłaszczyźnie

Rozwiązanie: Wypełniamy tablicę Routha

s

4

s

3

s

2

s
1

1

2

4

3 2

0

b

1

b

2

b

3

c

1

c

2

d

1

Następnie wyznaczamy wartości współczynników w kolejnych wierszach. Dla s

2

otrzymujemy:

b

1

=

1

2

3 2

3

=

8
3

b

2

=

1 4
3

0

3

= 4

b

3

= 0

s

4

s

3

s

2

s
1

1

2

4

3 2

0

8
3

4

0

c

1

c

2

d

1

Dla s otrzymujemy:

c

1

=

3 2

8
3

4

8
3

=

20

8

21

background image

c

2

= 0

s

4

s

3

s

2

s
1

1

2

4

3 2

0

8
3

4

0

20

8

0

d

1

Oraz ostatni element

d

1

=

8
3

4

20

8

0

20

8

= 4

co w rezultacie daje pełną tablicę Routha:

s

4

s

3

s

2

s
1

1

2

4

3

2

0

8
3

4

0

20

8

0

4

Jak widzimy, zmiana znaku w pierwszej kolumnie występuje tylko jeden raz, z czego wynika,
że wielomian M(s) ma jeden pierwiastek w prawej półpłaszczyźnie.

W celu sprawdzenia poprawności wyliczeń możemy znaleźć pierwiastki wielomianu M(s) ko-
rzystając z Matlaba:

roots([1 3 2 -2 -4]) % wyliczenie pierwiastków wielomianu o współczynnikach

% w nawiasie kwadratowym

2. Stosując kryterium Routha określ liczbę miejsc zerowych wielomianu M(s) = 6+3s+3s

2

+s

3

+s

4

znajdujących się w prawej półpłaszczyźnie

Rozwiązanie: Wypełniamy tablicę Routha

s

4

s

3

s

2

s
1

1

3

6

1

3

0

b

1

b

2

b

3

c

1

c

2

d

1

Następnie wyznaczamy wartości współczynników w wierszach odpowiadających drugiej potędze
s

b

1

=

1 3
1 3

1

= 0

b

2

=

1 6
1 0

1

= 6

22

background image

b

3

= 0

Zauważmy, że wartość współczynnika b

1

wynosi 0, co uniemożliwia „zwykłe” postępowanie. W

takim przypadku zakładamy, że b

1

= ε, gdzie ε jest liczbą dodatnią dążącą do zera.

s

4

s

3

s

2

s
1

1

3 6

1

3 0

ε

6 0

c

1

c

2

d

1

Pozostałe współczynniki wyznaczymy w następujący sposób

c

1

=

1 3
ε 6

ε

=

6 + 3ε

ε

=

6

ε

c

2

= 0

d

1

=

ε

6

6
ε

0

6

ε

= 6

Ostatecznie tablica Routha przybierze postać

s

4

s

3

s

2

s
1

1

3 6

1

3 0

ε

6 0

6
ε

0

6

Jak widziny, w pierwszej kolumnie nastąpiły dwie zmiany znaków. Wynika z tego, że dwa
miejsca zerowe wielomianu M(s) znajdują się w prawej półpłaszczyźnie. Sprawdzić to możemy
rozwiązując równanie M(s) = 0, dla którego otrzymamy następujące pierwiastki s

1,2

= 0.4853±

j1.5510, s

3,4

= 0.9853 ± j1.1405.

3. Stosując kryterium Routha określ liczbę miejsc zerowych wielomianu M(s) = s

4

+ 2s

3

+ 3s

2

+

4s + 2 znajdujących się w prawej półpłaszczyźnie

Rozwiązanie: Wypełniamy tablicę Routha

s

4

s

3

s

2

s
1

1

3

2

2

4

0

b

1

b

2

b

3

c

1

c

2

d

1

Zauważmy, że elementy w wierszu odpowiadającym s

3

możemy podzielić przez 2, co pozwoli

na ułatwienie obliczeń:

