IV. ANALIZA SKŁADKI POBIERANEJ PRZEZ NIEKTÓRE

TOWARZYSTWA UBEZPIECZEŃ NA ŻYCIE

W 1996 roku wydatki z budżetu państwa na renty i emerytury przekroczyły 15%

PKB (Produktu Krajowego Brutto). Wzrost wydatków na ubezpieczenia społeczne czę-

ściowo był finansowany wzrostem krajowego długu publicznego, którego obsługa kosztuje

około 4% PKB. Prawie dwukrotny wzrost wydatków na renty i emerytury w latach 1994-

1996 uniemożliwił wyeliminowanie deficytu budżetowego, zmniejszenia w większym

stopniu inflacji, zwiększenia wydatków na szkolnictwo oraz służbę zdrowia.

Z przeprowadzonych prognoz demograficznych wynika, że przy zachowaniu obec-

nego systemu ubezpieczeń społecznych wydatki na renty i emerytury wzrosną do 22%

PKB w 2006 roku i dla utrzymania tego systemu należałoby zwiększyć składkę ZUS z

45% wynagrodzenia obecnie do 60% wynagrodzenia w 2006 roku. Tak wielkie obciążenie

na rzecz ZUS miałoby destrukcyjny wpływ na całą gospodarkę.

Powszechnie

wiadomo,

że obecny polski repartycyjny system ubezpieczeń jest nie-

wydolny i może doprowadzić do załamania się systemu finansów publicznych. Równie

powszechne staje się przekonanie o potrzebie głębokiej reformy systemu rentowo-

emerytalnego.

Rządowy projekt reformy ubezpieczeń społecznych

14

proponuje wprowadzenie

mieszanego repartycyjno - kapitałowego systemu zabezpieczeń społecznych opartego na

trzech filarach.

Pierwszy filar - powszechny i obowiązkowy system repartycyjny, który stanowić

będzie podstawową formę zabezpieczenia społecznego ludzi starszych, inwalidów oraz ro-

dzin, które utraciły jedynego żywiciela. System ten tworzyć będą systemy ubezpieczenia

społecznego i zaopatrzenia społecznego.

System ubezpieczenia społecznego ma być oparty o następujące założenia:

− przymus ubezpieczenia
− powszechność ubezpieczenia
− wzajemność.

14

Bezpieczeństwo Dzięki Różnorodności. Biuro Pełnomocnika Rządu d/s Reformy Zabezpieczenia Społecz-

nego. Warszawa luty 1997.

78

Świadczenia z tego systemu będą miały gwarancje państwowe i będą finansowane ze

składki (80% obecnej składki ZUS) oraz dotacji budżetu.

Świadczenia otrzymywane z tego filaru zależeć będą od zgromadzonych w ciągu życia

składek z uwzględnieniem danych demograficznych opisujących rozkład prawdopodobień-

stwa dalszego życia

15

.

Drugi

filar

- powszechny i obowiązkowy system kapitałowy w ramach którego

powstaną dwa typy funduszy emerytalnych dla uczestników grupowych i indywidualnych.

Działalność funduszy oparta będzie o składki (20% obecnej składki ZUS), a wysokość

świadczeń zależeć będzie od wyników finansowych funduszy. Fundusze będą inwestować

zebrane środki na rynku kapitałowym. Na początku ma powstać 10-12 takich funduszy.

Trzeci filar dodatkowy i dobrowolny odwołujący się bezpośrednio do indywidu-

alnej przezorności obywateli. Każdy obywatel, który uzna, że nie wystarczą mu środki

zgromadzone w filarach I i II może ubezpieczyć się indywidualnie w towarzystwach ubez-

pieczeniowych. Aby jednak dobrze obliczyć wysokość emerytury otrzymanej w wyniku

ubezpieczenia w filarze I, wybrać najlepszy fundusz emerytalny funkcjonujący w filarze II

oraz wybrać najlepsze towarzystwo ubezpieczeniowe w filarze III, należy mieć orientację

o metodach obliczeń proponowanych przez matematykę finansową i aktuarialną.

