LISTA 1 FUNKCJE

1. Określić dziedzinę (inaczej dziedzina naturalna) funkcji.

(a) y =

√

tg x

(b) f (x) = log(x − 2) + log(x + 2)

(c) g(x) = 2 +

plog(cos x)

(d) h = log(8 − 2x

2

)

2. Zbadać parzystość funkcji.

(a) f (x) =

√

1 − x

2

+ x

4

(b) f (x) = 2

x−x

2

(c) f (x) = x ·

a

x

−1

a

x

+1

(d) f (x) =

x

3

−4x

1+x

2

(e) f (x) = log(x +

√

1 + x

2

)

(f) f (x) =

(

−x

2

− 4x x ≤ 0

x

2

+ 4x

x > 0

3. Udowodnić, że iloczyn dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcją

parzystą, a iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej funkcją nieparzystą.

4. Zbadać różnowartościowośćfunkcji. Wyznaczyć funkcję odwrotną f

−1

, o ile

istnieje.

(a) f (x) =

x

1−x

(b) f (x) = x

2

− 2x, x ∈ [1, +∞)

(c) f (x) = 1 + log(x + 2)

(d) f (x) =

2

x

1+2

x

(e) f (x) =















x

x ≥ 0

sin x

x ∈ (0,

π

2

]

1 + (x −

π

2

)

2

x >

π

2

1

5. Zbudować funkcję złożoną h = f ◦ g, jeśli:

(a) f (x) = 2

x

, g(x) = x

2

, x ∈ R

(b) f (x) = 1 − |x|, g(x) = |x| , x ∈ R

(c) f (x) = log x , x > 0, g(x) = 1 + x, x ∈ R

(d) f (x) =

√

cos x , x ∈ [−

π

2

,

π

2

] , g(x) = 2x + sin x, x ∈ R

6. Udowodnić, że jeśli f oraz g są funkcjami nieparzystymi, to funkcja złożona

F (x) = f (g(x)) jest nieparzysta.

2