s

4

s

3

s

2

s
1

1

3

2

1

2

0

b

1

b

2

b

3

c

1

c

2

d

1

23

background image

Wyznaczamy wartości współczynników w wierszach odpowiadających drugiej potędze s

b

1

=

1 3
1 2

1

= 1

b

2

=

1 2
1 0

1

= 2

b

3

= 0

s

4

s

3

s

2

s
1

1

3 2

1

2 0

1

2 0

c

1

c

2

d

1

Wyznaczamy wartości współczynników w wierszach odpowiadających pierwszej potędze s

c

1

=

1 2
1 2

1

= 0

c

2

=

1 0
1 0

1

= 0

s

4

s

3

s

2

s
1

1 3 2
1 2 0
1 2 0
0 0

d

1

Jak widać, w wierszu odpowiadającym s

1

otrzymaliśmy same zera. W takim przypadku musimy

skorzystać z wielomianu pomocniczego, który powstaje ze współczynników znajdujących się w
wierszu powyżej wiersza zerowego:

P (s) = s

2

+ 2

Jako współczynniki wiersza s

1

wstawiamy współczynniki odczytane z wielomianu będącego

pochodną wielomianu pomocniczego

dP (s)

ds

= 2s

s

4

s

3

s

2

s
1

1 3 2
1 2 0
1 2 0
2 0

d

1

24

background image

Następnie postępujemy zgodnie ze standardową procedurą:

d

1

=

1 2
2 0

1

= 2

s

4

s

3

s

2

s
1

1 3 2
1 2 0
1 2 0
2 0
2

Z otrzymanej tablicy Routha wynika, że w prawej półpłaszczyźnie nie ma pierwiastków wielo-
mianu M(s). Z faktu, że w tablicy wystąpił rząd samych zer wynika, że występują pierwiastki na
osi urojonej. Z własności wielomianu pomocniczego wynika, że jego miejsca zerowe są również
miejscami zerowymi wielomianu M(s).

P (s) = s

2

+ 2 = 0

Stąd wiemy, że liczby j

2 oraz −j

2 są pierwiastkami równania M(s) = 0.

4. Układ o transmitancji G

p

(s) =

2

s(s+1)(s+T )

objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrot-

nym. Korzystając z tablicy Routha określ jaka powinna być wartość współczynnika T aby
otrzymany układ był na granicy stabilności? Jaka wtedy będzie częstotliwość drgań na wyjściu
otrzymanego układu?

W pierwszej kolejności należy wyznaczyć transmitancję otrzymanego układu:

G(s) =

G

p

(s)

1 + G

p

(s)

=

2

s

3

+ (T + 1)s

2

+ T s + 2

Stąd wielomian charakterystyczny możemy przedstawić w postaci: M(s) = s

3

+(T +1)s

2

+T s+2.

Formujemy tablicę

s

3

s

2

s
1

1

T

T + 1 2

b

1

b

2

c

1

b

1

=

1

T

T + 1 2

T + 1

=

T

2

+ T − 2

T + 1

b

2

= 0

s

3

s

2

s
1

1

T

T + 1

2

T

2

+T −2

T +1

0

c

1

25

background image

Rysunek 18: Rysunek do zadania 5

Aby układ był na granicy stabilności, w tablicy Routha musi wystąpić rząd samych zer, czyli
musi być spełniony warunek: b

1

= 0. Warunek ten jest spełniony dla T = 1 oraz T = 2. War-

tość T = 2 odrzucamy, gdyż dla T = 2 w wielomianie M(s) wystąpią ujemne współczynniki
co będzie oznaczało, że uzyskany układ będzie niestabilny.

Dla T = 1 tablica Routha przyjmie postać:

s

3

s

2

s
1

1 1
2 2
0 0

c

1

Stąd wyznaczamy wielomian pomocniczy P (s) = 2s

2

+2 i jego pochodną P

0

(s) = 4s co pozwala

nam na ostateczne wypełnienie tablicy:

s

3

s

2

s
1

1 1
2 2
4 0
2

Z tablicy wynika, że dla T = 1 w prawej półpłaszczyźnie nie będzie pierwiastków. Pulsację
drgań na wyjściu układu wyznaczymy korzystając z wielomianu pomocniczego:

P (s) = 2s

2

+ 2 = 0

s

12

= ±j

ω = 1

rad
sek

5. Dla jakich wartości wzmocnień k

1

i k

2

układ przesdtawiony na rysunku 18 będzie stabilny?