W drugiej połowie 1997 roku na polskim rynku ubezpieczeń komercyjnych działa-

ło 21 towarzystw ubezpieczeniowych

16

. Znaczącą pozycję mają jednak tylko 4 z nich:

PZU Życie S.A. (71,3% rynku), Commercial Union S.A> (14,8% rynku), Amplico Life

S.A.(8,5% rynku) oraz Nationale Nederlanden (4% rynku). Pozostałe 17 towarzystw obej-

muje portfele nieprzekraczające 1% rynku (razem 1,4% rynku).

Wzrastająca konkurencja na rynku ubezpieczeń wzmaga zapotrzebowanie na opracowania

dotyczące analizy różnych form ubezpieczeń na życie proponowanych przez towarzystwa

ubezpieczeniowe. Naprzeciw tym potrzebom wychodzi niniejsze opracowanie w którym

podjęto próby analizy składki brutto pobieranej przez niektóre towarzystwa ubezpieczeń

na życie.

15

Mijakowska Jadwiga., Polskie tablice trwania życia 1990-1991. Głowny Urząd Statystyczny. Warszawa

1993.

16

Prawo i Gospodarka. 13 października 1997.

79

Wyznaczanie

wysokości składki dla ubezpieczeń życiowych odbywa się w dwóch

etapach. W etapie pierwszym wyznacza się jednorazową składkę netto a na jej podstawie

skła-dkę roczną, półroczną, kwartalną lub miesięczną netto. Wyznaczając składkę netto

posługujemy się zasadami obliczeń przedstawionymi w rozdziale II i III niniejszego opra-

cowania.

W etapie drugim składkę netto obciąża się składką za ryzyko oraz składką na po-

krycie kosztów administracyjnych.

S

A

= S

N

+ R

S

+ K

A

= E(S) + R

U

+ K

A

(4.1)

gdzie: S

B

-składka brutto, S

N

- Składka netto, R

S

- składka za ryzyko,

K

A

- składka na pokrycie kosztów administracyjnych.

W obliczeniach aktuartialnych przyjmuje się, że miarą ryzyka ubezpieczeniowego

jest wariancja (odchylenie standardowe) zmiennej losowej S

i

lub L

i

(por. Rozdział II i III)

określających obecną wartość zobowiązań ubezpieczyciela lub obecną wartość jego strat

związanych z ubezpieczeniem.

Firma ubezpieczeniowa musi również znaleźć fundusze na pokrycie kosztów admi-

nistracyjnych, na które składają się

a) Koszty administracji - koszty sprzedaży polisy ubezpieczeniowej oraz w niektó-

rych przypadkach koszty badania lekarskiego

b) Koszty administrowania polisą - rejestracja polisy, odnotowywanie ratalnych wpłat

składki, korespondencja z ubezpieczonym, wypłata świadczeń

c) Koszty inkasa składki

d) Zakładany zysk z działalności ubezpieczeniowej.

Najczęściej spotykane w literaturze zasady ustalania składki brutto są następujące:

I.

ZASADA WARTOŚCI OCZELIWANEJ

S

B

= (1+

α)E(S) (4.1)

II.

ZASADA WARIANCJI

S

B

= E(S) +

αD

2

(S)

(4.2)

III.

ZASADA ODCHYLENIA STANDARDOWEGO

S

B

= E(S) +

αD(S)

(4.3)

80

gdzie: E(S) - składka netto

D

2

(S) - wariancja składki netto

D(S) - odchylenie standardowe składki netto

α - parametr ustalony w zależności od składki za ryzyko i składki administracyj-

nej

W

dalszej

części niniejszego rozdziału przedstawimy próbę wyznaczenia parametru

α , dla składek brutto stosowanych przez towarzystwa ubezpieczeń na życie.

