Funkcje wielu zmiennych

Ostatnia zmiana: 19/02/2013

1. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du

wzgl¦dem ka»dej ze zmiennych:

a. z = x

3

y

2

− y

3

x

b. u = xy

3

z

2

− z cos z − y

c. z = sin(x

2

− y

2

)

d. z = e

x

2

cos(xy)

e. z = sin e

xy

f. z =

√

y

2

− x

2

y +

y

√

x

g. u = z

4

(5xy

2

− 3yz

2

)

20

h. z = x

y

2

i. z = arctan

y
x

j. V =

−nRT

p

2

2. Oblicz

∂

2

z

∂x

2

i

∂

2

z

∂y

2

:

a. z = 2x

2

y + cos (x + y)

b. z = sin (x + y) e

x−y

c. z = ln



√

x

2

+ y

2



d. z = sin

2

(xy)

3. Oblicz pochodne mieszane:

a. z = x

3

− 3x

2

y + y

3

b. z = x

2

cos (y − x)

c. u = y

ln x

d. u =

√

2xy + y

2

4. Wyznacz ∇f w podanym punkcie:

a. f(x, y) = x

2

y + 3xy

3

, P

0

(1, 1)

b. f(x, y) = ln(e

x

+ e

y

), P

0

(0, 0)

c. f(x, y) =

√

4 + x

2

+ y

2

, P

0

(a, b)

d. f(x, y, z) =

z

√

x

2

+y

2

+z

2

, P

0

(1, 1, 1)

5. Wyznacz przybli»on¡ warto±¢:

a. 1, 01

1,01

b. 1, 02

1,05

c. sin 31

o

cos 46

o

d.

√

1, 02

3

+ 1, 97

3

e.

8,04
2,02

6. Wyznacz ekstrem lokalne funkcji i oblicz war-

to±¢ funkcji w ekstremach:

a. f(x, y) = 2x

2

+ 3xy + y

2

− 2x − y + 1

b. f(x, y) = x

2

− xy + 2y

2

− x + 4y

c. f(x, y) = x

3

+ y

2

− 3x − 4y + 2

d. f(x, y) = x

2

+ y

2

+ xy − 6x − 4y + 5

e. f(x, y) = 4x

3

− 3x

2

y + y

3

− 9y

f. f(x, y) = xy ln (x

2

+ y

2

)

g. f(x, y) = x

2

+ 8y

3

− 6xy + 1

1

Odpowiedzi.

1.

a.

∂z

∂x

= 3x

2

y

2

− y

3

∂z

∂y

= 2x

3

y − 3y

2

x

b.

∂u

∂x

= y

3

z

2

∂u

∂y

= 3xy

2

z

2

− 1

∂u

∂z

= 2xy

3

z − cos z + z sin z

c.

∂z

∂x

= 2x cos(x

2

− y

2

)

∂z

∂y

= −2y cos(x

2

− y

2

)

d.

∂z

∂x

= 2xe

x

2

cos(xy) − ye

x

2

sin(xy)

∂z

∂y

= −xe

x

2

sin(xy)

e.

∂z

∂x

= ye

xy

cos e

xy

∂z

∂y

= xe

xy

cos e

xy

f.

∂z

∂x

=

−xy

√

y

2

− x

2

y

−

1

2

x

−

3
2

∂z

∂y

=

2y − x

2

2

√

y

2

− x

2

y

+

1

√

x

g.

∂u

∂x

=

20z

4

(5xy

2

− 3yz

2

)

19

5y

2

=

100y

2

z

4

(5xy

2

− 3yz

2

)

19

∂u

∂y

= 20z

4

(5xy

2

− 3yz

2

)

19

(10xy − 3z

2

)

∂u

∂z

= 4z

3

(5xy

2

− 3yz

2

)

20

+ z

4

20(5xy

2

−

3yz

2

)

19

(−6yz)

h.

∂z

∂x

= y

2

x

y

2

−1

∂z

∂y

= 2yx

y

2

ln x

i.

∂z

∂x

=

1

1 +



y
x



2

−y

x

2

=

−y

x

2

+ y

2

∂z

∂y

=

1

1 +



y
x



2

1

x

j.

∂V

∂n

=

−RT

p

2

∂V

∂T

=

−nR

p

2

∂V

∂p

=

2nRT

p

3

2.

a.

∂

2

z

∂x

2

= 4 y − cos (y + x)

∂

2

z

∂y

2

= − cos (y + x)

b.

∂

2

z

∂x

2

= 2 e

x−y

cos (y + x)

∂

2

z

∂y

2

= −2 e

x−y

cos (y + x)

c.

∂

2

z

∂x

2

=

y

2

− x

2

(x

2

+ y

2

)

2

∂

2

z

∂y

2

=

x

2

− y

2

(x

2

+ y

2

)

2

d.

∂

2

z

∂x

2

= −2y

2

cos 2xy

∂

2

z

∂y

2

= −2x

2

cos 2xy

3.

a.

∂

2

z

∂y∂x

= −6x

b.

∂

2

z

∂y∂x

= x

2

cos(y − x) − 2x sin(y − x)

c.

∂

2

z

∂y∂x

=

y

ln x

xy

(1 + ln y ln x)

d.

∂

2

z

∂y∂x

=

xy

(2xy + y

2

)

3/2

2

4.

a. grad f(x, y) = [2xy + 3y

2

, x

2

+ 9xy

2

]

b. grad f(x, y) =



e

x

e

x

+ e

y

,

e

y

e

x

+ e

y



c. grad f(x, y) =

"

x

√

4 + x

2

+ y

2

,

y

√

4 + x

2

+ y

2

#

d. grad f(x, y) =





xz

q

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

3/2

,

yz

q

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

3/2

,

1

√

z

2

+ y

2

+ x

2

−

z

2

(z

2

+ y

2

+ x

2

)

3
2





5.

a. 1, 01

b. 1, 02

c. 0, 3579

d. 2, 95

e. 3, 98

6.

a. p. stacjonarny: x = −1, y = 2

brak ekstremów

b. p. stacjonarny: x = 0, y = −1

minimum lokalne: [x = 0, y = −1] warto±¢: -2

c. p. stacjonarne [x = 1, y = 2], [x = −1, y = 2]

minimum lokalne: [x = 1, y = 2] warto±¢: -4

d. p. stacjonarne: [x =

8
3

, y =

2
3

]

minimum lokalne [x =

8
3

, y =

2
3

]

warto±c: −

13

3

e. p. stacjonarne: [x = 0, y = −

√

3], [x = 0, y =

√

3], [x = −1, y = −2], [x = 1, y = 2]

maksimum lokalne: [x = −1, y = −2] warto±¢: 12

minimum lokalne: [x = 1, y = 2] warto±¢: -12

f.

3