Rozwiązanie Transmitancja przedstawionego układu wynosi

G(s) =

k

1

s

s

3

+ 3s

2

+ (k

1

k

2

+ k

1

+ 2)s + k

1

k

2

Dla mianownika transmitancji tworzymy tablicę Routha

s

3

s

2

s
1

1

k

1

k

2

+ k

1

+ 2 0

3

k

1

k

2

0

1
3

(2k

1

k

2

+ 3k

1

+ 6)

0

k

1

k

2

Z tablicy wynika, że aby zapewnić stabilność układu, spełnione muszą być następujące warunki

2k

1

k

2

+ 3k

1

+ 6 > 0

k

1

k

2

> 0

26

background image

Z drugiego z waunków wynika, że k

1

i k

2

muszą być tych samych znaków. Pierwszy z warunków

możemy zapisać jako

(

k

2

> −

3

k

1

3
2

dla k

1

> 0

k

2

< −

3

k

1

3
2

dla k

1

< 0

6. Znajdź obszary położeń biegunów ustandaryzowanej transmitancji układu II rzędu na płasz-

czyźnie s, jeśli wymagania nałożone na odpowiedź skokową są następujące: czas narastania
t

n

¬ 0,3sek, maksymalne przeregulowanie M

p

¬ 10% oraz dwuprocentowy czas regulacji

t

2%

= 0,8sek.

ROZWIĄZANIE

Przypomnijmy, że standardowa transmitancja układu II rzędu jest następującej postaci

G(s) =

ω

2

n

s

2

+ 2ζω

n

s + ω

2

n

Bieguny tej transmitancji możemy wyrazić wzorem

s

12

= −ζω

n

± jω

n

q

1 − ζ

2

= ω

n

e

j arc cos −ζ

Dla warunku związanego z szybkością narastania mamy

ω

n

­

1,8

t

n

= 6

Zauważmy, że moduł bieguna wynosi ω

n

. Wynika z tego, że warunek związany z szybkością

narastania odpowiedzi skokowej jest spełniony dla obszaru przedstawionego na rys. 20a.

Dla warunku związanego z maksymalnym przeregulowaniem mamy

ζ ­

ln(M

p

)

q

π

2

+ (ln(M

p

))

2

= 0,59

Zauważmy, że arg s

12

= arc cos −ζ = π − arc cos ζ co pozwala na określenie dozwolonego po-

łożenia biegunów ze względu na warunek związany z maksymalnym przeregulowaniem (patrz
rysunek 20b)

Z trzeciego warunku wynika, że

ζω

n

= σ ­

4

t

2%

co pozwala na określenie dozwolonego położenia biegunów ze względu na czas ustalania (patrz
rysunek 19c)

Rozwiązaniem zadania jest część wspólna wyznaczonych obszarów (patrz rysunek 20).

7. W układzie przedstawionym na rysunku 21 transmitancja obietu wynosi G(s) =

N (s)
D(s)

=

s+2

(s+5)(s+1)(s−2)

. Wyznacz położenie biegunów na płaszczyźnie s otrzymanego układu w zależ-

ności od wielkości wzmocnienia k.

ROZWIĄZANIE

Określamy asymptoty

Bieguny układu otwartego p

1

= 5, p

2

= 1, p

3

= 2, zera układu otwartego z

1

= 2.