Podstawą wyznaczenia składki brutto jest składka netto, ale jak wiadomo (por.

Rozdział II i III) dla wyliczenia składki netto należy poczynić dwa ważne założenia: usta-

lić tablice dalszego trwania życia na podstawie których będą prowadzone obliczenia

składki netto, oraz ustalić techniczną stopę procentową r, którą przyjmujemy do obliczeń.

Tablice dalszego trwania życia używane przez towarzystwa ubezpieczeniowe mogą

się różnić od tablic ogólnych. Niektóre firmy mogą stosować tablice zawierające podwyż-

szone prawdopodobieństwa śmierci otrzymane przez przesunięcie wieku ubezpieczonego

w górę. Niektóre zaś mogą używać tablic selektywnych, które zaniżają prawdopodobień-

stwa śmierci w początkowych latach ubezpieczenia. Wreszcie niektóre towarzystwa mogą

zdecydować się na stosowanie prawdopodobieństw będących średnimi ważonymi odpo-

wiednich prawdopodobieństw odczytywanych z tablic selektywnych i ogólnych.

W opracowaniu za podstawę obliczeń przyjęto dane zawarte w Polskich Tablicach

Trwania Życia 1990-1991. Autor uważa, że porównanie składki brutto pobieranej przez

towarzystwa ubezpieczeń ze składką netto policzoną na podstawie tych tablic daje pewną

informację o zachowaniu się towarzystw ubezpieczeniowych na polskim rynku ubezpie-

czeń.

Dla poprawnego prowadzenia obliczeń należy ustalić również techniczną stopę

procentową. Stopę tę ustalono na podstawie analizy literatury oraz ogólnych warunków

umowy ubezpieczenia dostarczanych osobom ubezpieczającym się w analizowanych towa-

rzystwach ubezpieczeń. Dla prowadzonych obliczeń przyjęto techniczną stopę procentową

r = 0,05.

81

4.1. ANALIZA SKŁADKI BRUTTO DOŻYWOTNIEGO UBEZPIE-

CZENIA NA WYPADEK ŚMIERCI

W przypadku dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci analizie poddano

składki pobierane za następujące produkty (por. tablica 4.1):

• ubezpieczenie jednostkowe na życie TYP J I wersja B. PZU Życie S.A.
• indywidualne dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci. Amplico Life S.A.
• ubezpieczenie uniwersalne plus w wersji ochrony życia. Commercial Union.
• ubezpieczenie uniwersalne plus w wersji ochrony maksymalna. Commercial Union.

Wartości składek brutto dla wyżej wymienionych produktów ubezpieczeniowych

policzono na podstawie tabeli stawek dla podstawowej wersji produktu. To znaczy bez

opcji dodatkowych takich jak:

◊ świadczenie z tytułu inwalidztwa (niezdolności do pracy)
◊ świadczenie dodatkowe z tytułu śmierci lub kalectwa wskutek nieszczęśliwego

wypadku

◊ świadczenie z tytułu śmierci dzieci
◊ ubezpieczenia składki.

W warunkach polskich - duża inflacja, ważnym zagadnieniem jest zabezpieczenie

sumy ubezpieczenia przed inflacją. Większość firm ubezpieczeniowych dla ochrony sumy

ubezpieczenia przed inflacją proponuje swoim klientom udział w zyskach, co oznacza, że

uposażony otrzyma sumę ubezpieczenia powiększoną o udziały w zyskach towarzystwa

ubezpieczeniowego.

W pierwszej kolejności przeprowadzono analizę składki brutto proponowanej przez

PZU Życie S.A. ponieważ ubezpieczyciel podaje jednolite składki dla ubezpieczenia męż-

czyzn i kobiet, jednorazową składkę netto obliczono na podstawie tablic ogólnych zamie-

szczonych w dodatku C . Wyniki obliczeń zamieszczono w tablicy nr 4.2.

82

Tablica 4.1.

83

Tablica 4.2. Dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci.
Jednorazowa

składka - PZU Życie S.A.

Wiek

ubezpie-

czonego

Składka

jednorazowa

netto w tys. zł.

Składka

jednorazowa

netto w tys. zł

Odchylenie

standardowe

w tys. zł

Zasada

wartości

oczekiwanej

Zasada

odchylenia

standardowego

Zasada

wariancji

x A

x

S

b

D

α w %

α w %

α w %

18 4,625 9,480 5,212

104,94% 93,13%

0,00211%

19 4,823 9,702 5,334

101,16% 91,47%

0,00222%

20 5,026 9,936 5,449 97,67% 90,09%

0,00233%

21 5,236 10,182 5,559 94,46% 88,97%

0,00245%

22 5,452 10,440 5,663 91,48% 88,07%

0,00256%

23 5,677 10,711 5,767 88,69% 87,29%

0,00268%

24 5,911 10,996 5,877 86,02% 86,52%

0,00281%

25 6,158 11,294 5,998 83,41% 85,63%

0,00296%

26 6,418 11,608 6,133 80,87% 84,62%

0,00312%

27 6,691 11,938 6,281 78,42% 83,54%

0,00331%

28 6,977 12,285 6,438 76,08% 82,45%

0,00352%

29 7,274 12,649 6,600 73,88% 81,43%

0,00375%

30 7,584 13,031 6,766 71,83% 80,51%

0,00399%

31 7,904 13,432 6,933 69,94% 79,73%

0,00425%

32 8,236 13,846 7,101 68,11% 78,99%

0,00453%

33 8,580 14,274 7,271 66,37% 78,31%

0,00482%

34 8,936 14,718 7,443 64,71% 77,69%

0,00513%

35 9,303 15,178 7,615 63,14% 77,14%

0,00545%

36 9,683 15,653 7,786 61,65% 76,68%

0,00579%

37 10,075 16,144 7,955 60,25% 76,30% 0,00615%
38 10,477 16,650 8,122 58,91% 75,99% 0,00651%
39 10,892 17,169 8,286 57,63% 75,76% 0,00689%
40 11,318 17,701 8,447 56,39% 75,56% 0,00729%
41 11,756 18,244 8,603 55,19% 75,41% 0,00768%
42 12,205 18,799 8,756 54,02% 75,30% 0,00809%
43 12,665 19,367 8,903 52,91% 75,27% 0,00850%
44 13,135 19,948 9,042 51,87% 75,34% 0,00891%
45 13,615 20,544 9,173 50,89% 75,53% 0,00933%
46 14,103 21,153 9,292 49,99% 75,87% 0,00974%
47 14,600 21,776 9,402 49,14% 76,31% 0,01015%
48 15,108 22,411 9,505 48,33% 76,83% 0,01055%
49 15,629 23,056 9,603 47,52% 77,33% 0,01096%
50 16,164 23,710 9,700 46,68% 77,79% 0,01136%

Z analizy danych przedstawionych w tablicy 4.2 wynika, że wartości współczynni-

ków

α charakteryzują się stosunkowo dużą zmiennością.

84

Oznacza

to,

że przy wyznaczaniu składki brutto nie korzystano z proponowanych

metod teoretycznych (por. wzór (4.1) - (4.3)). Bardzo małe wartości współczynnika

α w

przypadku zasady wariancji przemawiają za odrzuceniem tej zasady w praktycznym sto-

sowaniu. Duża wariancja odpowiednich zmiennych losowych (zależna od sumy ubezpie-

czenia ) będzie powodem trudności związanych z właściwym wyznaczeniem parametru

α

we wzorze (4.3).

Na rysunku 4.1 zilustrowano dane zawarte w tablicy 4.2.

Rys.4.1.DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK

ŚMIERCI. JEDNORAZOWA SKŁADKA PZU ŻYCIE S.A.