Liczba asymptot α = l

p

− l

z

= 2 gdzie l

p

= 3 oraz l

z

= 1 są odpowiednio liczbą biegunów

27

background image

Re[s]

Im[s]

(a)

ω

n

Re[s]

Im[s]

arccos

ζ

(b)

Re[s]

Im[s]

σ

(c)

Rysunek 19: Obszary dozwolonego położenia biegunów ze względu na ograniczenia

Re[s]

Im[s]

Rysunek 20: Odpowiedź do zadania 6

i zer transmitancji układu otwartego. Dla α = 2, kąty asymptot z osią liczb rzeczywistych
wynoszą ±90

0

. Punkt przecięcia asymptot z osią liczb rzeczywistych (centroid)

σ =

P

l

p

i=1

p

i

P

l

z

i=1

z

i

l

p

− l

z

= 1

Wyznaczamy punkty rozejścia się lub zejścia lini pierwiastkowych (czyli miejsca, w których

równanie charakterystyczne układu ma wielokrotne pierwiastki). W tym celu korzystamy
ze wzoru

D

0

(s)N(s) − D(s)N

0

(s) = 0

W rozważanym przypadku

D

0

(s)N(s) − D(s)N

0

(s) = 3s

3

+ 10s

2

+ 16s − 4 = 0

Powyższe równanie ma jedno rozwiązanie s

0

= 0,2188. Wartość wzmocnienia, które odpo-

wiada punktowi s

0

wyznaczymy ze wzoru

k

0

=

1

G(s

0

)

= 5,1062

Określamy punkty przecięcia lini pierwiastkowych z osią liczb urojonych. W tym celu

wyznaczamy równanie charakterystyczne układu zamkniętego. Transmitancja układu
zamkniętego wynosi

G

z

(s) =

kG(s)

1 + kG(s)

=

k(s + 2)

s

3

+ 4s

2

+ (k − 7)s + 2k − 10

28

background image

Rysunek 21: Schemat do przykładu 7

Aby układ zamknięty był stabilny muszą być spełnione warunki k > 5, k > 7 (współczyn-
niki mianownika transmitancji dodatnie) oraz k > 9 (z tablicy Routha). Wynika z tego, że
układ będzie na granicy stabilności gdy k

1

= 9. Wtedy mianownik G

s

(s) będzie postaci

s

3

+ 4s

2

+ 2s + 8 = (s + 4)(s

2

+ 2)

co pozwala na określenie punktów przecięcia osi : s

1

= j

2 oraz s

2

= −j

2

Mając na uwadze powyższe rozważania oraz jeszcze kilka wskazówek

– Linie pierwiastkowe rozpoczynają się w biegunach transmitancji układu otwartego

(dla k = 0). l

z

linii pierwiastkowych kończy się w zerach transmitancji G

p

(s) (dla

k = ), natomiast pozostałe α linii pierwiastkowych dąży do asymptot.

– Linie pierwiastkowe pokrywają się z osią rzeczywistą na tych odcinkach, na prawo

od których suma liczby rzeczywistych biegunów i rzeczywistych zer jest nieparzysta
(wynika to z warunku fazy).

– Obraz lini pierwiastkowych jest symetryczny względem osi liczb rzeczywistych

wykreślamy linie pierwiastkowe. Gotowy obraz lini pierwiastkowych dla rozważanego przy-
kładu został pokazany na rysunku 22.

Obraz linii pierwiastkowych możemy wykreślić w Matlabie. Kod programu dla naszego

przykładu będzie następujący:

s = tf(’s’);
g=(s+2)/((s+5)*(s+1)*(s-2))

rlocus(g)

8. Wykreśl charakterystyki Bodego oraz Nyquista dla układu o transmitancji G(s) =

1

s(s+α)

ROZWIĄZANIE

Wyznaczamy transmitancję widmową układu

G() =

1

(+ α)

=

−jαω − ω

2

ω

2

(α

2

+ ω

2

)

oraz jej część rzeczywistą i urojoną

P (ω) =

1

α

2

+ ω

2

Q(ω) =

α

ω(α

2

+ ω

2

)

Przy przekształceniach pamiętamy że 1/j = −j oraz j

2

= 1! Wyznaczamy również moduł i

fazę transmitancji widmowej

A(ω) = |G()| =

q

P

2

(ω) + Q

2

(ω) =

1

ω

ω

2

+ α

2

=

1

ωα

q

ω

2

α

2

+ 1

29

background image

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

−15

−10

−5

0

5

10

15

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

k=5,1
s=0,22

k=9
s=1,41j

k=9
s=−1,41j

p

1

p

2

=

σ

p

3

z

1

Rysunek 22: Linie pierwiastkowe dla przykładu 7

φ(ω) = arc tg

α
ω

− π

Z faktu, że dla ω > 0 P (ω) < 0 oraz Q(ω) < 0 wnioskujemy, że π ¬ ϕ(ω) <

3
2

π - stąd w

powyższym równaniu „−π”.