0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

WIEK UBEZPIECZONEGO w latach

WYSOKO

ŚĆ

SK

Ł

ADKI w

tys.

zł

.

Składka-netto Ax

Skład.Ax+D

Składka PZU

Z kolei przeprowadzono analizę składek rocznych. dane o składkach oraz odpo-

wiednich parametrach zamieszczono w tablicach 4.3 I 4.4.

85

Tablica 4.3. Dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci .

Składka roczna - Mężczyzna. Zasada wartości oczekiwanej

wiek

ubezp

Składka

roczna

Amplico PZU

CU

CU Amplico

PZU

CU

CU

netto w zł.

J

I OŻ OM J

I OŻ OM

x P

x

S

b

S

b

S

b

S

b

α w %

α w %

α w %

α w %

18 309,43 515,50 570,00

1063,83 183,15

66,60% 84,21% 243,81% -40,81%

19 324,02 532,50 587,50

1063,83 183,15

64,34% 81,31% 228,32% -43,48%

20 339,09 551,00 606,00

1063,83 183,15

62,50% 78,72% 213,73% -45,99%

21 354,59 569,50 625,50

1063,83 193,05

60,61% 76,40% 200,01% -45,56%

22 370,60 589,50 646,50

1086,96 204,92

59,07% 74,45% 193,29% -44,71%

23 387,32 610,50 669,00

1086,96 218,34

57,62% 72,72% 180,63% -43,63%

24 405,00 633,00 692,50

1086,96 232,56

56,29% 70,99% 168,38% -42,58%

25 423,90 656,50 718,50

1111,11 250,00

54,87% 69,50% 162,12% -41,02%

26 444,13 681,50 745,50

1111,11 267,38

53,45% 67,86% 150,18% -39,80%

27 465,72 708,00 775,00

1136,36 285,71

52,02% 66,41% 144,00% -38,65%

28 488,69 735,50 807,00

1136,36 308,64

50,50% 65,13% 132,53% -36,84%

29 513,01 764,50 841,00

1162,79 333,33

49,02% 63,94% 126,66% -35,02%

30 538,63 795,00 877,50

1190,48 364,96

47,60% 62,91% 121,02% -32,24%

31 565,63 827,50 917,00

1190,48 390,63

46,30% 62,12% 110,47% -30,94%

32 594,08 861,50 959,00

1219,51 423,73

45,01% 61,43% 105,28% -28,67%

33 624,06 897,50

1003,50

1250,00 458,72

43,82% 60,80% 100,30% -26,50%

34 655,65 935,50

1051,50

1282,05 500,00

42,68% 60,37% 95,54% -23,74%

35 688,94 976,00

1103,00

1315,79 555,56

41,67% 60,10% 90,99% -19,36%

36 723,97 1018,50

1158,50

1351,35 595,24

40,68% 60,02% 86,66% -17,78%

37 760,84 1063,50

1218,00

1388,89 641,03

39,78% 60,09% 82,55% -15,75%

38 799,62 1111,00

1281,50

1428,57 694,44

38,94% 60,26% 78,66% -13,15%

39 840,42 1161,50

1350,50

1470,59 757,58

38,20% 60,69% 74,98% -9,86%

40 883,38 1214,00

1424,00

1515,15 847,46

37,43% 61,20% 71,52% -4,07%

41 928,62 1270,00

1503,50

1562,50 909,09

36,76% 61,91% 68,26% -2,10%

42 976,22 1328,50

1589,50

1612,90 980,39

36,09% 62,82% 65,22% 0,43%

43 1026,24 1390,50

1682,50

1666,67 1063,83

35,49% 63,95% 62,41% 3,66%

44 1078,60 1456,00

1784,00

1724,14 1162,79

34,99% 65,40% 59,85% 7,81%

45 1133,34 1524,50

1895,00

1851,85 1282,05

34,51% 67,20% 63,40% 13,12%

46 1190,44 1597,00

1821,00

1923,08 1351,35

34,15% 52,97% 61,54% 13,52%

47 1250,10 1672,50

1925,00

2000,00 1470,59

33,79% 53,99% 59,99% 17,64%

48 1312,65 1751,50

2037,50

2173,91 1562,50

33,43% 55,22% 65,61% 19,03%

49 1378,49 1834,50

2160,00

2272,73 1724,14

33,08% 56,69% 64,87% 25,07%

50 1448,09 1921,00

2292,50

2500,00 1851,85

32,66% 58,31% 72,64% 27,88%

86

Tablica 4.4. Dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci .

Składka roczna - Kobieta. Zasada wartości oczekiwanej

wiek

ubezp

Składka

roczna

Amplico PZU CU CU Amplico PZU CU

CU

netto

w

zł.

Indywid.

dożywot-

nie

J I

OŻ OM

Indywid.

dożywot-

nie

J I

OŻ OM

x P

x

S

b

S

b

S

b

S

b

α w %

α w %

α w %

α w %

18 176,75 467,00 570,00 1063,83 183,15 164,21% 222,48% 501,87% 3,62%
19 185,32 482,50 587,50 1063,83 183,15 160,36% 217,02% 474,06% -1,17%
20 194,37 498,50 606,00 1063,83 183,15 156,46% 211,77% 447,31% -5,77%
21 203,96 515,50 625,50 1063,83 183,15 152,75% 206,68% 421,60% -10,20%
22 214,07 532,50 646,50 1063,83 183,15 148,75% 202,00% 396,95% -14,44%
23 224,78 551,00 669,00 1063,83 183,15 145,12% 197,62% 373,27% -18,52%
24 236,10 569,50 692,50 1063,83 183,15 141,21% 193,30% 350,58% -22,43%
25 248,10 589,50 718,50 1063,83 183,15 137,61% 189,60% 328,79% -26,18%
26 260,77 610,50 745,50 1063,83 193,05 134,12% 185,89% 307,96% -25,97%
27 274,18 633,00 775,00 1086,96 204,92 130,87% 182,66% 296,44% -25,26%
28 288,33 656,50 807,00 1086,96 218,34 127,69% 179,89% 276,98% -24,27%
29 303,28 681,50 841,00 1086,96 232,56 124,71% 177,30% 258,40% -23,32%
30 319,02 708,00 877,50 1111,11 250,00 121,93% 175,06% 248,28% -21,64%
31 335,63 735,50 917,00 1111,11 267,38 119,14% 173,22% 231,06% -20,33%
32 353,12 764,50 959,00 1136,36 285,71 116,50% 171,58% 221,80% -19,09%
33 371,55 795,00 1003,50 1136,36 308,64 113,97% 170,08% 205,84% -16,93%
34 390,96 827,50 1051,50 1162,79 333,33 111,66% 168,95% 197,42% -14,74%
35 411,39 861,50 1103,00 1190,48 364,96 109,41% 168,11% 189,38% -11,29%
36 432,90 897,50 1158,50 1190,48 390,63 107,32% 167,61% 175,00% -9,77%
37 455,55 935,50 1218,00 1219,51 423,73 105,36% 167,37% 167,70% -6,98%
38 479,36 976,00 1281,50 1250,00 458,72 103,61% 167,34% 160,77% -4,31%
39 504,41 1018,50 1350,50 1282,05 500,00 101,92% 167,74% 154,17% -0,87%
40 530,74 1063,50 1424,00 1315,79 555,56 100,38% 168,31% 147,92% 4,68%
41 558,43 1111,00 1503,50 1351,35 595,24 98,95% 169,24% 141,99% 6,59%
42 587,57 1161,50 1589,50 1388,89 641,03 97,68% 170,52% 136,38% 9,10%
43 618,25 1214,00 1682,50 1428,57 694,44 96,36% 172,14% 131,07% 12,32%
44 650,58 1270,00 1784,00 1470,59 757,58 95,21% 174,22% 126,04% 16,45%
45 684,66 1328,50 1895,00 1515,15 847,46 94,04% 176,78% 121,30% 23,78%
46 720,56 1390,50 1821,00 1562,50 909,09 92,97% 152,72% 116,84% 26,16%
47 758,45 1456,00 1925,00 1612,90 980,39 91,97% 153,81% 112,66% 29,26%
48 798,56 1524,50 2037,50 1666,67