Na podstawie przedstawionych wzorów określamy

P (0) =

1

α

2

,

Q(0) = −∞

P () = 0,

Q() = 0

P (α) =

1

2α

2

,

Q(α) =

1

2α

2

co pozwala nam na naszkicowanie wykresu Nyquista przedstawionego na rysunku 23.

W Matlabie ch. Nyquista wykreślimy za pomocą poleceń:

s = tf(’s’)
G = 1/(s*(s+0.5))

% zakładamy \alpha = 0.5

nyquist(G)

Charakterystyki Bodego wyznaczymy logatytmując moduł transmitancji widmowej

L(ω) = 20 log(A(ω)) = 20 log(αω) 10 log



ω
α



2

+ 1

!

= L

1

(ω) + L

2

(ω)

Zauważmy, że pierwszy składnik powyższej różnicy przecina oś 0dB dla ω = 1natomiast
L

1

(1) = 20 log(α). Drugi ze składników natomiast wprowadza wzmocnienie 0dB dla ω 

α, dla ω = α wprowadza wzmocnienie 3dB, natomiast dla ω  α wzmocnienie drugiego

30

background image

1/

α

2

1/(2

α

2

)

1/(2

α

2

)

Re

Im

Rysunek 23: Ch. Nyquista do przykładu 8

składnika wynosi 20 log(ω/α) (maleje z szybkością 20dB/dek). Na rys. 24 pokazana została
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa. Charakterystykę fazową kreślimy na podstawie
wzoru na φ(ω) lub sumując przesunięcia fazowe wprowadzone przez „człony” związane z L

1

(ω)

(−π/2 dla każdego ω) i z L

2

(ω) (0 dla ω  α, −π/4 dla ω = α oraz −π/2 dla ω  α). Wynik

pokazany jest również na rys. 24.

W Matlabie ch. Bodego wykreślimy za pomocą poleceń:

s = tf(’s’)
G = 1/(s*(s+0.5))

% zakładamy \alpha = 0.5

bode(G)

Zadania do samodzielnego wykonania

1. Korzystając z tablicy Routha znajdź liczbę pierwiastków wielomianu znajdujących się w prawej

półpłaszczyźnie

(a) M(s) = 2s

4

+ s

3

+ 3s

2

+ 5s + 10

(b) M(s) = s

4

+ s

3

+ 2s

2

+ 2s + 3

(c) M(s) = s

5

+ 4s

4

+ 8s

3

+ 8s

2

+ 7s + 4

2. Korzystając z tablicy Routha określ stabilność układów na podstawie ich wielomianów charak-

terystycznych M(s). Dla układów będących na granicy stabilności podaj pulsację drgań.

(a) M(s) = s

4

+ 3s

3

+ 3s

2

+ 3s + 2

(b) M(s) = s

4

+ 3s

3

+ 6s

2

+ 12s + 8

(c) M(s) = s

5

+ 5s

4

+ 14s

3

+ 22s

2

+ 17s + 5

3. Określ liczbę pierwiastków równania s

6

3s

5

− s

4

+ 3s

3

+ 2s

2

6s − 2 = 0 znajdujących się w

prawej półpłaszczyźnie

31

background image

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

α

1/

α

−20log(

α

)

−20dB/dek

−40dB/dek

ω

L(

ω

)

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

0

π

/4

π

/2

−3

π

/4

π

ω

φ

(

ω

)

α

Rysunek 24: Ch. Bodego do przykładu 8

32

background image

4. Układ o transmitancji G

p

(s) =

1

s(s+1)

3

objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Korzystając z tablicy Routha sprawdź, czy otrzymany układ będzie stabilny.

5. Układ o transmitancji G

p

(s) =

s+1

s

3

(s+2)

objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Korzystając z tablicy Routha sprawdź, czy otrzymany układ będzie stabilny.

6. Układ o transmitancji G(s) =

k

s

2

objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Czy

otrzymany układ będzie stabilny? Określ pulsację drgań własnych otrzymanego układu.

7. Dla jakich wartości współczynnika k układ dany poniższymi równaniami stanu będzie stabilny?

˙x(t) =

1

k

0

3 2

k

0

0

k + 1

x(t) +

1
0

k

u(t)

y(t) =

h

k 0 0

i

x(t)

8. Układ o transmitancji G

p

(s) =

k

s

2

objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Czy

istnieje wartość wzmocnienia k dla której otrzymany układ będzie stabilny? Jak będą wyglądały
linie pierwiastkowe?

9. Układ o transmitancji G

p

(s) =

ks+1

s(s+2)

2

objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Dla jakich wartości k otrzymany układ będzie stabilny?

10. Układ o transmitancji G

p

(s) =

K

s(s+1)(s+T )

objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrot-

nym. W układzie współrzędnych (T - oś rzędnych, K - oś odciętych) zaznacz obszar wartości
T oraz K dla których otrzymany układ będzie stabilny.

11. Wyznacz obszar na płaszczyźnie s, w którym powinny znaleźć się bieguny układu II rzędu aby

spełnione były poniższe wymagania

(a)

maksymalne przeregulowanie 10% ¬ M

p%

< 25%

dwuprocentowy czas regulacji t

2%

¬ 4sek

(b)

czas narastania 0,2 ¬ t

t

¬ 0,6

maksymalne przeregulowanie 15% ¬ M

p%

¬ 30%

pięcioprocentowy czas regulacji t

5%

¬ 3sek

(c)

czas narastania t

n

­ 0,6

maksymalne przeregulowanie 0,1 ¬ M

p

< 0,2

jednoprocentowy czas regulacji t

5%

­ 4,6sek

(d)

czas narastania t

t

¬ 1,8

maksymalne przeregulowanie M

p%

¬ 16%

dwuprocentowy czas regulacji t

2%

­ 2sek

12. Znajdź obszary położeń biegunów ustandaryzowanej transmitancji układu II rzędu na płasz-

czyźnie s, jeżeli wymagania nałożone na odpowiedź skokową są następujące: czas narastania
t

n

< 0.5[s] oraz maksymalne przeregulowanie M

p

< 16.7[%].

13. Układ o transmitancji G(s) =

k

(s+1)(s+3)

objęto jednostkowym sprzężeniem zwrotnym. Dla

jakich wartości k biegunami otrzymanego układu będą liczby rzeczywiste?

33

background image

Rysunek 25: Układ ze sprzężeniem zwrotnym

14. Układ o transmitancji G(s) =

K

s(s+4)

objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Wyznacz położenie biegunów na płaszczyźnie s otrzymanego układu w zależności od wielkości
parametru k.

15. W układzie na rysunku 25 odpowiednie transmitancje wynoszą G

p

(s) =

0,2(s+0,1)

s(s+0,02)(s+2)

oraz

G

c

(s) = k. Wyznacz położenie biegunów układu na płaszczyźnie s w zależności od wielko-

ści parametru k.

16. Układ o transmitancji G(s) =

k(s+2)

(s−2)(s−4)

objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Wyznacz wartość k, dla której linie pierwiastkowe układu przetną oś . Jaka będzie wtedy
częstotliwość oscylacji układu?

17. Układ o transmitancji G(s) =

k

(s+2)(s+6)

objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Wyznacz punkt "rozejścia się" linii pierwiastkowych otrzymanego systemu.

18. Układ o transmitancji G(s) =

k

(s+2)(s+1)

objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Wyznacz punkt "rozejścia się" linii pierwiastkowych otrzymanego systemu oraz miejsca, w
których linie pierwiastkowe pokryją się z osią "rzeczywistą".

19. Układ o transmitancji G(s) =

k(s+5)

(s−2)(s−1)

objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Wyznacz wartość k, dla którego linie pierwiastkowe układu przetną oś . Jaka będzie wtedy
częstotliwość oscylacji układu?