1063,83

90,91% 155,15% 108,71% 33,22%

49 841,27 1597,00 2160,00 1724,14

1162,79

89,83% 156,76% 104,95% 38,22%

50 886,90 1672,50 2292,50 1851,85

1282,05

88,58% 158,48% 108,80% 44,55%

Z danych zawartych w tablicach 4.3 I 4.4 wynika, że w przypadku analizy zasady wartości

oczekiwanej współczynnik

α wykazuje dużą zmienność. Oznacza to, że zasada ta nie jest

stosowana. Wielkość parametru w wyraźny sposób zależy od wieku ubezpieczonego.

87

Komentarza wymagają ujemne wartości tego współczynnika dla proponowanej przez

Commercial Union wersji :ubezpieczenie uniwersalne plus - ochrona maksymalna. Sto-

sunkowo niski poziom składek dla tego ubezpieczenia wynika z proponowanego przez

Commercial Union sposobu liczenia wartości polisy, która jest w zasadzie symboliczna

oraz z asymetrii prawostronnej rozkładu zmiennej losowej S

1

(por.tablica 2.1 oraz rysunek

2.1).

Dane zamieszczone w tablicach 4.2 I 4.3 zilustrowano na rysunkach 4.2 i 4.3.

Rys.4.2.DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ŚMIERCI. SKŁADKA

ROCZNA-MĘŻCZYZNA

0,00

500,00

1000,00

1500,00

2000,00

2500,00

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

WIEK UBEZPIECZONEGO w latach

SK

Ł

ADKA ROCZNA w z

ł.

Składka netto Px
Amplico
PZU
CU-OŻ
CU-OŻM

88

Rys.4.3.DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ŚMIERCI.

SKŁADKA ROCZNA-KOBIETA

0,00

500,00

1000,00

1500,00

2000,00

2500,00

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

WIEK UBEZPIECZONEJ w latach

SK

Ł

ADKA ROCZNA w z

ł.

Składka netto-Px

Amplico

PZU

CU-OŻ

CU-OŻM

Jest

oczywistym,

że w przypadku pobierania składki ratalnej - rocznej firma ubez-

pieczeniowa ponosi większe ryzyko niż w przypadku pobierania składki jednorazowej.

Dlatego też dla wyznaczenia odchylenia standardowego występującego we wzorze (4.3)

użyto wzoru (3.53), który wyznacza odchylenie standardowe zmiennej losowej L

1

określa-

jącej straty ubezpieczyciela w omawianym przypadku. Wyniki obliczeń zamieszczono w

tablicy 4.5

Tablica 4.5. Zasada odchylenia standardowego

MĘŻCZYZNA

KOBIETA

x

Odchyl.

stand. w zł

Amplico

PZU

CU-OŻ

CU-OM

Odchyl.

stand. w zł

D

Amplico

D

PZU

D-OŻ

CU

D-OM

CU

18 6858,70 3,00% 3,80% 11,00% -1,84%

4065,00 7,14%

9,67%

21,82%

0,16%

19 7050,92 2,96% 3,74% 10,49% -2,00%

4171,87 7,12%

9,64%

21,06%

-0,05%

20 7232,54 2,93% 3,69% 10,02% -2,16%

4288,17 7,09%

9,60%

20,28%

-0,26%

21 7400,32 2,90% 3,66% 9,58% -2,18%

4414,61 7,06%

9,55%

19,48%

-0,47%

22 7555,97 2,90% 3,65% 9,48% -2,19%

4549,07 7,00%

9,51%

18,68%

-0,68%

23 7709,67 2,89% 3,65% 9,07% -2,19%

4695,03 6,95%

9,46%

17,87%

-0,89%

24 7873,68 2,90% 3,65% 8,66% -2,19%

4850,63 6,87%

9,41%

17,06%

-1,09%

25 8059,21 2,89% 3,66% 8,53% -2,16%

5019,28 6,80%

9,37%

16,25%

-1,29%

26 8269,84 2,87% 3,64% 8,07% -2,14%

5196,93 6,73%

9,33%

15,45%

-1,30%

27 8503,04 2,85% 3,64% 7,89% -2,12%

5386,94 6,66%

9,30%

15,09%

-1,29%

28 8756,34 2,82% 3,64% 7,40% -2,06%

5585,68 6,59%

9,29%

14,30%

-1,25%

29 9024,42 2,79% 3,63% 7,20% -1,99%

5794,25 6,53%

9,28%

13,53%

-1,22%

30 9302,05 2,76% 3,64% 7,01% -1,87%

6009,50 6,47%

9,29%

13,18%

-1,15%

31 9589,76 2,73% 3,66% 6,52% -1,82%

6232,63 6,42%

9,33%

12,44%

-1,10%

32 9886,87 2,70% 3,69% 6,33% -1,72%

6462,93 6,37%

9,37%

12,12%

-1,04%

33 10194,18 2,68% 3,72% 6,14% -1,62%

6699,80 6,32%

9,43%

11,42%

-0,94%

89

34 10511,37 2,66% 3,77% 5,96% -1,48%

6942,79 6,29%

9,51%

11,12%

-0,83%

35 10838,28 2,65% 3,82% 5,78% -1,23%

7191,54 6,26%

9,62%

10,83%

-0,65%

36 11173,68 2,64% 3,89% 5,61% -1,15%

7445,84 6,24%

9,75%

10,17%

-0,57%

37 11517,70 2,63% 3,97% 5,45% -1,04%

7705,58 6,23%

9,89%

9,91%

-0,41%

38 11869,43 2,62% 4,06% 5,30% -0,89%

7969,12 6,23%

10,07%

9,67%

-0,26%

39 12229,28 2,63% 4,17% 5,15% -0,68%

8236,52 6,24%

10,27%

9,44%

-0,05%

40 12597,83 2,62% 4,29% 5,01% -0,29%

8506,39 6,26%

10,50%

9,23%

0,29%

41 12975,85 2,63% 4,43% 4,89% -0,15%

8778,96 6,29%

10,77%

9,03%

0,42%

42 13362,16 2,64% 4,59% 4,76% 0,03% 9054,53 6,34%

11,07%

8,85%

0,59%

43 13754,60 2,65% 4,77% 4,66% 0,27% 9333,49 6,38%

11,40%

8,68%

0,82%

44 14147,83 2,67% 4,99% 4,56% 0,60% 9616,37 6,44%

11,79%

8,53%

1,11%

45 14539,30 2,69% 5,24% 4,94% 1,02% 9902,44 6,50%

12,22%

8,39%

1,64%

46 14925,19 2,72% 4,22% 4,91% 1,08% 10191,04 6,57%

10,80%

8,26% 1,85%

47 15307,28 2,76% 4,41% 4,90% 1,44% 10482,93 6,65%

11,13%

8,15% 2,12%

48 15689,44 2,80% 4,62% 5,49% 1,59% 10782,84 6,73%

11,49%

8,05% 2,46%

49 16076,87 2,84% 4,86% 5,56% 2,15% 11098,38 6,81%

11,88%

7,95% 2,90%

50 16475,43 2,87% 5,13% 6,38% 2,45% 11435,28 6,87%

12,29%

8,44% 3,46%

90