20. Wyznacz położenie biegunów układu o transmitancji G(s) =

kG

p

(s)

1+kG

p

(s)

w zależności od wzmoc-

nienia k gdzie

(a) G

p

(s) =

1

s(s+4)(s+8)

(b) G

p

(s) =

2(s+2)

s(s+1)(s+3)(s+4)

(c) G

p

(s) =

s+4

(s−1)(s+2)

(d) G

p

(s) =

s(s+2)

(s+1)(s+3)(s+4)

21. Wykreśl charakterystyki Nyquista i Bodego dla układów o poniższych transmitancjach

(a) Układ całkujący

G(s) =

K

s

(b) Układ całkujący z inercją

G(s) =

K

s(τ s + 1)

(c) Układ różniczkujący

G(s) = Ks

34

background image

(d) Układ różniczkujący z inercją

G(s) =

Ks

(τ s + 1)

(e) Regulator PI

G(s) = K

p

+

1

T

i

s

(f) Regulator PD

G(s) = K

p

+ T

d

s

(g) Regulator PID

G(s) = K

p

+ T

d

s +

1

T

i

s

22. Wyznacz asymptotyczne charakterystyki amplitudowo-fazowe Bodego dla układów o transmi-

tancjach

(a)

G(s) =

s(0,1s + 1)(100s + 1)

(s + 1)

2

(10s + 1)

(b)

G(s) =

(0,1s + 1)(s + 1)

10s

2

(0.01s + 1)(100s + 1)

(c)

G(s) =

s + 10

0,1s

2

(s + 1)

(d)

G(s) =

10s

3

(s + 1)

2

(s + 100)

2

23. Dla układu z rysunku 25 określ zapas amplitudy i fazy. Dla jakiego k układ będzie na granicy

stabilności?

(a)

G

c

(s) = k = 1, G

p

(s) =

1

s(s + 10)

(b)

G

c

(s) = k = 1, G

p

(s) =

1

s(10s + 1)(0,1s + 1)

(c)

G

c

(s) = k = 1, G

p

(s) =

1

s

2

(s + 1)

(d)

G

c

(s) = k = 1, G

p

(s) =

10s + 1

s

2

(0.1s + 1)

2

24. Wykreśl charakterystykę Nyquista dla układu o transmitancji G(s) =

k

s(s+a)

35

background image

25. Transmitancja pewnego obiektu wynosi G

p

(s) =

0.1s

(s+0.1)

2

(s+1)

. Korzystając z charakterystyk

częstotliwościowych Bodego określ, czy po objęciu go jednostkowym sprzężeniem zwrotnym
układ ten jest stabilny. W przypadku, gdy układ jest stabilny wyznacz zapas amplitudy i fazy.

26. Wykreśl charakterystykę Nyquista dla układu opisanego transmitancją G(s) =

1

T s

+ K

27. W układnie przedstawionym na rys. 25 tansmitancja G

c

(s) = 1, G

p

(s) =

0.1s

(s+0.1)

2

(s+1)

. Ko-

rzystając z charakterystyk częstotliwościowych Bodego określ, czy układ ten jest stabilny. W
przypadku, gdy układ jest stabilny wyznacz zapas amplitudy i fazy.

28. Obiekt o transmitancji G

p

(s) =

s+10

100s(s+0.1)

2

objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrot-

nym. Korzystając z charakterystyk częstotliwościowych Bodego określ, czy układ ten jest sta-
bilny. W przypadku, gdy układ jest stabilny wyznacz zapas amplitudy i fazy.

29. Wykreśl charakterystykę Nyquista dla układu opisanego transmitancją G(s) = As + K

36


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
isd cwiczenia(1)
isd cwiczenia 20111024
3 ćwiczenia BADANIE asfaltów
Ćwiczenie7
Cwiczenia 2
Ćwiczenia V
metody redukcji odpadów miejskich ćwiczenia
Ćwiczenia1 Elektroforeza
cwiczenia 9 kryzys
Ćwiczenia 1, cz 1
Ćwiczenie 8

więcej podobnych podstron